From ad5607531d028801836823469f82d5e7c0a4f11f Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: =?UTF-8?q?Andreas=20M=C3=BCller?= <andreas.mueller@othello.ch>
Date: Wed, 18 May 2022 14:20:41 +0200
Subject: =?UTF-8?q?Dreiecke=20f=C3=BCr=20Nav?=
MIME-Version: 1.0
Content-Type: text/plain; charset=UTF-8
Content-Transfer-Encoding: 8bit

---
 buch/chapters/110-elliptisch/ellintegral.tex | 2 +-
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(limited to 'buch/chapters/110-elliptisch/ellintegral.tex')

diff --git a/buch/chapters/110-elliptisch/ellintegral.tex b/buch/chapters/110-elliptisch/ellintegral.tex
index 4cb2ba3..3acce2f 100644
--- a/buch/chapters/110-elliptisch/ellintegral.tex
+++ b/buch/chapters/110-elliptisch/ellintegral.tex
@@ -651,7 +651,7 @@ werden, dass $1-k'^2=k^2$ ist.
 
 \begin{definition}
 Ist $0\le k\le 1$ der Modul eines elliptischen Integrals, dann heisst
-$k' = \sqrt{1-k^2}$ er {\em Komplementärmodul} oder {\em Komplement
+$k' = \sqrt{1-k^2}$ der {\em Komplementärmodul} oder {\em Komplement
 des Moduls}. Es ist $k^2+k'^2=1$.
 \end{definition}
 
-- 
cgit v1.2.1


From 45e236bc519b62e8afc1aea7d2e625df4c145348 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: =?UTF-8?q?Andreas=20M=C3=BCller?= <andreas.mueller@ost.ch>
Date: Wed, 22 Jun 2022 11:49:27 +0200
Subject: add ell stuff

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 buch/chapters/110-elliptisch/ellintegral.tex | 25 +++++++++++++++++++++----
 1 file changed, 21 insertions(+), 4 deletions(-)

(limited to 'buch/chapters/110-elliptisch/ellintegral.tex')

diff --git a/buch/chapters/110-elliptisch/ellintegral.tex b/buch/chapters/110-elliptisch/ellintegral.tex
index 3acce2f..bc597d6 100644
--- a/buch/chapters/110-elliptisch/ellintegral.tex
+++ b/buch/chapters/110-elliptisch/ellintegral.tex
@@ -355,9 +355,9 @@ K(k)
 dies beweist die Behauptung.
 \end{proof}
 
-
-
-
+%
+% Umfang einer Ellipse
+%
 \subsubsection{Umfang einer Ellipse}
 \begin{figure}
 \centering
@@ -451,13 +451,20 @@ Hilfe einer Entwicklung der Wurzel mit der Binomialreihe gefunden
 werden.
 \end{proof}
 
+%
+%
+%
 \subsubsection{Komplementäre Integrale}
 
 \subsubsection{Ableitung}
 XXX Ableitung \\
 XXX Stammfunktion \\
 
-\subsection{Unvollständige elliptische Integrale}
+%
+% Unvollständige elliptische Integrale
+%
+\subsection{Unvollständige elliptische Integrale
+\label{buch:elliptisch:subsection:unvollstintegral}}
 Die Funktionen $K(k)$ und $E(k)$ sind als bestimmte Integrale über ein
 festes Intervall definiert.
 Die {\em unvollständigen elliptischen Integrale} entstehen, indem die
@@ -522,12 +529,18 @@ Die Abbildung~\ref{buch:elliptisch:fig:unvollstaendigeintegrale}
 zeigt Graphen der unvollständigen elliptischen Integrale für verschiedene
 Werte des Parameters.
 
+%
+% Symmetrieeigenschaften
+%
 \subsubsection{Symmetrieeigenschaften}
 Die Integranden aller drei unvollständigen elliptischen Integrale
 sind gerade Funktionen der reellen Variablen $t$.
 Die Funktionen $F(x,k)$, $E(x,k)$ und $\Pi(n,x,k)$ sind daher
 ungeraden Funktionen von $x$.
 
+%
+% Elliptische Integrale als komplexe Funktionen
+%
 \subsubsection{Elliptische Integrale als komplexe Funktionen}
 Die unvollständigen elliptischen Integrale $F(x,k)$, $F(x,k)$ und $\Pi(n,x,k)$
 in Jacobi-Form lassen sich auch für komplexe Argumente interpretieren.
@@ -541,7 +554,11 @@ $\pm 1/\sqrt{n}$
 XXX Additionstheoreme \\
 XXX Parameterkonventionen \\
 
+%
+% Wertebereich
+%
 \subsubsection{Wertebereich}
+\label{buch:elliptische:subsubsection:wertebereich}
 Die unvollständigen elliptischen Integrale betrachtet als reelle Funktionen
 haben nur positive relle Werte.
 Zum Beispiel nimmt das unvollständige elliptische Integral erster Art
-- 
cgit v1.2.1


From 7cc8f34f003ecb25ade7f1ff2287fe12b5a22c40 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: =?UTF-8?q?Andreas=20M=C3=BCller?= <andreas.mueller@ost.ch>
Date: Sat, 25 Jun 2022 14:36:04 +0200
Subject: arithmetic-geometric-mean

---
 buch/chapters/110-elliptisch/ellintegral.tex | 320 ++++++++++++++++++++++++++-
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diff --git a/buch/chapters/110-elliptisch/ellintegral.tex b/buch/chapters/110-elliptisch/ellintegral.tex
index bc597d6..970d8fa 100644
--- a/buch/chapters/110-elliptisch/ellintegral.tex
+++ b/buch/chapters/110-elliptisch/ellintegral.tex
@@ -451,14 +451,310 @@ Hilfe einer Entwicklung der Wurzel mit der Binomialreihe gefunden
 werden.
 \end{proof}
 
+Die Darstellung von $E(k)$ als hypergeometrische Reihe ermöglicht
+jetzt zum Beispiel auch die Berechnung der Ableitung nach dem
+Parameter $k$ mit der Ableitungsformel für die Funktion $\mathstrut_2F_1$.
+
+
 %
+% Berechnung mit dem arithmetisch-geometrischen Mittel
+%
+\subsection{Berechnung mit dem arithmetisch-geometrischen Mittel}
+Die numerische Berechnung von elliptischer Integrale mit gewöhnlichen
+numerischen Integrationsroutinen ist nicht sehr effizient.
+Das in diesem Abschnitt vorgestellte arithmetisch-geometrische Mittel
+\index{arithmetisch-geometrisches Mittel}%
+liefert einen Algorithmus mit sehr viel besserer Konvergenz.
+Die Methode lässt sich auch auf die unvollständigen elliptischen
+Integrale von Abschnitt~\eqref{buch:elliptisch:subsection:unvollstintegral}
+verallgemeinern.
+Sie ist ein Speziallfall der sogenannten Landen-Transformation,
+\index{Landen-Transformation}%
+welche ausser für die elliptischen Integrale auch für die 
+Jacobischen elliptischen Funktionen formuliert werden kann und
+für letztere ebenfalls sehr schnelle numerische Algorithmen liefert.
+
 %
+% Das arithmetisch-geometrische Mittel
 %
-\subsubsection{Komplementäre Integrale}
+\subsubsection{Das arithmetisch-geometrische Mittel}
+Seien $a$ und $b$ zwei nichtnegative reelle Zahlen.
+Aus $a$ und $b$ werden jetzt zwei Folgen konstruiert, deren Glieder
+durch
+\begin{align*}
+a_0&=a &&\text{und}& a_{n+1} &= \frac{a_n+b_n}2 &&\text{arithmetisches Mittel}
+\\
+b_0&=b &&\text{und}& b_{n+1} &= \sqrt{a_nb_n}   &&\text{geometrisches Mittel}
+\end{align*}
+definiert sind.
+
+\begin{satz}
+Falls $a>b>0$ ist, nimmt die Folge $(a_k)_{k\ge 0}$ monoton ab und
+$(b_k)_{k\ge 0}$ nimmt monoton zu.
+Beide konvergieren quadratisch gegen einen gemeinsamen Grenzwert.
+\end{satz}
+
+\begin{definition}
+Der gemeinsame Grenzwert von $a_n$ und $b_n$ heisst das
+{\em arithmetisch-geometrische Mittel} und wird mit 
+\[
+M(a,b)
+=
+\lim_{n\to\infty} a_n
+=
+\lim_{n\to\infty} b_n
+\]
+bezeichnet.
+\index{arithmetisch-geometrisches Mittel}%
+\end{definition}
 
-\subsubsection{Ableitung}
-XXX Ableitung \\
-XXX Stammfunktion \\
+\begin{proof}[Beweis]
+Zunächst ist zu zeigen, dass die Folgen monoton sind.
+Dies folgt sofort aus der Definition der Folgen:
+\begin{align*}
+a_{n+1} &= \frac{a_n+b_n}{2} \ge \frac{a_n+a_n}{2} = a_n
+\\
+b_{n+1} &= \sqrt{a_nb_n} \ge \sqrt{b_nb_n} = b_n.
+\end{align*}
+Die Konvergenz folgt aus
+\[
+a_{n+1}-b_{n+1}
+\le
+a_{n+1}-b_n
+=
+\frac{a_n+b_n}{2}-b_n
+=
+\frac{a_n-b_n}2
+\le
+\frac{a-b}{2^{n+1}}.
+\]
+Dies zeigt jedoch nur, dass die Konvergenz mindestens ein
+Bit in jeder Iteration ist.
+Aus
+\[
+a_{n+1}^2 - b_{n+1}^2
+=
+\frac{(a_n+b_n)^2}{4} - a_nb_n
+=
+\frac{a_n^2 -2a_nb_n+b_n^2}{4}
+=
+\frac{(a_n-b_n)^2}{4}
+\]
+folgt
+\[
+a_{n+1}-b_{n+1}
+=
+\frac{(a_n-b_n)^2}{2(a_{n+1}+b_{n+1})}.
+\]
+Da der Nenner gegen $2M(a,b)$ konvergiert, wird der Fehler für in
+jeder Iteration quadriert, es liegt also quadratische Konvergenz vor.
+\end{proof}
+
+%
+% Transformation des elliptischen Integrals
+%
+\subsubsection{Transformation des elliptischen Integrals}
+In diesem Abschnitt soll das Integral
+\[
+I(a,b)
+=
+\int_0^{\frac{\pi}2}
+\frac{dt}{\sqrt{a^2\cos^2 t + b^2\sin^2t}}
+\]
+berechnet werden.
+Es ist klar, dass
+\[
+I(sa,sb)
+=
+\frac{1}{s} I(a,b).
+\]
+
+Gauss hat gefunden, dass die Substitution
+\begin{equation}
+\sin t
+=
+\frac{2a\sin t_1}{a+b+(a-b)\sin t_1}
+\label{buch:elliptisch:agm:subst}
+\end{equation}
+zu
+\begin{equation}
+\frac{dt}{a^2\cos^2 t + b^2 \sin^2 t}
+=
+\frac{dt_1}{a_1^2\cos^2 t_1 + b_1^2 \sin^2 t_1}
+\label{buch:elliptisch:agm:dtdt1}
+\end{equation}
+führt.
+Um dies nachzuprüfen, muss man zunächst
+\eqref{buch:elliptisch:agm:subst}
+nach $t_1$ ableiten, was
+\[
+\frac{d}{dt_1}\sin t
+=
+\cos t
+\frac{dt}{dt_1}
+\qquad\Rightarrow\qquad
+\biggl(
+\frac{d}{dt_1}\sin t
+\biggr)^2
+=
+(1-\sin^2t)\biggl(\frac{dt}{dt_1}\biggr)^2
+\]
+ergibt.
+Die Ableitung von $t$ nach $t_1$ kann auch aus
+\eqref{buch:elliptisch:agm:dtdt1}
+ableiten, es ist
+\[
+\biggl(
+\frac{dt}{dt_1}
+\biggr)^2
+=
+\frac{a^2 \cos^2 t + b^2 \sin^2 t}{a_1^2 \cos^2 t_1 + b_1^2 \sin^2 t_1}.
+\]
+Man muss also nachprüfen, dass
+\begin{equation}
+\frac{1}{1-\sin^2 t}
+\frac{d}{dt_1}\sin t
+=
+\frac{a^2 \cos^2 t + b^2 \sin^2 t}{a_1^2 \cos^2 t_1 + b_1^2 \sin^2 t_1}.
+\label{buch:elliptisch:agm:deq}
+\end{equation}
+Dazu muss man zunächst $a_1=(a+b)/2$, $b_1=\sqrt{ab}$ setzen.
+Ausserdem muss man $\cos^2 t$ durch $1-\sin^2t$ ersetzen und
+$\sin t$ durch \eqref{buch:elliptisch:agm:subst}.
+Auch $\cos^2 t_1$ muss man durch $1-\sin^2t_1$ ersetzt werden.
+Dann kann man nach einer langwierigen Rechnung, die sich am leichtesten
+mit einem Computer-Algebra-System ausführen lässt finden, dass
+\eqref{buch:elliptisch:agm:deq}
+tatsächlich korrekt ist.
+
+\begin{satz}
+\label{buch:elliptisch:agm:integrale}
+Für $a_1=(a+b)/2$ und $b_1=\sqrt{ab}$ gilt
+\[
+\int_0^{\frac{\pi}2}
+\frac{dt}{a^2\cos^2 t + b^2 \sin^2 t}
+=
+\int_0^{\frac{\pi}2}
+\frac{dt_1}{a_1^2\cos^2 t_1 + b_1^2 \sin^2 t_1}.
+\]
+\end{satz}
+
+Der Satz~\ref{buch:elliptisch:agm:integrale} zeigt, dass die Ersetzung
+von $a$ und $b$ durch $a_1$ und $b_1$ das Integral $I(a,b)$ nicht ändert.
+Dies gilt natürlich für alle Glieder der Folge zur Bestimmung des
+arithmetisch-geometrischen Mittels.
+
+\begin{satz}
+Für $a\ge b>0$ gilt
+\begin{equation}
+I(a,b)
+=
+\int_0^{\frac{\pi}2}
+\frac{dt}{a^2\cos^2 t + b^2\sin^2t}
+=
+\frac{\pi}{2M(a,b)}
+\end{equation}
+\end{satz}
+
+\begin{proof}[Beweis]
+Zunächst folgt aus Satz~\ref{buch:elliptisch:agm:integrale}, dass
+\[
+I(a,b)
+=
+I(a_1,b_1)
+=
+\dots
+=
+I(a_n,b_n).
+\]
+Ausserdem ist $a_n\to M(a,b)$ und $b_n\to M(a,b)$,
+damit wird 
+\[
+I(a,b)
+=
+\frac{1}{M(a,b)}
+\int_0^{\frac{\pi}2}
+\frac{dt}{\sqrt{\cos^2 t + \sin^2 t}}
+=
+\frac{\pi}{2M(a,b)}.
+\qedhere
+\]
+\end{proof}
+
+%
+%  Berechnung des elliptischen Integrals
+%
+\subsubsection{Berechnung des elliptischen Integrals}
+Das elliptische Integral erster Art hat eine Form, die dem Integral
+$I(a,b)$ bereits sehr ähnlich ist.
+Im die Verbindung herzustellen, berechnen wir
+\begin{align*}
+I(a,b)
+&=
+\int_0^{\frac{\pi}2}
+\frac{dt}{\sqrt{a^2\cos^2 t + b^2 \sin^2 t}}
+\\
+&=
+\frac{1}{a}
+\int_0^{\frac{\pi}2}
+\frac{dt}{\sqrt{1-\sin^2 t + \frac{b^2}{a^2} \sin^2 t}}
+\\
+&=
+\frac{1}{a}
+\int_0^{\frac{\pi}2}
+\frac{dt}{\sqrt{1-(1-\frac{b^2}{a^2})\sin^2 t}}
+=
+K(k)
+\qquad\text{mit}\qquad
+k'=\frac{b^2}{a^2},\;
+k=\sqrt{1-k^{\prime 2}}
+\end{align*}
+
+\begin{satz}
+\label{buch:elliptisch:agm:satz:Ek}
+Für $0<k\le 1$ ist
+\[
+K(k) = I(1,\sqrt{1-k^2}) = \frac{\pi}{2M(1,\sqrt{1-k^2})}
+\]
+\end{satz}
+
+%
+% Numerisches Beispiel
+%
+\subsubsection{Numerisches Beispiel}
+\begin{table}
+\centering
+\begin{tabular}{|>{$}c<{$}|>{$}c<{$}|>{$}c<{$}|}
+\hline
+n& a_n & b_n \\
+\hline
+0 & 1.0000000000000000 &  0.7071067811865476\\
+1 & 0.\underline{8}535533905932737 &  0.\underline{84}08964152537146\\
+2 & 0.\underline{8472}249029234942 &  0.\underline{8472}012667468916\\
+3 & 0.\underline{847213084}8351929 &  0.\underline{8472130847}527654\\
+4 & 0.\underline{847213084793979}2 &  0.\underline{847213084793979}1\\
+\hline
+\end{tabular}
+\caption{Die Berechnung des arithmetisch-geometrischen Mittels für
+$a=1$ und $b=\sqrt{2}/2$ zeigt die sehr rasche Konvergenz.
+\label{buch:elliptisch:agm:numerisch}}
+\end{table}
+In diesem Abschnitt soll als Zahlenbeispiel $E(k)$ für $k=\sqrt{2}/2$
+berechnet werden.
+In diesem speziellen Fall ist $k'=k$.
+Tabelle~\ref{buch:elliptisch:agm:numerisch} zeigt die sehr rasche
+Konvergenz der Berechnung des arithmetisch-geometrischen Mittels
+von $1$ und $\sqrt{2}/2$.
+Mit Satz~\ref{buch:elliptisch:agm:satz:Ek} folgt jetzt
+\[
+K(\sqrt{2}/2)
+=
+\frac{\pi}{2M(1,\sqrt{2}/2)}
+=
+0.751428163461842.
+\]
+Die Berechnung hat nur 4 Mittelwerte, 4 Produkte, 4 Quadratwurzeln und
+eine Division erfordert.
 
 %
 % Unvollständige elliptische Integrale
@@ -551,7 +847,7 @@ Die Faktoren, die in den Integranden der unvollständigen elliptischen
 Integrale vorkommen, haben Nullstellen bei $\pm1$, $\pm1/k$ und
 $\pm 1/\sqrt{n}$
 
-XXX Additionstheoreme \\
+% XXX Additionstheoreme \\
 XXX Parameterkonventionen \\
 
 %
@@ -648,6 +944,9 @@ l({\textstyle\frac{1}{k}})=\int_1^{\frac1{k}}
 \end{equation}
 ausgewertet werden.
 
+%
+% Komplementärmodul
+%
 \subsubsection{Komplementärmodul}
 Im vorangegangen Abschnitt wurde gezeigt, dass der Wertebereicht des
 unvollständigen elliptischen Integrals der ersten Art als komplexe
@@ -751,6 +1050,9 @@ in das blaue.
 \label{buch:elliptisch:fig:rechteck}}
 \end{figure}
 
+%
+% Reelle Argument > 1/k
+%
 \subsubsection{Reelle Argument $> 1/k$}
 Für Argument $x> 1/k$ sind beide Faktoren im Integranden des 
 unvollständigen elliptischen Integrals negativ, das Integral kann
@@ -797,7 +1099,7 @@ F(x,k) = iK(k') - F\biggl(\frac1{kx},k\biggr)
 für die Werte des elliptischen Integrals erster Art für grosse Argumentwerte
 fest.
 
-\subsection{Potenzreihe}
-XXX Potenzreihen \\
-XXX Als hypergeometrische Funktionen \url{https://www.youtube.com/watch?v=j0t1yWrvKmE} \\
-XXX Berechnung mit der Landen-Transformation https://en.wikipedia.org/wiki/Landen%27s_transformation
+%\subsection{Potenzreihe}
+%XXX Potenzreihen \\
+%XXX Als hypergeometrische Funktionen \url{https://www.youtube.com/watch?v=j0t1yWrvKmE} \\
+%XXX Berechnung mit der Landen-Transformation https://en.wikipedia.org/wiki/Landen%27s_transformation
-- 
cgit v1.2.1


From 335c3a23f09759be380291ec89b0f2c43c2d3db6 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: =?UTF-8?q?Andreas=20M=C3=BCller?= <andreas.mueller@ost.ch>
Date: Sat, 25 Jun 2022 22:46:16 +0200
Subject: fix agm

---
 buch/chapters/110-elliptisch/ellintegral.tex | 34 ++++++++++++++++------------
 1 file changed, 19 insertions(+), 15 deletions(-)

(limited to 'buch/chapters/110-elliptisch/ellintegral.tex')

diff --git a/buch/chapters/110-elliptisch/ellintegral.tex b/buch/chapters/110-elliptisch/ellintegral.tex
index 970d8fa..79ed91e 100644
--- a/buch/chapters/110-elliptisch/ellintegral.tex
+++ b/buch/chapters/110-elliptisch/ellintegral.tex
@@ -578,9 +578,9 @@ Gauss hat gefunden, dass die Substitution
 \end{equation}
 zu
 \begin{equation}
-\frac{dt}{a^2\cos^2 t + b^2 \sin^2 t}
+\frac{dt}{\sqrt{a^2_{\phantom{1}}\cos^2 t + b^2_{\phantom{1}} \sin^2 t}}
 =
-\frac{dt_1}{a_1^2\cos^2 t_1 + b_1^2 \sin^2 t_1}
+\frac{dt_1}{\sqrt{a_1^2\cos^2 t_1 + b_1^2 \sin^2 t_1}}
 \label{buch:elliptisch:agm:dtdt1}
 \end{equation}
 führt.
@@ -608,7 +608,7 @@ ableiten, es ist
 \frac{dt}{dt_1}
 \biggr)^2
 =
-\frac{a^2 \cos^2 t + b^2 \sin^2 t}{a_1^2 \cos^2 t_1 + b_1^2 \sin^2 t_1}.
+\frac{a^2_{\phantom{1}} \cos^2 t + b^2_{\phantom{1}} \sin^2 t}{a_1^2 \cos^2 t_1 + b_1^2 \sin^2 t_1}.
 \]
 Man muss also nachprüfen, dass
 \begin{equation}
@@ -618,7 +618,7 @@ Man muss also nachprüfen, dass
 \frac{a^2 \cos^2 t + b^2 \sin^2 t}{a_1^2 \cos^2 t_1 + b_1^2 \sin^2 t_1}.
 \label{buch:elliptisch:agm:deq}
 \end{equation}
-Dazu muss man zunächst $a_1=(a+b)/2$, $b_1=\sqrt{ab}$ setzen.
+Dazu muss man zunächst $a_1=(a+b)/2$, $b_1=\!\sqrt{ab}$ setzen.
 Ausserdem muss man $\cos^2 t$ durch $1-\sin^2t$ ersetzen und
 $\sin t$ durch \eqref{buch:elliptisch:agm:subst}.
 Auch $\cos^2 t_1$ muss man durch $1-\sin^2t_1$ ersetzt werden.
@@ -724,15 +724,19 @@ K(k) = I(1,\sqrt{1-k^2}) = \frac{\pi}{2M(1,\sqrt{1-k^2})}
 \subsubsection{Numerisches Beispiel}
 \begin{table}
 \centering
-\begin{tabular}{|>{$}c<{$}|>{$}c<{$}|>{$}c<{$}|}
+\begin{tabular}{|>{$}c<{$}|>{$}c<{$}|>{$}c<{$}|>{$}c<{$}|}
 \hline
-n& a_n & b_n \\
+n& a_n & b_n & \pi/2a_n \mathstrut
+\text{\vrule height12pt depth6pt width0pt}\\
 \hline
-0 & 1.0000000000000000 &  0.7071067811865476\\
-1 & 0.\underline{8}535533905932737 &  0.\underline{84}08964152537146\\
-2 & 0.\underline{8472}249029234942 &  0.\underline{8472}012667468916\\
-3 & 0.\underline{847213084}8351929 &  0.\underline{8472130847}527654\\
-4 & 0.\underline{847213084793979}2 &  0.\underline{847213084793979}1\\
+\text{\vrule height12pt depth0pt width0pt}
+  0   & 1.0000000000000000000 & 0.7071067811865475243 & 1.5707963267948965579 \\
+  1   & 0.8535533905932737621 & 0.8408964152537145430 & 1.\underline{8}403023690212201581 \\
+  2   & 0.8472249029234941526 & 0.8472012667468914603 & 1.\underline{8540}488143993356315 \\
+  3   & 0.8472130848351928064 & 0.8472130847527653666 & 1.\underline{854074677}2111781089 \\
+  4   & 0.8472130847939790865 & 0.8472130847939790865 & 1.\underline{854074677301371}8463 \\
+\infty&                       &                       &          1.8540746773013719184 
+\text{\vrule height12pt depth6pt width0pt}\\
 \hline
 \end{tabular}
 \caption{Die Berechnung des arithmetisch-geometrischen Mittels für
@@ -747,11 +751,11 @@ Konvergenz der Berechnung des arithmetisch-geometrischen Mittels
 von $1$ und $\sqrt{2}/2$.
 Mit Satz~\ref{buch:elliptisch:agm:satz:Ek} folgt jetzt
 \[
-K(\sqrt{2}/2)
+K(\!\sqrt{2}/2)
 =
-\frac{\pi}{2M(1,\sqrt{2}/2)}
+\frac{\pi}{2M(1,\!\sqrt{2}/2)}
 =
-0.751428163461842.
+1.854074677301372.
 \]
 Die Berechnung hat nur 4 Mittelwerte, 4 Produkte, 4 Quadratwurzeln und
 eine Division erfordert.
@@ -848,7 +852,7 @@ Integrale vorkommen, haben Nullstellen bei $\pm1$, $\pm1/k$ und
 $\pm 1/\sqrt{n}$
 
 % XXX Additionstheoreme \\
-XXX Parameterkonventionen \\
+% XXX Parameterkonventionen \\
 
 %
 % Wertebereich
-- 
cgit v1.2.1


From 753507e2be9ce6019b934b8422980c62b55ef1fe Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: =?UTF-8?q?Andreas=20M=C3=BCller?= <andreas.mueller@ost.ch>
Date: Sat, 25 Jun 2022 22:52:08 +0200
Subject: final agm

---
 buch/chapters/110-elliptisch/ellintegral.tex | 20 ++++++++++----------
 1 file changed, 10 insertions(+), 10 deletions(-)

(limited to 'buch/chapters/110-elliptisch/ellintegral.tex')

diff --git a/buch/chapters/110-elliptisch/ellintegral.tex b/buch/chapters/110-elliptisch/ellintegral.tex
index 79ed91e..4589ffa 100644
--- a/buch/chapters/110-elliptisch/ellintegral.tex
+++ b/buch/chapters/110-elliptisch/ellintegral.tex
@@ -547,7 +547,8 @@ a_{n+1}-b_{n+1}
 \frac{(a_n-b_n)^2}{2(a_{n+1}+b_{n+1})}.
 \]
 Da der Nenner gegen $2M(a,b)$ konvergiert, wird der Fehler für in
-jeder Iteration quadriert, es liegt also quadratische Konvergenz vor.
+jeder Iteration quadriert, die Zahl korrekter Stellen verdoppelt sich
+in jeder Iteration, es liegt also quadratische Konvergenz vor.
 \end{proof}
 
 %
@@ -726,16 +727,15 @@ K(k) = I(1,\sqrt{1-k^2}) = \frac{\pi}{2M(1,\sqrt{1-k^2})}
 \centering
 \begin{tabular}{|>{$}c<{$}|>{$}c<{$}|>{$}c<{$}|>{$}c<{$}|}
 \hline
-n& a_n & b_n & \pi/2a_n \mathstrut
-\text{\vrule height12pt depth6pt width0pt}\\
+n& a_n & b_n & \pi/2a_n \mathstrut\text{\vrule height12pt depth6pt width0pt}\\
 \hline
-\text{\vrule height12pt depth0pt width0pt}
-  0   & 1.0000000000000000000 & 0.7071067811865475243 & 1.5707963267948965579 \\
-  1   & 0.8535533905932737621 & 0.8408964152537145430 & 1.\underline{8}403023690212201581 \\
-  2   & 0.8472249029234941526 & 0.8472012667468914603 & 1.\underline{8540}488143993356315 \\
-  3   & 0.8472130848351928064 & 0.8472130847527653666 & 1.\underline{854074677}2111781089 \\
-  4   & 0.8472130847939790865 & 0.8472130847939790865 & 1.\underline{854074677301371}8463 \\
-\infty&                       &                       &          1.8540746773013719184 
+\text{\vrule height12pt depth0pt width0pt}%
+0 & 1.0000000000000000000 & 0.7071067811865475243 & 1.5707963267948965579 \\
+1 & 0.8535533905932737621 & 0.8408964152537145430 & 1.\underline{8}403023690212201581 \\
+2 & 0.8472249029234941526 & 0.8472012667468914603 & 1.\underline{8540}488143993356315 \\
+3 & 0.8472130848351928064 & 0.8472130847527653666 & 1.\underline{854074677}2111781089 \\
+4 & 0.8472130847939790865 & 0.8472130847939790865 & 1.\underline{854074677301371}8463 \\
+\infty&                       &                       &          1.8540746773013719184%
 \text{\vrule height12pt depth6pt width0pt}\\
 \hline
 \end{tabular}
-- 
cgit v1.2.1


From 05d75b0f467b2535db538ecaee461cf0c8b637d1 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: =?UTF-8?q?Andreas=20M=C3=BCller?= <andreas.mueller@ost.ch>
Date: Mon, 27 Jun 2022 20:17:16 +0200
Subject: add stuff for elliptic filters

---
 buch/chapters/110-elliptisch/ellintegral.tex | 141 ++++++++++++++++++++++++++-
 1 file changed, 138 insertions(+), 3 deletions(-)

(limited to 'buch/chapters/110-elliptisch/ellintegral.tex')

diff --git a/buch/chapters/110-elliptisch/ellintegral.tex b/buch/chapters/110-elliptisch/ellintegral.tex
index 4589ffa..cc99218 100644
--- a/buch/chapters/110-elliptisch/ellintegral.tex
+++ b/buch/chapters/110-elliptisch/ellintegral.tex
@@ -459,7 +459,8 @@ Parameter $k$ mit der Ableitungsformel für die Funktion $\mathstrut_2F_1$.
 %
 % Berechnung mit dem arithmetisch-geometrischen Mittel
 %
-\subsection{Berechnung mit dem arithmetisch-geometrischen Mittel}
+\subsection{Berechnung mit dem arithmetisch-geometrischen Mittel
+\label{buch:elliptisch:subsection:agm}}
 Die numerische Berechnung von elliptischer Integrale mit gewöhnlichen
 numerischen Integrationsroutinen ist nicht sehr effizient.
 Das in diesem Abschnitt vorgestellte arithmetisch-geometrische Mittel
@@ -472,7 +473,11 @@ Sie ist ein Speziallfall der sogenannten Landen-Transformation,
 \index{Landen-Transformation}%
 welche ausser für die elliptischen Integrale auch für die 
 Jacobischen elliptischen Funktionen formuliert werden kann und
-für letztere ebenfalls sehr schnelle numerische Algorithmen liefert.
+für letztere ebenfalls sehr schnelle numerische Algorithmen liefert
+(siehe dazu auch die
+Aufgaben~\ref{buch:elliptisch:aufgabe:2}--\ref{buch:elliptisch:aufgabe:4}).
+Sie kann auch verwendet werden, um die Werte der Jacobischen elliptischen
+Funktionen für komplexe Argument zu berechnen.
 
 %
 % Das arithmetisch-geometrische Mittel
@@ -574,7 +579,7 @@ Gauss hat gefunden, dass die Substitution
 \begin{equation}
 \sin t
 =
-\frac{2a\sin t_1}{a+b+(a-b)\sin t_1}
+\frac{2a\sin t_1}{a+b+(a-b)\sin^2 t_1}
 \label{buch:elliptisch:agm:subst}
 \end{equation}
 zu
@@ -1103,6 +1108,136 @@ F(x,k) = iK(k') - F\biggl(\frac1{kx},k\biggr)
 für die Werte des elliptischen Integrals erster Art für grosse Argumentwerte
 fest.
 
+%
+% AGM und Berechnung von F(x,k)
+%
+\subsubsection{Berechnung von $F(x,k)$ mit dem arithmetisch-geometrischen Mittel\label{buch:elliptisch:subsubection:berechnung-fxk-agm}}
+Wie das vollständige elliptische Integral $K(k)$ kann auch das  
+unvollständige elliptische Integral
+\begin{align*}
+F(x,k)
+&=
+\int_0^x \frac{d\xi}{\sqrt{(1-\xi^2)(1-k^{\prime 2}\xi^2)}}
+=
+\int_0^{\varphi}
+\frac{dt}{\sqrt{1-k^2 \sin^2 t}}
+\\
+&=
+a
+\int_0^{\varphi} \frac{dt}{a^2 \cos^2 t + b^2 \sin^2 t}
+\qquad\text{mit $k=b/a$}
+\end{align*}
+mit dem arithmetisch-geometrischen Mittel berechnet werden.
+Dazu muss die Substitution
+\eqref{buch:elliptisch:agm:subst}
+verwendet werden, um auch den Winkel $\varphi_1$ zu berechnen.
+Dazu muss \eqref{buch:elliptisch:agm:subst} nach $x_1=\sin t_1$ 
+aufgelöst werden.
+Durch Multiplikation mit dem Nenner erhält man mit der Abkürzung
+$x=\sin t$ und $x_1=\sin t_1$  die quadratische Gleichung
+\[
+(a-b)x x_1
+-
+2ax_1
+(a+b)x 
+=
+0,
+\]
+mit der Lösung
+\begin{equation}
+x_1 
+=
+\frac{a-\sqrt{a^2-(a^2-b^2)x^2}}{(a-b)x}.
+\label{buch:elliptisch:unvollstagm:xrek}
+\end{equation}
+Der Algorithmus zur Berechnung des arithmetisch-geometrischen Mittels
+muss daher verallgemeinert werden zu
+\begin{equation}
+\left.
+\begin{aligned}
+a_{n+1} &= \frac{a_n+b_n}2,  &\qquad a_0 &= a
+\\
+b_{n+1} &= \sqrt{a_nb_n},    & b_0 &= b
+\\
+x_{n+1} &= \frac{a_n-\sqrt{a_n^2-(a_n^2-b_n^2)x_n^2}}{(a_n-b_n)x_n}, & x_0 &= x
+\end{aligned}
+\quad
+\right\}
+\label{buch:elliptisch:unvollstagm:rek}
+\end{equation}
+Die Folge $x_n$ konvergiert gegen einen Wert $x_{\infty} = \lim_{n\to\infty} x_n$.
+Der Wert des unvollständigen elliptischen Integrals ist dann der Grenzwert
+\[
+F(x,k)
+=
+\lim_{n\to\infty}
+\frac{\arcsin x_n}{M(a_n,b_n)}
+=
+\frac{\arcsin x_{\infty}}{M(1,\sqrt{1-k^2})}.
+\]
+
+In dieser Form ist die Berechnung allerdings nicht praktisch durchführbar.
+Das Problem ist, dass die Differenz $a_n-b_n$, die in 
+\eqref{buch:elliptisch:unvollstagm:rek}
+im Nenner vorkommt, sehr schnell gegen Null geht.
+Ausserdem ist die Quadratwurzel im Zähler fast gleich gross wie
+$a_n$, was zu Auslöschung und damit ungenauen Resultaten führt.
+\label{buch:elliptisch:agm:ellintegral-stabilitaet}
+
+Eine Möglichkeit, das Problem zu entschärfen, ist, die Rekursionsformel
+nach $\varepsilon = a-b$ zu entwickeln.
+Mit $a+b=2a+\varepsilon$ kann man $b$ aus der Formel elimineren und erhält
+mit Hilfe der binomischen Reihe
+\begin{align*}
+x_1
+&=
+\frac{a}{x\varepsilon}
+\left(1-\sqrt{1-\varepsilon(2a-\varepsilon)x^2/a^2}\right)
+\\
+&=
+\frac{a}{x\varepsilon}
+\biggl(
+1-\sum_{k=0}^\infty
+(-1)^k
+\frac{(\frac12)_k}{k!} \varepsilon^k(2a-\varepsilon)^k\frac{x^{2k}}{a^{2k}}
+\biggr)
+\\
+&=
+\sum_{k=1}^\infty
+(-1)^{k-1} 
+\frac{(\frac12)_k}{k!} \varepsilon^{k-1}(2a-\varepsilon)^k\frac{x^{2k-1}}{a^{2k-1}}
+\\
+&=
+\frac{\frac12}{1!}(2a-\varepsilon)\frac{x}{a}
+-
+\frac{\frac12\cdot(\frac12-1)}{2!}\varepsilon(2a-\varepsilon)^2\frac{x^3}{a^3}
++
+\frac{\frac12\cdot(\frac12-1)(\frac12-2)}{3!}\varepsilon^2(2a-\varepsilon)^3\frac{x^5}{a^5}
+-
+\dots
+\\
+&=
+x\biggl(1-\frac{\varepsilon}{2a}\biggr)
+\biggl(
+1
+-
+\frac{\frac12-1}{2!}\varepsilon(2a-\varepsilon)\frac{x^2}{a^2}
++
+\frac{(\frac12-1)(\frac12-2)}{3!}\varepsilon^2(2a-\varepsilon)^2\frac{x^4}{a^4}
+-
+\dots
+\biggr)
+\\
+&=
+x\biggl(1-\frac{\varepsilon}{2a}\biggr)
+\cdot
+\mathstrut_2F_1\biggl(
+\begin{matrix}-\frac12,1\\2\end{matrix};-\varepsilon(2a-\varepsilon)\frac{x^2}{a^2}
+\biggr).
+\end{align*}
+Diese Form ist wesentlich besser, aber leider kann es bei der numerischen
+Rechnung passieren, dass $\varepsilon < 0$ wird.
+
 %\subsection{Potenzreihe}
 %XXX Potenzreihen \\
 %XXX Als hypergeometrische Funktionen \url{https://www.youtube.com/watch?v=j0t1yWrvKmE} \\
-- 
cgit v1.2.1


From 3d742539c034e5b9569722e95395fd5ede33d770 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: =?UTF-8?q?Andreas=20M=C3=BCller?= <andreas.mueller@ost.ch>
Date: Mon, 27 Jun 2022 21:19:31 +0200
Subject: some improvements in tables

---
 buch/chapters/110-elliptisch/ellintegral.tex | 2 ++
 1 file changed, 2 insertions(+)

(limited to 'buch/chapters/110-elliptisch/ellintegral.tex')

diff --git a/buch/chapters/110-elliptisch/ellintegral.tex b/buch/chapters/110-elliptisch/ellintegral.tex
index cc99218..27724fd 100644
--- a/buch/chapters/110-elliptisch/ellintegral.tex
+++ b/buch/chapters/110-elliptisch/ellintegral.tex
@@ -478,6 +478,8 @@ für letztere ebenfalls sehr schnelle numerische Algorithmen liefert
 Aufgaben~\ref{buch:elliptisch:aufgabe:2}--\ref{buch:elliptisch:aufgabe:4}).
 Sie kann auch verwendet werden, um die Werte der Jacobischen elliptischen
 Funktionen für komplexe Argument zu berechnen.
+Eine weiter Anwendung ist die Berechnung einer grossen Zahl von 
+Stellen der Kreiszahl $\pi$, siehe Aufgaben~\ref{buch:elliptisch:aufgabe:5}.
 
 %
 % Das arithmetisch-geometrische Mittel
-- 
cgit v1.2.1


From b751d10130f923c1399a9eca58cfeb62c3a7a0e2 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: =?UTF-8?q?Andreas=20M=C3=BCller?= <andreas.mueller@ost.ch>
Date: Tue, 28 Jun 2022 07:27:57 +0200
Subject: cleanup

---
 buch/chapters/110-elliptisch/ellintegral.tex | 6 ++++--
 1 file changed, 4 insertions(+), 2 deletions(-)

(limited to 'buch/chapters/110-elliptisch/ellintegral.tex')

diff --git a/buch/chapters/110-elliptisch/ellintegral.tex b/buch/chapters/110-elliptisch/ellintegral.tex
index 27724fd..6dd1ef6 100644
--- a/buch/chapters/110-elliptisch/ellintegral.tex
+++ b/buch/chapters/110-elliptisch/ellintegral.tex
@@ -1113,7 +1113,8 @@ fest.
 %
 % AGM und Berechnung von F(x,k)
 %
-\subsubsection{Berechnung von $F(x,k)$ mit dem arithmetisch-geometrischen Mittel\label{buch:elliptisch:subsubection:berechnung-fxk-agm}}
+\subsubsection{Berechnung von $F(x,k)$ mit dem arithmetisch-geometrischen
+Mittel\label{buch:elliptisch:subsubection:berechnung-fxk-agm}}
 Wie das vollständige elliptische Integral $K(k)$ kann auch das  
 unvollständige elliptische Integral
 \begin{align*}
@@ -1123,11 +1124,12 @@ F(x,k)
 =
 \int_0^{\varphi}
 \frac{dt}{\sqrt{1-k^2 \sin^2 t}}
+&&\text{mit $x=\sin\varphi$}
 \\
 &=
 a
 \int_0^{\varphi} \frac{dt}{a^2 \cos^2 t + b^2 \sin^2 t}
-\qquad\text{mit $k=b/a$}
+&&\text{mit $k=b/a$}
 \end{align*}
 mit dem arithmetisch-geometrischen Mittel berechnet werden.
 Dazu muss die Substitution
-- 
cgit v1.2.1


From 9fd9ca9c2071b0911f08d434aa0fa722d7037640 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: =?UTF-8?q?Andreas=20M=C3=BCller?= <andreas.mueller@ost.ch>
Date: Tue, 28 Jun 2022 07:29:32 +0200
Subject: Formulierung

---
 buch/chapters/110-elliptisch/ellintegral.tex | 4 ++--
 1 file changed, 2 insertions(+), 2 deletions(-)

(limited to 'buch/chapters/110-elliptisch/ellintegral.tex')

diff --git a/buch/chapters/110-elliptisch/ellintegral.tex b/buch/chapters/110-elliptisch/ellintegral.tex
index 6dd1ef6..f509fcb 100644
--- a/buch/chapters/110-elliptisch/ellintegral.tex
+++ b/buch/chapters/110-elliptisch/ellintegral.tex
@@ -1135,8 +1135,8 @@ mit dem arithmetisch-geometrischen Mittel berechnet werden.
 Dazu muss die Substitution
 \eqref{buch:elliptisch:agm:subst}
 verwendet werden, um auch den Winkel $\varphi_1$ zu berechnen.
-Dazu muss \eqref{buch:elliptisch:agm:subst} nach $x_1=\sin t_1$ 
-aufgelöst werden.
+Zunächst wird \eqref{buch:elliptisch:agm:subst} nach $x_1=\sin t_1$ 
+aufgelöst.
 Durch Multiplikation mit dem Nenner erhält man mit der Abkürzung
 $x=\sin t$ und $x_1=\sin t_1$  die quadratische Gleichung
 \[
-- 
cgit v1.2.1


From 971770c50241f483ba0f880dc6fafdd3f91d4983 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: =?UTF-8?q?Andreas=20M=C3=BCller?= <andreas.mueller@ost.ch>
Date: Tue, 28 Jun 2022 07:56:22 +0200
Subject: typos

---
 buch/chapters/110-elliptisch/ellintegral.tex | 6 ++++--
 1 file changed, 4 insertions(+), 2 deletions(-)

(limited to 'buch/chapters/110-elliptisch/ellintegral.tex')

diff --git a/buch/chapters/110-elliptisch/ellintegral.tex b/buch/chapters/110-elliptisch/ellintegral.tex
index f509fcb..25f7083 100644
--- a/buch/chapters/110-elliptisch/ellintegral.tex
+++ b/buch/chapters/110-elliptisch/ellintegral.tex
@@ -1138,11 +1138,13 @@ verwendet werden, um auch den Winkel $\varphi_1$ zu berechnen.
 Zunächst wird \eqref{buch:elliptisch:agm:subst} nach $x_1=\sin t_1$ 
 aufgelöst.
 Durch Multiplikation mit dem Nenner erhält man mit der Abkürzung
-$x=\sin t$ und $x_1=\sin t_1$  die quadratische Gleichung
+$x=\sin t$ %und $x_1=\sin t_1$
+die quadratische Gleichung
 \[
-(a-b)x x_1
+(a-b)x x_1^2
 -
 2ax_1
++
 (a+b)x 
 =
 0,
-- 
cgit v1.2.1


From 931871e8c8e9b266b9b626d816a803bbd2c56653 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: =?UTF-8?q?Andreas=20M=C3=BCller?= <andreas.mueller@ost.ch>
Date: Fri, 1 Jul 2022 20:55:53 +0200
Subject: more index stuff

---
 buch/chapters/110-elliptisch/ellintegral.tex | 7 ++++++-
 1 file changed, 6 insertions(+), 1 deletion(-)

(limited to 'buch/chapters/110-elliptisch/ellintegral.tex')

diff --git a/buch/chapters/110-elliptisch/ellintegral.tex b/buch/chapters/110-elliptisch/ellintegral.tex
index 25f7083..466aeb7 100644
--- a/buch/chapters/110-elliptisch/ellintegral.tex
+++ b/buch/chapters/110-elliptisch/ellintegral.tex
@@ -179,6 +179,7 @@ Da im Integral nur $k^2$ auftaucht, wird sich $K(k)$ als
 hypergeometrische Funktion von $k^2$ ausdrücken lassen.
 
 \begin{satz}
+\index{Satz!vollständiges elliptisches Integral als hypergeometrische Funktion}%
 \label{buch:elliptisch:satz:hyperK}
 Das vollständige elliptische Integral $K(k)$ lässt sich durch die
 hypergeometrische Funktion $\mathstrut_2F_1$ als
@@ -430,7 +431,7 @@ Für $\varepsilon=1$ ist $a=0$, es entsteht eine Strecke mit Länge $E(1)=1$.
 
 \begin{satz}
 \label{buch:elliptisch:satz:hyperE}
-Das volständige elliptische Integral $E(k)$ ist
+Das vollständige elliptische Integral $E(k)$ ist
 \[
 E(k)
 =
@@ -496,6 +497,7 @@ b_0&=b &&\text{und}& b_{n+1} &= \sqrt{a_nb_n}   &&\text{geometrisches Mittel}
 definiert sind.
 
 \begin{satz}
+\index{Satz!arithmetisch-geometrisches Mittel}%
 Falls $a>b>0$ ist, nimmt die Folge $(a_k)_{k\ge 0}$ monoton ab und
 $(b_k)_{k\ge 0}$ nimmt monoton zu.
 Beide konvergieren quadratisch gegen einen gemeinsamen Grenzwert.
@@ -636,6 +638,7 @@ mit einem Computer-Algebra-System ausführen lässt finden, dass
 tatsächlich korrekt ist.
 
 \begin{satz}
+\index{Satz!Gauss-Integrale}%
 \label{buch:elliptisch:agm:integrale}
 Für $a_1=(a+b)/2$ und $b_1=\sqrt{ab}$ gilt
 \[
@@ -653,6 +656,7 @@ Dies gilt natürlich für alle Glieder der Folge zur Bestimmung des
 arithmetisch-geometrischen Mittels.
 
 \begin{satz}
+\index{Satz!Iab@$I(a,b)$ und arithmetisch geometrisches Mittel}%
 Für $a\ge b>0$ gilt
 \begin{equation}
 I(a,b)
@@ -719,6 +723,7 @@ k=\sqrt{1-k^{\prime 2}}
 \end{align*}
 
 \begin{satz}
+\index{Satz!vollständige elliptische Integrale und arithmetisch-geometrisches Mittel}%
 \label{buch:elliptisch:agm:satz:Ek}
 Für $0<k\le 1$ ist
 \[
-- 
cgit v1.2.1

