From e69e3df9a1e10de9e3122d694da2e923dad711a2 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: =?UTF-8?q?Andreas=20M=C3=BCller?= Date: Tue, 5 Jul 2022 18:04:48 +0200 Subject: elliptic stuff complete --- buch/chapters/110-elliptisch/elltrigo.tex | 63 +++++++++++++++++++++++++++++-- 1 file changed, 59 insertions(+), 4 deletions(-) (limited to 'buch/chapters/110-elliptisch/elltrigo.tex') diff --git a/buch/chapters/110-elliptisch/elltrigo.tex b/buch/chapters/110-elliptisch/elltrigo.tex index 0ff9cdb..49e6686 100644 --- a/buch/chapters/110-elliptisch/elltrigo.tex +++ b/buch/chapters/110-elliptisch/elltrigo.tex @@ -27,6 +27,11 @@ Funktionen $\operatorname{sn}(u,k)$, $\operatorname{cn}(u,k)$ und $\operatorname{dn}(u,k)$, die ähnliche Eigenschaften haben wie die trigonometrischen Funktionen. +Die nachstehende Darstellung ist stark inspiriert von William Schwalms +sehr zielorientierten Einführung +\cite{buch:schwalm}, welche auch als Youtube-Videovorlesung +\cite{buch:schwalm-youtube} zur Verfügung steht. + % % Geometrie einer Ellipse % @@ -1012,10 +1017,60 @@ finden. Man beachte, dass in jeder Identität alle Funktionen den gleichen zweiten Buchstaben haben. -\subsubsection{TODO} -XXX algebraische Beziehungen \\ -XXX Additionstheoreme \\ -XXX Perioden +\subsubsection{Weitere Beziehungen} +Für die Jacobischen elliptischen Funktionen lässt sich eine grosse +Zahl weiterer Eigenschaften und Identitäten beweisen. +Zum Beispiel gibt es Aditionstheoreme, die im Grenzfall $k\to 0$ zu +den Additionstheoremen für die trigonometrischen Funktionen werden. +\index{Additionstheorem}% +Ebenso kann man weitere algebraische Identitäten finden. +So lässt sich zum Beispiel die einzige reelle Nullstelle von $x^5+x=w$ +mit Jacobischen elliptischen Funktionen darstellen, während es +nicht möglich ist, diese Lösung als Wurzelausdruck zu schreiben. + +Die Jacobischen elliptischen Funktionen lassen sich statt auf dem +hier gewählten trigonometrischen Weg auch mit Hilfe der Jacobischen +Theta-Funktionen definieren, die Lösungen einer Wärmeleitungsgleichung +\index{Theta-Funktionen}% +\index{Wärmeleitungs-Gleichung}% +mit geeigneten Randbedingungen sind. +Diese Vorgehensweise hat den Vorteil, ziemlich direkt zu +Reihen- und Produktentwicklungen für die Funktionen zu führen. +Auch die Additionstheorem ergeben sich vergleichsweise leicht. +Dieser Zugang zu den Jacobischen elliptischen Funktionen wird in der +Standardreferenz~\cite{buch:ellfun-applications} gewählt. + +Bei anderen speziellen Funktionen waren Reihenentwicklungen ein +wichtiges Hilfsmittel zu deren numerischer Berechnung. +Bei den Jacobischen elliptischen Funktionen ist diese Methode +nicht zielführend. +Im Abschnitt~\ref{buch:elliptisch:subsection:differentialgleichungen} +wird gezeigt, dass Jacobische elliptische Funktionen gewisse nichtlineare +Differentialgleichungen zu lösen ermöglichen. +Dies zeigt auch, dass Jacobischen elliptischen Funktionen +Umkehrfunktionen der elliptischen Integrale sind, die in +Abschnitt~\ref{buch:elliptisch:subsection:agm} mit dem +arithmetisch-geometrischen Mittel berechnet wurden. +Die dort angetroffenen numerischen Schwierigkeiten treten bei der +Berechnung der Umkehrfunktion jedoch nicht auf. + +Die grundlegende Mechanik dieser Berechnungsmethode wird auf +Seite~\pageref{buch:elliptisch:jacobi:agm} dargestellt und +und in den Übungsaufgaben +\ref{buch:elliptisch:aufgabe:2} bis \ref{buch:elliptisch:aufgabe:5} +etwas näher untersucht wird. + +Aus der Theorie das arithmetisch-geometrischen Mittels lässt sich +die sogenannte Landen-Trans\-formation herleiten. +\index{Landen-Transformation}% +Sie stellt eine Verbindung zwischen +den Werten der elliptischen Funktionen zu verschiedenen Moduli $k$ her. +Sie ist die Basis aller effizienten Berechnungsmethoden. + + +% algebraische Beziehungen \\ +% Additionstheoreme \\ +% Perioden % use https://math.stackexchange.com/questions/3013692/how-to-show-that-jacobi-sine-function-is-doubly-periodic -- cgit v1.2.1