From e1b65ea3e46bf60fec0d6503b701a84f68138a24 Mon Sep 17 00:00:00 2001
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Date: Thu, 21 Apr 2022 22:36:54 +0200
Subject: add lecture notes for session 5

---
 buch/chapters/110-elliptisch/jacobi.tex | 1738 -------------------------------
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+++ b/buch/chapters/110-elliptisch/jacobi.tex
@@ -22,1743 +22,5 @@ dann muss man die Umkehrfunktionen der elliptischen Integrale dafür ins
 Auge fassen.
 
 
-%%
-%% elliptische Funktionen als Trigonometrie
-%%
-%\subsection{Elliptische Funktionen als Trigonometrie}
-%\begin{figure}
-%\centering
-%\includegraphics{chapters/110-elliptisch/images/ellipse.pdf}
-%\caption{Kreis und Ellipse zum Vergleich und zur Herleitung der 
-%elliptischen Funktionen von Jacobi als ``trigonometrische'' Funktionen
-%auf einer Ellipse.
-%\label{buch:elliptisch:fig:ellipse}}
-%\end{figure}
-%% based on Willliam Schwalm, Elliptic functions and elliptic integrals
-%% https://youtu.be/DCXItCajCyo
-%
-%%
-%% Geometrie einer Ellipse
-%%
-%\subsubsection{Geometrie einer Ellipse}
-%Eine {\em Ellipse} ist die Menge der Punkte der Ebene, für die die Summe
-%\index{Ellipse}%
-%der Entfernungen von zwei festen Punkten $F_1$ und $F_2$,
-%den {\em Brennpunkten}, konstant ist.
-%\index{Brennpunkt}%
-%In Abbildung~\ref{buch:elliptisch:fig:ellipse} eine Ellipse
-%mit Brennpunkten in $F_1=(-e,0)$ und $F_2=(e,0)$ dargestellt,
-%die durch die Punkte $(\pm a,0)$ und $(0,\pm b)$ auf den Achsen geht.
-%Der Punkt $(a,0)$ hat die Entfernungen $a+e$ und $a-e$ von den beiden
-%Brennpunkten, also die Entfernungssumme $a+e+a-e=2a$.
-%Jeder andere Punkt auf der Ellipse muss ebenfalls diese Entfernungssumme
-%haben, insbesondere auch der Punkt $(0,b)$.
-%Seine Entfernung zu jedem Brennpunkt muss aus Symmetriegründen gleich gross,
-%also $a$ sein.
-%Aus dem Satz von Pythagoras liest man daher ab, dass
-%\[
-%b^2+e^2=a^2
-%\qquad\Rightarrow\qquad
-%e^2 = a^2-b^2
-%\]
-%sein muss.
-%Die Strecke $e$ heisst auch {\em (lineare) Exzentrizität} der Ellipse.
-%Das Verhältnis $\varepsilon= e/a$  heisst die {\em numerische Exzentrizität}
-%der Ellipse.
-%
-%%
-%% Die Ellipsengleichung
-%%
-%\subsubsection{Ellipsengleichung}
-%Der Punkt $P=(x,y)$ auf der Ellipse hat die Entfernungen
-%\begin{equation}
-%\begin{aligned}
-%\overline{PF_1}^2
-%&=
-%y^2 + (x+e)^2
-%\\
-%\overline{PF_2}^2
-%&=
-%y^2 + (x-e)^2
-%\end{aligned}
-%\label{buch:elliptisch:eqn:wurzelausdruecke}
-%\end{equation}
-%von den Brennpunkten, für die 
-%\begin{equation}
-%\overline{PF_1}+\overline{PF_2}
-%=
-%2a
-%\label{buch:elliptisch:eqn:pf1pf2a}
-%\end{equation}
-%gelten muss.
-%Man kann nachrechnen, dass ein Punkt $P$, der die Gleichung
-%\[
-%\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2}=1
-%\]
-%erfüllt, auch die Eigenschaft~\eqref{buch:elliptisch:eqn:pf1pf2a}
-%erfüllt.
-%Zur Vereinfachung setzen wir $l_1=\overline{PF_1}$ und $l_2=\overline{PF_2}$.
-%$l_1$ und $l_2$ sind Wurzeln aus der rechten Seite von
-%\eqref{buch:elliptisch:eqn:wurzelausdruecke}.
-%Das Quadrat von $l_1+l_2$ ist
-%\[
-%l_1^2 + 2l_1l_2 + l_2^2 = 4a^2.
-%\]
-%Um die Wurzeln ganz zu eliminieren, bringt man das Produkt $l_1l_2$ alleine
-%auf die rechte Seite und quadriert.
-%Man muss also verifizieren, dass
-%\[
-%(l_1^2 + l_2^2 -4a^2)^2 = 4l_1^2l_2^2.
-%\]
-%In den entstehenden Ausdrücken muss man ausserdem $e=\sqrt{a^2-b^2}$ und
-%\[
-%y=b\sqrt{1-\frac{x^2}{a^2}}
-%\]
-%substituieren.
-%Diese Rechnung führt man am einfachsten mit Hilfe eines
-%Computeralgebraprogramms durch, welches obige Behauptung bestätigt.
-%
-%%
-%% Normierung
-%%
-%\subsubsection{Normierung}
-%Die trigonometrischen Funktionen sind definiert als Verhältnisse 
-%von Seiten rechtwinkliger Dreiecke.
-%Dadurch, dass man den die Hypothenuse auf Länge $1$ normiert, 
-%kann man die Sinus- und Kosinus-Funktion als Koordinaten eines
-%Punktes auf dem Einheitskreis interpretieren.
-%
-%Für die Koordinaten eines Punktes auf der Ellipse ist dies nicht so einfach,
-%weil es nicht nur eine Ellipse gibt, sondern für jede numerische Exzentrizität
-%mindestens eine mit Halbeachse $1$.
-%Wir wählen die Ellipsen so, dass $a$ die grosse Halbachse ist, also $a>b$.
-%Als Normierungsbedingung verwenden wir, dass $b=1$ sein soll, wie in
-%Abbildung~\ref{buch:elliptisch:fig:jacobidef}.
-%Dann ist $a=1/\varepsilon>1$.
-%In dieser Normierung haben Punkte $(x,y)$ auf der Ellipse $y$-Koordinaten
-%zwischen $-1$ und $1$ und $x$-Koordinaten zwischen $-a$ und $a$.
-%
-%Im Zusammenhang mit elliptischen Funktionen wird die numerische Exzentrizität
-%$\varepsilon$ auch mit
-%\[
-%k
-%=
-%\varepsilon
-%=
-%\frac{e}{a}
-%=
-%\frac{\sqrt{a^2-b^2}}{a}
-%=
-%\frac{\sqrt{a^2-1}}{a},
-%\]
-%die Zahl $k$ heisst auch der {\em Modulus}.
-%Man kann $a$ auch durch $k$ ausdrücken, durch Quadrieren und Umstellen
-%findet man
-%\[
-%k^2a^2 = a^2-1
-%\quad\Rightarrow\quad
-%1=a^2(k^2-1)
-%\quad\Rightarrow\quad
-%a=\frac{1}{\sqrt{k^2-1}}.
-%\]
-%
-%Die Gleichung der ``Einheitsellipse'' zu diesem Modulus ist
-%\[
-%\frac{x^2}{a^2}+y^2=1
-%\qquad\text{oder}\qquad
-%x^2(k^2-1) + y^2 = 1.
-%\]
-%
-%%
-%% Definition der elliptischen Funktionen
-%%
-%\begin{figure}
-%\centering
-%\includegraphics{chapters/110-elliptisch/images/jacobidef.pdf}
-%\caption{Definition der elliptischen Funktionen als Trigonometrie
-%an einer Ellipse mit Halbachsen $a$ und $1$.
-%\label{buch:elliptisch:fig:jacobidef}}
-%\end{figure}
-%\subsubsection{Definition der elliptischen Funktionen}
-%Die elliptischen Funktionen für einen Punkt $P$ auf der Ellipse mit Modulus $k$
-%können jetzt als Verhältnisse der Koordinaten des Punktes definieren.
-%Es stellt sich aber die Frage, was man als Argument verwenden soll.
-%Es soll so etwas wie den Winkel $\varphi$ zwischen der $x$-Achse und dem
-%Radiusvektor zum Punkt $P$
-%darstellen, aber wir haben hier noch eine Wahlfreiheit, die wir später
-%ausnützen möchten.
-%Im Moment müssen wir die Frage noch nicht beantworten und nennen das
-%noch unbestimmte Argument $u$.
-%Wir kümmern uns später um die Frage, wie $u$ von $\varphi$ abhängt.
-%
-%Die Funktionen, die wir definieren wollen, hängen ausserdem auch 
-%vom Modulus ab.
-%Falls der verwendete Modulus aus dem Zusammenhang klar ist, lassen
-%wir das $k$-Argument weg.
-%
-%Die Punkte auf dem Einheitskreis haben alle den gleichen Abstand vom
-%Nullpunkt, dies ist gleichzeitig die definierende Gleichung $r^2=x^2+y^2=1$
-%des Kreises.
-%Die Punkte auf der Ellipse erfüllen die Gleichung $x^2/a^2+y^2=1$,
-%die Entfernung der Punkte $r=\sqrt{x^2+y^2}$ vom Nullpunkt variert aber.
-%
-%In Analogie zu den trigonometrischen Funktionen setzen wir jetzt für 
-%die Funktionen
-%\[
-%\begin{aligned}
-%&\text{sinus amplitudinis:}&
-%{\color{red}\operatorname{sn}(u,k)}&= y \\
-%&\text{cosinus amplitudinis:}&
-%{\color{blue}\operatorname{cn}(u,k)}&= \frac{x}{a} \\
-%&\text{delta amplitudinis:}&
-%{\color{darkgreen}\operatorname{dn}(u,k)}&=\frac{r}{a},
-%\end{aligned}
-%\]
-%die auch in Abbildung~\ref{buch:elliptisch:fig:jacobidef}
-%dargestellt sind.
-%Aus der Gleichung der Ellipse folgt sofort, dass
-%\[
-%\operatorname{sn}(u,k)^2 + \operatorname{cn}(u,k)^2 = 1
-%\]
-%ist.
-%Der Satz von Pythagoras kann verwendet werden, um die Entfernung zu
-%berechnen, also gilt
-%\begin{equation}
-%r^2
-%=
-%a^2 \operatorname{dn}(u,k)^2
-%=
-%x^2 + y^2
-%=
-%a^2\operatorname{cn}(u,k)^2 + \operatorname{sn}(u,k)^2
-%\quad
-%\Rightarrow
-%\quad
-%a^2 \operatorname{dn}(u,k)^2
-%=
-%a^2\operatorname{cn}(u,k)^2 + \operatorname{sn}(u,k)^2.
-%\label{buch:elliptisch:eqn:sncndnrelation}
-%\end{equation}
-%Ersetzt man
-%$
-%a^2\operatorname{cn}(u,k)^2
-%=
-%a^2-a^2\operatorname{sn}(u,k)^2
-%$, ergibt sich
-%\[
-%a^2 \operatorname{dn}(u,k)^2
-%=
-%a^2-a^2\operatorname{sn}(u,k)^2
-%+
-%\operatorname{sn}(u,k)^2
-%\quad
-%\Rightarrow
-%\quad
-%\operatorname{dn}(u,k)^2
-%+
-%\frac{a^2-1}{a^2}\operatorname{sn}(u,k)^2
-%=
-%1,
-%\]
-%woraus sich die Identität
-%\[
-%\operatorname{dn}(u,k)^2 + k^2 \operatorname{sn}(u,k)^2 = 1
-%\]
-%ergibt.
-%Ebenso kann man aus~\eqref{buch:elliptisch:eqn:sncndnrelation}
-%die Funktion $\operatorname{cn}(u,k)$ eliminieren, was auf
-%\[
-%a^2\operatorname{dn}(u,k)^2
-%=
-%a^2\operatorname{cn}(u,k)^2
-%+1-\operatorname{cn}(u,k)^2
-%=
-%(a^2-1)\operatorname{cn}(u,k)^2
-%+1.
-%\]
-%Nach Division durch $a^2$ ergibt sich
-%\begin{align*}
-%\operatorname{dn}(u,k)^2
-%-
-%k^2\operatorname{cn}(u,k)^2
-%&=
-%\frac{1}{a^2}
-%=
-%\frac{a^2-a^2+1}{a^2}
-%=
-%1-k^2 =: k^{\prime 2}.
-%\end{align*}
-%Wir stellen die hiermit gefundenen Relationen zwischen den grundlegenden
-%Jacobischen elliptischen Funktionen für später zusammen in den Formeln
-%\begin{equation}
-%\begin{aligned}
-%\operatorname{sn}^2(u,k)
-%+
-%\operatorname{cn}^2(u,k)
-%&=
-%1
-%\\
-%\operatorname{dn}^2(u,k) + k^2\operatorname{sn}^2(u,k)
-%&=
-%1
-%\\
-%\operatorname{dn}^2(u,k)  -k^2\operatorname{cn}^2(u,k)
-%&=
-%k^{\prime 2}.
-%\end{aligned}
-%\label{buch:elliptisch:eqn:jacobi-relationen}
-%\end{equation}
-%zusammen.
-%So wie es möglich ist, $\sin\alpha$ durch $\cos\alpha$ auszudrücken,
-%ist es mit
-%\eqref{buch:elliptisch:eqn:jacobi-relationen}
-%jetzt auch möglich jede grundlegende elliptische Funktion durch
-%jede anderen auszudrücken.
-%Die Resultate sind in der Tabelle~\ref{buch:elliptisch:fig:jacobi-relationen}
-%zusammengestellt.
-%
-%\begin{table}
-%\centering
-%\renewcommand{\arraystretch}{2.1}
-%\begin{tabular}{|>{$\displaystyle}c<{$}|>{$\displaystyle}c<{$}>{$\displaystyle}c<{$}>{$\displaystyle}c<{$}|}
-%\hline
-%&\operatorname{sn}(u,k)
-%&\operatorname{cn}(u,k)
-%&\operatorname{dn}(u,k)\\
-%\hline
-%\operatorname{sn}(u,k)
-%&\operatorname{sn}(u,k)
-%&\sqrt{1-\operatorname{cn}^2(u,k)}
-%&\frac1k\sqrt{1-\operatorname{dn}^2(u,k)}
-%\\
-%\operatorname{cn}(u,k)
-%&\sqrt{1-\operatorname{sn}^2(u,k)}
-%&\operatorname{cn}(u,k)
-%&\frac{1}{k}\sqrt{\operatorname{dn}^2(u,k)-k^{\prime2}}
-%\\
-%\operatorname{dn}(u,k)
-%&\sqrt{1-k^2\operatorname{sn}^2(u,k)}
-%&\sqrt{k^{\prime2}+k^2\operatorname{cn}^2(u,k)}
-%&\operatorname{dn}(u,k)
-%\\
-%\hline
-%\end{tabular}
-%\caption{Jede der Jacobischen elliptischen Funktionen lässt sich
-%unter Verwendung der Relationen~\eqref{buch:elliptisch:eqn:jacobi-relationen}
-%durch jede andere ausdrücken.
-%\label{buch:elliptisch:fig:jacobi-relationen}}
-%\end{table}
-%
-%%
-%% Ableitungen der Jacobi-ellpitischen Funktionen
-%% 
-%\subsubsection{Ableitung}
-%Die trigonometrischen Funktionen sind deshalb so besonders nützlich 
-%für die Lösung von Schwingungsdifferentialgleichungen, weil sie die
-%Beziehungen
-%\[
-%\frac{d}{d\varphi}  \cos\varphi = -\sin\varphi
-%\qquad\text{und}\qquad
-%\frac{d}{d\varphi}  \sin\varphi = \cos\varphi
-%\]
-%erfüllen.
-%So einfach können die Beziehungen natürlich nicht sein, sonst würde sich
-%durch Integration ja wieder nur die trigonometrischen Funktionen ergeben.
-%Durch geschickte Wahl des Arguments $u$ kann man aber erreichen, dass
-%sie ähnlich nützliche Beziehungen zwischen den Ableitungen ergeben.
-%
-%Gesucht ist jetzt also eine Wahl für das Argument $u$ zum Beispiel in
-%Abhängigkeit von $\varphi$, dass sich einfache und nützliche
-%Ableitungsformeln ergeben.
-%Wir setzen daher $u(\varphi)$ voraus und beachten, dass $x$ und $y$
-%ebenfalls von $\varphi$ abhängen, es ist
-%$y=\sin\varphi$ und $x=a\cos\varphi$.
-%Die Ableitungen von $x$ und $y$ nach $\varphi$ sind
-%\begin{align*}
-%\frac{dy}{d\varphi}
-%&=
-%\cos\varphi
-%=
-%\frac{1}{a} x
-%=
-%\operatorname{cn}(u,k)
-%\\
-%\frac{dx}{d\varphi}
-%&=
-%-a\sin\varphi
-%=
-%-a y
-%=
-%-a\operatorname{sn}(u,k).
-%\end{align*}
-%Daraus kann man jetzt die folgenden Ausdrücke für die Ableitungen der
-%elliptischen Funktionen nach $\varphi$ ableiten:
-%\begin{align*}
-%\frac{d}{d\varphi} \operatorname{sn}(u,z)
-%&=
-%\frac{d}{d\varphi} y(\varphi)
-%=
-%\cos\varphi
-%=
-%\frac{x}{a}
-%=
-%\operatorname{cn}(u,k)
-%&&\Rightarrow&
-%\frac{d}{du}
-%\operatorname{sn}(u,k)
-%&=
-%\operatorname{cn}(u,k) \frac{d\varphi}{du}
-%\\
-%\frac{d}{d\varphi} \operatorname{cn}(u,z)
-%&=
-%\frac{d}{d\varphi} \frac{x(\varphi)}{a}
-%=
-%-\sin\varphi
-%=
-%-\operatorname{sn}(u,k)
-%&&\Rightarrow&
-%\frac{d}{du}\operatorname{cn}(u,k)
-%&=
-%-\operatorname{sn}(u,k) \frac{d\varphi}{du}
-%\\
-%\frac{d}{d\varphi} \operatorname{dn}(u,z)
-%&=
-%\frac{1}{a}\frac{dr}{d\varphi}
-%=
-%\frac{1}{a}\frac{d\sqrt{x^2+y^2}}{d\varphi}
-%%\\
-%%&
-%\rlap{$\displaystyle\mathstrut
-%=
-%\frac{x}{ar} \frac{dx}{d\varphi}
-%+
-%\frac{y}{ar} \frac{dy}{d\varphi}
-%%\\
-%%&
-%=
-%\frac{x}{ar} (-a\operatorname{sn}(u,k))
-%+
-%\frac{y}{ar} \operatorname{cn}(u,k)
-%$}
-%\\
-%&
-%\rlap{$\displaystyle\mathstrut
-%=
-%\frac{x}{ar}(-ay)
-%+
-%\frac{y}{ar} \frac{x}{a}
-%%\rlap{$\displaystyle
-%=
-%\frac{xy(-1+\frac{1}{a^2})}{r} 
-%%$}
-%%\\
-%%&
-%=
-%-\frac{xy(a^2-1)}{a^2r} 
-%$}
-%\\
-%&=
-%-\frac{a^2-1}{ar}
-%\operatorname{cn}(u,k) \operatorname{sn}(u,k)
-%%\\
-%%&
-%\rlap{$\displaystyle\mathstrut
-%=
-%-k^2
-%\frac{a}{r}
-%\operatorname{cn}(u,k) \operatorname{sn}(u,k)
-%$}
-%\\
-%&=
-%-k^2\frac{\operatorname{cn}(u,k)\operatorname{sn}(u,k)}{\operatorname{dn}(u,k)}
-%&&\Rightarrow&
-%\frac{d}{du} \operatorname{dn}(u,k)
-%&=
-%-k^2\frac{\operatorname{cn}(u,k)
-%\operatorname{sn}(u,k)}{\operatorname{dn}(u,k)}
-%\frac{d\varphi}{du}.
-%\end{align*}
-%Die einfachsten Beziehungen ergeben sich offenbar, wenn man $u$ so
-%wählt, dass
-%\[
-%\frac{d\varphi}{du}
-%=
-%\operatorname{dn}(u,k)
-%=
-%\frac{r}{a}.
-%\]
-%Damit haben wir die grundlegenden Ableitungsregeln
-%
-%\begin{satz}
-%\label{buch:elliptisch:satz:ableitungen}
-%Die Jacobischen elliptischen Funktionen haben die Ableitungen
-%\begin{equation}
-%\begin{aligned}
-%\frac{d}{du}\operatorname{sn}(u,k)
-%&=
-%\phantom{-}\operatorname{cn}(u,k)\operatorname{dn}(u,k)
-%\\
-%\frac{d}{du}\operatorname{cn}(u,k)
-%&=
-%-\operatorname{sn}(u,k)\operatorname{dn}(u,k)
-%\\
-%\frac{d}{du}\operatorname{dn}(u,k)
-%&=
-%-k^2\operatorname{sn}(u,k)\operatorname{cn}(u,k).
-%\end{aligned}
-%\label{buch:elliptisch:eqn:ableitungsregeln}
-%\end{equation}
-%\end{satz}
-%
-%%
-%% Der Grenzfall $k=1$
-%%
-%\subsubsection{Der Grenzwert $k\to1$}
-%\begin{figure}
-%\centering
-%\includegraphics{chapters/110-elliptisch/images/sncnlimit.pdf}
-%\caption{Grenzfälle der Jacobischen elliptischen Funktionen 
-%für die Werte $0$ und $1$ des Parameters $k$.
-%\label{buch:elliptisch:fig:sncnlimit}}
-%\end{figure}
-%Für $k=1$ ist $k^{\prime2}=1-k^2=$ und es folgt aus den
-%Relationen~\eqref{buch:elliptisch:eqn:jacobi-relationen}
-%\[
-%\operatorname{cn}^2(u,k)
-%-
-%k^2
-%\operatorname{dn}^2(u,k)
-%=
-%k^{\prime2}
-%=
-%0
-%\qquad\Rightarrow\qquad
-%\operatorname{cn}^2(u,1)
-%=
-%\operatorname{dn}^2(u,1),
-%\]
-%die beiden Funktionen
-%$\operatorname{cn}(u,k)$
-%und
-%$\operatorname{dn}(u,k)$
-%fallen also zusammen.
-%Die Ableitungsregeln werden dadurch vereinfacht:
-%\begin{align*}
-%\operatorname{sn}'(u,1)
-%&=
-%\operatorname{cn}(u,1)
-%\operatorname{dn}(u,1)
-%=
-%\operatorname{cn}^2(u,1)
-%=
-%1-\operatorname{sn}^2(u,1)
-%&&\Rightarrow& y'&=1-y^2
-%\\
-%\operatorname{cn}'(u,1)
-%&=
-%-
-%\operatorname{sn}(u,1)
-%\operatorname{dn}(u,1)
-%=
-%-
-%\operatorname{sn}(u,1)\operatorname{cn}(u,1)
-%&&\Rightarrow&
-%\frac{z'}{z}&=(\log z)' = -y
-%\end{align*}
-%Die erste Differentialgleichung für $y$ lässt sich separieren, man findet
-%die Lösung
-%\[
-%\frac{y'}{1-y^2}
-%=
-%1
-%\quad\Rightarrow\quad
-%\int \frac{dy}{1-y^2} = \int \,du
-%\quad\Rightarrow\quad
-%\operatorname{artanh}(y) = u
-%\quad\Rightarrow\quad
-%\operatorname{sn}(u,1)=\tanh u.
-%\]
-%Damit kann man jetzt auch $z$ berechnen:
-%\begin{align*}
-%(\log \operatorname{cn}(u,1))'
-%&=
-%\tanh u
-%&&\Rightarrow&
-%\log\operatorname{cn}(u,1)
-%&=
-%-\int\tanh u\,du
-%=
-%-\log\cosh u
-%\\
-%&
-%&&\Rightarrow&
-%\operatorname{cn}(u,1)
-%&=
-%\frac{1}{\cosh u}
-%=
-%\operatorname{sech}u.
-%\end{align*}
-%Die Grenzfunktionen sind in Abbildung~\ref{buch:elliptisch:fig:sncnlimit}
-%dargestellt.
-%
-%%
-%% Das Argument u
-%%
-%\subsubsection{Das Argument $u$}
-%Die Gleichung 
-%\begin{equation}
-%\frac{d\varphi}{du}
-%=
-%\operatorname{dn}(u,k)
-%\label{buch:elliptisch:eqn:uableitung}
-%\end{equation}
-%ermöglicht, $\varphi$ in Abhängigkeit von $u$ zu berechnen, ohne jedoch
-%die geometrische Bedeutung zu klären.
-%Das beginnt bereits damit, dass der Winkel $\varphi$ nicht nicht der
-%Polarwinkel des Punktes $P$ in Abbildung~\ref{buch:elliptisch:fig:jacobidef}
-%ist, diesen nennen wir $\vartheta$.
-%Der Zusammenhang zwischen $\varphi$ und $\vartheta$ ist
-%\begin{equation}
-%\frac1{a}\tan\varphi = \tan\vartheta
-%\label{buch:elliptisch:eqn:phitheta}
-%\end{equation}
-%
-%Um die geometrische Bedeutung besser zu verstehen, nehmen wir jetzt an,
-%dass die Ellipse mit einem Parameter $t$ parametrisiert ist, dass also
-%$\varphi(t)$, $\vartheta(t)$ und $u(t)$ Funktionen von $t$ sind.
-%Die Ableitung von~\eqref{buch:elliptisch:eqn:phitheta} ist
-%\[
-%\frac1{a}\cdot \frac{1}{\cos^2\varphi}\cdot \dot{\varphi}
-%=
-%\frac{1}{\cos^2\vartheta}\cdot \dot{\vartheta}.
-%\]
-%Daraus kann die Ableitung von $\vartheta$ nach $\varphi$ bestimmt
-%werden, sie ist
-%\[
-%\frac{d\vartheta}{d\varphi}
-%=
-%\frac{\dot{\vartheta}}{\dot{\varphi}}
-%=
-%\frac{1}{a}
-%\cdot
-%\frac{\cos^2\vartheta}{\cos^2\varphi}
-%=
-%\frac{1}{a}
-%\cdot
-%\frac{(x/r)^2}{(x/a)^2}
-%=
-%\frac{1}{a}\cdot
-%\frac{a^2}{r^2}
-%=
-%\frac{1}{a}\cdot\frac{1}{\operatorname{dn}^2(u,k)}.
-%\]
-%Damit kann man jetzt mit Hilfe von~\eqref{buch:elliptisch:eqn:uableitung} 
-%Die Ableitung von $\vartheta$ nach $u$ ermitteln, sie ist
-%\[
-%\frac{d\vartheta}{du}
-%=
-%\frac{d\vartheta}{d\varphi}
-%\cdot
-%\frac{d\varphi}{du}
-%=
-%\frac{1}{a}\cdot\frac{1}{\operatorname{dn}^2(u,k)}
-%\cdot
-%\operatorname{dn}(u,k)
-%=
-%\frac{1}{a}
-%\cdot
-%\frac{1}{\operatorname{dn}(u,k)}
-%=
-%\frac{1}{a}
-%\cdot\frac{a}{r}
-%=
-%\frac{1}{r},
-%\]
-%wobei wir auch die Definition der Funktion $\operatorname{dn}(u,k)$
-%verwendet haben.
-%
-%In der Parametrisierung mit dem Parameter $t$ kann man jetzt die Ableitung
-%von $u$ nach $t$ berechnen als
-%\[
-%\frac{du}{dt}
-%=
-%\frac{du}{d\vartheta}
-%\frac{d\vartheta}{dt}
-%=
-%r
-%\dot{\vartheta}.
-%\]
-%Darin ist $\dot{\vartheta}$ die Winkelgeschwindigkeit des Punktes um
-%das Zentrum $O$ und $r$ ist die aktuelle Entfernung des Punktes $P$
-%von $O$.
-%$r\dot{\vartheta}$ ist also die Geschwindigkeitskomponenten des Punktes
-%$P$ senkrecht auf den aktuellen Radiusvektor.
-%Der Parameter $u$, der zum Punkt $P$ gehört, ist also das Integral
-%\[
-%u(P) = \int_0^P r\,d\vartheta.
-%\]
-%Für einen Kreis ist die Geschwindigkeit von $P$ immer senkrecht
-%auf dem Radiusvektor und der Radius ist konstant, so dass
-%$u(P)=\vartheta(P)$ ist.
-%
-%%
-%% Die abgeleiteten elliptischen Funktionen
-%%
-%\begin{figure}
-%\centering
-%\includegraphics[width=\textwidth]{chapters/110-elliptisch/images/jacobi12.pdf}
-%\caption{Die Verhältnisse der Funktionen
-%$\operatorname{sn}(u,k)$,
-%$\operatorname{cn}(u,k)$
-%udn
-%$\operatorname{dn}(u,k)$
-%geben Anlass zu neun weitere Funktionen, die sich mit Hilfe
-%des Strahlensatzes geometrisch interpretieren lassen.
-%\label{buch:elliptisch:fig:jacobi12}}
-%\end{figure}
-%\begin{table}
-%\centering
-%\renewcommand{\arraystretch}{2.5}
-%\begin{tabular}{|>{$\displaystyle}c<{$}|>{$\displaystyle}c<{$}>{$\displaystyle}c<{$}>{$\displaystyle}c<{$}>{$\displaystyle}c<{$}|}
-%\hline
-%\cdot &
-%\frac{1}{1} &
-%\frac{1}{\operatorname{sn}(u,k)} &
-%\frac{1}{\operatorname{cn}(u,k)} &
-%\frac{1}{\operatorname{dn}(u,k)} 
-%\\[5pt]
-%\hline
-%1&
-%&%\operatorname{nn}(u,k)=\frac{1}{1} &
-%\operatorname{ns}(u,k)=\frac{1}{\operatorname{sn}(u,k)} &
-%\operatorname{nc}(u,k)=\frac{1}{\operatorname{cn}(u,k)} &
-%\operatorname{nd}(u,k)=\frac{1}{\operatorname{dn}(u,k)}
-%\\
-%\operatorname{sn}(u,k) &
-%\operatorname{sn}(u,k)=\frac{\operatorname{sn}(u,k)}{1}&
-%&%\operatorname{ss}(u,k)=\frac{\operatorname{sn}(u,k)}{\operatorname{sn}(u,k)}&
-%\operatorname{sc}(u,k)=\frac{\operatorname{sn}(u,k)}{\operatorname{cn}(u,k)}&
-%\operatorname{sd}(u,k)=\frac{\operatorname{sn}(u,k)}{\operatorname{dn}(u,k)}
-%\\
-%\operatorname{cn}(u,k) &
-%\operatorname{cn}(u,k)=\frac{\operatorname{cn}(u,k)}{1} &
-%\operatorname{cs}(u,k)=\frac{\operatorname{cn}(u,k)}{\operatorname{sn}(u,k)}&
-%&%\operatorname{cc}(u,k)=\frac{\operatorname{cn}(u,k)}{\operatorname{cn}(u,k)}&
-%\operatorname{cd}(u,k)=\frac{\operatorname{cn}(u,k)}{\operatorname{dn}(u,k)}
-%\\
-%\operatorname{dn}(u,k) &
-%\operatorname{dn}(u,k)=\frac{\operatorname{dn}(u,k)}{1} &
-%\operatorname{ds}(u,k)=\frac{\operatorname{dn}(u,k)}{\operatorname{sn}(u,k)}&
-%\operatorname{dc}(u,k)=\frac{\operatorname{dn}(u,k)}{\operatorname{cn}(u,k)}&
-%%\operatorname{dd}(u,k)=\frac{\operatorname{dn}(u,k)}{\operatorname{dn}(u,k)}
-%\\[5pt]
-%\hline
-%\end{tabular}
-%\caption{Zusammenstellung der abgeleiteten Jacobischen elliptischen
-%Funktionen in hinteren drei Spalten als Quotienten der grundlegenden
-%Jacobischen elliptischen Funktionen.
-%Die erste Spalte zum Nenner $1$ enthält die grundlegenden
-%Jacobischen elliptischen Funktionen.
-%\label{buch:elliptisch:table:abgeleitetjacobi}}
-%\end{table}
-%\subsubsection{Die abgeleiteten elliptischen Funktionen}
-%Zusätzlich zu den grundlegenden Jacobischen elliptischen Funktioenn
-%lassen sich weitere elliptische Funktionen bilden, die unglücklicherweise
-%die {\em abgeleiteten elliptischen Funktionen} genannt werden.
-%Ähnlich wie die trigonometrischen Funktionen $\tan\alpha$, $\cot\alpha$,
-%$\sec\alpha$ und $\csc\alpha$ als Quotienten von $\sin\alpha$ und
-%$\cos\alpha$ definiert sind, sind die abgeleiteten elliptischen Funktionen
-%die in Tabelle~\ref{buch:elliptisch:table:abgeleitetjacobi} zusammengestellten
-%Quotienten der grundlegenden Jacobischen elliptischen Funktionen.
-%Die Bezeichnungskonvention ist, dass die Funktion $\operatorname{pq}(u,k)$
-%ein Quotient ist, dessen Zähler durch den Buchstaben p bestimmt ist,
-%der Nenner durch den Buchstaben q.
-%Der Buchstabe n steht für eine $1$, die Buchstaben s, c und d stehen für
-%die Anfangsbuchstaben der grundlegenden Jacobischen elliptischen
-%Funktionen.
-%Meint man irgend eine der Jacobischen elliptischen Funktionen, schreibt
-%man manchmal auch $\operatorname{zn}(u,k)$.
-%
-%In Abbildung~\ref{buch:elliptisch:fig:jacobi12} sind die Quotienten auch
-%geometrisch interpretiert.
-%Der Wert der Funktion $\operatorname{nq}(u,k)$ ist die auf dem Strahl
-%mit Polarwinkel $\varphi$ abgetragene Länge bis zu den vertikalen
-%Geraden, die den verschiedenen möglichen Nennern entsprechen.
-%Entsprechend ist der Wert der Funktion $\operatorname{dq}(u,k)$ die
-%Länge auf dem Strahl mit Polarwinkel $\vartheta$.
-%
-%Die Relationen~\ref{buch:elliptisch:eqn:jacobi-relationen}
-%ermöglichen, jede Funktion $\operatorname{zn}(u,k)$ durch jede
-%andere auszudrücken.
-%Die schiere Anzahl solcher Beziehungen macht es unmöglich, sie 
-%übersichtlich in einer Tabelle zusammenzustellen, daher soll hier
-%nur an einem Beispiel das Vorgehen gezeigt werden:
-%
-%\begin{beispiel}
-%Die Funktion $\operatorname{sc}(u,k)$ soll durch $\operatorname{cd}(u,k)$
-%ausgedrückt werden.
-%Zunächst ist 
-%\[
-%\operatorname{sc}(u,k)
-%=
-%\frac{\operatorname{sn}(u,k)}{\operatorname{cn}(u,k)}
-%\]
-%nach Definition.
-%Im Resultat sollen nur noch $\operatorname{cn}(u,k)$ und
-%$\operatorname{dn}(u,k)$ vorkommen.
-%Daher eliminieren wir zunächst die Funktion $\operatorname{sn}(u,k)$
-%mit Hilfe von \eqref{buch:elliptisch:eqn:jacobi-relationen} und erhalten
-%\begin{equation}
-%\operatorname{sc}(u,k)
-%=
-%\frac{\sqrt{1-\operatorname{cn}^2(u,k)}}{\operatorname{cn}(u,k)}.
-%\label{buch:elliptisch:eqn:allgausdruecken}
-%\end{equation}
-%Nun genügt es, die Funktion $\operatorname{cn}(u,k)$ durch
-%$\operatorname{cd}(u,k)$ auszudrücken.
-%Aus der Definition und der
-%dritten Relation in \eqref{buch:elliptisch:eqn:jacobi-relationen} 
-%erhält man
-%\begin{align*}
-%\operatorname{cd}^2(u,k)
-%&=
-%\frac{\operatorname{cn}^2(u,k)}{\operatorname{dn}^2(u,k)}
-%=
-%\frac{\operatorname{cn}^2(u,k)}{k^{\prime2}+k^2\operatorname{cn}^2(u,k)}
-%\\
-%\Rightarrow
-%\qquad
-%k^{\prime 2}
-%\operatorname{cd}^2(u,k)
-%+
-%k^2\operatorname{cd}^2(u,k)\operatorname{cn}^2(u,k)
-%&=
-%\operatorname{cn}^2(u,k)
-%\\
-%\operatorname{cn}^2(u,k)
-%-
-%k^2\operatorname{cd}^2(u,k)\operatorname{cn}^2(u,k)
-%&=
-%k^{\prime 2}
-%\operatorname{cd}^2(u,k)
-%\\
-%\operatorname{cn}^2(u,k)
-%&=
-%\frac{
-%k^{\prime 2}
-%\operatorname{cd}^2(u,k)
-%}{
-%1 - k^2\operatorname{cd}^2(u,k)
-%}
-%\end{align*}
-%Für den Zähler brauchen wir $1-\operatorname{cn}^2(u,k)$, also
-%\[
-%1-\operatorname{cn}^2(u,k)
-%=
-%\frac{
-%1
-%-
-%k^2\operatorname{cd}^2(u,k)
-%-
-%k^{\prime 2}
-%\operatorname{cd}^2(u,k)
-%}{
-%1
-%-
-%k^2\operatorname{cd}^2(u,k)
-%}
-%=
-%\frac{1-\operatorname{cd}^2(u,k)}{1-k^2\operatorname{cd}^2(u,k)}
-%\]
-%Einsetzen in~\eqref{buch:elliptisch:eqn:allgausdruecken} gibt
-%\begin{align*}
-%\operatorname{sc}(u,k)
-%&=
-%\frac{
-%\sqrt{1-\operatorname{cd}^2(u,k)}
-%}{\sqrt{1-k^2\operatorname{cd}^2(u,k)}}
-%\cdot
-%\frac{
-%\sqrt{1 - k^2\operatorname{cd}^2(u,k)}
-%}{
-%k'
-%\operatorname{cd}(u,k)
-%}
-%=
-%\frac{
-%\sqrt{1-\operatorname{cd}^2(u,k)}
-%}{
-%k'
-%\operatorname{cd}(u,k)
-%}.
-%\qedhere
-%\end{align*}
-%\end{beispiel}
-%
-%\subsubsection{Ableitung der abgeleiteten elliptischen Funktionen}
-%Aus den Ableitungen der grundlegenden Jacobischen elliptischen Funktionen
-%können mit der Quotientenregel nun auch beliebige Ableitungen der
-%abgeleiteten Jacobischen elliptischen Funktionen gefunden werden.
-%Als Beispiel berechnen wir die Ableitung von $\operatorname{sc}(u,k)$.
-%Sie ist
-%\begin{align*}
-%\frac{d}{du}
-%\operatorname{sc}(u,k)
-%&=
-%\frac{d}{du}
-%\frac{\operatorname{sn}(u,k)}{\operatorname{cn}(u,k)}
-%=
-%\frac{
-%\operatorname{sn}'(u,k)\operatorname{cn}(u,k)
-%-
-%\operatorname{sn}(u,k)\operatorname{cn}'(u,k)}{
-%\operatorname{cn}^2(u,k)
-%}
-%\\
-%&=
-%\frac{
-%\operatorname{cn}^2(u,k)\operatorname{dn}(u,k)
-%+
-%\operatorname{sn}^2(u,k)\operatorname{dn}(u,k)
-%}{
-%\operatorname{cn}^2(u,k)
-%}
-%=
-%\frac{(
-%\operatorname{sn}^2(u,k)
-%+
-%\operatorname{cn}^2(u,k)
-%)\operatorname{dn}(u,k)}{
-%\operatorname{cn}^2(u,k)
-%}
-%\\
-%&=
-%\frac{1}{\operatorname{cn}(u,k)}
-%\cdot
-%\frac{\operatorname{dn}(u,k)}{\operatorname{cn}(u,k)}
-%=
-%\operatorname{nc}(u,k)
-%\operatorname{dc}(u,k).
-%\end{align*}
-%Man beachte, dass das Quadrat der Nennerfunktion im Resultat
-%der Quotientenregel zur Folge hat, dass die
-%beiden Funktionen im Resultat beide den gleichen Nenner haben wie
-%die Funktion, die abgeleitet wird.
-%
-%Mit etwas Fleiss kann man nach diesem Muster alle Ableitungen
-%\begin{equation}
-%%\small
-%\begin{aligned}
-%\operatorname{sn}'(u,k)
-%&= 
-%\phantom{-}
-%\operatorname{cn}(u,k)\,\operatorname{dn}(u,k)
-%&&\qquad&
-%\operatorname{ns}'(u,k)
-%&=
-%-
-%\operatorname{cs}(u,k)\,\operatorname{ds}(u,k)
-%\\
-%\operatorname{cn}'(u,k)
-%&= 
-%-
-%\operatorname{sn}(u,k)\,\operatorname{dn}(u,k)
-%&&&
-%\operatorname{nc}'(u,k)
-%&=
-%\phantom{-}
-%\operatorname{sc}(u,k)\,\operatorname{dc}(u,k)
-%\\
-%\operatorname{dn}'(u,k)
-%&= 
-%-k^2
-%\operatorname{sn}(u,k)\,\operatorname{cn}(u,k)
-%&&&
-%\operatorname{nd}'(u,k)
-%&=
-%\phantom{-}
-%k^2
-%\operatorname{sd}(u,k)\,\operatorname{cd}(u,k)
-%\\
-%\operatorname{sc}'(u,k)
-%&=
-%\phantom{-}
-%\operatorname{dc}(u,k)\,\operatorname{nc}(u,k)
-%&&&
-%\operatorname{cs}'(u,k)
-%&=
-%-
-%\operatorname{ds}(u,k)\,\operatorname{ns}(u,k)
-%\\
-%\operatorname{cd}'(u,k)
-%&=
-%-k^{\prime2}
-%\operatorname{sd}(u,k)\,\operatorname{nd}(u,k)
-%&&&
-%\operatorname{dc}'(u,k)
-%&=
-%\phantom{-}
-%k^{\prime2}
-%\operatorname{dc}(u,k)\,\operatorname{nc}(u,k)
-%\\
-%\operatorname{ds}'(d,k)
-%&=
-%-
-%\operatorname{cs}(u,k)\,\operatorname{ns}(u,k)
-%&&&
-%\operatorname{sd}'(d,k)
-%&=
-%\phantom{-}
-%\operatorname{cd}(u,k)\,\operatorname{nd}(u,k)
-%\end{aligned}
-%\label{buch:elliptisch:eqn:alleableitungen}
-%\end{equation}
-%finden.
-%Man beachte, dass in jeder Identität alle Funktionen den gleichen
-%zweiten Buchstaben haben.
-%
-%\subsubsection{TODO}
-%XXX algebraische Beziehungen \\
-%XXX Additionstheoreme \\
-%XXX Perioden
-%% use https://math.stackexchange.com/questions/3013692/how-to-show-that-jacobi-sine-function-is-doubly-periodic
-%
-%
-%XXX Ableitungen \\
-%XXX Werte \\
 
-%%
-%% Lösung von Differentialgleichungen
-%%
-%\subsection{Lösungen von Differentialgleichungen
-%\label{buch:elliptisch:subsection:differentialgleichungen}}
-%Die elliptischen Funktionen ermöglichen die Lösung gewisser nichtlinearer
-%Differentialgleichungen in geschlossener Form.
-%Ziel dieses Abschnitts ist, Differentialgleichungen der Form
-%\(
-%\dot{x}(t)^2
-%=
-%P(x(t))
-%\)
-%mit einem Polynom $P$ vierten Grades oder
-%\(
-%\ddot{x}(t)
-%=
-%p(x(t))
-%\)
-%mit einem Polynom dritten Grades als rechter Seite lösen zu können.
-%
-%%
-%% Die Differentialgleichung der elliptischen Funktionen
-%%
-%\subsubsection{Die Differentialgleichungen der elliptischen Funktionen}
-%Um Differentialgleichungen mit elliptischen Funktion lösen zu
-%können, muss man als erstes die Differentialgleichungen derselben
-%finden.
-%Quadriert man die Ableitungsregel für $\operatorname{sn}(u,k)$, erhält
-%man
-%\[
-%\biggl(\frac{d}{du}\operatorname{sn}(u,k)\biggr)^2
-%=
-%\operatorname{cn}(u,k)^2 \operatorname{dn}(u,k)^2.
-%\]
-%Die Funktionen auf der rechten Seite können durch $\operatorname{sn}(u,k)$
-%ausgedrückt werden, dies führt auf die Differentialgleichung
-%\begin{align*}
-%\biggl(\frac{d}{du}\operatorname{sn}(u,k)\biggr)^2
-%&=
-%\bigl(
-%1-\operatorname{sn}(u,k)^2
-%\bigr)
-%\bigl(
-%1-k^2 \operatorname{sn}(u,k)^2
-%\bigr)
-%\\
-%&=
-%k^2\operatorname{sn}(u,k)^4 
-%-(1+k^2)
-%\operatorname{sn}(u,k)^2 
-%+1.
-%\end{align*}
-%Für die Funktion $\operatorname{cn}(u,k)$ ergibt die analoge Rechnung
-%\begin{align*}
-%\frac{d}{du}\operatorname{cn}(u,k)
-%&=
-%-\operatorname{sn}(u,k) \operatorname{dn}(u,k)
-%\\
-%\biggl(\frac{d}{du}\operatorname{cn}(u,k)\biggr)^2
-%&=
-%\operatorname{sn}(u,k)^2 \operatorname{dn}(u,k)^2
-%\\
-%&=
-%\bigl(1-\operatorname{cn}(u,k)^2\bigr)
-%\bigl(k^{\prime 2}+k^2 \operatorname{cn}(u,k)^2\bigr)
-%\\
-%&=
-%-k^2\operatorname{cn}(u,k)^4
-%+
-%(k^2-k^{\prime 2})\operatorname{cn}(u,k)^2
-%+
-%k^{\prime 2}
-%\intertext{und weiter für $\operatorname{dn}(u,k)$:}
-%\frac{d}{du}\operatorname{dn}(u,k)
-%&=
-%-k^2\operatorname{sn}(u,k)\operatorname{cn}(u,k)
-%\\
-%\biggl(
-%\frac{d}{du}\operatorname{dn}(u,k)
-%\biggr)^2
-%&=
-%\bigl(k^2 \operatorname{sn}(u,k)^2\bigr)
-%\bigl(k^2 \operatorname{cn}(u,k)^2\bigr)
-%\\
-%&=
-%\bigl(
-%1-\operatorname{dn}(u,k)^2
-%\bigr)
-%\bigl(
-%\operatorname{dn}(u,k)^2-k^{\prime 2}
-%\bigr)
-%\\
-%&=
-%-\operatorname{dn}(u,k)^4
-%+
-%(1+k^{\prime 2})\operatorname{dn}(u,k)^2
-%-k^{\prime 2}.
-%\end{align*}
-%
-%\begin{table}
-%\centering
-%\renewcommand{\arraystretch}{1.7}
-%\begin{tabular}{|>{$}l<{$}|>{$}l<{$}|>{$}c<{$}|>{$}c<{$}|>{$}c<{$}|}
-%\hline
-%\text{Funktion $y=$}&\text{Differentialgleichung}&\alpha&\beta&\gamma\\
-%\hline
-%\operatorname{sn}(u,k)
-%	& y'^2 = \phantom{-}(1-y^2)(1-k^2y^2)
-%		&k^2&1+k^2&1
-%\\
-%\operatorname{cn}(u,k) &y'^2 = \phantom{-}(1-y^2)(k^{\prime2}+k^2y^2)
-%		&-k^2	&k^2-k^{\prime 2}=2k^2-1&k^{\prime2}
-%\\
-%\operatorname{dn}(u,k)
-%	& y'^2 = -(1-y^2)(k^{\prime 2}-y^2)
-%		&-1	&1+k^{\prime 2}=2-k^2	&-k^{\prime2}
-%\\
-%\hline
-%\end{tabular}
-%\caption{Elliptische Funktionen als Lösungsfunktionen für verschiedene
-%nichtlineare Differentialgleichungen der Art
-%\eqref{buch:elliptisch:eqn:1storderdglell}.
-%Die Vorzeichen der Koeffizienten $\alpha$, $\beta$ und $\gamma$
-%entscheidet darüber, welche Funktion für die Lösung verwendet werden
-%muss.
-%\label{buch:elliptisch:tabelle:loesungsfunktionen}}
-%\end{table}
-%
-%Die drei grundlegenden Jacobischen elliptischen Funktionen genügen also alle
-%einer nichtlinearen Differentialgleichung erster Ordnung der selben Art.
-%Das Quadrat der Ableitung ist ein Polynom vierten Grades der Funktion.
-%Die Differentialgleichungen sind in der
-%Tabelle~\ref{buch:elliptisch:tabelle:loesungsfunktionen} zusammengefasst.
-%
-%%
-%% Differentialgleichung der abgeleiteten elliptischen Funktionen
-%%
-%\subsubsection{Die Differentialgleichung der abgeleiteten elliptischen
-%Funktionen}
-%Da auch die Ableitungen der abgeleiteten Jacobischen elliptischen
-%Funktionen Produkte von genau zwei Funktionen sind, die sich wieder
-%durch die ursprüngliche Funktion ausdrücken lassen, darf man erwarten,
-%dass alle elliptischen Funktionen einer ähnlichen Differentialgleichung
-%genügen.
-%Um dies besser einzufangen, schreiben wir $\operatorname{pq}(u,k)$,
-%wenn wir eine beliebige abgeleitete Jacobische elliptische Funktion.
-%Für 
-%$\operatorname{pq}=\operatorname{sn}$
-%$\operatorname{pq}=\operatorname{cn}$
-%und
-%$\operatorname{pq}=\operatorname{dn}$
-%wissen wir bereits und erwarten für jede andere Funktion dass
-%$\operatorname{pq}(u,k)$ auch, dass sie Lösung einer Differentialgleichung
-%der Form
-%\begin{equation}
-%\operatorname{pq}'(u,k)^2
-%=
-%\alpha \operatorname{pq}(u,k)^4 + \beta \operatorname{pq}(u,k)^2 + \gamma
-%\label{buch:elliptisch:eqn:1storderdglell}
-%\end{equation}
-%erfüllt,
-%wobei wir mit $\operatorname{pq}'(u,k)$ die Ableitung von
-%$\operatorname{pq}(u,k)$ nach dem ersten Argument meinen.
-%Die Koeffizienten $\alpha$, $\beta$ und $\gamma$ hängen von $k$ ab,
-%ihre Werte für die grundlegenden Jacobischen elliptischen
-%sind in Tabelle~\ref{buch:elliptisch:table:differentialgleichungen}
-%zusammengestellt.
-%
-%Die Koeffizienten müssen nicht für jede Funktion wieder neu bestimmt
-%werden, denn für den Kehrwert einer Funktion lässt sich die
-%Differentialgleichung aus der Differentialgleichung der ursprünglichen
-%Funktion ermitteln.
-%
-%%
-%% Differentialgleichung der Kehrwertfunktion
-%%
-%\subsubsection{Differentialgleichung für den Kehrwert einer elliptischen Funktion}
-%Aus der Differentialgleichung~\eqref{buch:elliptisch:eqn:1storderdglell}
-%für die Funktion $\operatorname{pq}(u,k)$ kann auch eine
-%Differentialgleichung für den Kehrwert
-%$\operatorname{qp}(u,k)=\operatorname{pq}(u,k)^{-1}$
-%ableiten.
-%Dazu rechnet man
-%\[
-%\operatorname{qp}'(u,k)
-%=
-%\frac{d}{du}\frac{1}{\operatorname{pq}(u,k)}
-%=
-%\frac{\operatorname{pq}'(u,k)}{\operatorname{pq}(u,k)^2}
-%\qquad\Rightarrow\qquad
-%\left\{
-%\quad
-%\begin{aligned}
-%\operatorname{pq}(u,k)
-%&=
-%\frac{1}{\operatorname{qp}(u,k)}
-%\\
-%\operatorname{pq}'(u,k)
-%&=
-%\frac{\operatorname{qp}'(u,k)}{\operatorname{qp}(u,k)^2}
-%\end{aligned}
-%\right.
-%\]
-%und setzt in die Differentialgleichung ein:
-%\begin{align*}
-%\biggl(
-%\frac{
-%\operatorname{qp}'(u,k)
-%}{
-%\operatorname{qp}(u,k)
-%}
-%\biggr)^2
-%&=
-%\alpha \frac{1}{\operatorname{qp}(u,k)^4}
-%+
-%\beta \frac{1}{\operatorname{qp}(u,k)^2}
-%+
-%\gamma.
-%\end{align*}
-%Nach Multiplikation mit $\operatorname{qp}(u,k)^4$ erhält man den
-%folgenden Satz.
-%
-%\begin{satz}
-%Wenn die Jacobische elliptische Funktion $\operatorname{pq}(u,k)$
-%der Differentialgleichung genügt, dann genügt der Kehrwert
-%$\operatorname{qp}(u,k) = 1/\operatorname{pq}(u,k)$ der Differentialgleichung
-%\begin{equation}
-%(\operatorname{qp}'(u,k))^2
-%= 
-%\gamma \operatorname{qp}(u,k)^4
-%+
-%\beta \operatorname{qp}(u,k)^2
-%+
-%\alpha
-%\label{buch:elliptisch:eqn:kehrwertdgl}
-%\end{equation}
-%\end{satz}
-%
-%\begin{table}
-%\centering
-%\def\lfn#1{\multicolumn{1}{|l|}{#1}}
-%\def\rfn#1{\multicolumn{1}{r|}{#1}}
-%\renewcommand{\arraystretch}{1.3}
-%\begin{tabular}{l|>{$}c<{$}>{$}c<{$}>{$}c<{$}|r}
-%\cline{1-4}
-%\lfn{Funktion}
-%         &  \alpha   & \beta     &    \gamma  &\\
-%\hline
-%\lfn{sn}&    k^2    & -(1+k^2)  &      1     &\rfn{ns}\\
-%\lfn{cn}&   -k^2    & -(1-2k^2) &    1-k^2   &\rfn{nc}\\
-%\lfn{dn}&     1     &  2-k^2    &   -(1-k^2) &\rfn{nd}\\
-%\hline
-%\lfn{sc}&   1-k^2   &  2-k^2    &      1     &\rfn{cs}\\
-%\lfn{sd}&-k^2(1-k^2)&-(1-2k^2)  &       1    &\rfn{ds}\\
-%\lfn{cd}&    k^2    &-(1+k^2)   &      1     &\rfn{dc}\\
-%\hline 
-%                 &   \gamma  & \beta     &   \alpha   &\rfn{Reziproke}\\
-%\cline{2-5}
-%\end{tabular}
-%\caption{Koeffizienten der Differentialgleichungen für die Jacobischen
-%elliptischen Funktionen.
-%Der Kehrwert einer Funktion hat jeweils die Differentialgleichung der
-%ursprünglichen Funktion, in der die Koeffizienten $\alpha$ und $\gamma$
-%vertauscht worden sind.
-%\label{buch:elliptisch:table:differentialgleichungen}}
-%\end{table}
-%
-%%
-%% Differentialgleichung zweiter Ordnung
-%%
-%\subsubsection{Differentialgleichung zweiter Ordnung}
-%Leitet die Differentialgleichung~\eqref{buch:elliptisch:eqn:1storderdglell}
-%man dies nochmals nach $u$ ab, erhält man die Differentialgleichung
-%\[
-%2\operatorname{pq}''(u,k)\operatorname{pq}'(u,k)
-%=
-%4\alpha \operatorname{pq}(u,k)^3\operatorname{pq}'(u,k) + 2\beta \operatorname{pq}'(u,k)\operatorname{pq}(u,k).
-%\]
-%Teilt man auf beiden Seiten durch $2\operatorname{pq}'(u,k)$,
-%bleibt die nichtlineare
-%Differentialgleichung
-%\[
-%\frac{d^2\operatorname{pq}}{du^2}
-%=
-%\beta \operatorname{pq} + 2\alpha \operatorname{pq}^3.
-%\]
-%Dies ist die Gleichung eines harmonischen Oszillators mit einer 
-%Anharmonizität der Form $2\alpha z^3$.
-%
-%
-%
-%%
-%% Jacobischen elliptische Funktionen und elliptische Integrale
-%%
-%\subsubsection{Jacobische elliptische Funktionen als elliptische Integrale}
-%Die in Tabelle~\ref{buch:elliptisch:tabelle:loesungsfunktionen}
-%zusammengestellten Differentialgleichungen ermöglichen nun, den
-%Zusammenhang zwischen den Funktionen 
-%$\operatorname{sn}(u,k)$, $\operatorname{cn}(u,k)$ und $\operatorname{dn}(u,k)$
-%und den unvollständigen elliptischen Integralen herzustellen.
-%Die Differentialgleichungen sind alle von der Form
-%\begin{equation}
-%\biggl(
-%\frac{d y}{d u}
-%\biggr)^2
-%=
-%p(u),
-%\label{buch:elliptisch:eqn:allgdgl}
-%\end{equation}
-%wobei $p(u)$ ein Polynom vierten Grades in $y$ ist.
-%Diese Differentialgleichung lässt sich mit Separation lösen.
-%Dazu zieht man aus~\eqref{buch:elliptisch:eqn:allgdgl} die
-%Wurzel
-%\begin{align}
-%\frac{dy}{du}
-%=
-%\sqrt{p(y)}
-%\notag
-%\intertext{und trennt die Variablen. Man erhält}
-%\int\frac{dy}{\sqrt{p(y)}} = u+C.
-%\label{buch:elliptisch:eqn:yintegral}
-%\end{align}
-%Solange $p(y)>0$ ist, ist der Integrand auf der linken Seite
-%von~\eqref{buch:elliptisch:eqn:yintegral} ebenfalls positiv und
-%das Integral ist eine monoton wachsende Funktion $F(y)$.
-%Insbesondere ist $F(y)$ invertierbar.
-%Die Lösung $y(u)$ der Differentialgleichung~\eqref{buch:elliptisch:eqn:allgdgl}
-%ist daher 
-%\[
-%y(u) = F^{-1}(u+C).
-%\]
-%Die Jacobischen elliptischen Funktionen sind daher inverse Funktionen
-%der unvollständigen elliptischen Integrale.
-%
-%
-%%
-%% Differentialgleichung des anharmonischen Oszillators
-%%
-%\subsubsection{Differentialgleichung des anharmonischen Oszillators}
-%Wir möchten die nichtlineare Differentialgleichung
-%\begin{equation}
-%\biggl(
-%\frac{dx}{dt}
-%\biggr)^2
-%=
-%Ax^4+Bx^2 + C
-%\label{buch:elliptisch:eqn:allgdgl}
-%\end{equation}
-%mit Hilfe elliptischer Funktionen lösen.
-%Wir nehmen also an, dass die gesuchte Lösung eine Funktion der Form
-%\begin{equation}
-%x(t) = a\operatorname{zn}(bt,k)
-%\label{buch:elliptisch:eqn:loesungsansatz}
-%\end{equation}
-%ist.
-%Die erste Ableitung von $x(t)$ ist
-%\[
-%\dot{x}(t) 
-%=
-%a\operatorname{zn}'(bt,k).
-%\]
-%
-%Indem wir diesen Lösungsansatz in die
-%Differentialgleichung~\eqref{buch:elliptisch:eqn:allgdgl}
-%einsetzen, erhalten wir
-%\begin{equation}
-%a^2b^2 \operatorname{zn}'(bt,k)^2
-%=
-%a^4A\operatorname{zn}(bt,k)^4
-%+
-%a^2B\operatorname{zn}(bt,k)^2
-%+C
-%\label{buch:elliptisch:eqn:dglx}
-%\end{equation}
-%Andererseits wissen wir, dass $\operatorname{zn}(u,k)$ einer
-%Differentilgleichung der Form~\eqref{buch:elliptisch:eqn:1storderdglell}
-%erfüllt.
-%Wenn wir \eqref{buch:elliptisch:eqn:dglx} durch $a^2b^2$ teilen, können wir
-%die rechte Seite von \eqref{buch:elliptisch:eqn:dglx} mit der rechten
-%Seite von \eqref{buch:elliptisch:eqn:1storderdglell} vergleichen:
-%\[
-%\frac{a^2A}{b^2}\operatorname{zn}(bt,k)^4
-%+
-%\frac{B}{b^2}\operatorname{zn}(bt,k)^2
-%+\frac{C}{a^2b^2}
-%=
-%\alpha\operatorname{zn}(bt,k)^4
-%+
-%\beta\operatorname{zn}(bt,k)^2
-%+
-%\gamma\operatorname{zn}(bt,k).
-%\]
-%Daraus ergeben sich die Gleichungen
-%\begin{align}
-%\alpha &= \frac{a^2A}{b^2},
-%&
-%\beta &= \frac{B}{b^2}
-%&&\text{und}
-%&
-%\gamma &= \frac{C}{a^2b^2}
-%\label{buch:elliptisch:eqn:koeffvergl}
-%\intertext{oder aufgelöst nach den Koeffizienten der ursprünglichen
-%Differentialgleichung}
-%A&=\frac{\alpha b^2}{a^2}
-%&
-%B&=\beta b^2
-%&&\text{und}&
-%C &= \gamma a^2b^2
-%\label{buch:elliptisch:eqn:koeffABC}
-%\end{align}
-%für die Koeffizienten der Differentialgleichung der zu verwendenden
-%Funktion.
-%
-%Man beachte, dass nach \eqref{buch:elliptisch:eqn:koeffvergl} die 
-%Koeffizienten $A$, $B$ und $C$ die gleichen Vorzeichen haben wie
-%$\alpha$, $\beta$ und $\gamma$, da in 
-%\eqref{buch:elliptisch:eqn:koeffvergl} nur mit Quadraten multipliziert
-%wird, die immer positiv sind.
-%Diese Vorzeichen bestimmen, welche der Funktionen gewählt werden muss.
-%
-%In den Differentialgleichungen für die elliptischen Funktionen gibt
-%es nur den Parameter $k$, der angepasst werden kann.
-%Es folgt, dass die Gleichungen
-%\eqref{buch:elliptisch:eqn:koeffvergl} 
-%auch $a$ und $b$ bestimmen.
-%Zum Beispiel folgt aus der letzten Gleichung, dass
-%\[
-%b = \pm\sqrt{\frac{B}{\beta}}.
-%\]
-%Damit folgt dann aus der zweiten
-%\[
-%a=\pm\sqrt{\frac{\beta C}{\gamma B}}.
-%\]
-%Die verbleibende Gleichung legt $k$ fest.
-%Das folgende Beispiel illustriert das Vorgehen am Beispiel einer
-%Gleichung, die Lösungsfunktion $\operatorname{sn}(u,k)$ verlangt.
-%
-%\begin{beispiel}
-%Wir nehmen an, dass die Vorzeichen von $A$, $B$ und $C$ gemäss
-%Tabelle~\ref{buch:elliptische:tabelle:loesungsfunktionen} verlangen,
-%dass die Funktion $\operatorname{sn}(u,k)$ für die Lösung verwendet
-%werden muss.
-%Die Tabelle sagt dann auch, dass 
-%$\alpha=k^2$, $\beta=1$ und $\gamma=1$ gewählt werden müssen.
-%Aus dem Koeffizientenvergleich~\eqref{buch:elliptisch:eqn:koeffvergl}
-%folgt dann der Reihe nach
-%\begin{align*}
-%b&=\pm \sqrt{B}
-%\\
-%a&=\pm \sqrt{\frac{C}{B}}
-%\\
-%k^2
-%&=
-%\frac{AC}{B^2}.
-%\end{align*}
-%Man beachte, dass man $k^2$ durch Einsetzen von
-%\eqref{buch:elliptisch:eqn:koeffABC}
-%auch direkt aus den Koeffizienten $\alpha$, $\beta$ und $\gamma$
-%erhalten kann, nämlich
-%\[
-%\frac{AC}{B^2}
-%=
-%\frac{\frac{\alpha b^2}{a^2} \gamma a^2b^2}{\beta^2 b^4}
-%=
-%\frac{\alpha\gamma}{\beta^2}.
-%\qedhere
-%\]
-%\end{beispiel}
-%
-%Da alle Parameter im 
-%Lösungsansatz~\eqref{buch:elliptisch:eqn:loesungsansatz} bereits
-%festgelegt sind stellt sich die Frage, woher man einen weiteren
-%Parameter nehmen kann, mit dem Anfangsbedingungen erfüllen kann.
-%Die Differentialgleichung~\eqref{buch:elliptisch:eqn:allgdgl} ist
-%autonom, die Koeffizienten der rechten Seite der Differentialgleichung
-%sind nicht von der Zeit abhängig. 
-%Damit ist eine zeitverschobene Funktion $x(t-t_0)$ ebenfalls eine
-%Lösung der Differentialgleichung.
-%Die allgmeine Lösung der 
-%Differentialgleichung~\eqref{buch:elliptisch:eqn:allgdgl} hat
-%also die Form
-%\[
-%x(t) = a\operatorname{zn}(b(t-t_0)),
-%\]
-%wobei die Funktion $\operatorname{zn}(u,k)$ auf Grund der Vorzeichen
-%von $A$, $B$ und $C$ gewählt werden müssen.
 
-%%
-%% Das mathematische Pendel
-%%
-%\subsection{Das mathematische Pendel
-%\label{buch:elliptisch:subsection:mathpendel}}
-%\begin{figure}
-%\centering
-%\includegraphics{chapters/110-elliptisch/images/pendel.pdf}
-%\caption{Mathematisches Pendel
-%\label{buch:elliptisch:fig:mathpendel}}
-%\end{figure}
-%Das in Abbildung~\ref{buch:elliptisch:fig:mathpendel} dargestellte
-%Mathematische Pendel besteht aus einem Massepunkt der Masse $m$
-%im Punkt $P$,
-%der über eine masselose Stange der Länge $l$ mit dem Drehpunkt $O$
-%verbunden ist.
-%Das Pendel bewegt sich unter dem Einfluss der Schwerebeschleunigung $g$.
-%
-%Das Trägheitsmoment des Massepunktes um den Drehpunkt $O$ ist
-%\(
-%I=ml^2
-%\).
-%Das Drehmoment der Schwerkraft ist
-%\(M=gl\sin\vartheta\).
-%Die Bewegungsgleichung wird daher
-%\[
-%\begin{aligned}
-%\frac{d}{dt} I\dot{\vartheta}
-%&=
-%M
-%=
-%gl\sin\vartheta
-%\\
-%ml^2\ddot{\vartheta}
-%&=
-%gl\sin\vartheta
-%&&\Rightarrow&
-%\ddot{\vartheta}
-%&=\frac{g}{l}\sin\vartheta
-%\end{aligned}
-%\]
-%Dies ist eine nichtlineare Differentialgleichung zweiter Ordnung, die
-%wir nicht unmittelbar mit den Differentialgleichungen erster Ordnung
-%der elliptischen Funktionen vergleichen können.
-%
-%Die Differentialgleichungen erster Ordnung der elliptischen Funktionen
-%enthalten das Quadrat der ersten Ableitung.
-%In unserem Fall entspricht das einer Gleichung, die $\dot{\vartheta}^2$
-%enthält.
-%Der Energieerhaltungssatz kann uns eine solche Gleichung geben.
-%Die Summe von kinetischer und potentieller Energie muss konstant sein.
-%Dies führt auf
-%\[
-%E_{\text{kinetisch}}
-%+
-%E_{\text{potentiell}}
-%=
-%\frac12I\dot{\vartheta}^2
-%+
-%mgl(1-\cos\vartheta)
-%=
-%\frac12ml^2\dot{\vartheta}^2
-%+
-%mgl(1-\cos\vartheta)
-%=
-%E
-%\]
-%Durch Auflösen nach $\dot{\vartheta}$ kann man jetzt die
-%Differentialgleichung
-%\[
-%\dot{\vartheta}^2
-%=
-%-
-%\frac{2g}{l}(1-\cos\vartheta)
-%+\frac{2E}{ml^2}
-%\]
-%finden.
-%In erster Näherung, d.h. wenn man die rechte Seite bis zu vierten
-%Potenzen in eine Taylor-Reihe in $\vartheta$ entwickelt,  ist dies
-%tatsächlich eine Differentialgleichung der Art, wie wir sie für
-%elliptische Funktionen gefunden haben, wir möchten aber eine exakte
-%Lösung konstruieren.
-%
-%Die maximale Energie für eine Bewegung, bei der sich das Pendel gerade
-%über den höchsten Punkt hinweg zu bewegen vermag, ist 
-%$E=2lmg$.
-%Falls $E<2mgl$ ist, erwarten wir Schwingungslösungen, bei denen 
-%der Winkel $\vartheta$ immer im offenen Interval $(-\pi,\pi)$
-%bleibt.
-%Für $E>2mgl$ wird sich das Pendel im Kreis bewegen, für sehr grosse
-%Energie ist die kinetische Energie dominant, die Verlangsamung im
-%höchsten Punkt wird immer weniger ausgeprägt sein.
-%
-%%
-%% Koordinatentransformation auf elliptische Funktionen
-%%
-%\subsubsection{Koordinatentransformation auf elliptische Funktionen}
-%Wir verwenden als neue Variable 
-%\[
-%y = \sin\frac{\vartheta}2
-%\]
-%mit der Ableitung
-%\[
-%\dot{y}=\frac12\cos\frac{\vartheta}{2}\cdot \dot{\vartheta}.
-%\]
-%Man beachte, dass $y$ nicht eine Koordinate in
-%Abbildung~\ref{buch:elliptisch:fig:mathpendel} ist.
-%
-%Aus den Halbwinkelformeln finden wir
-%\[
-%\cos\vartheta
-%=
-%1-2\sin^2 \frac{\vartheta}2
-%=
-%1-2y^2.
-%\]
-%Dies können wir zusammen mit der
-%Identität $\cos^2\vartheta/2 = 1-\sin^2\vartheta/2 = 1-y^2$
-%in die Energiegleichung einsetzen und erhalten
-%\[
-%\frac12ml^2\dot{\vartheta}^2 + mgly^2 = E
-%\qquad\Rightarrow\qquad
-%\frac14 \dot{\vartheta}^2 = \frac{E}{2ml^2} - \frac{g}{2l}y^2.
-%\]
-%Der konstante Term auf der rechten Seite ist grösser oder kleiner als
-%$1$ je nachdem, ob das Pendel sich im Kreis bewegt oder nicht.
-%
-%Durch Multiplizieren mit $\cos^2\frac{\vartheta}{2}=1-y^2$
-%erhalten wir auf der linken Seite einen Ausdruck, den wir
-%als Funktion von $\dot{y}$ ausdrücken können.
-%Wir erhalten
-%\begin{align*}
-%\frac14
-%\cos^2\frac{\vartheta}2
-%\cdot
-%\dot{\vartheta}^2
-%&=
-%\frac14
-%(1-y^2)
-%\biggl(\frac{E}{2ml^2} -\frac{g}{2l}y^2\biggr)
-%\\
-%\dot{y}^2
-%&=
-%\frac{1}{4}
-%(1-y^2)
-%\biggl(\frac{E}{2ml^2} -\frac{g}{2l}y^2\biggr)
-%\end{align*}
-%Die letzte Gleichung hat die Form einer Differentialgleichung
-%für elliptische Funktionen.
-%Welche Funktion verwendet werden muss, hängt von der Grösse der
-%Koeffizienten in der zweiten Klammer ab.
-%Die Tabelle~\ref{buch:elliptisch:tabelle:loesungsfunktionen}
-%zeigt, dass in der zweiten Klammer jeweils einer der Terme
-%$1$ sein muss.
-%
-%%
-%% Der Fall E < 2mgl
-%%
-%\subsubsection{Der Fall $E<2mgl$}
-%\begin{figure}
-%\centering
-%\includegraphics[width=\textwidth]{chapters/110-elliptisch/images/jacobiplots.pdf}
-%\caption{%
-%Abhängigkeit der elliptischen Funktionen von $u$ für
-%verschiedene Werte von $k^2=m$.
-%Für $m=0$ ist $\operatorname{sn}(u,0)=\sin u$, 
-%$\operatorname{cn}(u,0)=\cos u$ und $\operatorname{dn}(u,0)=1$, diese
-%sind in allen Plots in einer helleren Farbe eingezeichnet.
-%Für kleine Werte von $m$ weichen die elliptischen Funktionen nur wenig
-%von den trigonometrischen Funktionen ab,
-%es ist aber klar erkennbar, dass die anharmonischen Terme in der
-%Differentialgleichung die Periode mit steigender Amplitude verlängern.
-%Sehr grosse Werte von $m$ nahe bei $1$ entsprechen der Situation, dass
-%die Energie des Pendels fast ausreicht, dass es den höchsten Punkt
-%erreichen kann, was es für $m$ macht.
-%\label{buch:elliptisch:fig:jacobiplots}}
-%\end{figure}
-%
-%
-%Wir verwenden als neue Variable 
-%\[
-%y = \sin\frac{\vartheta}2
-%\]
-%mit der Ableitung
-%\[
-%\dot{y}=\frac12\cos\frac{\vartheta}{2}\cdot \dot{\vartheta}.
-%\]
-%Man beachte, dass $y$ nicht eine Koordinate in
-%Abbildung~\ref{buch:elliptisch:fig:mathpendel} ist.
-%
-%Aus den Halbwinkelformeln finden wir
-%\[
-%\cos\vartheta
-%=
-%1-2\sin^2 \frac{\vartheta}2
-%=
-%1-2y^2.
-%\]
-%Dies können wir zusammen mit der
-%Identität $\cos^2\vartheta/2 = 1-\sin^2\vartheta/2 = 1-y^2$
-%in die Energiegleichung einsetzen und erhalten
-%\[
-%\frac12ml^2\dot{\vartheta}^2 + mgly^2 = E.
-%\]
-%Durch Multiplizieren mit $\cos^2\frac{\vartheta}{2}=1-y^2$
-%erhalten wir auf der linken Seite einen Ausdruck, den wir
-%als Funktion von $\dot{y}$ ausdrücken können.
-%Wir erhalten
-%\begin{align*}
-%\frac12ml^2
-%\cos^2\frac{\vartheta}2
-%\dot{\vartheta}^2
-%&=
-%(1-y^2)
-%(E -mgly^2)
-%\\
-%\frac{1}{4}\cos^2\frac{\vartheta}{2}\dot{\vartheta}^2
-%&=
-%\frac{1}{2}
-%(1-y^2)
-%\biggl(\frac{E}{ml^2} -\frac{g}{l}y^2\biggr)
-%\\
-%\dot{y}^2
-%&=
-%\frac{E}{2ml^2}
-%(1-y^2)\biggl(
-%1-\frac{2gml}{E}y^2
-%\biggr).
-%\end{align*}
-%Dies ist genau die Form der Differentialgleichung für die elliptische
-%Funktion $\operatorname{sn}(u,k)$
-%mit $k^2 = 2gml/E< 1$.
-%
-%%%
-%%% Der Fall E > 2mgl
-%%%
-%%\subsection{Der Fall $E > 2mgl$}
-%%In diesem Fall hat das Pendel im höchsten Punkte immer noch genügend
-%%kinetische Energie, so dass es sich im Kreise dreht.
-%%Indem wir die Gleichung
-%
-%
-%%\subsection{Soliton-Lösungen der Sinus-Gordon-Gleichung}
-%
-%%\subsection{Nichtlineare Differentialgleichung vierter Ordnung}
-%%XXX Möbius-Transformation \\
-%%XXX Reduktion auf die Differentialgleichung elliptischer Funktionen
-- 
cgit v1.2.1

