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Date: Wed, 22 Jun 2022 11:49:27 +0200
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@@ -32,26 +32,26 @@ mit der Gleichung
 \end{equation}
 Sie ist in Abbildung~\ref{buch:elliptisch:fig:lemniskate}
 dargestellt.
-Der Fall $a=1/\sqrt{2}$ ist eine Kurve mit der Gleichung
+Der Fall $a=1/\!\sqrt{2}$ ist eine Kurve mit der Gleichung
 \[
 (x^2+y^2)^2 = x^2-y^2,
 \]
 wir nennen sie die {\em Standard-Lemniskate}.
 
 \subsubsection{Scheitelpunkte}
-Die beiden Scheitel der Lemniskate befinden sich bei $X_s=\pm a\sqrt{2}$.
+Die beiden Scheitel der Lemniskate befinden sich bei $X_s=\pm a\!\sqrt{2}$.
 Dividiert man die Gleichung der Lemniskate durch $X_s^2=4a^4$ entsteht 
 \begin{equation}
 \biggl(
-\biggl(\frac{X}{a\sqrt{2}}\biggr)^2
+\biggl(\frac{X}{a\!\sqrt{2}}\biggr)^2
 +
-\biggl(\frac{Y}{a\sqrt{2}}\biggr)^2
+\biggl(\frac{Y}{a\!\sqrt{2}}\biggr)^2
 \biggr)^2
 =
 2\frac{a^2}{2a^2}\biggl(
-\biggl(\frac{X}{a\sqrt{2}}\biggr)^2
+\biggl(\frac{X}{a\!\sqrt{2}}\biggr)^2
 -
-\biggl(\frac{Y}{a\sqrt{2}}\biggr)^2
+\biggl(\frac{Y}{a\!\sqrt{2}}\biggr)^2
 \biggr).
 \qquad
 \Leftrightarrow
@@ -59,7 +59,7 @@ Dividiert man die Gleichung der Lemniskate durch $X_s^2=4a^4$ entsteht
 (x^2+y^2)^2 = x^2-y^2,
 \label{buch:elliptisch:eqn:lemniskatenormiert}
 \end{equation}
-wobei wir $x=X/a\sqrt{2}$ und $y=Y/a\sqrt{2}$ gesetzt haben.
+wobei wir $x=X/a\!\sqrt{2}$ und $y=Y/a\!\sqrt{2}$ gesetzt haben.
 In dieser Normierung, der Standard-Lemniskaten, liegen die Scheitel
 bei $\pm 1$.
 Dies ist die Skalierung, die für die Definition des lemniskatischen
@@ -104,7 +104,7 @@ die durch die Gleichungen
 \begin{equation}
 X^2-Y^2 = Z^2
 \qquad\text{und}\qquad
-(X^2+Y^2) = R^2 = \sqrt{2}aZ
+(X^2+Y^2) = R^2 = \!\sqrt{2}aZ
 \label{buch:elliptisch:eqn:kegelparabolschnitt}
 \end{equation}
 beschrieben wird.
@@ -254,9 +254,9 @@ Sie ist eine Lemniskaten-Gleichung für $a=2$.
 \subsection{Bogenlänge}
 Die Funktionen
 \begin{equation}
-x(r) = \frac{r}{\sqrt{2}}\sqrt{1+r^2},
+x(r) = \frac{r}{\!\sqrt{2}}\sqrt{1+r^2},
 \quad
-y(r) = \frac{r}{\sqrt{2}}\sqrt{1-r^2}
+y(r) = \frac{r}{\!\sqrt{2}}\sqrt{1-r^2}
 \label{buch:geometrie:eqn:lemniskateparam}
 \end{equation}
 erfüllen
@@ -281,9 +281,9 @@ Kettenregel berechnen kann:
 \begin{align*}
 \dot{x}(r)
 &=
-\frac{\sqrt{1+r^2}}{\sqrt{2}}
+\frac{\!\sqrt{1+r^2}}{\!\sqrt{2}}
 +
-\frac{r^2}{\sqrt{2}\sqrt{1+r^2}}
+\frac{r^2}{\!\sqrt{2}\sqrt{1+r^2}}
 &&\Rightarrow&
 \dot{x}(r)^2
 &=
@@ -291,7 +291,7 @@ Kettenregel berechnen kann:
 \\
 \dot{y}(r)
 &=
-\frac{\sqrt{1-r^2}}{\sqrt{2}}
+\frac{\!\sqrt{1-r^2}}{\!\sqrt{2}}
 -
 \frac{r^2}{\sqrt{2}\sqrt{1-r^2}}
 &&\Rightarrow&
@@ -316,7 +316,7 @@ Durch Einsetzen in das Integral für die Bogenlänge bekommt man
 s(r)
 =
 \int_0^r
-\frac{1}{\sqrt{1-t^4}}\,dt.
+\frac{1}{\!\sqrt{1-t^4}}\,dt.
 \label{buch:elliptisch:eqn:lemniskatebogenlaenge}
 \end{equation}
 
@@ -329,11 +329,11 @@ $k^2=-1$ oder $k=i$ ist
 \[
 K(r,i)
 =
-\int_0^x \frac{dt}{\sqrt{(1-t^2)(1-i^2 t^2)}}
+\int_0^x \frac{dt}{\!\sqrt{(1-t^2)(1-i^2 t^2)}}
 =
-\int_0^x \frac{dt}{\sqrt{(1-t^2)(1-(-1)t^2)}}
+\int_0^x \frac{dt}{\!\sqrt{(1-t^2)(1-(-1)t^2)}}
 =
-\int_0^x \frac{dt}{\sqrt{1-t^4}}
+\int_0^x \frac{dt}{\!\sqrt{1-t^4}}
 =
 s(r).
 \]
@@ -388,23 +388,23 @@ Y(t)
 \operatorname{cn}(t,k) \operatorname{sn}(t,k)
 \end{aligned}
 \quad\right\}
-\qquad\text{mit $k=\displaystyle\frac{1}{\sqrt{2}}$}
+\qquad\text{mit $k=\displaystyle\frac{1}{\sqrt{2}}.$}
 \label{buch:elliptisch:lemniskate:bogeneqn}
 \end{equation}
 Abbildung~\ref{buch:elliptisch:lemniskate:bogenpara} zeigt die
 Parametrisierung. 
 Dem Parameterwert $t=0$ entspricht der Scheitelpunkt
-$S=(\sqrt{2},0)$ der Lemniskate.
+$S=(\!\sqrt{2},0)$ der Lemniskate.
 
 %
 % Lemniskatengleichung
 %
 \subsubsection{Verfikation der Lemniskatengleichung}
 Dass \eqref{buch:elliptisch:lemniskate:bogeneqn}
-tatsächlich eine Parametrisierung ist kann nachgewiesen werden dadurch,
+tatsächlich eine Parametrisierung ist, kann dadurch nachgewiesen werden,
 dass man die beiden Seiten der definierenden Gleichung der
 Lemniskate berechnet.
-Zunächst ist
+Zunächst sind die Quadrate von $X(t)$ und $Y(t)$
 \begin{align*}
 X(t)^2
 &=
@@ -414,8 +414,8 @@ X(t)^2
 Y(t)^2
 &=
 \operatorname{cn}(t,k)^2
-\operatorname{sn}(t,k)^2
-\\
+\operatorname{sn}(t,k)^2.
+\intertext{Für Summe und Differenz der Quadrate findet man jetzt}
 X(t)^2+Y(t)^2
 &=
 2\operatorname{cn}(t,k)^2
@@ -447,15 +447,18 @@ X(t)^2-Y(t)^2
 \bigr)
 \\
 &=
-2\operatorname{cn}(t,k)^4
-\\
+2\operatorname{cn}(t,k)^4.
+\intertext{Beide lassen sich also durch $\operatorname{cn}(t,k)^2$
+ausdrücken.
+Zusammengefasst erhält man}
 \Rightarrow\qquad
 (X(t)^2+Y(t)^2)^2
 &=
 4\operatorname{cn}(t,k)^4
 =
-2(X(t)^2-Y(t)^2).
+2(X(t)^2-Y(t)^2),
 \end{align*}
+eine Lemniskaten-Gleichung.
 
 %
 % Berechnung der Bogenlänge
@@ -467,39 +470,26 @@ Dazu berechnen wir die Ableitungen
 \begin{align*}
 \dot{X}(t)
 &=
-\sqrt{2}\operatorname{cn}'(t,k)\operatorname{dn}(t,k)
+\!\sqrt{2}\operatorname{cn}'(t,k)\operatorname{dn}(t,k)
 +
-\sqrt{2}\operatorname{cn}(t,k)\operatorname{dn}'(t,k)
+\!\sqrt{2}\operatorname{cn}(t,k)\operatorname{dn}'(t,k)
 \\
 &=
--\sqrt{2}\operatorname{sn}(t,k)\operatorname{dn}(t,k)^2
+-\!\sqrt{2}\operatorname{sn}(t,k)\operatorname{dn}(t,k)^2
 -\frac12\sqrt{2}\operatorname{sn}(t,k)\operatorname{cn}(t,k)^2
 \\
 &=
--\sqrt{2}\operatorname{sn}(t,k)\bigl(
+-\!\sqrt{2}\operatorname{sn}(t,k)\bigl(
 1-{\textstyle\frac12}\operatorname{sn}(t,k)^2
 +{\textstyle\frac12}-{\textstyle\frac12}\operatorname{sn}(t,k)^2
 \bigr)
 \\
 &=
-\sqrt{2}\operatorname{sn}(t,k)
+\!\sqrt{2}\operatorname{sn}(t,k)
 \bigl(
 {\textstyle \frac32}-\operatorname{sn}(t,k)^2
 \bigr)
 \\
-\dot{X}(t)^2
-&=
-2\operatorname{sn}(t,k)^2
-\bigl(
-{\textstyle \frac32}-\operatorname{sn}(t,k)^2
-\bigr)^2
-\\
-&=
-{\textstyle\frac{9}{2}}\operatorname{sn}(t,k)^2
--
-6\operatorname{sn}(t,k)^4
-+2\operatorname{sn}(t,k)^6
-\\
 \dot{Y}(t)
 &=
 \operatorname{cn}'(t,k)\operatorname{sn}(t,k)
@@ -514,6 +504,19 @@ Dazu berechnen wir die Ableitungen
 \\
 &=
 \operatorname{dn}(t,k)\bigl(1-2\operatorname{sn}(t,k)^2\bigr)
+\intertext{und davon die Quadrate}
+\dot{X}(t)^2
+&=
+2\operatorname{sn}(t,k)^2
+\bigl(
+{\textstyle \frac32}-\operatorname{sn}(t,k)^2
+\bigr)^2
+\\
+&=
+{\textstyle\frac{9}{2}}\operatorname{sn}(t,k)^2
+-
+6\operatorname{sn}(t,k)^4
++2\operatorname{sn}(t,k)^6
 \\
 \dot{Y}(t)^2
 &=
@@ -523,22 +526,22 @@ Dazu berechnen wir die Ableitungen
 &=
 1-{\textstyle\frac{9}{2}}\operatorname{sn}(t,k)^2
 +6\operatorname{sn}(t,k)^4
--2\operatorname{sn}(t,k)^6
-\\
+-2\operatorname{sn}(t,k)^6.
+\intertext{Für das Bogenlängenintegral wird die Quadratsumme der Ableitungen
+benötigt, diese ist}
 \dot{X}(t)^2 + \dot{Y}(t)^2
 &=
 1.
-\end{align*}
-Dies bedeutet, dass die Bogenlänge zwischen den Parameterwerten $0$ und $t$
-\[
+\intertext{Dies bedeutet, dass die Bogenlänge zwischen den
+Parameterwerten $0$ und $t$}
 \int_0^t
 \sqrt{\dot{X}(\tau)^2 + \dot{Y}(\tau)^2}
 \,d\tau
-=
+&=
 \int_0^s\,d\tau
 =
 t,
-\]
+\end{align*}
 der Parameter $t$ ist also ein Bogenlängenparameter.
 
 %
@@ -556,18 +559,18 @@ hat daher eine Bogenlängenparametrisierung mit
 \begin{aligned}
 x(t)
 &=
-\phantom{\frac{1}{\sqrt{2}}}
-\operatorname{cn}(\sqrt{2}t,k)\operatorname{dn}(\sqrt{2}t,k)
+\phantom{\frac{1}{\!\sqrt{2}}}
+\operatorname{cn}(\!\sqrt{2}t,k)\operatorname{dn}(\!\sqrt{2}t,k)
 \\
 y(t)
 &=
-\frac{1}{\sqrt{2}}
-\operatorname{cn}(\sqrt{2}t,k)\operatorname{sn}(\sqrt{2}t,k)
+\frac{1}{\!\sqrt{2}}
+\operatorname{cn}(\!\sqrt{2}t,k)\operatorname{sn}(\!\sqrt{2}t,k)
 \end{aligned}
 \quad
 \right\}
 \qquad
-\text{mit $\displaystyle k=\frac{1}{\sqrt{2}}$}
+\text{mit $\displaystyle k=\frac{1}{\!\sqrt{2}}.$}
 \label{buch:elliptisch:lemniskate:bogenlaenge}
 \end{equation}
 Der Punkt $t=0$ entspricht dem Scheitelpunkt $S=(1,0)$ der Lemniskate.
@@ -630,21 +633,21 @@ r(t)^2
 =
 x(t)^2 + y(t)^2
 =
-\operatorname{cn}(\sqrt{2}t,k)^2
+\operatorname{cn}(\!\sqrt{2}t,k)^2
 \biggl(
-\operatorname{dn}(\sqrt{2}t,k)^2
+\operatorname{dn}(\!\sqrt{2}t,k)^2
 +
 \frac12
-\operatorname{sn}(\sqrt{2}t,k)^2
+\operatorname{sn}(\!\sqrt{2}t,k)^2
 \biggr)
 =
-\operatorname{cn}(\sqrt{2}t,k)^2.
+\operatorname{cn}(\!\sqrt{2}t,k)^2.
 \]
 Die Wurzel ist
 \[
 r(t)
 =
-\operatorname{cn}(\sqrt{2}t,{\textstyle\frac{1}{\sqrt{2}}})
+\operatorname{cn}(\!\sqrt{2}t,{\textstyle\frac{1}{\!\sqrt{2}}})
 .
 \]
 Der lemniskatische Sinus wurde aber in Abhängigkeit von
@@ -654,7 +657,7 @@ $s=\varpi/2-t$ mittels
 =
 r(s)
 =
-\operatorname{cn}(\sqrt{2}(\varpi/2-s),k)^2
+\operatorname{cn}(\!\sqrt{2}(\varpi/2-s),k)^2
 \]
 definiert.
 Der lemniskatische Kosinus ist definiert als der lemniskatische Sinus
@@ -666,7 +669,7 @@ der komplementären Bogenlänge, also
 =
 \operatorname{sl}(\varpi/2-s)
 =
-\operatorname{cn}(\sqrt{2}s,k)^2.
+\operatorname{cn}(\!\sqrt{2}s,k)^2.
 \]
 Die Funktion $\operatorname{sl}(s)$ und $\operatorname{cl}(s)$ sind
 in Abbildung~\ref{buch:elliptisch:figure:slcl} dargestellt.
@@ -674,4 +677,10 @@ Sie sind beide $2\varpi$-periodisch.
 Die Abbildung zeigt ausserdem die Funktionen $\sin (\pi s/\varpi)$
 und $\cos(\pi s/\varpi)$, die ebenfalls $2\varpi$-periodisch sind.
 
+Die Darstellung des lemniskatischen Sinus und Kosinus durch die
+Jacobische elliptische Funktion $\operatorname{cn}(\!\sqrt{2}s,k)$
+zeigt einmal mehr den Nutzen der Jacobischen elliptischen Funktionen.
+
+
+
 
-- 
cgit v1.2.1

