From fbcf8833aef79694e448010520f2253e93f2cd4e Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: =?UTF-8?q?Andreas=20M=C3=BCller?= <andreas.mueller@ost.ch>
Date: Tue, 14 Jun 2022 16:59:48 +0200
Subject: more info about the lemniskate

---
 buch/chapters/110-elliptisch/lemniskate.tex | 162 ++++++++++++++++++++++++++++
 1 file changed, 162 insertions(+)

(limited to 'buch/chapters/110-elliptisch/lemniskate.tex')

diff --git a/buch/chapters/110-elliptisch/lemniskate.tex b/buch/chapters/110-elliptisch/lemniskate.tex
index f750a82..d76a963 100644
--- a/buch/chapters/110-elliptisch/lemniskate.tex
+++ b/buch/chapters/110-elliptisch/lemniskate.tex
@@ -12,6 +12,9 @@ veröffentlich hat.
 In diesem Abschnitt soll die Verbindung zu den Jacobischen
 elliptischen Funktionen hergestellt werden.
 
+%
+% Lemniskate
+%
 \subsection{Lemniskate
 \label{buch:gemotrie:subsection:lemniskate}}
 \begin{figure}
@@ -71,6 +74,165 @@ Sie gilt für Winkel $\varphi\in[-\frac{\pi}4,\frac{\pi}4]$ für das
 rechte Blatt und $\varphi\in[\frac{3\pi}4,\frac{5\pi}4]$ für das linke
 Blatt der Lemniskate.
 
+%
+% Schnitt eines Kegels mit einem Paraboloid
+%
+\subsubsection{Schnitt eines Kegels mit einem Paraboloid}
+\begin{figure}
+\center
+\includegraphics{chapters/110-elliptisch/images/kegelpara.pdf}
+\caption{Leminiskate (rot) als Projektion (gelb) der Schnittkurve (blau)
+eines geraden
+Kreiskegels (grün) mit einem Rotationsparaboloid (hellblau).
+\label{buch:elliptisch:lemniskate:kegelpara}}
+\end{figure}%
+Schreibt man in der Gleichung~\eqref{buch:elliptisch:eqn:lemniskate}
+für die Klammer auf der rechten Seite $Z^2 = X^2 - Y^2$, dann wird die
+Lemniskate die Projektion in die $X$-$Y$-Ebene der Schnittmenge der Flächen,
+die durch die Gleichungen
+\begin{equation}
+X^2-Y^2 = Z^2
+\qquad\text{und}\qquad
+(X^2+Y^2) = R^2 = \sqrt{2}aZ
+\label{buch:elliptisch:eqn:kegelparabolschnitt}
+\end{equation}
+beschrieben wird.
+Die linke Gleichung in 
+\eqref{buch:elliptisch:eqn:kegelparabolschnitt}
+beschreibt einen geraden Kreiskegel, die rechte ist ein Rotationsparaboloid.
+Die Schnittkurve ist in Abbildung~\ref{buch:elliptisch:lemniskate:kegelpara}
+dargestellt.
+
+\subsubsection{Schnitt eines Torus mit einer Ebene}
+\begin{figure}
+\centering
+\includegraphics{chapters/110-elliptisch/images/torusschnitt.pdf}
+\caption{Die Schnittkurve (rot) eines Torus (grün)
+mit einer zur Torusachse parallelen Ebene (blau),
+die den inneren Äquator des Torus berührt, ist eine Lemniskate.
+\label{buch:elliptisch:lemniskate:torusschnitt}}
+\end{figure}
+Schneidet man einen Torus mit einer Ebene, die zur Achse des Torus
+parallel ist und den inneren Äquator des Torus berührt, entsteht
+ebenfalls eine Lemniskate.
+Die Situation ist in Abbildung~\ref{buch:elliptisch:lemniskate:torusschnitt}
+dargestellt.
+
+Der Torus kann mit den Radien $2$ und $1$ mit der $y$-Achse als Torusachse
+kann mit der Parametrisierung
+\[
+(s,t)
+\mapsto
+\begin{pmatrix}
+(2+\cos s) \cos t \\
+\sin s \\
+(2+\cos s) \sin t 
+\end{pmatrix}
+\]
+beschrieben werden.
+Die Gleichung $z=1$ beschreibt eine 
+achsparallele Ebene, die den inneren Äquator berührt.
+Die Schnittkurve erfüllt daher
+\[
+(2+\cos s)\sin t = 1,
+\]
+was wir auch als $2 +\cos s = 1/\sin t$ schreiben können.
+Wir müssen nachprüfen dass die Koordinaten
+$X=(2+\cos s)\cos t$ und $Y=\sin s$ die Gleichung einer Lemniskate
+erfüllen.
+
+Zunächst können wir in der $X$-Koordinate den Klammerausdruck durch 
+\begin{equation}
+X
+=
+(2+\cos s) \cos t
+=
+\frac{1}{\sin t}\cos t
+=
+\frac{\cos t}{\sin t}
+\qquad\Rightarrow\qquad
+X^2
+=
+\frac{\cos^2t}{\sin^2 t}
+=
+\frac{1-\sin^2t}{\sin^2 t}
+\label{buch:elliptisch:lemniskate:Xsin}
+\end{equation}
+ersetzen.
+Auch die $Y$-Koordinaten können wir durch $t$ ausdrücken, 
+nämlich
+\begin{equation}
+Y^2=\sin^2 s = 1-\cos^2 s
+=
+1-
+\biggl(
+\frac{1}{\sin t}
+-2
+\biggr)^2
+=
+\frac{-3\sin^2 t+4\sin t-1}{\sin^2 t}.
+\label{buch:elliptisch:lemniskate:Ysin}
+\end{equation}
+Die Gleichungen
+\eqref{buch:elliptisch:lemniskate:Xsin}
+und
+\eqref{buch:elliptisch:lemniskate:Ysin}
+zeigen, dass man $X^2$ und $Y^2$ sogar einzig durch $\sin t$ 
+parametrisieren kann.
+Um die Ausdrücke etwas zu vereinfachen, schreiben wir $S=\sin t$
+und erhalten zusammenfassend
+\begin{equation}
+\begin{aligned}
+X^2
+&=
+\frac{1-S^2}{S^2}
+\\
+Y^2
+&=
+\frac{-3S^2+4S-1}{S^2}.
+\end{aligned}
+\end{equation}
+Daraus kann man jetzt die Summen und Differenzen der Quadrate
+berechnen, sie sind
+\begin{equation}
+\begin{aligned}
+X^2+Y^2
+&=
+\frac{-4S^2+4S}{S^2}
+=
+\frac{4S(1-S)}{S^2}
+=
+\frac{4(1-S)}{S}
+=
+4\frac{1-S}{S}
+\\
+X^2-Y^2
+&=
+\frac{2-4S+2S^2}{S^2}
+=
+\frac{2(1-S)^2}{S^2}
+=
+2\biggl(\frac{1-S}{S}\biggr)^2.
+\end{aligned}
+\end{equation}
+Durch Berechnung des Quadrates von $X^2+Y^2$ kann man jetzt
+die Gleichung
+\[
+(X^2+Y^2)
+=
+16
+\biggl(\frac{1-S}{S}\biggr)^2
+=
+8 \cdot 2
+\biggl(\frac{1-S}{S}\biggr)^2
+=
+2\cdot 2^2\cdot (X-Y)^2.
+\]
+Dies ist eine Lemniskaten-Gleichung für $a=2$.
+
+%
+% Bogenlänge der Lemniskate
+%
 \subsection{Bogenlänge}
 Die Funktionen
 \begin{equation}
-- 
cgit v1.2.1


From f62b44e41eb5d9afe46e56c335b96cb48ae3a492 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: =?UTF-8?q?Andreas=20M=C3=BCller?= <andreas.mueller@ost.ch>
Date: Tue, 14 Jun 2022 17:02:23 +0200
Subject: finalize lemniscate as sections

---
 buch/chapters/110-elliptisch/lemniskate.tex | 4 ++--
 1 file changed, 2 insertions(+), 2 deletions(-)

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diff --git a/buch/chapters/110-elliptisch/lemniskate.tex b/buch/chapters/110-elliptisch/lemniskate.tex
index d76a963..f81f0e2 100644
--- a/buch/chapters/110-elliptisch/lemniskate.tex
+++ b/buch/chapters/110-elliptisch/lemniskate.tex
@@ -215,7 +215,7 @@ X^2-Y^2
 2\biggl(\frac{1-S}{S}\biggr)^2.
 \end{aligned}
 \end{equation}
-Durch Berechnung des Quadrates von $X^2+Y^2$ kann man jetzt
+Die Berechnung des Quadrates von $X^2+Y^2$ ergibt
 die Gleichung
 \[
 (X^2+Y^2)
@@ -228,7 +228,7 @@ die Gleichung
 =
 2\cdot 2^2\cdot (X-Y)^2.
 \]
-Dies ist eine Lemniskaten-Gleichung für $a=2$.
+Sie ist eine Lemniskaten-Gleichung für $a=2$.
 
 %
 % Bogenlänge der Lemniskate
-- 
cgit v1.2.1


From 864b17ee949de5c14ebc3bbf50a90178b4b804f3 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: =?UTF-8?q?Andreas=20M=C3=BCller?= <andreas.mueller@ost.ch>
Date: Wed, 15 Jun 2022 20:25:27 +0200
Subject: fix some minor issues

---
 buch/chapters/110-elliptisch/lemniskate.tex | 12 ++++++------
 1 file changed, 6 insertions(+), 6 deletions(-)

(limited to 'buch/chapters/110-elliptisch/lemniskate.tex')

diff --git a/buch/chapters/110-elliptisch/lemniskate.tex b/buch/chapters/110-elliptisch/lemniskate.tex
index f81f0e2..fceaadf 100644
--- a/buch/chapters/110-elliptisch/lemniskate.tex
+++ b/buch/chapters/110-elliptisch/lemniskate.tex
@@ -81,7 +81,7 @@ Blatt der Lemniskate.
 \begin{figure}
 \center
 \includegraphics{chapters/110-elliptisch/images/kegelpara.pdf}
-\caption{Leminiskate (rot) als Projektion (gelb) der Schnittkurve (blau)
+\caption{Leminiskate (rot) als Projektion (gelb) der Schnittkurve (pink)
 eines geraden
 Kreiskegels (grün) mit einem Rotationsparaboloid (hellblau).
 \label{buch:elliptisch:lemniskate:kegelpara}}
@@ -126,7 +126,7 @@ kann mit der Parametrisierung
 \begin{pmatrix}
 (2+\cos s) \cos t \\
 \sin s \\
-(2+\cos s) \sin t 
+(2+\cos s) \sin t + 1
 \end{pmatrix}
 \]
 beschrieben werden.
@@ -134,9 +134,9 @@ Die Gleichung $z=1$ beschreibt eine
 achsparallele Ebene, die den inneren Äquator berührt.
 Die Schnittkurve erfüllt daher
 \[
-(2+\cos s)\sin t = 1,
+(2+\cos s)\sin t + 1 = 0,
 \]
-was wir auch als $2 +\cos s = 1/\sin t$ schreiben können.
+was wir auch als $2 +\cos s = -1/\sin t$ schreiben können.
 Wir müssen nachprüfen dass die Koordinaten
 $X=(2+\cos s)\cos t$ und $Y=\sin s$ die Gleichung einer Lemniskate
 erfüllen.
@@ -147,9 +147,9 @@ X
 =
 (2+\cos s) \cos t
 =
-\frac{1}{\sin t}\cos t
+-\frac{1}{\sin t}\cos t
 =
-\frac{\cos t}{\sin t}
+-\frac{\cos t}{\sin t}
 \qquad\Rightarrow\qquad
 X^2
 =
-- 
cgit v1.2.1


From 88031a6a5bad428cb3bf03dea6f0f95d79484723 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: =?UTF-8?q?Andreas=20M=C3=BCller?= <andreas.mueller@othello.ch>
Date: Thu, 16 Jun 2022 17:02:24 +0200
Subject: new plots

---
 buch/chapters/110-elliptisch/lemniskate.tex | 92 +++++++++++++++++++++--------
 1 file changed, 67 insertions(+), 25 deletions(-)

(limited to 'buch/chapters/110-elliptisch/lemniskate.tex')

diff --git a/buch/chapters/110-elliptisch/lemniskate.tex b/buch/chapters/110-elliptisch/lemniskate.tex
index fceaadf..fd998b3 100644
--- a/buch/chapters/110-elliptisch/lemniskate.tex
+++ b/buch/chapters/110-elliptisch/lemniskate.tex
@@ -86,9 +86,11 @@ eines geraden
 Kreiskegels (grün) mit einem Rotationsparaboloid (hellblau).
 \label{buch:elliptisch:lemniskate:kegelpara}}
 \end{figure}%
+\index{Kegel}%
+\index{Paraboloid}%
 Schreibt man in der Gleichung~\eqref{buch:elliptisch:eqn:lemniskate}
 für die Klammer auf der rechten Seite $Z^2 = X^2 - Y^2$, dann wird die
-Lemniskate die Projektion in die $X$-$Y$-Ebene der Schnittmenge der Flächen,
+Lemniskate die Projektion in die $X$-$Y$-Ebene der Schnittkurve der Flächen,
 die durch die Gleichungen
 \begin{equation}
 X^2-Y^2 = Z^2
@@ -112,14 +114,18 @@ mit einer zur Torusachse parallelen Ebene (blau),
 die den inneren Äquator des Torus berührt, ist eine Lemniskate.
 \label{buch:elliptisch:lemniskate:torusschnitt}}
 \end{figure}
+\index{Torus}%
 Schneidet man einen Torus mit einer Ebene, die zur Achse des Torus
 parallel ist und den inneren Äquator des Torus berührt, entsteht
 ebenfalls eine Lemniskate.
 Die Situation ist in Abbildung~\ref{buch:elliptisch:lemniskate:torusschnitt}
 dargestellt.
 
-Der Torus kann mit den Radien $2$ und $1$ mit der $y$-Achse als Torusachse
-kann mit der Parametrisierung
+Der in Abbildung~\ref{buch:elliptisch:lemniskate:torusschnitt}
+dargestellte Torus mit den Radien $2$ und $1$ hat als Achse die
+um eine Einheit in $Z$-Richtung verschobene $Y$-Achse und die
+$X$-$Z$-Ebene als Äquatorebene.
+Sie kann mit
 \[
 (s,t)
 \mapsto
@@ -129,9 +135,10 @@ kann mit der Parametrisierung
 (2+\cos s) \sin t + 1
 \end{pmatrix}
 \]
-beschrieben werden.
-Die Gleichung $z=1$ beschreibt eine 
-achsparallele Ebene, die den inneren Äquator berührt.
+parametrisiert werden, die $s$- und $t$-Koordinatenlinien sind 
+in der Abbildung gelb eingezeichnet.
+Die Gleichung $Z=0$ beschreibt eine achsparallele Ebene, die den
+inneren Äquator berührt.
 Die Schnittkurve erfüllt daher
 \[
 (2+\cos s)\sin t + 1 = 0,
@@ -141,7 +148,8 @@ Wir müssen nachprüfen dass die Koordinaten
 $X=(2+\cos s)\cos t$ und $Y=\sin s$ die Gleichung einer Lemniskate
 erfüllen.
 
-Zunächst können wir in der $X$-Koordinate den Klammerausdruck durch 
+Zunächst können wir in der $X$-Koordinate den Klammerausdruck durch
+$\sin t$ ausdrücken und erhalten
 \begin{equation}
 X
 =
@@ -155,10 +163,9 @@ X^2
 =
 \frac{\cos^2t}{\sin^2 t}
 =
-\frac{1-\sin^2t}{\sin^2 t}
+\frac{1-\sin^2t}{\sin^2 t}.
 \label{buch:elliptisch:lemniskate:Xsin}
 \end{equation}
-ersetzen.
 Auch die $Y$-Koordinaten können wir durch $t$ ausdrücken, 
 nämlich
 \begin{equation}
@@ -218,7 +225,7 @@ X^2-Y^2
 Die Berechnung des Quadrates von $X^2+Y^2$ ergibt
 die Gleichung
 \[
-(X^2+Y^2)
+(X^2+Y^2)^2
 =
 16
 \biggl(\frac{1-S}{S}\biggr)^2
@@ -226,7 +233,7 @@ die Gleichung
 8 \cdot 2
 \biggl(\frac{1-S}{S}\biggr)^2
 =
-2\cdot 2^2\cdot (X-Y)^2.
+2\cdot 2^2\cdot (X^2-Y^2).
 \]
 Sie ist eine Lemniskaten-Gleichung für $a=2$.
 
@@ -279,7 +286,7 @@ Kettenregel berechnen kann:
 &&\Rightarrow&
 \dot{y}(r)^2
 &=
-\frac{1-r^2}{2} -r^2 + \frac{r^4}{2(1-r^2)}
+\frac{1-r^2}{2} -r^2 + \frac{r^4}{2(1-r^2)}.
 \end{align*}
 Die Summe der Quadrate ist
 \begin{align*}
@@ -342,6 +349,13 @@ $\varpi/2$.
 %  Bogenlängenparametrisierung
 %
 \subsection{Bogenlängenparametrisierung}
+\begin{figure}
+\centering
+\includegraphics{chapters/110-elliptisch/images/lemnispara.pdf}
+\caption{Parametrisierung der Lemniskate mit Jacobischen elliptischen
+Funktion wie in \eqref{buch:elliptisch:lemniskate:bogeneqn}
+\label{buch:elliptisch:lemniskate:bogenpara}}
+\end{figure}
 Die Lemniskate mit der Gleichung
 \[
 (X^2+Y^2)^2=2(X^2-Y^2)
@@ -350,7 +364,7 @@ Die Lemniskate mit der Gleichung
 kann mit Jacobischen elliptischen Funktionen
 parametrisiert werden.
 Dazu schreibt man
-\[
+\begin{equation}
 \left.
 \begin{aligned}
 X(t)
@@ -364,9 +378,17 @@ Y(t)
 \end{aligned}
 \quad\right\}
 \qquad\text{mit $k=\displaystyle\frac{1}{\sqrt{2}}$}
-\]
-und berechnet die beiden Seiten der definierenden Gleichung der
-Lemniskate.
+\label{buch:elliptisch:lemniskate:bogeneqn}
+\end{equation}
+Abbildung~\ref{buch:elliptisch:lemniskate:bogenpara} zeigt die
+Parametrisierung. 
+Dem Parameterwert $t=0$ entspricht der Punkt
+$(\sqrt{2},0)$ der Lemniskate.
+
+Dass \eqref{buch:elliptisch:lemniskate:bogeneqn}
+tatsächlich eine Parametrisierung ist kann nachgewiesen werden dadurch,
+dass man die beiden Seiten der definierenden Gleichung der
+Lemniskate berechnet.
 Zunächst ist
 \begin{align*}
 X(t)^2
@@ -436,7 +458,7 @@ Dazu berechnen wir die Ableitungen
 &=
 -\sqrt{2}\operatorname{sn}(t,k)\bigl(
 1-{\textstyle\frac12}\operatorname{sn}(t,k)^2
-+{\textstyle\frac12}-{\textstyle\frac12}\operatorname{sn}(u,t)^2
++{\textstyle\frac12}-{\textstyle\frac12}\operatorname{sn}(t,k)^2
 \bigr)
 \\
 &=
@@ -507,6 +529,7 @@ Gleichung
 \]
 hat daher eine Bogenlängenparametrisierung mit
 \begin{equation}
+\left.
 \begin{aligned}
 x(t)
 &=
@@ -515,8 +538,13 @@ x(t)
 \\
 y(t)
 &=
-\frac{1}{\sqrt{2}}\operatorname{cn}(\sqrt{2}t,k)\operatorname{sn}(\sqrt{2}t,k)
+\frac{1}{\sqrt{2}}
+\operatorname{cn}(\sqrt{2}t,k)\operatorname{sn}(\sqrt{2}t,k)
 \end{aligned}
+\quad
+\right\}
+\qquad
+\text{mit $\displaystyle k=\frac{1}{\sqrt{2}}$}
 \label{buch:elliptisch:lemniskate:bogenlaenge}
 \end{equation}
 
@@ -527,7 +555,7 @@ die Bogenlänge zuordnet.
 Daher ist es naheliegend, die Umkehrfunktion von $s(r)$ in 
 \eqref{buch:elliptisch:eqn:lemniskatebogenlaenge}
 den {\em lemniskatischen Sinus} zu nennen mit der Bezeichnung
-$r=\operatorname{sl} s$.
+$r=r(s)=\operatorname{sl} s$.
 
 Der Kosinus ist der Sinus des komplementären Winkels.
 Auch für die lemniskatische Bogenlänge $s(r)$ lässt sich eine
@@ -537,9 +565,9 @@ Da die Bogenlänge zwischen $(0,0)$ und $(1,0)$ in
 in \eqref{buch:elliptisch:eqn:varpi} bereits bereichnet wurde.
 ist sie $\varpi/2-s$.
 Der {\em lemniskatische Kosinus} ist daher
-$\operatorname{cl}(s) = \operatorname{sl}(\varpi/2-s)$
+$\operatorname{cl}(s) = \operatorname{sl}(\varpi/2-s)$.
 Graphen des lemniskatische Sinus und Kosinus sind in
-Abbildung~\label{buch:elliptisch:figure:slcl} dargestellt.
+Abbildung~\ref{buch:elliptisch:figure:slcl} dargestellt.
 
 Da die Parametrisierung~\eqref{buch:elliptisch:lemniskate:bogenlaenge}
 eine Bogenlängenparametrisierung ist, darf man $t=s$ schreiben.
@@ -551,18 +579,32 @@ r(s)^2
 x(s)^2 + y(s)^2
 =
 \operatorname{cn}(s\sqrt{2},k)^2
-\qquad\Rightarrow\qquad
+\biggl(
+\operatorname{dn}(\sqrt{2}t,k)^2
++
+\frac12
+\operatorname{sn}(\sqrt{2}t,k)^2
+\biggr)
+=
+\operatorname{cn}(s\sqrt{2},k)^2.
+\]
+Die Wurzel ist
+\[
 r(s)
 =
-\operatorname{cn}(s\sqrt{2},k)
+\operatorname{sl} s
+=
+\operatorname{cn}(s\sqrt{2},{\textstyle\frac{1}{\sqrt{2}}}).
 \]
+Damit ist der lemniskatische Sinus durch eine Jacobische elliptische
+Funktion darstellbar.
 
 \begin{figure}
 \centering
 \includegraphics[width=\textwidth]{chapters/110-elliptisch/images/slcl.pdf}
 \caption{
 Lemniskatischer Sinus und Kosinus sowie Sinus und Kosinus
-mit derart skaliertem Argument, dass die Funktionen die gleichen Nullstellen
-haben.
+mit derart skaliertem Argument, dass die Funktionen die
+gleichen Nullstellen haben.
 \label{buch:elliptisch:figure:slcl}}
 \end{figure}
-- 
cgit v1.2.1


From abb439719da913ee1bf14ee088748662fef3cd76 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: =?UTF-8?q?Andreas=20M=C3=BCller?= <andreas.mueller@othello.ch>
Date: Thu, 16 Jun 2022 19:27:16 +0200
Subject: new stuff

---
 buch/chapters/110-elliptisch/lemniskate.tex | 199 +++++++++++++++++++---------
 1 file changed, 133 insertions(+), 66 deletions(-)

(limited to 'buch/chapters/110-elliptisch/lemniskate.tex')

diff --git a/buch/chapters/110-elliptisch/lemniskate.tex b/buch/chapters/110-elliptisch/lemniskate.tex
index fd998b3..a284f75 100644
--- a/buch/chapters/110-elliptisch/lemniskate.tex
+++ b/buch/chapters/110-elliptisch/lemniskate.tex
@@ -32,6 +32,13 @@ mit der Gleichung
 \end{equation}
 Sie ist in Abbildung~\ref{buch:elliptisch:fig:lemniskate}
 dargestellt.
+Der Fall $a=1/\sqrt{2}$ ist eine Kurve mit der Gleichung
+\[
+(x^2+y^2)^2 = x^2-y^2,
+\]
+wir nennen sie die {\em Standard-Lemniskate}.
+
+\subsubsection{Scheitelpunkte}
 Die beiden Scheitel der Lemniskate befinden sich bei $X_s=\pm a\sqrt{2}$.
 Dividiert man die Gleichung der Lemniskate durch $X_s^2=4a^4$ entsteht 
 \begin{equation}
@@ -53,10 +60,12 @@ Dividiert man die Gleichung der Lemniskate durch $X_s^2=4a^4$ entsteht
 \label{buch:elliptisch:eqn:lemniskatenormiert}
 \end{equation}
 wobei wir $x=X/a\sqrt{2}$ und $y=Y/a\sqrt{2}$ gesetzt haben.
-In dieser Normierung liegen die Scheitel bei $\pm 1$.
+In dieser Normierung, der Standard-Lemniskaten, liegen die Scheitel
+bei $\pm 1$.
 Dies ist die Skalierung, die für die Definition des lemniskatischen
 Sinus und Kosinus verwendet werden soll.
 
+\subsubsection{Polarkoordinaten}
 In Polarkoordinaten $x=r\cos\varphi$ und $y=r\sin\varphi$
 gilt nach Einsetzen in \eqref{buch:elliptisch:eqn:lemniskatenormiert}
 \begin{equation}
@@ -116,77 +125,80 @@ die den inneren Äquator des Torus berührt, ist eine Lemniskate.
 \end{figure}
 \index{Torus}%
 Schneidet man einen Torus mit einer Ebene, die zur Achse des Torus
-parallel ist und den inneren Äquator des Torus berührt, entsteht
-ebenfalls eine Lemniskate.
-Die Situation ist in Abbildung~\ref{buch:elliptisch:lemniskate:torusschnitt}
-dargestellt.
+parallel ist und den inneren Äquator des Torus berührt, wie in
+Abbildung~\ref{buch:elliptisch:lemniskate:torusschnitt},
+entsteht ebenfalls eine Lemniskate, wie in diesem Abschnitt nachgewiesen
+werden soll.
 
 Der in Abbildung~\ref{buch:elliptisch:lemniskate:torusschnitt}
 dargestellte Torus mit den Radien $2$ und $1$ hat als Achse die
 um eine Einheit in $Z$-Richtung verschobene $Y$-Achse und die
 $X$-$Z$-Ebene als Äquatorebene.
-Sie kann mit
+Der Torus kann mit
 \[
-(s,t)
+(u,v)
 \mapsto
 \begin{pmatrix}
-(2+\cos s) \cos t \\
-\sin s \\
-(2+\cos s) \sin t + 1
+(2+\cos u) \cos v    \\
+   \sin u            \\
+(2+\cos u) \sin v + 1
 \end{pmatrix}
 \]
-parametrisiert werden, die $s$- und $t$-Koordinatenlinien sind 
+parametrisiert werden, die $u$- und $v$-Koordinatenlinien sind 
 in der Abbildung gelb eingezeichnet.
+Die $v$-Koordinatenlinien sind Breitenkreise um die Achse des Torus.
+Aus $u=0$ und $u=\pi$ ergeben sich die Äquatoren des Torus.
+
 Die Gleichung $Z=0$ beschreibt eine achsparallele Ebene, die den
 inneren Äquator berührt.
 Die Schnittkurve erfüllt daher
 \[
-(2+\cos s)\sin t + 1 = 0,
+(2+\cos u)\sin v + 1 = 0,
 \]
-was wir auch als $2 +\cos s = -1/\sin t$ schreiben können.
-Wir müssen nachprüfen dass die Koordinaten
-$X=(2+\cos s)\cos t$ und $Y=\sin s$ die Gleichung einer Lemniskate
+was wir auch als $2 +\cos u = -1/\sin v$ schreiben können.
+Wir müssen nachprüfen, dass die Koordinaten
+$X=(2+\cos u)\cos v$ und $Y=\sin u$ die Gleichung einer Lemniskate
 erfüllen.
 
 Zunächst können wir in der $X$-Koordinate den Klammerausdruck durch
-$\sin t$ ausdrücken und erhalten
+$\sin v$ ausdrücken und erhalten
 \begin{equation}
 X
 =
-(2+\cos s) \cos t
+(2+\cos u) \cos v
 =
--\frac{1}{\sin t}\cos t
+-\frac{1}{\sin v}\cos v
 =
--\frac{\cos t}{\sin t}
+-\frac{\cos v}{\sin v}
 \qquad\Rightarrow\qquad
 X^2
 =
-\frac{\cos^2t}{\sin^2 t}
+\frac{\cos^2v}{\sin^2 v}
 =
-\frac{1-\sin^2t}{\sin^2 t}.
+\frac{1-\sin^2v}{\sin^2 v}.
 \label{buch:elliptisch:lemniskate:Xsin}
 \end{equation}
-Auch die $Y$-Koordinaten können wir durch $t$ ausdrücken, 
+Auch die $Y$-Koordinaten können wir durch $v$ ausdrücken, 
 nämlich
 \begin{equation}
-Y^2=\sin^2 s = 1-\cos^2 s
+Y^2=\sin^2 u = 1-\cos^2 u
 =
 1-
 \biggl(
-\frac{1}{\sin t}
+\frac{1}{\sin v}
 -2
 \biggr)^2
 =
-\frac{-3\sin^2 t+4\sin t-1}{\sin^2 t}.
+\frac{-3\sin^2 v+4\sin v-1}{\sin^2 v}.
 \label{buch:elliptisch:lemniskate:Ysin}
 \end{equation}
 Die Gleichungen
 \eqref{buch:elliptisch:lemniskate:Xsin}
 und
 \eqref{buch:elliptisch:lemniskate:Ysin}
-zeigen, dass man $X^2$ und $Y^2$ sogar einzig durch $\sin t$ 
+zeigen, dass man $X^2$ und $Y^2$ sogar einzig durch $\sin v$ 
 parametrisieren kann.
-Um die Ausdrücke etwas zu vereinfachen, schreiben wir $S=\sin t$
+Um die Ausdrücke etwas zu vereinfachen, schreiben wir $S=\sin v$
 und erhalten zusammenfassend
 \begin{equation}
 \begin{aligned}
@@ -222,8 +234,7 @@ X^2-Y^2
 2\biggl(\frac{1-S}{S}\biggr)^2.
 \end{aligned}
 \end{equation}
-Die Berechnung des Quadrates von $X^2+Y^2$ ergibt
-die Gleichung
+Die Berechnung des Quadrates von $X^2+Y^2$ ergibt die Gleichung
 \[
 (X^2+Y^2)^2
 =
@@ -260,7 +271,7 @@ r^4
 =
 (x(r)^2 + y(r)^2)^2,
 \end{align*}
-sie stellen also eine Parametrisierung der Lemniskate dar.
+sie stellen also eine Parametrisierung der Standard-Lemniskate dar.
 
 Mit Hilfe der Parametrisierung~\eqref{buch:geometrie:eqn:lemniskateparam}
 kann man die Länge $s$ des in Abbildung~\ref{buch:elliptisch:fig:lemniskate}
@@ -382,9 +393,13 @@ Y(t)
 \end{equation}
 Abbildung~\ref{buch:elliptisch:lemniskate:bogenpara} zeigt die
 Parametrisierung. 
-Dem Parameterwert $t=0$ entspricht der Punkt
-$(\sqrt{2},0)$ der Lemniskate.
+Dem Parameterwert $t=0$ entspricht der Scheitelpunkt
+$S=(\sqrt{2},0)$ der Lemniskate.
 
+%
+% Lemniskatengleichung
+%
+\subsubsection{Verfikation der Lemniskatengleichung}
 Dass \eqref{buch:elliptisch:lemniskate:bogeneqn}
 tatsächlich eine Parametrisierung ist kann nachgewiesen werden dadurch,
 dass man die beiden Seiten der definierenden Gleichung der
@@ -441,6 +456,11 @@ X(t)^2-Y(t)^2
 =
 2(X(t)^2-Y(t)^2).
 \end{align*}
+
+%
+% Berechnung der Bogenlänge
+%
+\subsubsection{Berechnung der Bogenlänge}
 Wir zeigen jetzt, dass dies tatsächlich eine Bogenlängenparametrisierung
 der Lemniskate ist.
 Dazu berechnen wir die Ableitungen
@@ -509,19 +529,22 @@ Dazu berechnen wir die Ableitungen
 &=
 1.
 \end{align*}
-Dies bedeutet, dass die Bogenlänge zwischen den Parameterwerten $0$ und $s$
+Dies bedeutet, dass die Bogenlänge zwischen den Parameterwerten $0$ und $t$
 \[
-\int_0^s
-\sqrt{\dot{X}(t)^2 + \dot{Y}(t)^2}
-\,dt
+\int_0^t
+\sqrt{\dot{X}(\tau)^2 + \dot{Y}(\tau)^2}
+\,d\tau
 =
-\int_0^s\,dt
+\int_0^s\,d\tau
 =
-s,
+t,
 \]
-der Parameter $t$ ist also ein Bogenlängenparameter, man darf also
-$s=t$ schreiben.
+der Parameter $t$ ist also ein Bogenlängenparameter.
 
+%
+% Bogenlängenparametrisierung der Standard-Lemniskate
+%
+\subsubsection{Bogenlängenparametrisierung der Standard-Lemniskate}
 Die mit dem Faktor $1/\sqrt{2}$ skalierte Standard-Lemniskate mit der
 Gleichung
 \[
@@ -547,7 +570,13 @@ y(t)
 \text{mit $\displaystyle k=\frac{1}{\sqrt{2}}$}
 \label{buch:elliptisch:lemniskate:bogenlaenge}
 \end{equation}
+Der Punkt $t=0$ entspricht dem Scheitelpunkt $S=(1,0)$ der Lemniskate.
+Der Parameter misst also die Bogenlänge entlang der Lemniskate ausgehend
+vom Scheitel.
 
+%
+% der lemniskatische Sinus und Kosinus
+%
 \subsection{Der lemniskatische Sinus und Kosinus}
 Der Sinus berechnet die Gegenkathete zu einer gegebenen Bogenlänge des
 Kreises, er ist die Umkehrfunktion der Funktion, die der Gegenkathete
@@ -555,30 +584,53 @@ die Bogenlänge zuordnet.
 Daher ist es naheliegend, die Umkehrfunktion von $s(r)$ in 
 \eqref{buch:elliptisch:eqn:lemniskatebogenlaenge}
 den {\em lemniskatischen Sinus} zu nennen mit der Bezeichnung
+\index{lemniskatischer Sinus}%
+\index{Sinus, lemniskatischer}%
 $r=r(s)=\operatorname{sl} s$.
+\index{komplementäre Bogenlänge}
 
+%
+% die komplementäre Bogenlänge
+%
+\subsubsection{Die komplementäre Bogenlänge}
 Der Kosinus ist der Sinus des komplementären Winkels.
 Auch für die lemniskatische Bogenlänge $s(r)$ lässt sich eine
-komplementäre Bogenlänge definieren, nämlich die Bogenlänge zwischen
-dem Punkt $(x(r), y(r))$ und $(1,0)$.
-Da die Bogenlänge zwischen $(0,0)$ und $(1,0)$ in
-in \eqref{buch:elliptisch:eqn:varpi} bereits bereichnet wurde.
-ist sie $\varpi/2-s$.
+komplementäre Bogenlänge $t$ definieren, nämlich die Bogenlänge
+zwischen dem Punkt $(x(r), y(r))$ und dem Scheitelpunkt $S=(1,0)$.
+Dies ist der Parameter der Parametrisierung
+\eqref{buch:elliptisch:lemniskate:bogenlaenge}
+des vorangegangenen Abschnittes.
+Die Bogenlänge zwischen $O=(0,0)$ und $S=(1,0)$ wurde in
+\eqref{buch:elliptisch:eqn:varpi} bereits bereichnet,
+sie ist $\varpi/2$.
+Damit folgt für die beiden Parameter $s$ und $t$ die Beziehung
+$t = \varpi/2 - s$.
+
+\subsubsection{Der lemniskatische Kosinus}
+\begin{figure}
+\centering
+\includegraphics[width=\textwidth]{chapters/110-elliptisch/images/slcl.pdf}
+\caption{
+Lemniskatischer Sinus und Kosinus sowie Sinus und Kosinus
+mit derart skaliertem Argument, dass die Funktionen die
+gleichen Nullstellen haben.
+\label{buch:elliptisch:figure:slcl}}
+\end{figure}
 Der {\em lemniskatische Kosinus} ist daher
 $\operatorname{cl}(s) = \operatorname{sl}(\varpi/2-s)$.
 Graphen des lemniskatische Sinus und Kosinus sind in
 Abbildung~\ref{buch:elliptisch:figure:slcl} dargestellt.
 
-Da die Parametrisierung~\eqref{buch:elliptisch:lemniskate:bogenlaenge}
-eine Bogenlängenparametrisierung ist, darf man $t=s$ schreiben.
-Dann kann man aber auch $r(s)$ daraus berechnen,
-es ist
+Die Parametrisierung~\eqref{buch:elliptisch:lemniskate:bogenlaenge}
+ist eine Bogenlängenparametrisierung der Standard-Lemniskate.
+Man kann sie verwenden, um $r(t)$ zu berechnen.
+Es ist
 \[
-r(s)^2
+r(t)^2
 =
-x(s)^2 + y(s)^2
+x(t)^2 + y(t)^2
 =
-\operatorname{cn}(s\sqrt{2},k)^2
+\operatorname{cn}(\sqrt{2}t,k)^2
 \biggl(
 \operatorname{dn}(\sqrt{2}t,k)^2
 +
@@ -586,25 +638,40 @@ x(s)^2 + y(s)^2
 \operatorname{sn}(\sqrt{2}t,k)^2
 \biggr)
 =
-\operatorname{cn}(s\sqrt{2},k)^2.
+\operatorname{cn}(\sqrt{2}t,k)^2.
 \]
 Die Wurzel ist
 \[
+r(t)
+=
+\operatorname{cn}(\sqrt{2}t,{\textstyle\frac{1}{\sqrt{2}}})
+.
+\]
+Der lemniskatische Sinus wurde aber in Abhängigkeit von
+$s=\varpi/2-t$ mittels
+\[
+\operatorname{sl}s
+=
 r(s)
 =
-\operatorname{sl} s
+\operatorname{cn}(\sqrt{2}(\varpi/2-s),k)^2
+\]
+definiert.
+Der lemniskatische Kosinus ist definiert als der lemniskatische Sinus
+\index{lemniskatischer Kosinus}%
+\index{Kosinus, lemniskatischer}%
+der komplementären Bogenlänge, also
+\[
+\operatorname{cl}(s)
+=
+\operatorname{sl}(\varpi/2-s)
 =
-\operatorname{cn}(s\sqrt{2},{\textstyle\frac{1}{\sqrt{2}}}).
+\operatorname{cn}(\sqrt{2}s,k)^2.
 \]
-Damit ist der lemniskatische Sinus durch eine Jacobische elliptische
-Funktion darstellbar.
+Die Funktion $\operatorname{sl}(s)$ und $\operatorname{cl}(s)$ sind
+in Abbildung~\ref{buch:elliptisch:figure:slcl} dargestellt.
+Sie sind beide $2\varpi$-periodisch.
+Die Abbildung zeigt ausserdem die Funktionen $\sin (\pi s/\varpi)$
+und $\cos(\pi s/\varpi)$, die ebenfalls $2\varpi$-periodisch sind.
+
 
-\begin{figure}
-\centering
-\includegraphics[width=\textwidth]{chapters/110-elliptisch/images/slcl.pdf}
-\caption{
-Lemniskatischer Sinus und Kosinus sowie Sinus und Kosinus
-mit derart skaliertem Argument, dass die Funktionen die
-gleichen Nullstellen haben.
-\label{buch:elliptisch:figure:slcl}}
-\end{figure}
-- 
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diff --git a/buch/chapters/110-elliptisch/lemniskate.tex b/buch/chapters/110-elliptisch/lemniskate.tex
index a284f75..61476a0 100644
--- a/buch/chapters/110-elliptisch/lemniskate.tex
+++ b/buch/chapters/110-elliptisch/lemniskate.tex
@@ -32,26 +32,26 @@ mit der Gleichung
 \end{equation}
 Sie ist in Abbildung~\ref{buch:elliptisch:fig:lemniskate}
 dargestellt.
-Der Fall $a=1/\sqrt{2}$ ist eine Kurve mit der Gleichung
+Der Fall $a=1/\!\sqrt{2}$ ist eine Kurve mit der Gleichung
 \[
 (x^2+y^2)^2 = x^2-y^2,
 \]
 wir nennen sie die {\em Standard-Lemniskate}.
 
 \subsubsection{Scheitelpunkte}
-Die beiden Scheitel der Lemniskate befinden sich bei $X_s=\pm a\sqrt{2}$.
+Die beiden Scheitel der Lemniskate befinden sich bei $X_s=\pm a\!\sqrt{2}$.
 Dividiert man die Gleichung der Lemniskate durch $X_s^2=4a^4$ entsteht 
 \begin{equation}
 \biggl(
-\biggl(\frac{X}{a\sqrt{2}}\biggr)^2
+\biggl(\frac{X}{a\!\sqrt{2}}\biggr)^2
 +
-\biggl(\frac{Y}{a\sqrt{2}}\biggr)^2
+\biggl(\frac{Y}{a\!\sqrt{2}}\biggr)^2
 \biggr)^2
 =
 2\frac{a^2}{2a^2}\biggl(
-\biggl(\frac{X}{a\sqrt{2}}\biggr)^2
+\biggl(\frac{X}{a\!\sqrt{2}}\biggr)^2
 -
-\biggl(\frac{Y}{a\sqrt{2}}\biggr)^2
+\biggl(\frac{Y}{a\!\sqrt{2}}\biggr)^2
 \biggr).
 \qquad
 \Leftrightarrow
@@ -59,7 +59,7 @@ Dividiert man die Gleichung der Lemniskate durch $X_s^2=4a^4$ entsteht
 (x^2+y^2)^2 = x^2-y^2,
 \label{buch:elliptisch:eqn:lemniskatenormiert}
 \end{equation}
-wobei wir $x=X/a\sqrt{2}$ und $y=Y/a\sqrt{2}$ gesetzt haben.
+wobei wir $x=X/a\!\sqrt{2}$ und $y=Y/a\!\sqrt{2}$ gesetzt haben.
 In dieser Normierung, der Standard-Lemniskaten, liegen die Scheitel
 bei $\pm 1$.
 Dies ist die Skalierung, die für die Definition des lemniskatischen
@@ -104,7 +104,7 @@ die durch die Gleichungen
 \begin{equation}
 X^2-Y^2 = Z^2
 \qquad\text{und}\qquad
-(X^2+Y^2) = R^2 = \sqrt{2}aZ
+(X^2+Y^2) = R^2 = \!\sqrt{2}aZ
 \label{buch:elliptisch:eqn:kegelparabolschnitt}
 \end{equation}
 beschrieben wird.
@@ -254,9 +254,9 @@ Sie ist eine Lemniskaten-Gleichung für $a=2$.
 \subsection{Bogenlänge}
 Die Funktionen
 \begin{equation}
-x(r) = \frac{r}{\sqrt{2}}\sqrt{1+r^2},
+x(r) = \frac{r}{\!\sqrt{2}}\sqrt{1+r^2},
 \quad
-y(r) = \frac{r}{\sqrt{2}}\sqrt{1-r^2}
+y(r) = \frac{r}{\!\sqrt{2}}\sqrt{1-r^2}
 \label{buch:geometrie:eqn:lemniskateparam}
 \end{equation}
 erfüllen
@@ -281,9 +281,9 @@ Kettenregel berechnen kann:
 \begin{align*}
 \dot{x}(r)
 &=
-\frac{\sqrt{1+r^2}}{\sqrt{2}}
+\frac{\!\sqrt{1+r^2}}{\!\sqrt{2}}
 +
-\frac{r^2}{\sqrt{2}\sqrt{1+r^2}}
+\frac{r^2}{\!\sqrt{2}\sqrt{1+r^2}}
 &&\Rightarrow&
 \dot{x}(r)^2
 &=
@@ -291,7 +291,7 @@ Kettenregel berechnen kann:
 \\
 \dot{y}(r)
 &=
-\frac{\sqrt{1-r^2}}{\sqrt{2}}
+\frac{\!\sqrt{1-r^2}}{\!\sqrt{2}}
 -
 \frac{r^2}{\sqrt{2}\sqrt{1-r^2}}
 &&\Rightarrow&
@@ -316,7 +316,7 @@ Durch Einsetzen in das Integral für die Bogenlänge bekommt man
 s(r)
 =
 \int_0^r
-\frac{1}{\sqrt{1-t^4}}\,dt.
+\frac{1}{\!\sqrt{1-t^4}}\,dt.
 \label{buch:elliptisch:eqn:lemniskatebogenlaenge}
 \end{equation}
 
@@ -329,11 +329,11 @@ $k^2=-1$ oder $k=i$ ist
 \[
 K(r,i)
 =
-\int_0^x \frac{dt}{\sqrt{(1-t^2)(1-i^2 t^2)}}
+\int_0^x \frac{dt}{\!\sqrt{(1-t^2)(1-i^2 t^2)}}
 =
-\int_0^x \frac{dt}{\sqrt{(1-t^2)(1-(-1)t^2)}}
+\int_0^x \frac{dt}{\!\sqrt{(1-t^2)(1-(-1)t^2)}}
 =
-\int_0^x \frac{dt}{\sqrt{1-t^4}}
+\int_0^x \frac{dt}{\!\sqrt{1-t^4}}
 =
 s(r).
 \]
@@ -388,23 +388,23 @@ Y(t)
 \operatorname{cn}(t,k) \operatorname{sn}(t,k)
 \end{aligned}
 \quad\right\}
-\qquad\text{mit $k=\displaystyle\frac{1}{\sqrt{2}}$}
+\qquad\text{mit $k=\displaystyle\frac{1}{\sqrt{2}}.$}
 \label{buch:elliptisch:lemniskate:bogeneqn}
 \end{equation}
 Abbildung~\ref{buch:elliptisch:lemniskate:bogenpara} zeigt die
 Parametrisierung. 
 Dem Parameterwert $t=0$ entspricht der Scheitelpunkt
-$S=(\sqrt{2},0)$ der Lemniskate.
+$S=(\!\sqrt{2},0)$ der Lemniskate.
 
 %
 % Lemniskatengleichung
 %
 \subsubsection{Verfikation der Lemniskatengleichung}
 Dass \eqref{buch:elliptisch:lemniskate:bogeneqn}
-tatsächlich eine Parametrisierung ist kann nachgewiesen werden dadurch,
+tatsächlich eine Parametrisierung ist, kann dadurch nachgewiesen werden,
 dass man die beiden Seiten der definierenden Gleichung der
 Lemniskate berechnet.
-Zunächst ist
+Zunächst sind die Quadrate von $X(t)$ und $Y(t)$
 \begin{align*}
 X(t)^2
 &=
@@ -414,8 +414,8 @@ X(t)^2
 Y(t)^2
 &=
 \operatorname{cn}(t,k)^2
-\operatorname{sn}(t,k)^2
-\\
+\operatorname{sn}(t,k)^2.
+\intertext{Für Summe und Differenz der Quadrate findet man jetzt}
 X(t)^2+Y(t)^2
 &=
 2\operatorname{cn}(t,k)^2
@@ -447,15 +447,18 @@ X(t)^2-Y(t)^2
 \bigr)
 \\
 &=
-2\operatorname{cn}(t,k)^4
-\\
+2\operatorname{cn}(t,k)^4.
+\intertext{Beide lassen sich also durch $\operatorname{cn}(t,k)^2$
+ausdrücken.
+Zusammengefasst erhält man}
 \Rightarrow\qquad
 (X(t)^2+Y(t)^2)^2
 &=
 4\operatorname{cn}(t,k)^4
 =
-2(X(t)^2-Y(t)^2).
+2(X(t)^2-Y(t)^2),
 \end{align*}
+eine Lemniskaten-Gleichung.
 
 %
 % Berechnung der Bogenlänge
@@ -467,39 +470,26 @@ Dazu berechnen wir die Ableitungen
 \begin{align*}
 \dot{X}(t)
 &=
-\sqrt{2}\operatorname{cn}'(t,k)\operatorname{dn}(t,k)
+\!\sqrt{2}\operatorname{cn}'(t,k)\operatorname{dn}(t,k)
 +
-\sqrt{2}\operatorname{cn}(t,k)\operatorname{dn}'(t,k)
+\!\sqrt{2}\operatorname{cn}(t,k)\operatorname{dn}'(t,k)
 \\
 &=
--\sqrt{2}\operatorname{sn}(t,k)\operatorname{dn}(t,k)^2
+-\!\sqrt{2}\operatorname{sn}(t,k)\operatorname{dn}(t,k)^2
 -\frac12\sqrt{2}\operatorname{sn}(t,k)\operatorname{cn}(t,k)^2
 \\
 &=
--\sqrt{2}\operatorname{sn}(t,k)\bigl(
+-\!\sqrt{2}\operatorname{sn}(t,k)\bigl(
 1-{\textstyle\frac12}\operatorname{sn}(t,k)^2
 +{\textstyle\frac12}-{\textstyle\frac12}\operatorname{sn}(t,k)^2
 \bigr)
 \\
 &=
-\sqrt{2}\operatorname{sn}(t,k)
+\!\sqrt{2}\operatorname{sn}(t,k)
 \bigl(
 {\textstyle \frac32}-\operatorname{sn}(t,k)^2
 \bigr)
 \\
-\dot{X}(t)^2
-&=
-2\operatorname{sn}(t,k)^2
-\bigl(
-{\textstyle \frac32}-\operatorname{sn}(t,k)^2
-\bigr)^2
-\\
-&=
-{\textstyle\frac{9}{2}}\operatorname{sn}(t,k)^2
--
-6\operatorname{sn}(t,k)^4
-+2\operatorname{sn}(t,k)^6
-\\
 \dot{Y}(t)
 &=
 \operatorname{cn}'(t,k)\operatorname{sn}(t,k)
@@ -514,6 +504,19 @@ Dazu berechnen wir die Ableitungen
 \\
 &=
 \operatorname{dn}(t,k)\bigl(1-2\operatorname{sn}(t,k)^2\bigr)
+\intertext{und davon die Quadrate}
+\dot{X}(t)^2
+&=
+2\operatorname{sn}(t,k)^2
+\bigl(
+{\textstyle \frac32}-\operatorname{sn}(t,k)^2
+\bigr)^2
+\\
+&=
+{\textstyle\frac{9}{2}}\operatorname{sn}(t,k)^2
+-
+6\operatorname{sn}(t,k)^4
++2\operatorname{sn}(t,k)^6
 \\
 \dot{Y}(t)^2
 &=
@@ -523,22 +526,22 @@ Dazu berechnen wir die Ableitungen
 &=
 1-{\textstyle\frac{9}{2}}\operatorname{sn}(t,k)^2
 +6\operatorname{sn}(t,k)^4
--2\operatorname{sn}(t,k)^6
-\\
+-2\operatorname{sn}(t,k)^6.
+\intertext{Für das Bogenlängenintegral wird die Quadratsumme der Ableitungen
+benötigt, diese ist}
 \dot{X}(t)^2 + \dot{Y}(t)^2
 &=
 1.
-\end{align*}
-Dies bedeutet, dass die Bogenlänge zwischen den Parameterwerten $0$ und $t$
-\[
+\intertext{Dies bedeutet, dass die Bogenlänge zwischen den
+Parameterwerten $0$ und $t$}
 \int_0^t
 \sqrt{\dot{X}(\tau)^2 + \dot{Y}(\tau)^2}
 \,d\tau
-=
+&=
 \int_0^s\,d\tau
 =
 t,
-\]
+\end{align*}
 der Parameter $t$ ist also ein Bogenlängenparameter.
 
 %
@@ -556,18 +559,18 @@ hat daher eine Bogenlängenparametrisierung mit
 \begin{aligned}
 x(t)
 &=
-\phantom{\frac{1}{\sqrt{2}}}
-\operatorname{cn}(\sqrt{2}t,k)\operatorname{dn}(\sqrt{2}t,k)
+\phantom{\frac{1}{\!\sqrt{2}}}
+\operatorname{cn}(\!\sqrt{2}t,k)\operatorname{dn}(\!\sqrt{2}t,k)
 \\
 y(t)
 &=
-\frac{1}{\sqrt{2}}
-\operatorname{cn}(\sqrt{2}t,k)\operatorname{sn}(\sqrt{2}t,k)
+\frac{1}{\!\sqrt{2}}
+\operatorname{cn}(\!\sqrt{2}t,k)\operatorname{sn}(\!\sqrt{2}t,k)
 \end{aligned}
 \quad
 \right\}
 \qquad
-\text{mit $\displaystyle k=\frac{1}{\sqrt{2}}$}
+\text{mit $\displaystyle k=\frac{1}{\!\sqrt{2}}.$}
 \label{buch:elliptisch:lemniskate:bogenlaenge}
 \end{equation}
 Der Punkt $t=0$ entspricht dem Scheitelpunkt $S=(1,0)$ der Lemniskate.
@@ -630,21 +633,21 @@ r(t)^2
 =
 x(t)^2 + y(t)^2
 =
-\operatorname{cn}(\sqrt{2}t,k)^2
+\operatorname{cn}(\!\sqrt{2}t,k)^2
 \biggl(
-\operatorname{dn}(\sqrt{2}t,k)^2
+\operatorname{dn}(\!\sqrt{2}t,k)^2
 +
 \frac12
-\operatorname{sn}(\sqrt{2}t,k)^2
+\operatorname{sn}(\!\sqrt{2}t,k)^2
 \biggr)
 =
-\operatorname{cn}(\sqrt{2}t,k)^2.
+\operatorname{cn}(\!\sqrt{2}t,k)^2.
 \]
 Die Wurzel ist
 \[
 r(t)
 =
-\operatorname{cn}(\sqrt{2}t,{\textstyle\frac{1}{\sqrt{2}}})
+\operatorname{cn}(\!\sqrt{2}t,{\textstyle\frac{1}{\!\sqrt{2}}})
 .
 \]
 Der lemniskatische Sinus wurde aber in Abhängigkeit von
@@ -654,7 +657,7 @@ $s=\varpi/2-t$ mittels
 =
 r(s)
 =
-\operatorname{cn}(\sqrt{2}(\varpi/2-s),k)^2
+\operatorname{cn}(\!\sqrt{2}(\varpi/2-s),k)^2
 \]
 definiert.
 Der lemniskatische Kosinus ist definiert als der lemniskatische Sinus
@@ -666,7 +669,7 @@ der komplementären Bogenlänge, also
 =
 \operatorname{sl}(\varpi/2-s)
 =
-\operatorname{cn}(\sqrt{2}s,k)^2.
+\operatorname{cn}(\!\sqrt{2}s,k)^2.
 \]
 Die Funktion $\operatorname{sl}(s)$ und $\operatorname{cl}(s)$ sind
 in Abbildung~\ref{buch:elliptisch:figure:slcl} dargestellt.
@@ -674,4 +677,10 @@ Sie sind beide $2\varpi$-periodisch.
 Die Abbildung zeigt ausserdem die Funktionen $\sin (\pi s/\varpi)$
 und $\cos(\pi s/\varpi)$, die ebenfalls $2\varpi$-periodisch sind.
 
+Die Darstellung des lemniskatischen Sinus und Kosinus durch die
+Jacobische elliptische Funktion $\operatorname{cn}(\!\sqrt{2}s,k)$
+zeigt einmal mehr den Nutzen der Jacobischen elliptischen Funktionen.
+
+
+
 
-- 
cgit v1.2.1

