From 05d75b0f467b2535db538ecaee461cf0c8b637d1 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: =?UTF-8?q?Andreas=20M=C3=BCller?= <andreas.mueller@ost.ch>
Date: Mon, 27 Jun 2022 20:17:16 +0200
Subject: add stuff for elliptic filters

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 buch/chapters/110-elliptisch/uebungsaufgaben/2.tex | 61 ++++++++++++++++++++++
 1 file changed, 61 insertions(+)
 create mode 100644 buch/chapters/110-elliptisch/uebungsaufgaben/2.tex

(limited to 'buch/chapters/110-elliptisch/uebungsaufgaben/2.tex')

diff --git a/buch/chapters/110-elliptisch/uebungsaufgaben/2.tex b/buch/chapters/110-elliptisch/uebungsaufgaben/2.tex
new file mode 100644
index 0000000..9a1cafc
--- /dev/null
+++ b/buch/chapters/110-elliptisch/uebungsaufgaben/2.tex
@@ -0,0 +1,61 @@
+\label{buch:elliptisch:aufgabe:2}%
+Die Landen-Transformation basiert auf der Iteration
+\begin{equation}
+\begin{aligned}
+k_{n+1}
+&=
+\frac{1-k_n'}{1+k_n'}
+&
+&\text{und}&
+k_{n+1}'
+&=
+\sqrt{1-k_{n+1}^2}
+\end{aligned}
+\label{buch:elliptisch:aufgabe:2:iteration}
+\end{equation}
+mit den Startwerten $k_0 = k$ und $k_0' = \sqrt{1-k_0^2}$.
+Zeigen Sie, dass $k_n\to 0$ und $k_n'\to 1$ mit quadratischer Konvergenz.
+
+\begin{loesung}
+\begin{table}
+\centering
+\begin{tabular}{|>{$}c<{$}|>{$}c<{$}|>{$}c<{$}|}
+\hline
+n &         k         &         k'        \\
+\hline
+0 & 0.200000000000000 & 0.979795897113271 \\
+1 & 0.010205144336438 & 0.999947926158694 \\
+2 & 0.000026037598592 & 0.999999999661022 \\
+3 & 0.000000000169489 & 1.000000000000000 \\
+4 & 0.000000000000000 & 1.000000000000000 \\
+\hline
+\end{tabular}
+\caption{Numerisches Experiment zur Folge $(k_n,k_n')$ 
+gemäss \eqref{buch:elliptisch:aufgabe:2:iteration}
+mit $k_0=0.2$
+\label{buch:ellptisch:aufgabe:2:numerisch}}
+\end{table}
+Es ist klar, dass $k'_n\to 1$ folgt, wenn man zeigen kann, dass 
+$k_n\to 0$ gilt.
+Wir berechnen daher 
+\begin{align*}
+k_{n+1}
+&=
+\frac{1-k_n'}{1+k_n'}
+=
+\frac{1-\sqrt{1-k_n^2}}{1+\sqrt{1-k_n^2}}
+\intertext{und erweitern mit dem Nenner $1+\sqrt{1-k_n^2}$ um}
+&=
+\frac{1-(1-k_n^2)}{(1+\sqrt{1-k_n^2})^2}
+=
+\frac{ k_n^2 }{(1+\sqrt{1-k_n^2})^2}
+\le
+k_n^2
+\end{align*}
+zu erhalten.
+Daraus folgt jetzt sofort die quadratische Konvergenz von $k_n$ gegen $0$.
+
+Ein einfaches numerisches Experiment (siehe
+Tabelle~\ref{buch:ellptisch:aufgabe:2:numerisch})
+bestätigt die quadratische Konvergenz der Folgen.
+\end{loesung}
-- 
cgit v1.2.1


From 3d742539c034e5b9569722e95395fd5ede33d770 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: =?UTF-8?q?Andreas=20M=C3=BCller?= <andreas.mueller@ost.ch>
Date: Mon, 27 Jun 2022 21:19:31 +0200
Subject: some improvements in tables

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 buch/chapters/110-elliptisch/uebungsaufgaben/2.tex | 8 ++++++--
 1 file changed, 6 insertions(+), 2 deletions(-)

(limited to 'buch/chapters/110-elliptisch/uebungsaufgaben/2.tex')

diff --git a/buch/chapters/110-elliptisch/uebungsaufgaben/2.tex b/buch/chapters/110-elliptisch/uebungsaufgaben/2.tex
index 9a1cafc..dbf184a 100644
--- a/buch/chapters/110-elliptisch/uebungsaufgaben/2.tex
+++ b/buch/chapters/110-elliptisch/uebungsaufgaben/2.tex
@@ -21,13 +21,17 @@ Zeigen Sie, dass $k_n\to 0$ und $k_n'\to 1$ mit quadratischer Konvergenz.
 \centering
 \begin{tabular}{|>{$}c<{$}|>{$}c<{$}|>{$}c<{$}|}
 \hline
-n &         k         &         k'        \\
+n &         k         &         k'%
+\mathstrut\text{\vrule height12pt depth6pt width0pt}%
+\\
 \hline
+\mathstrut\text{\vrule height12pt depth0pt width0pt}%
 0 & 0.200000000000000 & 0.979795897113271 \\
 1 & 0.010205144336438 & 0.999947926158694 \\
 2 & 0.000026037598592 & 0.999999999661022 \\
 3 & 0.000000000169489 & 1.000000000000000 \\
-4 & 0.000000000000000 & 1.000000000000000 \\
+4 & 0.000000000000000 & 1.000000000000000%
+\mathstrut\text{\vrule height0pt depth6pt width0pt}\\
 \hline
 \end{tabular}
 \caption{Numerisches Experiment zur Folge $(k_n,k_n')$ 
-- 
cgit v1.2.1

