From 50d4a6fb4adb0a24acdb987a3e5108de66187651 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: =?UTF-8?q?Andreas=20M=C3=BCller?= Date: Wed, 13 Oct 2021 11:32:58 +0200 Subject: add ellipsenumfang --- buch/chapters/030-geometrie/laenge.tex | 6 +- buch/chapters/110-elliptisch/ellintegral.tex | 72 ++++++++++++++++++++- buch/chapters/110-elliptisch/images/Makefile | 8 ++- .../110-elliptisch/images/ellipsenumfang.m | 14 ++++ .../110-elliptisch/images/ellipsenumfang.pdf | Bin 0 -> 16542 bytes .../110-elliptisch/images/ellipsenumfang.tex | 44 +++++++++++++ buch/chapters/110-elliptisch/lemniskate.tex | 2 +- buch/chapters/references.bib | 7 ++ 8 files changed, 147 insertions(+), 6 deletions(-) create mode 100644 buch/chapters/110-elliptisch/images/ellipsenumfang.m create mode 100644 buch/chapters/110-elliptisch/images/ellipsenumfang.pdf create mode 100644 buch/chapters/110-elliptisch/images/ellipsenumfang.tex (limited to 'buch/chapters') diff --git a/buch/chapters/030-geometrie/laenge.tex b/buch/chapters/030-geometrie/laenge.tex index b0b1b32..aebc13d 100644 --- a/buch/chapters/030-geometrie/laenge.tex +++ b/buch/chapters/030-geometrie/laenge.tex @@ -306,12 +306,16 @@ $\beta$ ist dann l(\alpha,\beta) = \int_\alpha^\beta +\sqrt{ a^2 \sin^2 t + b^2 \cos^2t +} \,dt = -a^2 +a \int_\alpha^\beta +\sqrt{ \sin^2 t + \frac{b^2}{a^2} \cos^2t +} \,dt. \] Auch dieses Integral ist nicht in geschlossener Form lösbar. diff --git a/buch/chapters/110-elliptisch/ellintegral.tex b/buch/chapters/110-elliptisch/ellintegral.tex index 1e35616..b0e1b64 100644 --- a/buch/chapters/110-elliptisch/ellintegral.tex +++ b/buch/chapters/110-elliptisch/ellintegral.tex @@ -15,7 +15,9 @@ neue spezielle Funktionen zu definieren. \subsection{Definition \label{buch:elliptisch:subsection:definition}} -Ein elliptisches Integral ist ein Integral der Form +Ein {\em elliptisches Integral} ist ein Integral der Form +\index{elliptishes Integral}% +\index{Integral, elliptisch}% \begin{equation} \int R\left( x, \sqrt{p(x)}\right)\,dx \label{buch:elliptisch:def:allgemein} @@ -33,7 +35,8 @@ Wir verlangen daher, dass $p(x)$ keine mehrfachen Nullstellen hat. Man kann zeigen, dass sich elliptische Integrale in Summen von elementaren Funktionen und speziellen elliptischen Integralen -der folgenden Form überführen lassen. +der folgenden Form überführen lassen +\cite[Abschnitt 164, p.~506]{buch:smirnov32}. \begin{definition} \label{buch:elliptisch:def:integrale123} @@ -133,7 +136,7 @@ K(k) E(k) &= \int_0^{\frac{\pi}2} -\sqrt{\frac{1-k^2\sin^2\varphi}{1-\sin^2\varphi}}(1-\sin^2\varphi)\,d\varphi +\sqrt{\frac{1-k^2\sin^2\varphi}{1-\sin^2\varphi}}\sqrt{1-\sin^2\varphi}\,d\varphi = \int_0^{\frac{\pi}2} \sqrt{1-k^2\sin^2\varphi}\,d\varphi @@ -161,6 +164,69 @@ Definition~\ref{buch:elliptisch:def:vollstintegrale123} die {\em Jacobi-Normalform} heisst. \index{Jacobi-Normalform}% +\subsubsection{Umfang einer Ellipse} +\begin{figure} +\centering +\includegraphics{chapters/110-elliptisch/images/ellipsenumfang.pdf} +\caption{Bogenlänge eines Viertels einer Ellipse mit Exzentrizität +$\varepsilon$. +\label{buch:elliptisch:fig:ellipsenumfang}} +\end{figure} +Wir zeigen, wie sich die Berechnung des Umfangs $U$ einer Ellipse +mit Halbachsen $a$ und $b$, $a\le b$, auf ein volltändiges elliptisches +Integral zurückführen lässt. +Der Fall $a>b$ kann behandelt werden, indem die $x$- und $y$-Koordinaten +vertauscht werden. + +Die Parametrisierung +\[ +t\mapsto \begin{pmatrix}a\cos t\\ b\sin t\end{pmatrix} +\] +einer Ellipse führt auf das Integral +\begin{align*} +U +&= +\int_0^{2\pi} \sqrt{a^2\sin^2t + b^2\cos^2 t}\,dt +\notag +\\ +&= +4\int_0^{\frac{\pi}2} +\sqrt{a^2\sin^2t + b^2(1-\sin^2 t)} +\,dt +\notag +\\ +&= +4b \int_0^{\frac{\pi}2} \sqrt{1-(b^2-a^2)/b^2\cdot \sin^2t}\,dt +\label{buch:elliptisch:eqn:umfangellipse} +\end{align*} +für den Umfang der Ellipse. +Bei einem Kreis ist $a=b$ und der zweite Term unter der Wurzel fällt weg, +der Umfang wird $4b\frac{\pi}2=2\pi b$. +Die Differenz $e^2=b^2-a^2$ ist die {\em lineare Exzentrizität} der Ellipse, +\index{lineare Exzentrizität}% +der Quotient $e/b$ wird die {\em numerische Exzentrizität} der Ellipse +genannt. +Insbesondere ist $k = \varepsilon$. + +Das Integral~\eqref{buch:elliptisch:eqn:umfangellipse} erhält jetzt die +Form +\[ +U += +4b\int_0^{\frac{\pi}2} \sqrt{1-k^2\sin^2t}\,dt +\] +und ist damit als elliptisches Integral zweiter Art erkannt. +Für den Umfang der Ellipse finden wir damit die Formel +\[ +U += +4b E(k) += +4b E(\varepsilon). +\] +Das vollständige elliptische Integral zweiter Art $E(\varepsilon)$ +liefert also genau den Umfang der eines Viertels Ellipse mit +numerischer Exzentrizität $\varepsilon$ und kleiner Halbachse $1$. \subsubsection{Komplementäre Integrale} XXX Komplementäre Integrale \\ diff --git a/buch/chapters/110-elliptisch/images/Makefile b/buch/chapters/110-elliptisch/images/Makefile index ef2e6fc..e366988 100644 --- a/buch/chapters/110-elliptisch/images/Makefile +++ b/buch/chapters/110-elliptisch/images/Makefile @@ -3,8 +3,14 @@ # # (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule # -all: lemniskate.pdf +all: lemniskate.pdf ellipsenumfang.pdf lemniskate.pdf: lemniskate.tex pdflatex lemniskate.tex +ellipsenumfang.pdf: ellipsenumfang.tex ekpath.tex + pdflatex ellipsenumfang.tex + +ekpath.tex: ellipsenumfang.m + octave ellipsenumfang.m + diff --git a/buch/chapters/110-elliptisch/images/ellipsenumfang.m b/buch/chapters/110-elliptisch/images/ellipsenumfang.m new file mode 100644 index 0000000..84022bc --- /dev/null +++ b/buch/chapters/110-elliptisch/images/ellipsenumfang.m @@ -0,0 +1,14 @@ +# +# ellipsenumfang +# +# (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule +# +f = fopen("ekplot.tex", "w"); +fprintf(f, "\\def\\ekpath{\n"); +fprintf(f, "(0,{\\dy*%.4f})\n", pi / 2); +for epsilon = (1:100) / 100 + [k, e] = ellipke(epsilon^2); + fprintf(f, "--({\\dx*%.4f},{\\dy*%.4f})\n", epsilon, e); +endfor +fprintf(f, "\n}\n"); +fclose(f); diff --git a/buch/chapters/110-elliptisch/images/ellipsenumfang.pdf b/buch/chapters/110-elliptisch/images/ellipsenumfang.pdf new file mode 100644 index 0000000..b52d5f3 Binary files /dev/null and b/buch/chapters/110-elliptisch/images/ellipsenumfang.pdf differ diff --git a/buch/chapters/110-elliptisch/images/ellipsenumfang.tex b/buch/chapters/110-elliptisch/images/ellipsenumfang.tex new file mode 100644 index 0000000..9f7c788 --- /dev/null +++ b/buch/chapters/110-elliptisch/images/ellipsenumfang.tex @@ -0,0 +1,44 @@ +% +% ellipsenumfang.tex -- template for standalon tikz images +% +% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule +% +\documentclass[tikz]{standalone} +\usepackage{amsmath} +\usepackage{times} +\usepackage{txfonts} +\usepackage{pgfplots} +\usepackage{csvsimple} +\usetikzlibrary{arrows,intersections,math} +\begin{document} +\input{ekplot.tex} +\def\skala{1} +\begin{tikzpicture}[>=latex,thick,scale=\skala] + +\def\dx{10} +\def\dy{4} + +\draw[->] (0,-0.1) -- (0,6.8) coordinate[label={right:$E(\varepsilon)$}]; +\draw[->] (-0.1,0) -- (10.5,0) coordinate[label={$\varepsilon$}]; +\draw[line width=0.4pt] (0,\dy) -- (10,\dy); +\draw[line width=0.4pt] (\dx,0) -- (10,\dy); + +\draw[color=red,line width=1.4pt] \ekpath; +\fill[color=red] (\dx,\dy) circle[radius=0.05]; + +\foreach \y in {2,4,...,16}{ + \draw (-0.1,{\dy*\y/10}) -- (0.1,{\dy*\y/10}); + \pgfmathparse{\y/10} + \xdef\v{\pgfmathresult} + \node at (0,{\dy*\y/10}) [left] {$\v$}; +} +\foreach \i in {1,...,9}{ + \draw (\i,-0.1) -- (\i,0.1); + \node at (\i,0) [below] {$0.\i$}; +} +\draw (10,-0.1) -- (10,0.1); +\node at (10,0) [below] {$1.0$}; + +\end{tikzpicture} +\end{document} + diff --git a/buch/chapters/110-elliptisch/lemniskate.tex b/buch/chapters/110-elliptisch/lemniskate.tex index d4ad019..7083b63 100644 --- a/buch/chapters/110-elliptisch/lemniskate.tex +++ b/buch/chapters/110-elliptisch/lemniskate.tex @@ -127,7 +127,7 @@ s(r) Das unvollständige elliptische Integral erster Art mit Parameter $m=-1$ ist \[ -F(r,-1) +K(r,-1) = \int_0^x \frac{dt}{\sqrt{(1-t^2)(1-(-1)t^2)}} = diff --git a/buch/chapters/references.bib b/buch/chapters/references.bib index b047d23..dd813d0 100644 --- a/buch/chapters/references.bib +++ b/buch/chapters/references.bib @@ -68,3 +68,10 @@ url = {https://www.stephenwolfram.com/publications/history-future-special-functions/} } +@book{buch:smirnov32, + title = {Lehrgang der höheren Mathematik}, + author = {Wladimir Ivanowitsch Smirnow}, + volume = { III/2 }, + publisher = {VEB Deutscher Verlag der Wissenschaften}, + year = 1979 +} -- cgit v1.2.1