From 70287f9b87cf4492e639ce2a191708c3265e75a3 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: =?UTF-8?q?Andreas=20M=C3=BCller?= Date: Fri, 1 Jul 2022 18:40:19 +0200 Subject: complete chapter 9 --- buch/chapters/080-funktionentheorie/analytisch.tex | 33 +++++++++++++++++++++- .../chapters/080-funktionentheorie/anwendungen.tex | 3 ++ buch/chapters/080-funktionentheorie/cauchy.tex | 10 +++++++ buch/chapters/080-funktionentheorie/holomorph.tex | 3 +- 4 files changed, 47 insertions(+), 2 deletions(-) (limited to 'buch/chapters') diff --git a/buch/chapters/080-funktionentheorie/analytisch.tex b/buch/chapters/080-funktionentheorie/analytisch.tex index 15ca2e4..3095cc1 100644 --- a/buch/chapters/080-funktionentheorie/analytisch.tex +++ b/buch/chapters/080-funktionentheorie/analytisch.tex @@ -140,7 +140,38 @@ von $\mathbb{C}$ gegen $f(z)=\overline{z}$ konvergiert. % \subsection{Konvergenzradius \label{buch:funktionentheorie:subsection:konvergenzradius}} +In der Theorie der Potenzreihen, die man in einem grundlegenden +Analysiskurs lernt, wird auch genauer untersucht, wie gross +eine Umgebung des Punktes $z_0$ ist, in der die Potenzreihe +im Punkt $z_0$ einer analytischen Funktion konvergiert. -% XXX auf dem Rand des Konvergenzkreises gibt es immer eine Singularität +\begin{satz} +\label{buch:funktionentheorie:satz:konvergenzradius} +Die Potenzreihe +\[ +f(z) = \sum_{k=0}^\infty a_0(z-z_0)^k +\] +ist konvergent auf einem Kreis mit Radius $\varrho$ und +\[ +\frac{1}{\varrho} += +\limsup_{n\to\infty} \sqrt[k]{|a_k|}. +\] +Falls $a_k\ne 0$ für alle $k$ und der folgende Grenzwert existiert, +dann gilt auch +\[ +\varrho = \lim_{n\to\infty} \biggl| \frac{a_n}{a_{n+1}}\biggr|. +\] +\end{satz} + +\begin{definition} +\label{buch:funktionentheorie:definition:konvergenzradius} +\index{Konvergenzradius}% +Der in Satz~\ref{buch:funktionentheorie:satz:konvergenzradius} +Radius $\varrho$ des Konvergenzkreises heisst {\em Konvergenzradius}. +\end{definition} +Man kann auch zeigen, dass der Konvergenzkreis immer so gross ist, +dass auf seinem Rand ein Wert $z$ liegt, für den die Potenzreihe nicht +konvergiert. diff --git a/buch/chapters/080-funktionentheorie/anwendungen.tex b/buch/chapters/080-funktionentheorie/anwendungen.tex index 04c597e..440d2d3 100644 --- a/buch/chapters/080-funktionentheorie/anwendungen.tex +++ b/buch/chapters/080-funktionentheorie/anwendungen.tex @@ -6,6 +6,9 @@ \section{Anwendungen \label{buch:funktionentheorie:section:anwendungen}} \rhead{Anwendungen} +In diesem Abschnitt wird die Theorie der komplex differenzierbaren +Funktionen dazu verwendet, einige früher bereits verwendete oder +angedeutete Resultate herzuleiten. \input{chapters/080-funktionentheorie/gammareflektion.tex} \input{chapters/080-funktionentheorie/carlson.tex} diff --git a/buch/chapters/080-funktionentheorie/cauchy.tex b/buch/chapters/080-funktionentheorie/cauchy.tex index 21d8dcf..58504db 100644 --- a/buch/chapters/080-funktionentheorie/cauchy.tex +++ b/buch/chapters/080-funktionentheorie/cauchy.tex @@ -6,6 +6,16 @@ \section{Cauchy-Integral \label{buch:funktionentheorie:section:cauchy}} \rhead{Cauchy-Integral} +In Abschnitt~\ref{buch:funktionentheorie:section:holomorph} hat sich +bereits gezeigt, dass komplexe Differenzierbarkeit einer komplexen +Funktion weit mehr Einschränkungen auferlegt als reelle Differenzierbarkeit. +Sowohl der Real- wie auch der Imaginärteil müssenharmonische Funktionen +sein. +In diesem Abschnitt wird die Cauchy-In\-te\-gral\-formel etabliert, die +sogar zeigt, dass eine komplex differenzierbare Funktion bereits durch +die Werte auf dem Rand eines einfach zusammenhängenden Gebietes +gegeben ist, beliebig oft differenzierbar ist und ausserdem immer +analytisch ist. % % Wegintegrale und die Cauchy-Formel diff --git a/buch/chapters/080-funktionentheorie/holomorph.tex b/buch/chapters/080-funktionentheorie/holomorph.tex index c87b083..dfe2744 100644 --- a/buch/chapters/080-funktionentheorie/holomorph.tex +++ b/buch/chapters/080-funktionentheorie/holomorph.tex @@ -83,6 +83,7 @@ Der Term $x-x_0$ und die Gleichung \eqref{komplex:abldef} sind aber auch für komplexe Argument sinnvoll, wir definieren daher \begin{definition} +\label{buch:funktionentheorie:definition:differenzierbar} Die komplexe Funktion $f(z)$ heisst im Punkt $z_0$ komplex differenzierbar und hat die komplexe Ableitung $f'(z_0)\in\mathbb C$, wenn \index{komplex differenzierbar}% @@ -258,11 +259,11 @@ Der Operator \frac{\partial^2}{\partial y^2} \] heisst der {\em Laplace-Operator} in zwei Dimensionen. - \index{Laplace-Operator}% \end{definition} \begin{definition} +\label{buch:funktionentheorie:definition:harmonisch} Eine Funktion $h(x,y)$ von zwei Variablen heisst {\em harmonisch}, wenn sie die Gleichung \[ -- cgit v1.2.1