From 88031a6a5bad428cb3bf03dea6f0f95d79484723 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: =?UTF-8?q?Andreas=20M=C3=BCller?= <andreas.mueller@othello.ch>
Date: Thu, 16 Jun 2022 17:02:24 +0200
Subject: new plots
---
buch/chapters/110-elliptisch/images/Makefile | 13 ++-
.../chapters/110-elliptisch/images/jacobiplots.pdf | Bin 56975 -> 59737 bytes
buch/chapters/110-elliptisch/images/kegelpara.pdf | Bin 202828 -> 203620 bytes
buch/chapters/110-elliptisch/images/lemnispara.cpp | 126 +++++++++++++++++++++
buch/chapters/110-elliptisch/images/lemnispara.pdf | Bin 0 -> 28447 bytes
buch/chapters/110-elliptisch/images/lemnispara.tex | 90 +++++++++++++++
buch/chapters/110-elliptisch/images/slcl.pdf | Bin 28233 -> 31823 bytes
.../110-elliptisch/images/torusschnitt.pdf | Bin 301677 -> 302496 bytes
buch/chapters/110-elliptisch/lemniskate.tex | 92 +++++++++++----
9 files changed, 295 insertions(+), 26 deletions(-)
create mode 100644 buch/chapters/110-elliptisch/images/lemnispara.cpp
create mode 100644 buch/chapters/110-elliptisch/images/lemnispara.pdf
create mode 100644 buch/chapters/110-elliptisch/images/lemnispara.tex
(limited to 'buch/chapters')
diff --git a/buch/chapters/110-elliptisch/images/Makefile b/buch/chapters/110-elliptisch/images/Makefile
index c8f98cb..3094877 100644
--- a/buch/chapters/110-elliptisch/images/Makefile
+++ b/buch/chapters/110-elliptisch/images/Makefile
@@ -5,7 +5,7 @@
#
all: lemniskate.pdf ellipsenumfang.pdf unvollstaendig.pdf rechteck.pdf \
ellipse.pdf pendel.pdf jacobiplots.pdf jacobidef.pdf jacobi12.pdf \
- sncnlimit.pdf slcl.pdf torusschnitt.pdf kegelpara.pdf
+ sncnlimit.pdf slcl.pdf torusschnitt.pdf kegelpara.pdf lemnispara.pdf
lemniskate.pdf: lemniskate.tex
pdflatex lemniskate.tex
@@ -102,3 +102,14 @@ torusschnitt.jpg: torusschnitt.png Makefile
torusschnitt.pdf: torusschnitt.tex torusschnitt.jpg
pdflatex torusschnitt.tex
+lemnispara: lemnispara.cpp
+ g++ -O2 -Wall -g -o lemnispara `pkg-config --cflags gsl` \
+ lemnispara.cpp `pkg-config --libs gsl`
+
+lemnisparadata.tex: lemnispara
+ ./lemnispara
+
+lemnispara.pdf: lemnispara.tex lemnisparadata.tex
+ pdflatex lemnispara.tex
+
+ltest: lemnispara.pdf
diff --git a/buch/chapters/110-elliptisch/images/jacobiplots.pdf b/buch/chapters/110-elliptisch/images/jacobiplots.pdf
index c11affc..fdd3d1f 100644
Binary files a/buch/chapters/110-elliptisch/images/jacobiplots.pdf and b/buch/chapters/110-elliptisch/images/jacobiplots.pdf differ
diff --git a/buch/chapters/110-elliptisch/images/kegelpara.pdf b/buch/chapters/110-elliptisch/images/kegelpara.pdf
index 2f76593..2dbe39d 100644
Binary files a/buch/chapters/110-elliptisch/images/kegelpara.pdf and b/buch/chapters/110-elliptisch/images/kegelpara.pdf differ
diff --git a/buch/chapters/110-elliptisch/images/lemnispara.cpp b/buch/chapters/110-elliptisch/images/lemnispara.cpp
new file mode 100644
index 0000000..6f4d55d
--- /dev/null
+++ b/buch/chapters/110-elliptisch/images/lemnispara.cpp
@@ -0,0 +1,126 @@
+/*
+ * lemnispara.cpp -- Display parametrisation of the lemniskate
+ *
+ * (c) 2022 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
+ */
+#include <cstdio>
+#include <cstdlib>
+#include <cmath>
+#include <gsl/gsl_sf_elljac.h>
+#include <iostream>
+#include <fstream>
+#include <map>
+#include <string.h>
+#include <string>
+
+const static double s = sqrt(2);
+const static double k = 1 / s;
+const static double m = k * k;
+
+typedef std::pair<double, double> point_t;
+
+point_t operator*(const point_t& p, double s) {
+ return point_t(s * p.first, s * p.second);
+}
+
+static double norm(const point_t& p) {
+ return hypot(p.first, p.second);
+}
+
+static point_t normalize(const point_t& p) {
+ return p * (1/norm(p));
+}
+
+static point_t normal(const point_t& p) {
+ return std::make_pair(p.second, -p.first);
+}
+
+class lemniscate : public point_t {
+ double sn, cn, dn;
+public:
+ lemniscate(double t) {
+ gsl_sf_elljac_e(t, m, &sn, &cn, &dn);
+ first = s * cn * dn;
+ second = cn * sn;
+ }
+ point_t tangent() const {
+ return std::make_pair(-s * sn * (1.5 - sn * sn),
+ dn * (1 - 2 * sn * sn));
+ }
+ point_t unittangent() const {
+ return normalize(tangent());
+ }
+ point_t normal() const {
+ return ::normal(tangent());
+ }
+ point_t unitnormal() const {
+ return ::normal(unittangent());
+ }
+};
+
+std::ostream& operator<<(std::ostream& out, const point_t& p) {
+ char b[1024];
+ snprintf(b, sizeof(b), "({%.4f*\\dx},{%.4f*\\dy})", p.first, p.second);
+ out << b;
+ return out;
+}
+
+int main(int argc, char *argv[]) {
+ std::ofstream out("lemnisparadata.tex");
+
+ // the curve
+ double tstep = 0.01;
+ double tmax = 4.05;
+ out << "\\def\\lemnispath{ ";
+ out << lemniscate(0);
+ for (double t = tstep; t < tmax; t += tstep) {
+ out << std::endl << "\t" << "-- " << lemniscate(t);
+ }
+ out << std::endl;
+ out << "}" << std::endl;
+
+ out << "\\def\\lemnispathmore{ ";
+ out << lemniscate(tmax);
+ double tmax2 = 7.5;
+ for (double t = tmax + tstep; t < tmax2; t += tstep) {
+ out << std::endl << "\t" << "-- " << lemniscate(t);
+ }
+ out << std::endl;
+ out << "}" << std::endl;
+
+ // individual points
+ tstep = 0.2;
+ int i = 0;
+ char name[3];
+ strcpy(name, "L0");
+ for (double t = 0; t <= tmax; t += tstep) {
+ char c = 'A' + i++;
+ char buffer[128];
+ lemniscate l(t);
+ name[0] = 'L';
+ name[1] = c;
+ out << "\\coordinate (" << name << ") at ";
+ out << l << ";" << std::endl;
+ name[0] = 'T';
+ out << "\\coordinate (" << name << ") at ";
+ out << l.unittangent() << ";" << std::endl;
+ name[0] = 'N';
+ out << "\\coordinate (" << name << ") at ";
+ out << l.unitnormal() << ";" << std::endl;
+ name[0] = 'C';
+ out << "\\def\\" << name << "{ ";
+ out << "\\node[color=red] at ($(L" << c << ")+0.06*(N" << c << ")$) ";
+ out << "[rotate={";
+ double w = 180 * atan2(l.unitnormal().second,
+ l.unitnormal().first) / M_PI;
+ snprintf(buffer, sizeof(buffer), "%.1f", w);
+ out << buffer;
+ out << "-90}]";
+ snprintf(buffer, sizeof(buffer), "%.1f", t);
+ out << " {$\\scriptstyle " << buffer << "$};" << std::endl;
+ out << "}" << std::endl;
+ }
+
+ out.close();
+ return EXIT_SUCCESS;
+}
diff --git a/buch/chapters/110-elliptisch/images/lemnispara.pdf b/buch/chapters/110-elliptisch/images/lemnispara.pdf
new file mode 100644
index 0000000..b03997e
Binary files /dev/null and b/buch/chapters/110-elliptisch/images/lemnispara.pdf differ
diff --git a/buch/chapters/110-elliptisch/images/lemnispara.tex b/buch/chapters/110-elliptisch/images/lemnispara.tex
new file mode 100644
index 0000000..48557cf
--- /dev/null
+++ b/buch/chapters/110-elliptisch/images/lemnispara.tex
@@ -0,0 +1,90 @@
+%
+% lemnispara.tex -- parametrization of the lemniscate
+%
+% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
+%
+\documentclass[tikz]{standalone}
+\usepackage{amsmath}
+\usepackage{times}
+\usepackage{txfonts}
+\usepackage{pgfplots}
+\usepackage{csvsimple}
+\usetikzlibrary{arrows,intersections,math,calc}
+\begin{document}
+\def\skala{1}
+
+\begin{tikzpicture}[>=latex,thick,scale=\skala]
+\def\dx{4}
+\def\dy{4}
+\input{lemnisparadata.tex}
+
+% add image content here
+\draw[color=red!20,line width=1.4pt] \lemnispathmore;
+\draw[color=red,line width=1.4pt] \lemnispath;
+
+\draw[->] ({-1.6*\dx},0) -- ({1.6*\dx},0) coordinate[label={$X$}];
+\draw[->] (0,{-0.7*\dy}) -- (0,{0.7*\dy}) coordinate[label={right:$Y$}];
+\draw ({1.5*\dx},-0.05) -- ({1.5*\dx},0.05);
+\draw ({\dx},-0.05) -- ({\dx},0.05);
+\draw ({0.5*\dx},-0.05) -- ({0.5*\dx},0.05);
+\draw ({-0.5*\dx},-0.05) -- ({-0.5*\dx},0.05);
+\draw ({-\dx},-0.05) -- ({-\dx},0.05);
+\draw ({-1.5*\dx},-0.05) -- ({-1.5*\dx},0.05);
+\draw (-0.05,{0.5*\dy}) -- (0.05,{0.5*\dy});
+\draw (-0.05,{-0.5*\dy}) -- (0.05,{-0.5*\dy});
+
+\node at ({\dx},0) [above] {$1$};
+\node at ({-\dx},0) [above] {$-1$};
+\node at ({-0.5*\dx},0) [above] {$-\frac12$};
+\node at ({0.5*\dx},0) [above] {$\frac12$};
+\node at (0,{0.5*\dy}) [left] {$\frac12$};
+\node at (0,{-0.5*\dy}) [left] {$-\frac12$};
+
+\def\s{0.02}
+
+\draw[color=red] ($(LA)-\s*(NA)$) -- ($(LA)+\s*(NA)$);
+\draw[color=red] ($(LB)-\s*(NB)$) -- ($(LB)+\s*(NB)$);
+\draw[color=red] ($(LC)-\s*(NC)$) -- ($(LC)+\s*(NC)$);
+\draw[color=red] ($(LD)-\s*(ND)$) -- ($(LD)+\s*(ND)$);
+\draw[color=red] ($(LE)-\s*(NE)$) -- ($(LE)+\s*(NE)$);
+\draw[color=red] ($(LF)-\s*(NF)$) -- ($(LF)+\s*(NF)$);
+\draw[color=red] ($(LG)-\s*(NG)$) -- ($(LG)+\s*(NG)$);
+\draw[color=red] ($(LH)-\s*(NH)$) -- ($(LH)+\s*(NH)$);
+\draw[color=red] ($(LI)-\s*(NI)$) -- ($(LI)+\s*(NI)$);
+\draw[color=red] ($(LJ)-\s*(NJ)$) -- ($(LJ)+\s*(NJ)$);
+\draw[color=red] ($(LK)-\s*(NK)$) -- ($(LK)+\s*(NK)$);
+\draw[color=red] ($(LL)-\s*(NL)$) -- ($(LL)+\s*(NL)$);
+\draw[color=red] ($(LM)-\s*(NM)$) -- ($(LM)+\s*(NM)$);
+\draw[color=red] ($(LN)-\s*(NN)$) -- ($(LN)+\s*(NN)$);
+\draw[color=red] ($(LO)-\s*(NO)$) -- ($(LO)+\s*(NO)$);
+\draw[color=red] ($(LP)-\s*(NP)$) -- ($(LP)+\s*(NP)$);
+\draw[color=red] ($(LQ)-\s*(NQ)$) -- ($(LQ)+\s*(NQ)$);
+\draw[color=red] ($(LR)-\s*(NR)$) -- ($(LR)+\s*(NR)$);
+\draw[color=red] ($(LS)-\s*(NS)$) -- ($(LS)+\s*(NS)$);
+\draw[color=red] ($(LT)-\s*(NT)$) -- ($(LT)+\s*(NT)$);
+\draw[color=red] ($(LU)-\s*(NU)$) -- ($(LU)+\s*(NU)$);
+
+\CB
+\CC
+\CD
+\CE
+\CF
+\CG
+\CH
+\CI
+\CJ
+\CK
+\CL
+\CM
+\CN
+\CO
+\CP
+\CQ
+\CR
+\CS
+\CT
+\CU
+
+\end{tikzpicture}
+\end{document}
+
diff --git a/buch/chapters/110-elliptisch/images/slcl.pdf b/buch/chapters/110-elliptisch/images/slcl.pdf
index c15051b..71645e3 100644
Binary files a/buch/chapters/110-elliptisch/images/slcl.pdf and b/buch/chapters/110-elliptisch/images/slcl.pdf differ
diff --git a/buch/chapters/110-elliptisch/images/torusschnitt.pdf b/buch/chapters/110-elliptisch/images/torusschnitt.pdf
index 11bd353..fde5268 100644
Binary files a/buch/chapters/110-elliptisch/images/torusschnitt.pdf and b/buch/chapters/110-elliptisch/images/torusschnitt.pdf differ
diff --git a/buch/chapters/110-elliptisch/lemniskate.tex b/buch/chapters/110-elliptisch/lemniskate.tex
index fceaadf..fd998b3 100644
--- a/buch/chapters/110-elliptisch/lemniskate.tex
+++ b/buch/chapters/110-elliptisch/lemniskate.tex
@@ -86,9 +86,11 @@ eines geraden
Kreiskegels (grün) mit einem Rotationsparaboloid (hellblau).
\label{buch:elliptisch:lemniskate:kegelpara}}
\end{figure}%
+\index{Kegel}%
+\index{Paraboloid}%
Schreibt man in der Gleichung~\eqref{buch:elliptisch:eqn:lemniskate}
für die Klammer auf der rechten Seite $Z^2 = X^2 - Y^2$, dann wird die
-Lemniskate die Projektion in die $X$-$Y$-Ebene der Schnittmenge der Flächen,
+Lemniskate die Projektion in die $X$-$Y$-Ebene der Schnittkurve der Flächen,
die durch die Gleichungen
\begin{equation}
X^2-Y^2 = Z^2
@@ -112,14 +114,18 @@ mit einer zur Torusachse parallelen Ebene (blau),
die den inneren Äquator des Torus berührt, ist eine Lemniskate.
\label{buch:elliptisch:lemniskate:torusschnitt}}
\end{figure}
+\index{Torus}%
Schneidet man einen Torus mit einer Ebene, die zur Achse des Torus
parallel ist und den inneren Äquator des Torus berührt, entsteht
ebenfalls eine Lemniskate.
Die Situation ist in Abbildung~\ref{buch:elliptisch:lemniskate:torusschnitt}
dargestellt.
-Der Torus kann mit den Radien $2$ und $1$ mit der $y$-Achse als Torusachse
-kann mit der Parametrisierung
+Der in Abbildung~\ref{buch:elliptisch:lemniskate:torusschnitt}
+dargestellte Torus mit den Radien $2$ und $1$ hat als Achse die
+um eine Einheit in $Z$-Richtung verschobene $Y$-Achse und die
+$X$-$Z$-Ebene als Äquatorebene.
+Sie kann mit
\[
(s,t)
\mapsto
@@ -129,9 +135,10 @@ kann mit der Parametrisierung
(2+\cos s) \sin t + 1
\end{pmatrix}
\]
-beschrieben werden.
-Die Gleichung $z=1$ beschreibt eine
-achsparallele Ebene, die den inneren Äquator berührt.
+parametrisiert werden, die $s$- und $t$-Koordinatenlinien sind
+in der Abbildung gelb eingezeichnet.
+Die Gleichung $Z=0$ beschreibt eine achsparallele Ebene, die den
+inneren Äquator berührt.
Die Schnittkurve erfüllt daher
\[
(2+\cos s)\sin t + 1 = 0,
@@ -141,7 +148,8 @@ Wir müssen nachprüfen dass die Koordinaten
$X=(2+\cos s)\cos t$ und $Y=\sin s$ die Gleichung einer Lemniskate
erfüllen.
-Zunächst können wir in der $X$-Koordinate den Klammerausdruck durch
+Zunächst können wir in der $X$-Koordinate den Klammerausdruck durch
+$\sin t$ ausdrücken und erhalten
\begin{equation}
X
=
@@ -155,10 +163,9 @@ X^2
=
\frac{\cos^2t}{\sin^2 t}
=
-\frac{1-\sin^2t}{\sin^2 t}
+\frac{1-\sin^2t}{\sin^2 t}.
\label{buch:elliptisch:lemniskate:Xsin}
\end{equation}
-ersetzen.
Auch die $Y$-Koordinaten können wir durch $t$ ausdrücken,
nämlich
\begin{equation}
@@ -218,7 +225,7 @@ X^2-Y^2
Die Berechnung des Quadrates von $X^2+Y^2$ ergibt
die Gleichung
\[
-(X^2+Y^2)
+(X^2+Y^2)^2
=
16
\biggl(\frac{1-S}{S}\biggr)^2
@@ -226,7 +233,7 @@ die Gleichung
8 \cdot 2
\biggl(\frac{1-S}{S}\biggr)^2
=
-2\cdot 2^2\cdot (X-Y)^2.
+2\cdot 2^2\cdot (X^2-Y^2).
\]
Sie ist eine Lemniskaten-Gleichung für $a=2$.
@@ -279,7 +286,7 @@ Kettenregel berechnen kann:
&&\Rightarrow&
\dot{y}(r)^2
&=
-\frac{1-r^2}{2} -r^2 + \frac{r^4}{2(1-r^2)}
+\frac{1-r^2}{2} -r^2 + \frac{r^4}{2(1-r^2)}.
\end{align*}
Die Summe der Quadrate ist
\begin{align*}
@@ -342,6 +349,13 @@ $\varpi/2$.
% Bogenlängenparametrisierung
%
\subsection{Bogenlängenparametrisierung}
+\begin{figure}
+\centering
+\includegraphics{chapters/110-elliptisch/images/lemnispara.pdf}
+\caption{Parametrisierung der Lemniskate mit Jacobischen elliptischen
+Funktion wie in \eqref{buch:elliptisch:lemniskate:bogeneqn}
+\label{buch:elliptisch:lemniskate:bogenpara}}
+\end{figure}
Die Lemniskate mit der Gleichung
\[
(X^2+Y^2)^2=2(X^2-Y^2)
@@ -350,7 +364,7 @@ Die Lemniskate mit der Gleichung
kann mit Jacobischen elliptischen Funktionen
parametrisiert werden.
Dazu schreibt man
-\[
+\begin{equation}
\left.
\begin{aligned}
X(t)
@@ -364,9 +378,17 @@ Y(t)
\end{aligned}
\quad\right\}
\qquad\text{mit $k=\displaystyle\frac{1}{\sqrt{2}}$}
-\]
-und berechnet die beiden Seiten der definierenden Gleichung der
-Lemniskate.
+\label{buch:elliptisch:lemniskate:bogeneqn}
+\end{equation}
+Abbildung~\ref{buch:elliptisch:lemniskate:bogenpara} zeigt die
+Parametrisierung.
+Dem Parameterwert $t=0$ entspricht der Punkt
+$(\sqrt{2},0)$ der Lemniskate.
+
+Dass \eqref{buch:elliptisch:lemniskate:bogeneqn}
+tatsächlich eine Parametrisierung ist kann nachgewiesen werden dadurch,
+dass man die beiden Seiten der definierenden Gleichung der
+Lemniskate berechnet.
Zunächst ist
\begin{align*}
X(t)^2
@@ -436,7 +458,7 @@ Dazu berechnen wir die Ableitungen
&=
-\sqrt{2}\operatorname{sn}(t,k)\bigl(
1-{\textstyle\frac12}\operatorname{sn}(t,k)^2
-+{\textstyle\frac12}-{\textstyle\frac12}\operatorname{sn}(u,t)^2
++{\textstyle\frac12}-{\textstyle\frac12}\operatorname{sn}(t,k)^2
\bigr)
\\
&=
@@ -507,6 +529,7 @@ Gleichung
\]
hat daher eine Bogenlängenparametrisierung mit
\begin{equation}
+\left.
\begin{aligned}
x(t)
&=
@@ -515,8 +538,13 @@ x(t)
\\
y(t)
&=
-\frac{1}{\sqrt{2}}\operatorname{cn}(\sqrt{2}t,k)\operatorname{sn}(\sqrt{2}t,k)
+\frac{1}{\sqrt{2}}
+\operatorname{cn}(\sqrt{2}t,k)\operatorname{sn}(\sqrt{2}t,k)
\end{aligned}
+\quad
+\right\}
+\qquad
+\text{mit $\displaystyle k=\frac{1}{\sqrt{2}}$}
\label{buch:elliptisch:lemniskate:bogenlaenge}
\end{equation}
@@ -527,7 +555,7 @@ die Bogenlänge zuordnet.
Daher ist es naheliegend, die Umkehrfunktion von $s(r)$ in
\eqref{buch:elliptisch:eqn:lemniskatebogenlaenge}
den {\em lemniskatischen Sinus} zu nennen mit der Bezeichnung
-$r=\operatorname{sl} s$.
+$r=r(s)=\operatorname{sl} s$.
Der Kosinus ist der Sinus des komplementären Winkels.
Auch für die lemniskatische Bogenlänge $s(r)$ lässt sich eine
@@ -537,9 +565,9 @@ Da die Bogenlänge zwischen $(0,0)$ und $(1,0)$ in
in \eqref{buch:elliptisch:eqn:varpi} bereits bereichnet wurde.
ist sie $\varpi/2-s$.
Der {\em lemniskatische Kosinus} ist daher
-$\operatorname{cl}(s) = \operatorname{sl}(\varpi/2-s)$
+$\operatorname{cl}(s) = \operatorname{sl}(\varpi/2-s)$.
Graphen des lemniskatische Sinus und Kosinus sind in
-Abbildung~\label{buch:elliptisch:figure:slcl} dargestellt.
+Abbildung~\ref{buch:elliptisch:figure:slcl} dargestellt.
Da die Parametrisierung~\eqref{buch:elliptisch:lemniskate:bogenlaenge}
eine Bogenlängenparametrisierung ist, darf man $t=s$ schreiben.
@@ -551,18 +579,32 @@ r(s)^2
x(s)^2 + y(s)^2
=
\operatorname{cn}(s\sqrt{2},k)^2
-\qquad\Rightarrow\qquad
+\biggl(
+\operatorname{dn}(\sqrt{2}t,k)^2
++
+\frac12
+\operatorname{sn}(\sqrt{2}t,k)^2
+\biggr)
+=
+\operatorname{cn}(s\sqrt{2},k)^2.
+\]
+Die Wurzel ist
+\[
r(s)
=
-\operatorname{cn}(s\sqrt{2},k)
+\operatorname{sl} s
+=
+\operatorname{cn}(s\sqrt{2},{\textstyle\frac{1}{\sqrt{2}}}).
\]
+Damit ist der lemniskatische Sinus durch eine Jacobische elliptische
+Funktion darstellbar.
\begin{figure}
\centering
\includegraphics[width=\textwidth]{chapters/110-elliptisch/images/slcl.pdf}
\caption{
Lemniskatischer Sinus und Kosinus sowie Sinus und Kosinus
-mit derart skaliertem Argument, dass die Funktionen die gleichen Nullstellen
-haben.
+mit derart skaliertem Argument, dass die Funktionen die
+gleichen Nullstellen haben.
\label{buch:elliptisch:figure:slcl}}
\end{figure}
--
cgit v1.2.1