From abb439719da913ee1bf14ee088748662fef3cd76 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: =?UTF-8?q?Andreas=20M=C3=BCller?= Date: Thu, 16 Jun 2022 19:27:16 +0200 Subject: new stuff --- buch/chapters/020-exponential/chapter.tex | 4 +- buch/chapters/020-exponential/lambertw.tex | 32 +++- buch/chapters/110-elliptisch/images/lemnispara.pdf | Bin 28447 -> 28820 bytes buch/chapters/110-elliptisch/images/lemnispara.tex | 6 +- buch/chapters/110-elliptisch/lemniskate.tex | 199 ++++++++++++++------- 5 files changed, 166 insertions(+), 75 deletions(-) (limited to 'buch/chapters') diff --git a/buch/chapters/020-exponential/chapter.tex b/buch/chapters/020-exponential/chapter.tex index 1ab4769..eaa777d 100644 --- a/buch/chapters/020-exponential/chapter.tex +++ b/buch/chapters/020-exponential/chapter.tex @@ -12,8 +12,8 @@ \input{chapters/020-exponential/zins.tex} \input{chapters/020-exponential/log.tex} \input{chapters/020-exponential/lambertw.tex} -\input{chapters/020-exponential/dilog.tex} -\input{chapters/020-exponential/eili.tex} +%\input{chapters/020-exponential/dilog.tex} +%\input{chapters/020-exponential/eili.tex} \section*{Übungsaufgaben} \rhead{Übungsaufgaben} diff --git a/buch/chapters/020-exponential/lambertw.tex b/buch/chapters/020-exponential/lambertw.tex index 2b023cc..9077c6f 100644 --- a/buch/chapters/020-exponential/lambertw.tex +++ b/buch/chapters/020-exponential/lambertw.tex @@ -17,6 +17,11 @@ der Unbekannten und der Exponentialfunktion, also $xe^x$ auftreten. Die Lambert $W$-Funktion ermöglicht, die Lösungen solcher Gleichungen darzustellen. +Als Anwendung der Theorie der Lambert-$W$-Funktion wird in +Kapitel~\ref{chapter:lambertw} +eine Parametrisierung einer Verfolgungskurve mit Hilfe von $W(x)$ +bestimmt. + % % Die Funktion xe^x % @@ -57,8 +62,10 @@ invertierbar. \begin{definition} Die inverse Funktion der Funktion $[-1,\infty)\to[-1/e,\infty):x\mapsto xe^x=y$ heisst die Lambert $W$-Funktion, geschrieben $W(y)$ oder $W_0(y)$. +\index{Lambert-W-Funktion@Lambert-$W$-Funktion!Definition}% Die inverse Funktion der Funktion $(-\infty,-1)\to[-1/e,0)$ wird mit $W_{-1}$ bezeichnet. +\index{Lambert-W-Funktion@Lambert-$W$-Funktion!Graph}% \end{definition} \begin{figure} @@ -78,7 +85,11 @@ erfüllen sie W(x) e^{W(x)} = x. \] +% +% Ableitung der W-Funktion +% \subsubsection{Ableitung der Funktionen $W(x)$ und $W_{-1}(x)$} +\index{Lambert-W-Funktion@Lambert-$W$-Funktion!Ableitung} Die Umkehrfunktion $f^{-1}(y)$ einer Funktion $f(x)$ erfüllt \( f^{-1}(f(x)) = x. @@ -204,7 +215,11 @@ P_{n+1}(t) \] mit $P_1(t)=1$. +% +% Differentialgleichung und Stammfunktion +% \subsubsection{Differentialgleichung und Stammfunktion} +\index{Lambert-W-Funktion@Lambert-$W$-Funktion!Differentialgleichung}% Die Ableitungsformel \eqref{buch:lambert:eqn:ableitung} bedeutet auch, dass die $W$-Funktion eine Lösung der Differentialgleichung \[ @@ -223,6 +238,7 @@ Diese Gleichung kann separiert werden in \] Eine Stammfunktion +\index{Lambert-W-Funktion@Lambert-$W$-Funktion!Stammfunktion}% \[ F(y) = @@ -260,6 +276,8 @@ für die Stammfunktion von $W(y)$. \label{buch:subsection:loesung-von-exponentialgleichungen}} Die Lambert $W$-Funktion kann zur Lösung von Exponentialgleichungen verwendet werden. +\index{Lambert-W-Funktion@Lambert-$W$-Funktion!Exponentialgleichungen}% +\index{Exponentialgleichungen}% \begin{aufgabe} Gesucht ist eine Lösung der Gleichung @@ -319,7 +337,10 @@ W(-cbe^{ac}) Die Gleichung hat eine Lösung wenn $-cbe^{ac} > -1/e$ ist. \end{proof} -\subsection{Numerische Berechnung +% +% Numerische Berechnung +% +\subsection{Numerische Berechnung der Lambert-$W$-Funktion \label{buch:subsection:lambertberechnung}} Die $W$-Funktionen sind nur dann nützlich, wenn man sie effizient berechnen kann. @@ -327,6 +348,9 @@ Leider ist sie nicht Teil der C- oder C++-Standardbibliothek, man muss sich also mit einer spezialisierten Bibliothek oder einer eigenen Implementation behelfen. +% +% Berechnung mit dem Newton-Algorithmus +% \subsubsection{Berechnung mit dem Newton-Algorithmus} Für $x>-1$ ist die Funktion $W(x)$ ist die Umkehrfunktion der streng monoton wachsenden und konvexen Funktion $f(x)=xe^x$. @@ -334,6 +358,7 @@ In dieser Situation konvergiert der Newton-Algorithmus zur Bestimmung der Nullstelle $x=W_0(y)$ von $f(x)-y$ für alle Werte von $y>-1/e$. Für $W_{-1}(y)$ ist die Situation etwas komplizierter, da für $x<-1$ die Funktion $f(x)$ nicht konvex ist. +\index{Lambert-W-Funktion@Lambert-$W$-Funktion!Newton-Algorithmus} Ausgehend vom Startwert $x_0$ ist die Iterationsfolge definiert durch @@ -362,11 +387,6 @@ bestimmt werden. Die Lambert $W$-Funktionen $W_0(x)$ und $W_{-1}(x)$ sind auch in der GNU scientific library \cite{buch:library:gsl} implementiert. -% -% Verfolgungskurven -% -\subsection{Verfolgungskurven -\label{buch:subsection:verfolgungskurven}} diff --git a/buch/chapters/110-elliptisch/images/lemnispara.pdf b/buch/chapters/110-elliptisch/images/lemnispara.pdf index b03997e..633df34 100644 Binary files a/buch/chapters/110-elliptisch/images/lemnispara.pdf and b/buch/chapters/110-elliptisch/images/lemnispara.pdf differ diff --git a/buch/chapters/110-elliptisch/images/lemnispara.tex b/buch/chapters/110-elliptisch/images/lemnispara.tex index 48557cf..c6e32d7 100644 --- a/buch/chapters/110-elliptisch/images/lemnispara.tex +++ b/buch/chapters/110-elliptisch/images/lemnispara.tex @@ -22,8 +22,9 @@ \draw[color=red!20,line width=1.4pt] \lemnispathmore; \draw[color=red,line width=1.4pt] \lemnispath; -\draw[->] ({-1.6*\dx},0) -- ({1.6*\dx},0) coordinate[label={$X$}]; +\draw[->] ({-1.6*\dx},0) -- ({1.8*\dx},0) coordinate[label={$X$}]; \draw[->] (0,{-0.7*\dy}) -- (0,{0.7*\dy}) coordinate[label={right:$Y$}]; + \draw ({1.5*\dx},-0.05) -- ({1.5*\dx},0.05); \draw ({\dx},-0.05) -- ({\dx},0.05); \draw ({0.5*\dx},-0.05) -- ({0.5*\dx},0.05); @@ -85,6 +86,9 @@ \CT \CU +\fill[color=blue] (LA) circle[radius=0.07]; +\node[color=blue] at (LA) [above right] {$S$}; + \end{tikzpicture} \end{document} diff --git a/buch/chapters/110-elliptisch/lemniskate.tex b/buch/chapters/110-elliptisch/lemniskate.tex index fd998b3..a284f75 100644 --- a/buch/chapters/110-elliptisch/lemniskate.tex +++ b/buch/chapters/110-elliptisch/lemniskate.tex @@ -32,6 +32,13 @@ mit der Gleichung \end{equation} Sie ist in Abbildung~\ref{buch:elliptisch:fig:lemniskate} dargestellt. +Der Fall $a=1/\sqrt{2}$ ist eine Kurve mit der Gleichung +\[ +(x^2+y^2)^2 = x^2-y^2, +\] +wir nennen sie die {\em Standard-Lemniskate}. + +\subsubsection{Scheitelpunkte} Die beiden Scheitel der Lemniskate befinden sich bei $X_s=\pm a\sqrt{2}$. Dividiert man die Gleichung der Lemniskate durch $X_s^2=4a^4$ entsteht \begin{equation} @@ -53,10 +60,12 @@ Dividiert man die Gleichung der Lemniskate durch $X_s^2=4a^4$ entsteht \label{buch:elliptisch:eqn:lemniskatenormiert} \end{equation} wobei wir $x=X/a\sqrt{2}$ und $y=Y/a\sqrt{2}$ gesetzt haben. -In dieser Normierung liegen die Scheitel bei $\pm 1$. +In dieser Normierung, der Standard-Lemniskaten, liegen die Scheitel +bei $\pm 1$. Dies ist die Skalierung, die für die Definition des lemniskatischen Sinus und Kosinus verwendet werden soll. +\subsubsection{Polarkoordinaten} In Polarkoordinaten $x=r\cos\varphi$ und $y=r\sin\varphi$ gilt nach Einsetzen in \eqref{buch:elliptisch:eqn:lemniskatenormiert} \begin{equation} @@ -116,77 +125,80 @@ die den inneren Äquator des Torus berührt, ist eine Lemniskate. \end{figure} \index{Torus}% Schneidet man einen Torus mit einer Ebene, die zur Achse des Torus -parallel ist und den inneren Äquator des Torus berührt, entsteht -ebenfalls eine Lemniskate. -Die Situation ist in Abbildung~\ref{buch:elliptisch:lemniskate:torusschnitt} -dargestellt. +parallel ist und den inneren Äquator des Torus berührt, wie in +Abbildung~\ref{buch:elliptisch:lemniskate:torusschnitt}, +entsteht ebenfalls eine Lemniskate, wie in diesem Abschnitt nachgewiesen +werden soll. Der in Abbildung~\ref{buch:elliptisch:lemniskate:torusschnitt} dargestellte Torus mit den Radien $2$ und $1$ hat als Achse die um eine Einheit in $Z$-Richtung verschobene $Y$-Achse und die $X$-$Z$-Ebene als Äquatorebene. -Sie kann mit +Der Torus kann mit \[ -(s,t) +(u,v) \mapsto \begin{pmatrix} -(2+\cos s) \cos t \\ -\sin s \\ -(2+\cos s) \sin t + 1 +(2+\cos u) \cos v \\ + \sin u \\ +(2+\cos u) \sin v + 1 \end{pmatrix} \] -parametrisiert werden, die $s$- und $t$-Koordinatenlinien sind +parametrisiert werden, die $u$- und $v$-Koordinatenlinien sind in der Abbildung gelb eingezeichnet. +Die $v$-Koordinatenlinien sind Breitenkreise um die Achse des Torus. +Aus $u=0$ und $u=\pi$ ergeben sich die Äquatoren des Torus. + Die Gleichung $Z=0$ beschreibt eine achsparallele Ebene, die den inneren Äquator berührt. Die Schnittkurve erfüllt daher \[ -(2+\cos s)\sin t + 1 = 0, +(2+\cos u)\sin v + 1 = 0, \] -was wir auch als $2 +\cos s = -1/\sin t$ schreiben können. -Wir müssen nachprüfen dass die Koordinaten -$X=(2+\cos s)\cos t$ und $Y=\sin s$ die Gleichung einer Lemniskate +was wir auch als $2 +\cos u = -1/\sin v$ schreiben können. +Wir müssen nachprüfen, dass die Koordinaten +$X=(2+\cos u)\cos v$ und $Y=\sin u$ die Gleichung einer Lemniskate erfüllen. Zunächst können wir in der $X$-Koordinate den Klammerausdruck durch -$\sin t$ ausdrücken und erhalten +$\sin v$ ausdrücken und erhalten \begin{equation} X = -(2+\cos s) \cos t +(2+\cos u) \cos v = --\frac{1}{\sin t}\cos t +-\frac{1}{\sin v}\cos v = --\frac{\cos t}{\sin t} +-\frac{\cos v}{\sin v} \qquad\Rightarrow\qquad X^2 = -\frac{\cos^2t}{\sin^2 t} +\frac{\cos^2v}{\sin^2 v} = -\frac{1-\sin^2t}{\sin^2 t}. +\frac{1-\sin^2v}{\sin^2 v}. \label{buch:elliptisch:lemniskate:Xsin} \end{equation} -Auch die $Y$-Koordinaten können wir durch $t$ ausdrücken, +Auch die $Y$-Koordinaten können wir durch $v$ ausdrücken, nämlich \begin{equation} -Y^2=\sin^2 s = 1-\cos^2 s +Y^2=\sin^2 u = 1-\cos^2 u = 1- \biggl( -\frac{1}{\sin t} +\frac{1}{\sin v} -2 \biggr)^2 = -\frac{-3\sin^2 t+4\sin t-1}{\sin^2 t}. +\frac{-3\sin^2 v+4\sin v-1}{\sin^2 v}. \label{buch:elliptisch:lemniskate:Ysin} \end{equation} Die Gleichungen \eqref{buch:elliptisch:lemniskate:Xsin} und \eqref{buch:elliptisch:lemniskate:Ysin} -zeigen, dass man $X^2$ und $Y^2$ sogar einzig durch $\sin t$ +zeigen, dass man $X^2$ und $Y^2$ sogar einzig durch $\sin v$ parametrisieren kann. -Um die Ausdrücke etwas zu vereinfachen, schreiben wir $S=\sin t$ +Um die Ausdrücke etwas zu vereinfachen, schreiben wir $S=\sin v$ und erhalten zusammenfassend \begin{equation} \begin{aligned} @@ -222,8 +234,7 @@ X^2-Y^2 2\biggl(\frac{1-S}{S}\biggr)^2. \end{aligned} \end{equation} -Die Berechnung des Quadrates von $X^2+Y^2$ ergibt -die Gleichung +Die Berechnung des Quadrates von $X^2+Y^2$ ergibt die Gleichung \[ (X^2+Y^2)^2 = @@ -260,7 +271,7 @@ r^4 = (x(r)^2 + y(r)^2)^2, \end{align*} -sie stellen also eine Parametrisierung der Lemniskate dar. +sie stellen also eine Parametrisierung der Standard-Lemniskate dar. Mit Hilfe der Parametrisierung~\eqref{buch:geometrie:eqn:lemniskateparam} kann man die Länge $s$ des in Abbildung~\ref{buch:elliptisch:fig:lemniskate} @@ -382,9 +393,13 @@ Y(t) \end{equation} Abbildung~\ref{buch:elliptisch:lemniskate:bogenpara} zeigt die Parametrisierung. -Dem Parameterwert $t=0$ entspricht der Punkt -$(\sqrt{2},0)$ der Lemniskate. +Dem Parameterwert $t=0$ entspricht der Scheitelpunkt +$S=(\sqrt{2},0)$ der Lemniskate. +% +% Lemniskatengleichung +% +\subsubsection{Verfikation der Lemniskatengleichung} Dass \eqref{buch:elliptisch:lemniskate:bogeneqn} tatsächlich eine Parametrisierung ist kann nachgewiesen werden dadurch, dass man die beiden Seiten der definierenden Gleichung der @@ -441,6 +456,11 @@ X(t)^2-Y(t)^2 = 2(X(t)^2-Y(t)^2). \end{align*} + +% +% Berechnung der Bogenlänge +% +\subsubsection{Berechnung der Bogenlänge} Wir zeigen jetzt, dass dies tatsächlich eine Bogenlängenparametrisierung der Lemniskate ist. Dazu berechnen wir die Ableitungen @@ -509,19 +529,22 @@ Dazu berechnen wir die Ableitungen &= 1. \end{align*} -Dies bedeutet, dass die Bogenlänge zwischen den Parameterwerten $0$ und $s$ +Dies bedeutet, dass die Bogenlänge zwischen den Parameterwerten $0$ und $t$ \[ -\int_0^s -\sqrt{\dot{X}(t)^2 + \dot{Y}(t)^2} -\,dt +\int_0^t +\sqrt{\dot{X}(\tau)^2 + \dot{Y}(\tau)^2} +\,d\tau = -\int_0^s\,dt +\int_0^s\,d\tau = -s, +t, \] -der Parameter $t$ ist also ein Bogenlängenparameter, man darf also -$s=t$ schreiben. +der Parameter $t$ ist also ein Bogenlängenparameter. +% +% Bogenlängenparametrisierung der Standard-Lemniskate +% +\subsubsection{Bogenlängenparametrisierung der Standard-Lemniskate} Die mit dem Faktor $1/\sqrt{2}$ skalierte Standard-Lemniskate mit der Gleichung \[ @@ -547,7 +570,13 @@ y(t) \text{mit $\displaystyle k=\frac{1}{\sqrt{2}}$} \label{buch:elliptisch:lemniskate:bogenlaenge} \end{equation} +Der Punkt $t=0$ entspricht dem Scheitelpunkt $S=(1,0)$ der Lemniskate. +Der Parameter misst also die Bogenlänge entlang der Lemniskate ausgehend +vom Scheitel. +% +% der lemniskatische Sinus und Kosinus +% \subsection{Der lemniskatische Sinus und Kosinus} Der Sinus berechnet die Gegenkathete zu einer gegebenen Bogenlänge des Kreises, er ist die Umkehrfunktion der Funktion, die der Gegenkathete @@ -555,30 +584,53 @@ die Bogenlänge zuordnet. Daher ist es naheliegend, die Umkehrfunktion von $s(r)$ in \eqref{buch:elliptisch:eqn:lemniskatebogenlaenge} den {\em lemniskatischen Sinus} zu nennen mit der Bezeichnung +\index{lemniskatischer Sinus}% +\index{Sinus, lemniskatischer}% $r=r(s)=\operatorname{sl} s$. +\index{komplementäre Bogenlänge} +% +% die komplementäre Bogenlänge +% +\subsubsection{Die komplementäre Bogenlänge} Der Kosinus ist der Sinus des komplementären Winkels. Auch für die lemniskatische Bogenlänge $s(r)$ lässt sich eine -komplementäre Bogenlänge definieren, nämlich die Bogenlänge zwischen -dem Punkt $(x(r), y(r))$ und $(1,0)$. -Da die Bogenlänge zwischen $(0,0)$ und $(1,0)$ in -in \eqref{buch:elliptisch:eqn:varpi} bereits bereichnet wurde. -ist sie $\varpi/2-s$. +komplementäre Bogenlänge $t$ definieren, nämlich die Bogenlänge +zwischen dem Punkt $(x(r), y(r))$ und dem Scheitelpunkt $S=(1,0)$. +Dies ist der Parameter der Parametrisierung +\eqref{buch:elliptisch:lemniskate:bogenlaenge} +des vorangegangenen Abschnittes. +Die Bogenlänge zwischen $O=(0,0)$ und $S=(1,0)$ wurde in +\eqref{buch:elliptisch:eqn:varpi} bereits bereichnet, +sie ist $\varpi/2$. +Damit folgt für die beiden Parameter $s$ und $t$ die Beziehung +$t = \varpi/2 - s$. + +\subsubsection{Der lemniskatische Kosinus} +\begin{figure} +\centering +\includegraphics[width=\textwidth]{chapters/110-elliptisch/images/slcl.pdf} +\caption{ +Lemniskatischer Sinus und Kosinus sowie Sinus und Kosinus +mit derart skaliertem Argument, dass die Funktionen die +gleichen Nullstellen haben. +\label{buch:elliptisch:figure:slcl}} +\end{figure} Der {\em lemniskatische Kosinus} ist daher $\operatorname{cl}(s) = \operatorname{sl}(\varpi/2-s)$. Graphen des lemniskatische Sinus und Kosinus sind in Abbildung~\ref{buch:elliptisch:figure:slcl} dargestellt. -Da die Parametrisierung~\eqref{buch:elliptisch:lemniskate:bogenlaenge} -eine Bogenlängenparametrisierung ist, darf man $t=s$ schreiben. -Dann kann man aber auch $r(s)$ daraus berechnen, -es ist +Die Parametrisierung~\eqref{buch:elliptisch:lemniskate:bogenlaenge} +ist eine Bogenlängenparametrisierung der Standard-Lemniskate. +Man kann sie verwenden, um $r(t)$ zu berechnen. +Es ist \[ -r(s)^2 +r(t)^2 = -x(s)^2 + y(s)^2 +x(t)^2 + y(t)^2 = -\operatorname{cn}(s\sqrt{2},k)^2 +\operatorname{cn}(\sqrt{2}t,k)^2 \biggl( \operatorname{dn}(\sqrt{2}t,k)^2 + @@ -586,25 +638,40 @@ x(s)^2 + y(s)^2 \operatorname{sn}(\sqrt{2}t,k)^2 \biggr) = -\operatorname{cn}(s\sqrt{2},k)^2. +\operatorname{cn}(\sqrt{2}t,k)^2. \] Die Wurzel ist \[ +r(t) += +\operatorname{cn}(\sqrt{2}t,{\textstyle\frac{1}{\sqrt{2}}}) +. +\] +Der lemniskatische Sinus wurde aber in Abhängigkeit von +$s=\varpi/2-t$ mittels +\[ +\operatorname{sl}s += r(s) = -\operatorname{sl} s +\operatorname{cn}(\sqrt{2}(\varpi/2-s),k)^2 +\] +definiert. +Der lemniskatische Kosinus ist definiert als der lemniskatische Sinus +\index{lemniskatischer Kosinus}% +\index{Kosinus, lemniskatischer}% +der komplementären Bogenlänge, also +\[ +\operatorname{cl}(s) += +\operatorname{sl}(\varpi/2-s) = -\operatorname{cn}(s\sqrt{2},{\textstyle\frac{1}{\sqrt{2}}}). +\operatorname{cn}(\sqrt{2}s,k)^2. \] -Damit ist der lemniskatische Sinus durch eine Jacobische elliptische -Funktion darstellbar. +Die Funktion $\operatorname{sl}(s)$ und $\operatorname{cl}(s)$ sind +in Abbildung~\ref{buch:elliptisch:figure:slcl} dargestellt. +Sie sind beide $2\varpi$-periodisch. +Die Abbildung zeigt ausserdem die Funktionen $\sin (\pi s/\varpi)$ +und $\cos(\pi s/\varpi)$, die ebenfalls $2\varpi$-periodisch sind. + -\begin{figure} -\centering -\includegraphics[width=\textwidth]{chapters/110-elliptisch/images/slcl.pdf} -\caption{ -Lemniskatischer Sinus und Kosinus sowie Sinus und Kosinus -mit derart skaliertem Argument, dass die Funktionen die -gleichen Nullstellen haben. -\label{buch:elliptisch:figure:slcl}} -\end{figure} -- cgit v1.2.1