From ca7aa88b2a8edd58d8d8e7dedb85d9f441b701e4 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: =?UTF-8?q?Andreas=20M=C3=BCller?= Date: Fri, 18 Feb 2022 17:28:23 +0100 Subject: new stuff about elliptic functions --- buch/chapters/110-elliptisch/images/Makefile | 8 +- buch/chapters/110-elliptisch/images/jacobi12.pdf | Bin 0 -> 22051 bytes buch/chapters/110-elliptisch/images/jacobi12.tex | 210 +++++++++++++++ buch/chapters/110-elliptisch/images/jacobidef.pdf | Bin 0 -> 23654 bytes buch/chapters/110-elliptisch/images/jacobidef.tex | 100 ++++++++ .../chapters/110-elliptisch/images/jacobiplots.pdf | Bin 57192 -> 57192 bytes buch/chapters/110-elliptisch/jacobi.tex | 283 ++++++++++++++++++++- 7 files changed, 592 insertions(+), 9 deletions(-) create mode 100644 buch/chapters/110-elliptisch/images/jacobi12.pdf create mode 100644 buch/chapters/110-elliptisch/images/jacobi12.tex create mode 100644 buch/chapters/110-elliptisch/images/jacobidef.pdf create mode 100644 buch/chapters/110-elliptisch/images/jacobidef.tex (limited to 'buch/chapters') diff --git a/buch/chapters/110-elliptisch/images/Makefile b/buch/chapters/110-elliptisch/images/Makefile index f3f783f..d1e0afe 100644 --- a/buch/chapters/110-elliptisch/images/Makefile +++ b/buch/chapters/110-elliptisch/images/Makefile @@ -4,7 +4,7 @@ # (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule # all: lemniskate.pdf ellipsenumfang.pdf unvollstaendig.pdf rechteck.pdf \ - ellipse.pdf pendel.pdf jacobiplots.pdf + ellipse.pdf pendel.pdf jacobiplots.pdf jacobidef.pdf jacobi12.pdf lemniskate.pdf: lemniskate.tex pdflatex lemniskate.tex @@ -60,3 +60,9 @@ jacobipaths.tex: jacobi Makefile jacobiplots.pdf: jacobiplots.tex jacobipaths.tex pdflatex jacobiplots.tex + +jacobidef.pdf: jacobidef.tex + pdflatex jacobidef.tex + +jacobi12.pdf: jacobi12.tex + pdflatex jacobi12.tex diff --git a/buch/chapters/110-elliptisch/images/jacobi12.pdf b/buch/chapters/110-elliptisch/images/jacobi12.pdf new file mode 100644 index 0000000..46f9883 Binary files /dev/null and b/buch/chapters/110-elliptisch/images/jacobi12.pdf differ diff --git a/buch/chapters/110-elliptisch/images/jacobi12.tex b/buch/chapters/110-elliptisch/images/jacobi12.tex new file mode 100644 index 0000000..aec9f04 --- /dev/null +++ b/buch/chapters/110-elliptisch/images/jacobi12.tex @@ -0,0 +1,210 @@ +% +% tikztemplate.tex -- template for standalon tikz images +% +% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule +% +\documentclass[tikz]{standalone} +\usepackage{amsmath} +\usepackage{times} +\usepackage{txfonts} +\usepackage{pgfplots} +\usepackage{csvsimple} +\definecolor{darkgreen}{rgb}{0,0.6,0} + +\definecolor{zaehlerblau}{rgb}{0,0.8,0.8} +\definecolor{zaehlergruen}{rgb}{0.0,0.4,0.2} +\definecolor{zaehlerrot}{rgb}{1.0,0.0,0.0} +\definecolor{zaehlerschwarz}{rgb}{1.0,0.6,0.2} + +\definecolor{nennerblau}{rgb}{0.2,0.4,1} +\definecolor{nennergruen}{rgb}{0,0.6,0} +\definecolor{nennerrot}{rgb}{0.8,0,0.4} +\definecolor{nennerschwarz}{rgb}{1,0.8,0} + + +\usetikzlibrary{arrows,intersections,math,calc} +\begin{document} +\def\skala{10} +\begin{tikzpicture}[>=latex,thick,scale=\skala] + +\def\a{1.6} +\def\w{41} +\pgfmathparse{atan(sin(\w)/(\a*cos(\w)))} +\xdef\v{\pgfmathresult} +\pgfmathparse{(\w+\v)/2+2} +\xdef\u{\pgfmathresult} + +\pgfmathparse{cos(\w)} +\xdef\cn{\pgfmathresult} +\pgfmathparse{sin(\w)} +\xdef\sn{\pgfmathresult} +\pgfmathparse{sqrt(\a*\a*cos(\w)*cos(\w)+sin(\w)*sin(\w))} +\xdef\r{\pgfmathresult} +\pgfmathparse{\r/\a} +\xdef\dn{\pgfmathresult} + +\pgfmathparse{1/\sn} +\xdef\ns{\pgfmathresult} +\pgfmathparse{1/\cn} +\xdef\nc{\pgfmathresult} +\pgfmathparse{1/\dn} +\xdef\nd{\pgfmathresult} + +\pgfmathparse{\sn/\cn} +\xdef\sc{\pgfmathresult} +\pgfmathparse{\cn/\sn} +\xdef\cs{\pgfmathresult} + +\pgfmathparse{\sn/\dn} +\xdef\sd{\pgfmathresult} +\pgfmathparse{\dn/\sn} +\xdef\ds{\pgfmathresult} + +\pgfmathparse{\cn/\dn} +\xdef\cd{\pgfmathresult} +\pgfmathparse{\dn/\cn} +\xdef\dc{\pgfmathresult} + + +\def\zaehler#1#2#3#4#5#6{ +\begin{scope}[rotate=#3] + \fill[color=#4!50,opacity=0.5] + ({#1-2/\skala},{#6-0.2/\skala}) + rectangle + ({#2+5.5/\skala},{#6+0.6/\skala}); 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+} + +\rechteck{\cn}{nennerschwarz}{Nenner $1$} +\rechteck{\cd}{nennergruen}{Nenner $\operatorname{dn}(u,k)$} +\rechteck{1}{nennerblau}{Nenner $\operatorname{cn}(u,k)$} +\rechteck{\cs}{nennerrot}{Nenner $\operatorname{sn}(u,k)$} + +\draw[color=gray!50] (\cn,0) -- (\cn,1); +\draw[color=gray!50] (\cd,0) -- (\cd,1); +\draw[color=gray!50] (1,0) -- (1,1); +\draw[color=gray!50] (\cs,0) -- (\cs,1); + +\def\punkt#1#2{ + \fill[color=#2] #1 circle[radius={0.10/\skala}]; + \fill[color=white] #1 circle[radius={0.06/\skala}]; +} + +\draw[->] ({-0.1/\skala},0) -- ({\cs+0.8/\skala},0) + coordinate[label={$x$}]; +\draw[->] (0,{-0.1/\skala}) -- (0,{1+3.0/\skala}) + coordinate[label={right:$y$}]; + +\draw[color=gray] (0,1) -- (\cs,1); +\draw[color=gray!50,line width=1.4pt] + plot[domain=0:90,samples=100] ({cos(\x)},{sin(\x)/\a}); + +\draw[line width=1.4pt] (1,0) arc (0:{\w-4.5}:1); +\draw[line width=1.4pt,color=gray!40] ({\w-4.5}:1) arc ({\w-4.5}:\w:1); +\draw[line width=1.4pt] ({\w}:1) arc (\w:90:1); + +\draw (1,0) -- (1,\sc); +\node at (1,\sc) [above right,rotate=-90] {$\operatorname{sc}(u,k)\mathstrut$}; + +\draw (0,0) -- (\w:\ns); +\draw (0,0) -- (\v:\ds); + +\node at ($0.95*(\w:\ns)$) + [above,rotate=\w] {$\operatorname{ns}(u,k)\mathstrut$}; +\node at ($0.95*(\w:\nc)$) + [above,rotate=\w] {$\operatorname{nc}(u,k)\mathstrut$}; + +\node at (\w:1) [above left,rotate=\w] {$1\mathstrut$}; +\node at (\v:1) [above left,rotate=\v] {$1\mathstrut$}; + + +\draw[color=red,line width=1.4pt] (\cn,0) -- (\cn,\sn); +\node[color=red] at (\cn,\sn) + [above right,rotate=-90] {$\operatorname{sn}(u,k)\mathstrut$}; + +\fill[color=darkgreen!50] (0,0) -- (0:0.35) arc (0:\v:0.35) -- cycle; +\node[color=darkgreen] at ({\v/2}:0.28) {$\vartheta$}; +\draw[color=darkgreen,line width=1.4pt] (0,0) -- (\v:\dn); +\node[color=darkgreen] at ($1.0*(\v:\dn)$) + [above left,rotate=\v] {$\operatorname{dn}(u,k)\mathstrut$}; + +\fill[color=gray!50] (0,0) -- ({0.2},0) arc (0:\w:0.2) -- cycle; +\node[color=black] at ({\w/2}:0.13) {$\varphi$}; +\draw[color=black] (0,0) -- (\cs,1); + + +\draw[color=blue,line width=1.4pt] (0,0) -- (\cn,0); +\node[color=blue] at (\cn,0) + [below] {$\operatorname{cn}(u,k)\mathstrut$}; + +\draw[color=gray!50,line width=1pt] (\cd,0) -- (\cd,\sd); +\node at (\cd,0) [below] {$\operatorname{cd}(u,k)\mathstrut$}; +\node at (\cd,\sd) [above right,rotate=-90] {$\operatorname{sd}(u,k)\mathstrut$}; + +\draw[color=gray!50,line width=1pt] (\cs,0) -- (\cs,1); + +\punkt{(\cn,\sn)}{red} +\punkt{(\cn,0)}{blue} +\punkt{(\v:\dn)}{darkgreen} + +\punkt{(1,\sc)}{black} +\punkt{(\cs,1)}{black} + +\punkt{(\cd,0)}{black} +\punkt{(\cd,\sd)}{black} + +\punkt{(\w:\nd)}{black} +\punkt{(\cs,0)}{black} +\punkt{(\v:\ds)}{black} +\punkt{(\v:\dc)}{black} + +\node at (\w:\nd) [above left,rotate=\w] {$\operatorname{nd}(u,k)\mathstrut$}; +\node at (\cs,0) [below] {$\operatorname{cs}(u,k)\mathstrut$}; +\node at (\v:\ds) [above left,rotate=\v] {$\operatorname{ds}(u,k)\mathstrut$}; +\node at (\v:\dc) [above left,rotate=\v] {$\operatorname{dc}(u,k)\mathstrut$}; +\node at (1,0) [below] {$1\mathstrut$}; +\node at (\cs,1) [above right,rotate=-90] {$1\mathstrut$}; + +\draw ({-0.1/\skala},1) -- ({0.1/\skala},1); +\node at ({-0.1/\skala},1) [left] {$1$}; +\draw ({-0.1/\skala},{1/\a}) -- ({0.1/\skala},{1/\a}); +\node at ({-0.1/\skala},{1/\a}) [left] {$\displaystyle\frac1a$}; + +\end{tikzpicture} +\end{document} + diff --git a/buch/chapters/110-elliptisch/images/jacobidef.pdf b/buch/chapters/110-elliptisch/images/jacobidef.pdf new file mode 100644 index 0000000..9b4ab67 Binary files /dev/null and b/buch/chapters/110-elliptisch/images/jacobidef.pdf differ diff --git a/buch/chapters/110-elliptisch/images/jacobidef.tex b/buch/chapters/110-elliptisch/images/jacobidef.tex new file mode 100644 index 0000000..855b330 --- /dev/null +++ b/buch/chapters/110-elliptisch/images/jacobidef.tex @@ -0,0 +1,100 @@ +% +% tikztemplate.tex -- template for standalon tikz images +% +% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule +% +\documentclass[tikz]{standalone} +\usepackage{amsmath} +\usepackage{times} +\usepackage{txfonts} +\usepackage{pgfplots} +\usepackage{csvsimple} +\usetikzlibrary{arrows,intersections,math,calc} +\definecolor{darkgreen}{rgb}{0,0.6,0} +\begin{document} +\def\skala{8} +\begin{tikzpicture}[>=latex,thick,scale=\skala] + +\def\a{1.6} +\def\w{40} +\pgfmathparse{atan(sin(\w)/(\a*cos(\w)))} +\xdef\v{\pgfmathresult} + +\pgfmathparse{cos(\w)} +\xdef\cn{\pgfmathresult} +\pgfmathparse{sin(\w)} +\xdef\sn{\pgfmathresult} +\pgfmathparse{sqrt(\a*\a*cos(\w)*cos(\w)+sin(\w)*sin(\w))} +\xdef\r{\pgfmathresult} +\pgfmathparse{\r/\a} +\xdef\dn{\pgfmathresult} + +\draw[color=red,line width=1.4pt] ({\cn},0) -- ({\cn},{\sn}); +\node[color=red] at ({\cn},{0.3*\sn}) + [above,rotate=90] {$\operatorname{sn}(u,k)$}; +\node[color=red] at ({\a*\cn},{0.3*\sn}) + [above,rotate=90] {$\operatorname{sn}(u,k)$}; + +\draw[->,line width=1pt] ({-0.1/\skala},0) -- ({\a+0.4/\skala},0) + coordinate[label={$x$}]; +\draw[->,line width=1pt] (0,{-0.1/\skala}) -- (0,{1+0.3/\skala}) + coordinate[label={right:$y$}]; + +\draw[color=gray,line width=1.4pt] + plot[domain=-0.5:90.5,samples=100] ({cos(\x)},{sin(\x)}); +\draw[color=gray!50,line width=1.4pt] + plot[domain=-0.5:90.5,samples=100] ({cos(\x)},{sin(\x)/\a}); +\draw[color=black,line width=1.4pt] + plot[domain=-0.5:90.5,samples=100] ({\a*cos(\x)},{sin(\x)}); + +\def\punkt#1#2{ + \fill[color=#2] #1 circle[radius={0.10/\skala}]; + \fill[color=white] #1 circle[radius={0.06/\skala}]; +} + +\fill[color=darkgreen!50] (0,0) -- (0:0.35) arc (0:\v:0.35) -- cycle; +%\draw[color=darkgreen] (0:0.35) arc (0:\v:0.35); +\node[color=darkgreen] at ({\v/2}:0.28) {$\vartheta$}; + +\draw[color=red!40,line width=1.4pt] ({\a*\cn},0) -- ({\a*\cn},{\sn}); + +\draw[color=darkgreen!40,line width=1.4pt] (0,0) -- ({\a*\cn},{\sn}); +\draw[color=darkgreen,line width=1.4pt] (0,0) -- ({\cn},{\sn/\a}); +\node[color=darkgreen] at ({0.6*\cn},{0.6*\sn/\a}) + [below,rotate=\v] {$\operatorname{dn}(u,k)$}; +\punkt{({\cn},{\sn/\a})}{darkgreen} +\node[color=darkgreen] at ({0.87*\a*\cn},{0.87*\sn}) + [above,rotate=\v] {$r=a\operatorname{dn}(u,k)$}; + +\fill[color=gray!50] (0,0) -- (0:0.2) arc (0:\w:0.2) -- cycle; +\node at ({\w/2}:0.15) {$\varphi$}; + + +\draw (0,0) -- (\w:1); + +\punkt{({\a*\cn},{\sn})}{black} +\punkt{({\cn},{\sn})}{red!50} + +\node at ({\a*\cn},{\sn}) + [above right] {$P=(a\cos\varphi,\sin\varphi)$}; +\node at ($(\w:1)+({-0.1/\skala},0)$) + [left] {$Q=(\cos\varphi,\sin\varphi)$}; + +\node at (\a,0) [below] {$a\mathstrut$}; +\node at ({-0.1/\skala},1) [left] {$1$}; +\node at ({-0.1/\skala},{1/\a}) [left] {$\displaystyle\frac{1}{a}$}; +\draw ({-0.1/\skala},{1/\a}) -- ({0.1/\skala},{1/\a}); + +\draw[color=blue!40,line width=1.4pt] (0,0) -- ({\a*\cn},0); +\draw ({\a*\cn},{-0.1/\skala}) -- ({\a*\cn},{0.1/\skala}); +\node[color=blue] at ({\a*\cn},{-0.1/\skala}) + [below] {$a\operatorname{cn}(u,k)$}; +\draw[color=blue,line width=1.4pt] (0,0) -- ({\cn},0); +\node[color=blue] at ({0.5*\cn},0) [below] {$\operatorname{cn}(u,k)$}; +\punkt{({cos(\w)},0)}{blue} + +\node at (0,0) [below left] {$O$}; + +\end{tikzpicture} +\end{document} + diff --git a/buch/chapters/110-elliptisch/images/jacobiplots.pdf b/buch/chapters/110-elliptisch/images/jacobiplots.pdf index 47870ef..8ebd501 100644 Binary files a/buch/chapters/110-elliptisch/images/jacobiplots.pdf and b/buch/chapters/110-elliptisch/images/jacobiplots.pdf differ diff --git a/buch/chapters/110-elliptisch/jacobi.tex b/buch/chapters/110-elliptisch/jacobi.tex index bd53253..e224490 100644 --- a/buch/chapters/110-elliptisch/jacobi.tex +++ b/buch/chapters/110-elliptisch/jacobi.tex @@ -21,6 +21,7 @@ trigonometrischen Funktionen auf die Geometrie von Ellipsen erweitern, dann muss man die Umkehrfunktionen der elliptischen Integrale dafür ins Auge fassen. + % % ellpitische Funktionen als Trigonometrie % @@ -131,7 +132,8 @@ Für die Koordinaten eines Punktes auf der Ellipse ist dies nicht so einfach, weil es nicht nur eine Ellipse gibt, sondern für jede numerische Exzentrizität mindestens eine mit Halbeachse $1$. Wir wählen die Ellipsen so, dass $a$ die grosse Halbachse ist, also $a>b$. -Als Normierungsbedingung verwenden wir, dass $b=1$ sein soll. +Als Normierungsbedingung verwenden wir, dass $b=1$ sein soll, wie in +Abbildung~\ref{buch:elliptisch:fig:jacobidef}. Dann ist $a=1/\varepsilon>1$. In dieser Normierung haben Punkte $(x,y)$ auf der Ellipse $y$-Koordinaten zwischen $-1$ und $1$ und $x$-Koordinaten zwischen $-a$ und $a$. @@ -150,7 +152,7 @@ k \frac{\sqrt{a^2-1}}{a}, \] die Zahl $k$ heisst auch der {\em Modulus}. -Man kann $a$ auch durch $k$ ausdrücken, durch quadrieren und umstellen +Man kann $a$ auch durch $k$ ausdrücken, durch Quadrieren und Umstellen findet man \[ k^2a^2 = a^2-1 @@ -170,8 +172,15 @@ x^2(k^2-1) + y^2 = 1. % % Definition der elliptischen Funktionen % +\begin{figure} +\centering +\includegraphics{chapters/110-elliptisch/images/jacobidef.pdf} +\caption{Definition der elliptischen Funktionen als Trigonometrie +an einer Ellipse mit Halbachsen $a$ und $1$. +\label{buch:elliptisch:fig:jacobidef}} +\end{figure} \subsubsection{Definition der elliptischen Funktionen} -Die elliptischen Funktionen für einen Punkt auf der Ellipse mit Modulus $k$ +Die elliptischen Funktionen für einen Punkt $P$ auf der Ellipse mit Modulus $k$ können jetzt als Verhältnisse der Koordinaten des Punktes definieren. Es stellt sich aber die Frage, was man als Argument verwenden soll. Es soll so etwas wie den Winkel $\varphi$ zwischen der $x$-Achse und dem @@ -198,13 +207,15 @@ die Funktionen \[ \begin{aligned} &\text{sinus amplitudinis:}& -\operatorname{sn}(u,k)&= y \\ +{\color{red}\operatorname{sn}(u,k)}&= y \\ &\text{cosinus amplitudinis:}& -\operatorname{cn}(u,k)&= \frac{x}{a} \\ +{\color{blue}\operatorname{cn}(u,k)}&= \frac{x}{a} \\ &\text{delta amplitudinis:}& -\operatorname{dn}(u,k)&=\frac{r}{a} +{\color{darkgreen}\operatorname{dn}(u,k)}&=\frac{r}{a}, \end{aligned} \] +die auch in Abbildung~\ref{buch:elliptisch:fig:jacobidef} +dargestellt sind. Aus der Gleichung der Ellipse folgt sofort, dass \[ \operatorname{sn}(u,k)^2 + \operatorname{cn}(u,k)^2 = 1 @@ -275,8 +286,68 @@ k^2\operatorname{cn}(u,k)^2 = \frac{a^2-a^2+1}{a^2} = -1-k^2. +1-k^2 =: k^{\prime 2}. \end{align*} +Wir stellen die hiermit gefundenen Relationen zwischen den grundlegenden +Jacobischen elliptischen Funktionen für später zusammen in den Formeln +\begin{equation} +\begin{aligned} +\operatorname{sn}^2(u,k) ++ +\operatorname{cn}^2(u,k) +&= +1 +\\ +\operatorname{dn}^2(u,k) + k^2\operatorname{sn}^2(u,k) +&= +1 +\\ +\operatorname{dn}^2(u,k) -k^2\operatorname{cn}^2(u,k) +&= +k^{\prime 2}. +\end{aligned} +\label{buch:elliptisch:eqn:jacobi-relationen} +\end{equation} +zusammen. +So wie es möglich ist, $\sin\alpha$ durch $\cos\alpha$ auszudrücken, +ist es mit +\eqref{buch:elliptisch:eqn:jacobi-relationen} +jetzt auch möglich jede grundlegende elliptische Funktion durch +jede anderen auszudrücken. +Die Resultate sind in der Tabelle~\ref{buch:elliptisch:fig:jacobi-relationen} +zusammengestellt. + +\begin{table} +\centering +\renewcommand{\arraystretch}{2.1} +\begin{tabular}{|>{$\displaystyle}c<{$}|>{$\displaystyle}c<{$}>{$\displaystyle}c<{$}>{$\displaystyle}c<{$}|} +\hline +&\operatorname{sn}(u,k) +&\operatorname{cn}(u,k) +&\operatorname{dn}(u,k)\\ +\hline +\operatorname{sn}(u,k) +&\operatorname{sn}(u,k) +&\sqrt{1-\operatorname{cn}^2(u,k)} +&\frac1k\sqrt{1-\operatorname{dn}^2(u,k)} +\\ +\operatorname{cn}(u,k) +&\sqrt{1-\operatorname{sn}^2(u,k)} +&\operatorname{cn}(u,k) +&\frac{1}{k}\sqrt{\operatorname{dn}^2(u,k)-k^{\prime2}} +\\ +\operatorname{dn}(u,k) +&\sqrt{1-k^2\operatorname{sn}^2(u,k)} +&\sqrt{k^{\prime2}+k^2\operatorname{cn}^2(u,k)} +&\operatorname{dn}(u,k) +\\ +\hline +\end{tabular} +\caption{Jede der Jacobischen elliptischen Funktionen lässt sich +unter Verwendung der Relationen~\eqref{buch:elliptisch:eqn:jacobi-relationen} +durch jede andere ausdrücken. +\label{buch:elliptisch:fig:jacobi-relationen}} +\end{table} % % Ableitungen der Jacobi-ellpitischen Funktionen @@ -352,6 +423,11 @@ elliptischen Funktionen nach $\varphi$ ableiten: \\ \frac{d}{d\varphi} \operatorname{dn}(u,z) &= +\frac{1}{a}\frac{dr}{d\varphi} += +\frac{1}{a}\frac{d\sqrt{x^2+y^2}}{d\varphi} +\\ +&= \frac{x}{ar} \frac{dx}{d\varphi} + \frac{y}{ar} \frac{dy}{d\varphi} @@ -397,7 +473,7 @@ wählt, dass = \frac{r}{a} \] -Damit haben wir die Ableitungsregeln +Damit haben wir die grundlegenden Ableitungsregeln \begin{align*} \frac{d}{du}\operatorname{sn}(u,k) &= @@ -411,7 +487,198 @@ Damit haben wir die Ableitungsregeln &= -k^2\operatorname{sn}(u,k)\operatorname{cn}(u,k) \end{align*} +der elliptischen Funktionen nach Jacobi. + +% +% Das Argument u +% +\subsubsection{Das Argument $u$} +Die Gleichung +\begin{equation} +\frac{d\varphi}{du} += +\operatorname{dn}(u,k) +\label{buch:elliptisch:eqn:uableitung} +\end{equation} +ermöglicht, $\varphi$ in Abhängigkeit von $u$ zu berechnen, ohne jedoch +die geometrische Bedeutung zu klären. +Das beginnt bereits damit, dass der Winkel $\varphi$ nicht nicht der +Polarwinkel des Punktes $P$ in Abbildung~\ref{buch:elliptisch:fig:jacobidef} +ist, diesen nennen wir $\vartheta$. +Der Zusammenhang zwischen $\varphi$ und $\vartheta$ ist +\begin{equation} +\frac1{a}\tan\varphi = \tan\vartheta +\label{buch:elliptisch:eqn:phitheta} +\end{equation} + +Um die geometrische Bedeutung besser zu verstehen, nehmen wir jetzt an, +dass die Ellipse mit einem Parameter $t$ parametrisiert ist, dass also +$\varphi(t)$, $\vartheta(t)$ und $u(t)$ Funktionen von $t$ sind. +Die Ableitung von~\eqref{buch:elliptisch:eqn:phitheta} ist +\[ +\frac1{a}\cdot \frac{1}{\cos^2\varphi}\cdot \dot{\varphi} += +\frac{1}{\cos^2\vartheta}\cdot \dot{\vartheta}. +\] +Daraus kann die Ableitung von $\vartheta$ nach $\varphi$ bestimmt +werden, sie ist +\[ +\frac{d\vartheta}{d\varphi} += +\frac{\dot{\vartheta}}{\dot{\varphi}} += +\frac{1}{a} +\cdot +\frac{\cos^2\vartheta}{\cos^2\varphi} += +\frac{1}{a} +\cdot +\frac{(x/r)^2}{(x/a)^2} += +\frac{1}{a}\cdot +\frac{a^2}{r^2} += +\frac{1}{a}\cdot\frac{1}{\operatorname{dn}^2(u,k)}. +\] +Damit kann man jetzt mit Hilfe von~\eqref{buch:elliptisch:eqn:uableitung} +Die Ableitung von $\vartheta$ nach $u$ ermitteln, sie ist +\[ +\frac{d\vartheta}{du} += +\frac{d\vartheta}{d\varphi} +\cdot +\frac{d\varphi}{du} += +\frac{1}{a}\cdot\frac{1}{\operatorname{dn}^2(u,k)} +\cdot +\operatorname{dn}(u,k) += +\frac{1}{a} +\cdot +\frac{1}{\operatorname{dn}(u,k)} += +\frac{1}{a} +\cdot\frac{a}{r} += +\frac{1}{r}, +\] +wobei wir auch die Definition der Funktion $\operatorname{dn}(u,k)$ +verwendet haben. + +In der Parametrisierung mit dem Parameter $t$ kann man jetzt die Ableitung +von $u$ nach $t$ berechnen als +\[ +\frac{du}{dt} += +\frac{du}{d\vartheta} +\frac{d\vartheta}{dt} += +r +\dot{\vartheta}. +\] +Darin ist $\dot{\vartheta}$ die Winkelgeschwindigkeit des Punktes um +das Zentrum $O$ und $r$ ist die aktuelle Entfernung des Punktes $P$ +von $O$. +$r\dot{\vartheta}$ ist also die Geschwindigkeitskomponenten des Punktes +$P$ senkrecht auf den aktuellen Radiusvektor. +Der Parameter $u$, der zum Punkt $P$ gehört, ist also das Integral +\[ +u(P) = \int_0^P r\,d\vartheta. +\] +Für einen Kreis ist die Geschwindigkeit von $P$ immer senkrecht +auf dem Radiusvektor und der Radius ist konstant, so dass +$u(P)=\vartheta(P)$ ist. + +% +% Die abgeleiteten elliptischen Funktionen +% +\begin{figure} +\centering +\includegraphics[width=\textwidth]{chapters/110-elliptisch/images/jacobi12.pdf} +\caption{Die Verhältnisse der Funktionen +$\operatorname{sn}(u,k)$, +$\operatorname{cn}(u,k)$ +udn +$\operatorname{dn}(u,k)$ +geben Anlass zu neun weitere Funktionen, die sich mit Hilfe +des Strahlensatzes geometrisch interpretieren lassen. +\label{buch:elliptisch:fig:jacobi12}} +\end{figure} +\begin{table} +\renewcommand{\arraystretch}{2.5} +\begin{tabular}{|>{$\displaystyle}c<{$}|>{$\displaystyle}c<{$}>{$\displaystyle}c<{$}>{$\displaystyle}c<{$}>{$\displaystyle}c<{$}|} +\hline +\cdot & +\frac{1}{1} & +\frac{1}{\operatorname{sn}(u,k)} & +\frac{1}{\operatorname{cn}(u,k)} & +\frac{1}{\operatorname{dn}(u,k)} +\\[5pt] +\hline +1& +\operatorname{nn}(u,k)=\frac{1}{1} & +\operatorname{ns}(u,k)=\frac{1}{\operatorname{sn}(u,k)} & +\operatorname{nc}(u,k)=\frac{1}{\operatorname{cn}(u,k)} & +\operatorname{nd}(u,k)=\frac{1}{\operatorname{dn}(u,k)} +\\ +\operatorname{sn}(u,k) & +\operatorname{sn}(u,k)=\frac{\operatorname{sn}(u,k)}{1}& +\operatorname{ss}(u,k)=\frac{\operatorname{sn}(u,k)}{\operatorname{sn}(u,k)}& +\operatorname{sc}(u,k)=\frac{\operatorname{sn}(u,k)}{\operatorname{cn}(u,k)}& +\operatorname{sd}(u,k)=\frac{\operatorname{sn}(u,k)}{\operatorname{dn}(u,k)} +\\ +\operatorname{cn}(u,k) & +\operatorname{cn}(u,k)=\frac{\operatorname{cn}(u,k)}{1} & +\operatorname{cs}(u,k)=\frac{\operatorname{cn}(u,k)}{\operatorname{sn}(u,k)}& +\operatorname{cc}(u,k)=\frac{\operatorname{cn}(u,k)}{\operatorname{cn}(u,k)}& +\operatorname{cd}(u,k)=\frac{\operatorname{cn}(u,k)}{\operatorname{dn}(u,k)} +\\ +\operatorname{dn}(u,k) & +\operatorname{dn}(u,k)=\frac{\operatorname{dn}(u,k)}{1} & +\operatorname{ds}(u,k)=\frac{\operatorname{dn}(u,k)}{\operatorname{sn}(u,k)}& +\operatorname{dc}(u,k)=\frac{\operatorname{dn}(u,k)}{\operatorname{cn}(u,k)}& +\operatorname{dd}(u,k)=\frac{\operatorname{dn}(u,k)}{\operatorname{dn}(u,k)} +\\[5pt] +\hline +\end{tabular} +\caption{Zusammenstellung der abgeleiteten Jacobischen elliptischen +Funktionen als Quotienten der grundlegenden Jacobischen elliptischen +Funktionen. +\label{buch:elliptisch:table:abgeleitetjacobi}} +\end{table} +\subsubsection{Die abgeleiteten elliptischen Funktionen} +Zusätzlich zu den grundlegenden Jacobischen elliptischen Funktioenn +lassen sich weitere elliptische Funktionen bilden, die unglücklicherweise +die {\em abgeleiteten elliptischen Funktionen} genannt werden. +Ähnlich wie die trigonometrischen Funktionen $\tan\alpha$, $\cot\alpha$, +$\sec\alpha$ und $\csc\alpha$ als Quotienten von $\sin\alpha$ und +$\cos\alpha$ definiert sind, sind die abgeleiteten elliptischen Funktionen +die in Tabelle~\ref{buch:elliptisch:table:abgeleitetjacobi} zusammengestellten +Quotienten der grundlegenden Jacobischen elliptischen Funktionen. +Die Bezeichnungskonvention ist, dass die Funktion $\operatorname{pq}(u,k)$ +ein Quotient ist, dessen Zähler durch den Buchstaben p bestimmt ist, +der Nenner durch den Buchstaben q. +Der Buchstabe n steht für eine $1$, die Buchstaben s, c und d stehen für +die Anfangsbuchstaben der grundlegenden Jacobischen elliptischen +Funktionen. +Meint man irgend eine der Jacobischen elliptischen Funktionen, schreibt +man manchmal auch $\operatorname{zn}(u,k)$. + +In Abbildung~\ref{buch:elliptisch:fig:jacobi12} sind die Quotienten auch +geometrisch interpretiert. +Der Wert der Funktion $\operatorname{nq}(u,k)$ ist die auf dem Strahl +mit Polarwinkel $\varphi$ abgetragene Länge bis zu den vertikalen +Geraden, die den verschiedenen möglichen Nennern entsprechen. +Entsprechend ist der Wert der Funktion $\operatorname{dq}(u,k)$ die +Länge auf dem Strahl mit Polarwinkel $\vartheta$. + +Die Relationen~\ref{buch:elliptisch:eqn:jacobi-relationen} +ermöglichen, jede Funktion $\operatorname{zn}(u,k)$ durch jede +andere auszudrücken. + +\subsubsection{Ableitung der abgeleiteten elliptischen Funktionen} +\subsubsection{TODO} XXX algebraische Beziehungen \\ XXX Additionstheoreme \\ XXX Perioden -- cgit v1.2.1