From f064b343115255b4a6ae19cb09f397dcd8c6f25a Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: Fabian <@>
Date: Tue, 26 Jul 2022 16:23:27 +0200
Subject: 0f1, Mathe done

---
 buch/papers/0f1/teil1.tex | 82 ++++++++++++++++++++++++++++++-----------------
 1 file changed, 52 insertions(+), 30 deletions(-)

(limited to 'buch/papers/0f1/teil1.tex')

diff --git a/buch/papers/0f1/teil1.tex b/buch/papers/0f1/teil1.tex
index 910e8bb..2a60737 100644
--- a/buch/papers/0f1/teil1.tex
+++ b/buch/papers/0f1/teil1.tex
@@ -6,16 +6,40 @@
 \section{Mathematischer Hintergrund
 \label{0f1:section:mathHintergrund}}
 \rhead{Mathematischer Hintergrund}
+Basierend auf den Herleitungen des vorhergehenden Kapitels \ref{buch:rekursion:section:hypergeometrische-funktion}
+und dem Seminarbuch Numerik \cite{0f1:kettenbrueche}, werden im nachfolgenden Abschnitt nochmals die Resultate
+beschrieben.
+
+\subsection{Hypergeometrische Funktion
+\label{0f1:subsection:hypergeometrisch}}
+Als Grundlage der umgesetzten Algorithmen dient die Hypergeometrische Funktion $\mathstrut_0F_1$. Diese ist eine Unterfunktion der allgemein definierten Funktion $\mathstrut_pF_q$.
 
-\subsection{Hypergeometrische Funktion $\mathstrut_0F_1$
-\label{0f1:subsection:0f1}}
-Wie in Kapitel \ref{buch:rekursion:section:hypergeometrische-funktion} beschrieben,
-wird die Funktion $\mathstrut_0F_1$ folgendermassen definiert.
 \begin{definition}
-    \label{0f1:rekursion:hypergeometrisch:def}
-    Die hypergeometrische Funktion
-    $\mathstrut_0F_1$ ist definiert durch die Reihe
-    \[
+	\label{0f1:math:qFp:def}
+	Die hypergeometrische Funktion
+	$\mathstrut_pF_q$ ist definiert durch die Reihe
+	\[
+	\mathstrut_pF_q
+	\biggl(
+	\begin{matrix}
+		a_1,\dots,a_p\\
+		b_1,\dots,b_q
+	\end{matrix}
+	;
+	x
+	\biggr)
+	=
+	\mathstrut_pF_q(a_1,\dots,a_p;b_1,\dots,b_q;x)
+	=
+	\sum_{k=0}^\infty
+	\frac{(a_1)_k\cdots(a_p)_k}{(b_1)_k\cdots(b_q)_k}\frac{x^k}{k!}.
+	\]
+\end{definition}
+
+Angewendet auf die Funktion $\mathstrut_pF_q$ ergibt sich für $\mathstrut_0F_1$:
+
+\begin{equation}
+    \label{0f1:math:0f1:eq}
     \mathstrut_0F_1
     \biggl(
     \begin{matrix}
@@ -29,26 +53,29 @@ wird die Funktion $\mathstrut_0F_1$ folgendermassen definiert.
     \mathstrut_0F_1(;b_1;x)
     =
     \sum_{k=0}^\infty
-    \frac{1}{(b_1)_k}\frac{x^k}{k!}.
-    \]
-\end{definition}
+    \frac{x^k}{(b_1)_k \cdot k!}.
+\end{equation}
+
+
 
 
 \subsection{Airy Funktion
 \label{0f1:subsection:airy}}
-Wie in \ref{buch:differentialgleichungen:section:hypergeometrisch} dargestellt, ist die Airy-Differentialgleichung
-folgendermassen definiert.
+Die Airy-Funktion $Ai(x)$ und die verwandte Funktion $Bi(x)$ werden als Airy-Funktion bezeichnet. Sie werden zur Lösung verschiedener physikalischer Probleme benutzt, wie zum Beispiel zur Lösung der Schrödinger-Gleichung. \cite{0f1:wiki-airyFunktion}
+
 \begin{definition}
-    y'' - xy = 0
-    \label{0f1:airy:eq:differentialgleichung}
+    \label{0f1:airy:differentialgleichung:def}
+    Die Differentialgleichung
+    $y'' - xy = 0$
+    heisst die {\em Airy-Differentialgleichung}. \cite{0f1:wiki-airyFunktion} 
 \end{definition}
 
-Daraus ergibt sich wie in Aufgabe~\ref{503} gefundenen Lösungen der
-Airy-Differentialgleichung als hypergeometrische Funktionen.
+Die Airy Funktion lässt sich auf verschiedene Arten darstellen. \cite{0f1:wiki-airyFunktion} 
+Als hypergeometrische Funktion berechnet, ergibt sich wie in Kapitel \ref{buch:differentialgleichungen:section:hypergeometrisch} hergeleitet, folgende Lösungen der Airy-Differentialgleichung zu den Anfangsbedingungen $A(0)=1$ und $A'(0)=0$, sowie $B(0)=0$ und $B'(0)=0$.
 
-
-\begin{align*}
-y_1(x)
+\begin{align}
+\label{0f1:airy:hypergeometrisch:eq}
+Ai(x)
 =
 \sum_{k=0}^\infty
 \frac{1}{(\frac23)_k} \frac{1}{k!}\biggl(\frac{x^3}{9}\biggr)^k
@@ -57,7 +84,7 @@ y_1(x)
 \begin{matrix}\text{---}\\\frac23\end{matrix};\frac{x^3}{9}
 \biggr).
 \\
-y_2(x)
+Bi(x)
 =
 \sum_{k=0}^\infty
 \frac{1}{(\frac43)_k} \frac{1}{k!}\biggl(\frac{x^3}{9}\biggr)^k
@@ -67,14 +94,9 @@ x\cdot\mathstrut_0F_1\biggl(
 \frac{x^3}{9}
 \biggr).
 \qedhere
-\end{align*}
+\end{align}
+
+In diesem speziellem Fall wird die Airy Funktion $Ai(x)$ \eqref{0f1:airy:hypergeometrisch:eq}
+benutzt, um die Stabilität der Algorithmen zu $\mathstrut_0F_1$ zu überprüfen.
 
 
-\begin{figure}
-    \centering
-    \includegraphics{papers/0f1/images/airy.pdf}
-    \caption{Plot der Lösungen der Airy-Differentialgleichung $y''-xy=0$
-    zu den Anfangsbedingungen $y(0)=1$ und $y'(0)=0$ in {\color{red}rot}
-    und $y(0)=0$ und $y'(0)=1$ in {\color{blue}blau}.
-    \label{0f1:airy:plot:vorgabe}}
-\end{figure}
\ No newline at end of file
-- 
cgit v1.2.1


From 220b382cf4b7019b199c3023ddab73ba2658e27a Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: Fabian <@>
Date: Wed, 27 Jul 2022 13:08:39 +0200
Subject: 0f1, bilder

---
 buch/papers/0f1/teil1.tex | 204 +++++++++++++++++++++++-----------------------
 1 file changed, 102 insertions(+), 102 deletions(-)

(limited to 'buch/papers/0f1/teil1.tex')

diff --git a/buch/papers/0f1/teil1.tex b/buch/papers/0f1/teil1.tex
index 2a60737..f8d70a8 100644
--- a/buch/papers/0f1/teil1.tex
+++ b/buch/papers/0f1/teil1.tex
@@ -1,102 +1,102 @@
-%
-% teil1.tex -- Mathematischer Hintergrund
-%
-% (c) 2022 Fabian Dünki, Hochschule Rapperswil
-%
-\section{Mathematischer Hintergrund
-\label{0f1:section:mathHintergrund}}
-\rhead{Mathematischer Hintergrund}
-Basierend auf den Herleitungen des vorhergehenden Kapitels \ref{buch:rekursion:section:hypergeometrische-funktion}
-und dem Seminarbuch Numerik \cite{0f1:kettenbrueche}, werden im nachfolgenden Abschnitt nochmals die Resultate
-beschrieben.
-
-\subsection{Hypergeometrische Funktion
-\label{0f1:subsection:hypergeometrisch}}
-Als Grundlage der umgesetzten Algorithmen dient die Hypergeometrische Funktion $\mathstrut_0F_1$. Diese ist eine Unterfunktion der allgemein definierten Funktion $\mathstrut_pF_q$.
-
-\begin{definition}
-	\label{0f1:math:qFp:def}
-	Die hypergeometrische Funktion
-	$\mathstrut_pF_q$ ist definiert durch die Reihe
-	\[
-	\mathstrut_pF_q
-	\biggl(
-	\begin{matrix}
-		a_1,\dots,a_p\\
-		b_1,\dots,b_q
-	\end{matrix}
-	;
-	x
-	\biggr)
-	=
-	\mathstrut_pF_q(a_1,\dots,a_p;b_1,\dots,b_q;x)
-	=
-	\sum_{k=0}^\infty
-	\frac{(a_1)_k\cdots(a_p)_k}{(b_1)_k\cdots(b_q)_k}\frac{x^k}{k!}.
-	\]
-\end{definition}
-
-Angewendet auf die Funktion $\mathstrut_pF_q$ ergibt sich für $\mathstrut_0F_1$:
-
-\begin{equation}
-    \label{0f1:math:0f1:eq}
-    \mathstrut_0F_1
-    \biggl(
-    \begin{matrix}
-    \\
-    b_1
-    \end{matrix}
-    ;
-    x
-    \biggr)
-    =
-    \mathstrut_0F_1(;b_1;x)
-    =
-    \sum_{k=0}^\infty
-    \frac{x^k}{(b_1)_k \cdot k!}.
-\end{equation}
-
-
-
-
-\subsection{Airy Funktion
-\label{0f1:subsection:airy}}
-Die Airy-Funktion $Ai(x)$ und die verwandte Funktion $Bi(x)$ werden als Airy-Funktion bezeichnet. Sie werden zur Lösung verschiedener physikalischer Probleme benutzt, wie zum Beispiel zur Lösung der Schrödinger-Gleichung. \cite{0f1:wiki-airyFunktion}
-
-\begin{definition}
-    \label{0f1:airy:differentialgleichung:def}
-    Die Differentialgleichung
-    $y'' - xy = 0$
-    heisst die {\em Airy-Differentialgleichung}. \cite{0f1:wiki-airyFunktion} 
-\end{definition}
-
-Die Airy Funktion lässt sich auf verschiedene Arten darstellen. \cite{0f1:wiki-airyFunktion} 
-Als hypergeometrische Funktion berechnet, ergibt sich wie in Kapitel \ref{buch:differentialgleichungen:section:hypergeometrisch} hergeleitet, folgende Lösungen der Airy-Differentialgleichung zu den Anfangsbedingungen $A(0)=1$ und $A'(0)=0$, sowie $B(0)=0$ und $B'(0)=0$.
-
-\begin{align}
-\label{0f1:airy:hypergeometrisch:eq}
-Ai(x)
-=
-\sum_{k=0}^\infty
-\frac{1}{(\frac23)_k} \frac{1}{k!}\biggl(\frac{x^3}{9}\biggr)^k
-=
-\mathstrut_0F_1\biggl(
-\begin{matrix}\text{---}\\\frac23\end{matrix};\frac{x^3}{9}
-\biggr).
-\\
-Bi(x)
-=
-\sum_{k=0}^\infty
-\frac{1}{(\frac43)_k} \frac{1}{k!}\biggl(\frac{x^3}{9}\biggr)^k
-=
-x\cdot\mathstrut_0F_1\biggl(
-\begin{matrix}\text{---}\\\frac43\end{matrix};
-\frac{x^3}{9}
-\biggr).
-\qedhere
-\end{align}
-
-In diesem speziellem Fall wird die Airy Funktion $Ai(x)$ \eqref{0f1:airy:hypergeometrisch:eq}
-benutzt, um die Stabilität der Algorithmen zu $\mathstrut_0F_1$ zu überprüfen.
-
-
+%
+% teil1.tex -- Mathematischer Hintergrund
+%
+% (c) 2022 Fabian Dünki, Hochschule Rapperswil
+%
+\section{Mathematischer Hintergrund
+\label{0f1:section:mathHintergrund}}
+\rhead{Mathematischer Hintergrund}
+Basierend auf den Herleitungen des vorhergehenden Kapitels \ref{buch:rekursion:section:hypergeometrische-funktion}
+und dem Seminarbuch Numerik \cite{0f1:kettenbrueche}, werden im nachfolgenden Abschnitt nochmals die Resultate
+beschrieben.
+
+\subsection{Hypergeometrische Funktion
+\label{0f1:subsection:hypergeometrisch}}
+Als Grundlage der umgesetzten Algorithmen dient die Hypergeometrische Funktion $\mathstrut_0F_1$. Diese ist eine Unterfunktion der allgemein definierten Funktion $\mathstrut_pF_q$.
+
+\begin{definition}
+	\label{0f1:math:qFp:def}
+	Die hypergeometrische Funktion
+	$\mathstrut_pF_q$ ist definiert durch die Reihe
+	\[
+	\mathstrut_pF_q
+	\biggl(
+	\begin{matrix}
+		a_1,\dots,a_p\\
+		b_1,\dots,b_q
+	\end{matrix}
+	;
+	x
+	\biggr)
+	=
+	\mathstrut_pF_q(a_1,\dots,a_p;b_1,\dots,b_q;x)
+	=
+	\sum_{k=0}^\infty
+	\frac{(a_1)_k\cdots(a_p)_k}{(b_1)_k\cdots(b_q)_k}\frac{x^k}{k!}.
+	\]
+\end{definition}
+
+Angewendet auf die Funktion $\mathstrut_pF_q$ ergibt sich für $\mathstrut_0F_1$:
+
+\begin{equation}
+    \label{0f1:math:0f1:eq}
+    \mathstrut_0F_1
+    \biggl(
+    \begin{matrix}
+    \\
+    b_1
+    \end{matrix}
+    ;
+    x
+    \biggr)
+    =
+    \mathstrut_0F_1(;b_1;x)
+    =
+    \sum_{k=0}^\infty
+    \frac{x^k}{(b_1)_k \cdot k!}.
+\end{equation}
+
+
+
+
+\subsection{Airy Funktion
+\label{0f1:subsection:airy}}
+Die Airy-Funktion $Ai(x)$ und die verwandte Funktion $Bi(x)$ werden als Airy-Funktion bezeichnet. Sie werden zur Lösung verschiedener physikalischer Probleme benutzt, wie zum Beispiel zur Lösung der Schrödinger-Gleichung. \cite{0f1:wiki-airyFunktion}
+
+\begin{definition}
+    \label{0f1:airy:differentialgleichung:def}
+    Die Differentialgleichung
+    $y'' - xy = 0$
+    heisst die {\em Airy-Differentialgleichung}. \cite{0f1:wiki-airyFunktion} 
+\end{definition}
+
+Die Airy Funktion lässt sich auf verschiedene Arten darstellen. \cite{0f1:wiki-airyFunktion} 
+Als hypergeometrische Funktion berechnet, ergibt sich wie in Kapitel \ref{buch:differentialgleichungen:section:hypergeometrisch} hergeleitet, folgende Lösungen der Airy-Differentialgleichung zu den Anfangsbedingungen $A(0)=1$ und $A'(0)=0$, sowie $B(0)=0$ und $B'(0)=0$.
+
+\begin{align}
+\label{0f1:airy:hypergeometrisch:eq}
+Ai(x)
+=
+\sum_{k=0}^\infty
+\frac{1}{(\frac23)_k} \frac{1}{k!}\biggl(\frac{x^3}{9}\biggr)^k
+=
+\mathstrut_0F_1\biggl(
+\begin{matrix}\text{---}\\\frac23\end{matrix};\frac{x^3}{9}
+\biggr).
+\\
+Bi(x)
+=
+\sum_{k=0}^\infty
+\frac{1}{(\frac43)_k} \frac{1}{k!}\biggl(\frac{x^3}{9}\biggr)^k
+=
+x\cdot\mathstrut_0F_1\biggl(
+\begin{matrix}\text{---}\\\frac43\end{matrix};
+\frac{x^3}{9}
+\biggr).
+\qedhere
+\end{align}
+
+In diesem speziellem Fall wird die Airy Funktion $Ai(x)$ \eqref{0f1:airy:hypergeometrisch:eq}
+benutzt, um die Stabilität der Algorithmen zu $\mathstrut_0F_1$ zu überprüfen.
+
+
-- 
cgit v1.2.1


From 18378909d070e684c0d7ee0b539be7baeee62cea Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: Fabian <@>
Date: Wed, 27 Jul 2022 18:45:06 +0200
Subject: 0f1, abgabe

---
 buch/papers/0f1/teil1.tex | 3 +--
 1 file changed, 1 insertion(+), 2 deletions(-)

(limited to 'buch/papers/0f1/teil1.tex')

diff --git a/buch/papers/0f1/teil1.tex b/buch/papers/0f1/teil1.tex
index f8d70a8..2ca9647 100644
--- a/buch/papers/0f1/teil1.tex
+++ b/buch/papers/0f1/teil1.tex
@@ -6,8 +6,7 @@
 \section{Mathematischer Hintergrund
 \label{0f1:section:mathHintergrund}}
 \rhead{Mathematischer Hintergrund}
-Basierend auf den Herleitungen des vorhergehenden Kapitels \ref{buch:rekursion:section:hypergeometrische-funktion}
-und dem Seminarbuch Numerik \cite{0f1:kettenbrueche}, werden im nachfolgenden Abschnitt nochmals die Resultate
+Basierend auf den Herleitungen des vorhergehenden Kapitels \ref{buch:rekursion:section:hypergeometrische-funktion}, werden im nachfolgenden Abschnitt nochmals die Resultate
 beschrieben.
 
 \subsection{Hypergeometrische Funktion
-- 
cgit v1.2.1


From a961142ba09e0e9a962aaba4d90e1613e0ff97b0 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: Fabian <@>
Date: Fri, 12 Aug 2022 15:06:08 +0200
Subject: 1. Ueberarbeitung

---
 buch/papers/0f1/teil1.tex | 22 +++++++++++-----------
 1 file changed, 11 insertions(+), 11 deletions(-)

(limited to 'buch/papers/0f1/teil1.tex')

diff --git a/buch/papers/0f1/teil1.tex b/buch/papers/0f1/teil1.tex
index 2ca9647..f697f45 100644
--- a/buch/papers/0f1/teil1.tex
+++ b/buch/papers/0f1/teil1.tex
@@ -6,12 +6,12 @@
 \section{Mathematischer Hintergrund
 \label{0f1:section:mathHintergrund}}
 \rhead{Mathematischer Hintergrund}
-Basierend auf den Herleitungen des vorhergehenden Kapitels \ref{buch:rekursion:section:hypergeometrische-funktion}, werden im nachfolgenden Abschnitt nochmals die Resultate
+Basierend auf den Herleitungen des vorhergehenden Abschnittes \ref{buch:rekursion:section:hypergeometrische-funktion}, werden im nachfolgenden Abschnitt nochmals die Resultate
 beschrieben.
 
 \subsection{Hypergeometrische Funktion
 \label{0f1:subsection:hypergeometrisch}}
-Als Grundlage der umgesetzten Algorithmen dient die Hypergeometrische Funktion $\mathstrut_0F_1$. Diese ist eine Unterfunktion der allgemein definierten Funktion $\mathstrut_pF_q$.
+Als Grundlage der umgesetzten Algorithmen dient die hypergeometrische Funktion $\mathstrut_0F_1$. Diese ist eine Anwendung der allgemein definierten Funktion $\mathstrut_pF_q$.
 
 \begin{definition}
 	\label{0f1:math:qFp:def}
@@ -42,7 +42,7 @@ Angewendet auf die Funktion $\mathstrut_pF_q$ ergibt sich für $\mathstrut_0F_1$
     \mathstrut_0F_1
     \biggl(
     \begin{matrix}
-    \\
+    \\-
     b_1
     \end{matrix}
     ;
@@ -60,22 +60,22 @@ Angewendet auf die Funktion $\mathstrut_pF_q$ ergibt sich für $\mathstrut_0F_1$
 
 \subsection{Airy Funktion
 \label{0f1:subsection:airy}}
-Die Airy-Funktion $Ai(x)$ und die verwandte Funktion $Bi(x)$ werden als Airy-Funktion bezeichnet. Sie werden zur Lösung verschiedener physikalischer Probleme benutzt, wie zum Beispiel zur Lösung der Schrödinger-Gleichung. \cite{0f1:wiki-airyFunktion}
+Die Funktion Ai(x) und die verwandte Funktion Bi(x) werden als Airy-Funktion bezeichnet. Sie werden zur Lösung verschiedener physikalischer Probleme benutzt, wie zum Beispiel zur Lösung der Schrödinger-Gleichung \cite{0f1:wiki-airyFunktion}.
 
 \begin{definition}
     \label{0f1:airy:differentialgleichung:def}
     Die Differentialgleichung
     $y'' - xy = 0$
-    heisst die {\em Airy-Differentialgleichung}. \cite{0f1:wiki-airyFunktion} 
+    heisst die {\em Airy-Differentialgleichung}.
 \end{definition}
 
-Die Airy Funktion lässt sich auf verschiedene Arten darstellen. \cite{0f1:wiki-airyFunktion} 
-Als hypergeometrische Funktion berechnet, ergibt sich wie in Kapitel \ref{buch:differentialgleichungen:section:hypergeometrisch} hergeleitet, folgende Lösungen der Airy-Differentialgleichung zu den Anfangsbedingungen $A(0)=1$ und $A'(0)=0$, sowie $B(0)=0$ und $B'(0)=0$.
+Die Airy Funktion lässt sich auf verschiedene Arten darstellen. 
+Als hypergeometrische Funktion berechnet, ergibt sich wie in Abschnitt \ref{buch:differentialgleichungen:section:hypergeometrisch} hergeleitet, folgende Lösungen der Airy-Differentialgleichung zu den Anfangsbedingungen $Ai(0)=1$ und $Ai'(0)=0$, sowie $Bi(0)=0$ und $Bi'(0)=0$.
 
 \begin{align}
 \label{0f1:airy:hypergeometrisch:eq}
 Ai(x)
-=
+=&
 \sum_{k=0}^\infty
 \frac{1}{(\frac23)_k} \frac{1}{k!}\biggl(\frac{x^3}{9}\biggr)^k
 =
@@ -84,7 +84,7 @@ Ai(x)
 \biggr).
 \\
 Bi(x)
-=
+=&
 \sum_{k=0}^\infty
 \frac{1}{(\frac43)_k} \frac{1}{k!}\biggl(\frac{x^3}{9}\biggr)^k
 =
@@ -95,7 +95,7 @@ x\cdot\mathstrut_0F_1\biggl(
 \qedhere
 \end{align}
 
-In diesem speziellem Fall wird die Airy Funktion $Ai(x)$ \eqref{0f1:airy:hypergeometrisch:eq}
-benutzt, um die Stabilität der Algorithmen zu $\mathstrut_0F_1$ zu überprüfen.
+Um die Stabilität der Algorithmen zu $\mathstrut_0F_1$ zu überprüfen, wird in diesem speziellem Fall die Airy Funktion $Ai(x)$ \eqref{0f1:airy:hypergeometrisch:eq}
+benutzt.
 
 
-- 
cgit v1.2.1

