From f064b343115255b4a6ae19cb09f397dcd8c6f25a Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: Fabian <@> Date: Tue, 26 Jul 2022 16:23:27 +0200 Subject: 0f1, Mathe done --- buch/papers/0f1/teil1.tex | 82 ++++++++++++++++++++++++++++++----------------- 1 file changed, 52 insertions(+), 30 deletions(-) (limited to 'buch/papers/0f1/teil1.tex') diff --git a/buch/papers/0f1/teil1.tex b/buch/papers/0f1/teil1.tex index 910e8bb..2a60737 100644 --- a/buch/papers/0f1/teil1.tex +++ b/buch/papers/0f1/teil1.tex @@ -6,16 +6,40 @@ \section{Mathematischer Hintergrund \label{0f1:section:mathHintergrund}} \rhead{Mathematischer Hintergrund} +Basierend auf den Herleitungen des vorhergehenden Kapitels \ref{buch:rekursion:section:hypergeometrische-funktion} +und dem Seminarbuch Numerik \cite{0f1:kettenbrueche}, werden im nachfolgenden Abschnitt nochmals die Resultate +beschrieben. + +\subsection{Hypergeometrische Funktion +\label{0f1:subsection:hypergeometrisch}} +Als Grundlage der umgesetzten Algorithmen dient die Hypergeometrische Funktion $\mathstrut_0F_1$. Diese ist eine Unterfunktion der allgemein definierten Funktion $\mathstrut_pF_q$. -\subsection{Hypergeometrische Funktion $\mathstrut_0F_1$ -\label{0f1:subsection:0f1}} -Wie in Kapitel \ref{buch:rekursion:section:hypergeometrische-funktion} beschrieben, -wird die Funktion $\mathstrut_0F_1$ folgendermassen definiert. \begin{definition} - \label{0f1:rekursion:hypergeometrisch:def} - Die hypergeometrische Funktion - $\mathstrut_0F_1$ ist definiert durch die Reihe - \[ + \label{0f1:math:qFp:def} + Die hypergeometrische Funktion + $\mathstrut_pF_q$ ist definiert durch die Reihe + \[ + \mathstrut_pF_q + \biggl( + \begin{matrix} + a_1,\dots,a_p\\ + b_1,\dots,b_q + \end{matrix} + ; + x + \biggr) + = + \mathstrut_pF_q(a_1,\dots,a_p;b_1,\dots,b_q;x) + = + \sum_{k=0}^\infty + \frac{(a_1)_k\cdots(a_p)_k}{(b_1)_k\cdots(b_q)_k}\frac{x^k}{k!}. + \] +\end{definition} + +Angewendet auf die Funktion $\mathstrut_pF_q$ ergibt sich für $\mathstrut_0F_1$: + +\begin{equation} + \label{0f1:math:0f1:eq} \mathstrut_0F_1 \biggl( \begin{matrix} @@ -29,26 +53,29 @@ wird die Funktion $\mathstrut_0F_1$ folgendermassen definiert. \mathstrut_0F_1(;b_1;x) = \sum_{k=0}^\infty - \frac{1}{(b_1)_k}\frac{x^k}{k!}. - \] -\end{definition} + \frac{x^k}{(b_1)_k \cdot k!}. +\end{equation} + + \subsection{Airy Funktion \label{0f1:subsection:airy}} -Wie in \ref{buch:differentialgleichungen:section:hypergeometrisch} dargestellt, ist die Airy-Differentialgleichung -folgendermassen definiert. +Die Airy-Funktion $Ai(x)$ und die verwandte Funktion $Bi(x)$ werden als Airy-Funktion bezeichnet. Sie werden zur Lösung verschiedener physikalischer Probleme benutzt, wie zum Beispiel zur Lösung der Schrödinger-Gleichung. \cite{0f1:wiki-airyFunktion} + \begin{definition} - y'' - xy = 0 - \label{0f1:airy:eq:differentialgleichung} + \label{0f1:airy:differentialgleichung:def} + Die Differentialgleichung + $y'' - xy = 0$ + heisst die {\em Airy-Differentialgleichung}. \cite{0f1:wiki-airyFunktion} \end{definition} -Daraus ergibt sich wie in Aufgabe~\ref{503} gefundenen Lösungen der -Airy-Differentialgleichung als hypergeometrische Funktionen. +Die Airy Funktion lässt sich auf verschiedene Arten darstellen. \cite{0f1:wiki-airyFunktion} +Als hypergeometrische Funktion berechnet, ergibt sich wie in Kapitel \ref{buch:differentialgleichungen:section:hypergeometrisch} hergeleitet, folgende Lösungen der Airy-Differentialgleichung zu den Anfangsbedingungen $A(0)=1$ und $A'(0)=0$, sowie $B(0)=0$ und $B'(0)=0$. - -\begin{align*} -y_1(x) +\begin{align} +\label{0f1:airy:hypergeometrisch:eq} +Ai(x) = \sum_{k=0}^\infty \frac{1}{(\frac23)_k} \frac{1}{k!}\biggl(\frac{x^3}{9}\biggr)^k @@ -57,7 +84,7 @@ y_1(x) \begin{matrix}\text{---}\\\frac23\end{matrix};\frac{x^3}{9} \biggr). \\ -y_2(x) +Bi(x) = \sum_{k=0}^\infty \frac{1}{(\frac43)_k} \frac{1}{k!}\biggl(\frac{x^3}{9}\biggr)^k @@ -67,14 +94,9 @@ x\cdot\mathstrut_0F_1\biggl( \frac{x^3}{9} \biggr). \qedhere -\end{align*} +\end{align} + +In diesem speziellem Fall wird die Airy Funktion $Ai(x)$ \eqref{0f1:airy:hypergeometrisch:eq} +benutzt, um die Stabilität der Algorithmen zu $\mathstrut_0F_1$ zu überprüfen. -\begin{figure} - \centering - \includegraphics{papers/0f1/images/airy.pdf} - \caption{Plot der Lösungen der Airy-Differentialgleichung $y''-xy=0$ - zu den Anfangsbedingungen $y(0)=1$ und $y'(0)=0$ in {\color{red}rot} - und $y(0)=0$ und $y'(0)=1$ in {\color{blue}blau}. - \label{0f1:airy:plot:vorgabe}} -\end{figure} \ No newline at end of file -- cgit v1.2.1 From 220b382cf4b7019b199c3023ddab73ba2658e27a Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: Fabian <@> Date: Wed, 27 Jul 2022 13:08:39 +0200 Subject: 0f1, bilder --- buch/papers/0f1/teil1.tex | 204 +++++++++++++++++++++++----------------------- 1 file changed, 102 insertions(+), 102 deletions(-) (limited to 'buch/papers/0f1/teil1.tex') diff --git a/buch/papers/0f1/teil1.tex b/buch/papers/0f1/teil1.tex index 2a60737..f8d70a8 100644 --- a/buch/papers/0f1/teil1.tex +++ b/buch/papers/0f1/teil1.tex @@ -1,102 +1,102 @@ -% -% teil1.tex -- Mathematischer Hintergrund -% -% (c) 2022 Fabian Dünki, Hochschule Rapperswil -% -\section{Mathematischer Hintergrund -\label{0f1:section:mathHintergrund}} -\rhead{Mathematischer Hintergrund} -Basierend auf den Herleitungen des vorhergehenden Kapitels \ref{buch:rekursion:section:hypergeometrische-funktion} -und dem Seminarbuch Numerik \cite{0f1:kettenbrueche}, werden im nachfolgenden Abschnitt nochmals die Resultate -beschrieben. - -\subsection{Hypergeometrische Funktion -\label{0f1:subsection:hypergeometrisch}} -Als Grundlage der umgesetzten Algorithmen dient die Hypergeometrische Funktion $\mathstrut_0F_1$. Diese ist eine Unterfunktion der allgemein definierten Funktion $\mathstrut_pF_q$. - -\begin{definition} - \label{0f1:math:qFp:def} - Die hypergeometrische Funktion - $\mathstrut_pF_q$ ist definiert durch die Reihe - \[ - \mathstrut_pF_q - \biggl( - \begin{matrix} - a_1,\dots,a_p\\ - b_1,\dots,b_q - \end{matrix} - ; - x - \biggr) - = - \mathstrut_pF_q(a_1,\dots,a_p;b_1,\dots,b_q;x) - = - \sum_{k=0}^\infty - \frac{(a_1)_k\cdots(a_p)_k}{(b_1)_k\cdots(b_q)_k}\frac{x^k}{k!}. - \] -\end{definition} - -Angewendet auf die Funktion $\mathstrut_pF_q$ ergibt sich für $\mathstrut_0F_1$: - -\begin{equation} - \label{0f1:math:0f1:eq} - \mathstrut_0F_1 - \biggl( - \begin{matrix} - \\ - b_1 - \end{matrix} - ; - x - \biggr) - = - \mathstrut_0F_1(;b_1;x) - = - \sum_{k=0}^\infty - \frac{x^k}{(b_1)_k \cdot k!}. -\end{equation} - - - - -\subsection{Airy Funktion -\label{0f1:subsection:airy}} -Die Airy-Funktion $Ai(x)$ und die verwandte Funktion $Bi(x)$ werden als Airy-Funktion bezeichnet. Sie werden zur Lösung verschiedener physikalischer Probleme benutzt, wie zum Beispiel zur Lösung der Schrödinger-Gleichung. \cite{0f1:wiki-airyFunktion} - -\begin{definition} - \label{0f1:airy:differentialgleichung:def} - Die Differentialgleichung - $y'' - xy = 0$ - heisst die {\em Airy-Differentialgleichung}. \cite{0f1:wiki-airyFunktion} -\end{definition} - -Die Airy Funktion lässt sich auf verschiedene Arten darstellen. \cite{0f1:wiki-airyFunktion} -Als hypergeometrische Funktion berechnet, ergibt sich wie in Kapitel \ref{buch:differentialgleichungen:section:hypergeometrisch} hergeleitet, folgende Lösungen der Airy-Differentialgleichung zu den Anfangsbedingungen $A(0)=1$ und $A'(0)=0$, sowie $B(0)=0$ und $B'(0)=0$. - -\begin{align} -\label{0f1:airy:hypergeometrisch:eq} -Ai(x) -= -\sum_{k=0}^\infty -\frac{1}{(\frac23)_k} \frac{1}{k!}\biggl(\frac{x^3}{9}\biggr)^k -= -\mathstrut_0F_1\biggl( -\begin{matrix}\text{---}\\\frac23\end{matrix};\frac{x^3}{9} -\biggr). -\\ -Bi(x) -= -\sum_{k=0}^\infty -\frac{1}{(\frac43)_k} \frac{1}{k!}\biggl(\frac{x^3}{9}\biggr)^k -= -x\cdot\mathstrut_0F_1\biggl( -\begin{matrix}\text{---}\\\frac43\end{matrix}; -\frac{x^3}{9} -\biggr). -\qedhere -\end{align} - -In diesem speziellem Fall wird die Airy Funktion $Ai(x)$ \eqref{0f1:airy:hypergeometrisch:eq} -benutzt, um die Stabilität der Algorithmen zu $\mathstrut_0F_1$ zu überprüfen. - - +% +% teil1.tex -- Mathematischer Hintergrund +% +% (c) 2022 Fabian Dünki, Hochschule Rapperswil +% +\section{Mathematischer Hintergrund +\label{0f1:section:mathHintergrund}} +\rhead{Mathematischer Hintergrund} +Basierend auf den Herleitungen des vorhergehenden Kapitels \ref{buch:rekursion:section:hypergeometrische-funktion} +und dem Seminarbuch Numerik \cite{0f1:kettenbrueche}, werden im nachfolgenden Abschnitt nochmals die Resultate +beschrieben. + +\subsection{Hypergeometrische Funktion +\label{0f1:subsection:hypergeometrisch}} +Als Grundlage der umgesetzten Algorithmen dient die Hypergeometrische Funktion $\mathstrut_0F_1$. Diese ist eine Unterfunktion der allgemein definierten Funktion $\mathstrut_pF_q$. + +\begin{definition} + \label{0f1:math:qFp:def} + Die hypergeometrische Funktion + $\mathstrut_pF_q$ ist definiert durch die Reihe + \[ + \mathstrut_pF_q + \biggl( + \begin{matrix} + a_1,\dots,a_p\\ + b_1,\dots,b_q + \end{matrix} + ; + x + \biggr) + = + \mathstrut_pF_q(a_1,\dots,a_p;b_1,\dots,b_q;x) + = + \sum_{k=0}^\infty + \frac{(a_1)_k\cdots(a_p)_k}{(b_1)_k\cdots(b_q)_k}\frac{x^k}{k!}. + \] +\end{definition} + +Angewendet auf die Funktion $\mathstrut_pF_q$ ergibt sich für $\mathstrut_0F_1$: + +\begin{equation} + \label{0f1:math:0f1:eq} + \mathstrut_0F_1 + \biggl( + \begin{matrix} + \\ + b_1 + \end{matrix} + ; + x + \biggr) + = + \mathstrut_0F_1(;b_1;x) + = + \sum_{k=0}^\infty + \frac{x^k}{(b_1)_k \cdot k!}. +\end{equation} + + + + +\subsection{Airy Funktion +\label{0f1:subsection:airy}} +Die Airy-Funktion $Ai(x)$ und die verwandte Funktion $Bi(x)$ werden als Airy-Funktion bezeichnet. Sie werden zur Lösung verschiedener physikalischer Probleme benutzt, wie zum Beispiel zur Lösung der Schrödinger-Gleichung. \cite{0f1:wiki-airyFunktion} + +\begin{definition} + \label{0f1:airy:differentialgleichung:def} + Die Differentialgleichung + $y'' - xy = 0$ + heisst die {\em Airy-Differentialgleichung}. \cite{0f1:wiki-airyFunktion} +\end{definition} + +Die Airy Funktion lässt sich auf verschiedene Arten darstellen. \cite{0f1:wiki-airyFunktion} +Als hypergeometrische Funktion berechnet, ergibt sich wie in Kapitel \ref{buch:differentialgleichungen:section:hypergeometrisch} hergeleitet, folgende Lösungen der Airy-Differentialgleichung zu den Anfangsbedingungen $A(0)=1$ und $A'(0)=0$, sowie $B(0)=0$ und $B'(0)=0$. + +\begin{align} +\label{0f1:airy:hypergeometrisch:eq} +Ai(x) += +\sum_{k=0}^\infty +\frac{1}{(\frac23)_k} \frac{1}{k!}\biggl(\frac{x^3}{9}\biggr)^k += +\mathstrut_0F_1\biggl( +\begin{matrix}\text{---}\\\frac23\end{matrix};\frac{x^3}{9} +\biggr). +\\ +Bi(x) += +\sum_{k=0}^\infty +\frac{1}{(\frac43)_k} \frac{1}{k!}\biggl(\frac{x^3}{9}\biggr)^k += +x\cdot\mathstrut_0F_1\biggl( +\begin{matrix}\text{---}\\\frac43\end{matrix}; +\frac{x^3}{9} +\biggr). +\qedhere +\end{align} + +In diesem speziellem Fall wird die Airy Funktion $Ai(x)$ \eqref{0f1:airy:hypergeometrisch:eq} +benutzt, um die Stabilität der Algorithmen zu $\mathstrut_0F_1$ zu überprüfen. + + -- cgit v1.2.1 From 18378909d070e684c0d7ee0b539be7baeee62cea Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: Fabian <@> Date: Wed, 27 Jul 2022 18:45:06 +0200 Subject: 0f1, abgabe --- buch/papers/0f1/teil1.tex | 3 +-- 1 file changed, 1 insertion(+), 2 deletions(-) (limited to 'buch/papers/0f1/teil1.tex') diff --git a/buch/papers/0f1/teil1.tex b/buch/papers/0f1/teil1.tex index f8d70a8..2ca9647 100644 --- a/buch/papers/0f1/teil1.tex +++ b/buch/papers/0f1/teil1.tex @@ -6,8 +6,7 @@ \section{Mathematischer Hintergrund \label{0f1:section:mathHintergrund}} \rhead{Mathematischer Hintergrund} -Basierend auf den Herleitungen des vorhergehenden Kapitels \ref{buch:rekursion:section:hypergeometrische-funktion} -und dem Seminarbuch Numerik \cite{0f1:kettenbrueche}, werden im nachfolgenden Abschnitt nochmals die Resultate +Basierend auf den Herleitungen des vorhergehenden Kapitels \ref{buch:rekursion:section:hypergeometrische-funktion}, werden im nachfolgenden Abschnitt nochmals die Resultate beschrieben. \subsection{Hypergeometrische Funktion -- cgit v1.2.1 From a961142ba09e0e9a962aaba4d90e1613e0ff97b0 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: Fabian <@> Date: Fri, 12 Aug 2022 15:06:08 +0200 Subject: 1. Ueberarbeitung --- buch/papers/0f1/teil1.tex | 22 +++++++++++----------- 1 file changed, 11 insertions(+), 11 deletions(-) (limited to 'buch/papers/0f1/teil1.tex') diff --git a/buch/papers/0f1/teil1.tex b/buch/papers/0f1/teil1.tex index 2ca9647..f697f45 100644 --- a/buch/papers/0f1/teil1.tex +++ b/buch/papers/0f1/teil1.tex @@ -6,12 +6,12 @@ \section{Mathematischer Hintergrund \label{0f1:section:mathHintergrund}} \rhead{Mathematischer Hintergrund} -Basierend auf den Herleitungen des vorhergehenden Kapitels \ref{buch:rekursion:section:hypergeometrische-funktion}, werden im nachfolgenden Abschnitt nochmals die Resultate +Basierend auf den Herleitungen des vorhergehenden Abschnittes \ref{buch:rekursion:section:hypergeometrische-funktion}, werden im nachfolgenden Abschnitt nochmals die Resultate beschrieben. \subsection{Hypergeometrische Funktion \label{0f1:subsection:hypergeometrisch}} -Als Grundlage der umgesetzten Algorithmen dient die Hypergeometrische Funktion $\mathstrut_0F_1$. Diese ist eine Unterfunktion der allgemein definierten Funktion $\mathstrut_pF_q$. +Als Grundlage der umgesetzten Algorithmen dient die hypergeometrische Funktion $\mathstrut_0F_1$. Diese ist eine Anwendung der allgemein definierten Funktion $\mathstrut_pF_q$. \begin{definition} \label{0f1:math:qFp:def} @@ -42,7 +42,7 @@ Angewendet auf die Funktion $\mathstrut_pF_q$ ergibt sich für $\mathstrut_0F_1$ \mathstrut_0F_1 \biggl( \begin{matrix} - \\ + \\- b_1 \end{matrix} ; @@ -60,22 +60,22 @@ Angewendet auf die Funktion $\mathstrut_pF_q$ ergibt sich für $\mathstrut_0F_1$ \subsection{Airy Funktion \label{0f1:subsection:airy}} -Die Airy-Funktion $Ai(x)$ und die verwandte Funktion $Bi(x)$ werden als Airy-Funktion bezeichnet. Sie werden zur Lösung verschiedener physikalischer Probleme benutzt, wie zum Beispiel zur Lösung der Schrödinger-Gleichung. \cite{0f1:wiki-airyFunktion} +Die Funktion Ai(x) und die verwandte Funktion Bi(x) werden als Airy-Funktion bezeichnet. Sie werden zur Lösung verschiedener physikalischer Probleme benutzt, wie zum Beispiel zur Lösung der Schrödinger-Gleichung \cite{0f1:wiki-airyFunktion}. \begin{definition} \label{0f1:airy:differentialgleichung:def} Die Differentialgleichung $y'' - xy = 0$ - heisst die {\em Airy-Differentialgleichung}. \cite{0f1:wiki-airyFunktion} + heisst die {\em Airy-Differentialgleichung}. \end{definition} -Die Airy Funktion lässt sich auf verschiedene Arten darstellen. \cite{0f1:wiki-airyFunktion} -Als hypergeometrische Funktion berechnet, ergibt sich wie in Kapitel \ref{buch:differentialgleichungen:section:hypergeometrisch} hergeleitet, folgende Lösungen der Airy-Differentialgleichung zu den Anfangsbedingungen $A(0)=1$ und $A'(0)=0$, sowie $B(0)=0$ und $B'(0)=0$. +Die Airy Funktion lässt sich auf verschiedene Arten darstellen. +Als hypergeometrische Funktion berechnet, ergibt sich wie in Abschnitt \ref{buch:differentialgleichungen:section:hypergeometrisch} hergeleitet, folgende Lösungen der Airy-Differentialgleichung zu den Anfangsbedingungen $Ai(0)=1$ und $Ai'(0)=0$, sowie $Bi(0)=0$ und $Bi'(0)=0$. \begin{align} \label{0f1:airy:hypergeometrisch:eq} Ai(x) -= +=& \sum_{k=0}^\infty \frac{1}{(\frac23)_k} \frac{1}{k!}\biggl(\frac{x^3}{9}\biggr)^k = @@ -84,7 +84,7 @@ Ai(x) \biggr). \\ Bi(x) -= +=& \sum_{k=0}^\infty \frac{1}{(\frac43)_k} \frac{1}{k!}\biggl(\frac{x^3}{9}\biggr)^k = @@ -95,7 +95,7 @@ x\cdot\mathstrut_0F_1\biggl( \qedhere \end{align} -In diesem speziellem Fall wird die Airy Funktion $Ai(x)$ \eqref{0f1:airy:hypergeometrisch:eq} -benutzt, um die Stabilität der Algorithmen zu $\mathstrut_0F_1$ zu überprüfen. +Um die Stabilität der Algorithmen zu $\mathstrut_0F_1$ zu überprüfen, wird in diesem speziellem Fall die Airy Funktion $Ai(x)$ \eqref{0f1:airy:hypergeometrisch:eq} +benutzt. -- cgit v1.2.1