From a961142ba09e0e9a962aaba4d90e1613e0ff97b0 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: Fabian <@>
Date: Fri, 12 Aug 2022 15:06:08 +0200
Subject: 1. Ueberarbeitung

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 buch/papers/0f1/teil1.tex | 22 +++++++++++-----------
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+++ b/buch/papers/0f1/teil1.tex
@@ -6,12 +6,12 @@
 \section{Mathematischer Hintergrund
 \label{0f1:section:mathHintergrund}}
 \rhead{Mathematischer Hintergrund}
-Basierend auf den Herleitungen des vorhergehenden Kapitels \ref{buch:rekursion:section:hypergeometrische-funktion}, werden im nachfolgenden Abschnitt nochmals die Resultate
+Basierend auf den Herleitungen des vorhergehenden Abschnittes \ref{buch:rekursion:section:hypergeometrische-funktion}, werden im nachfolgenden Abschnitt nochmals die Resultate
 beschrieben.
 
 \subsection{Hypergeometrische Funktion
 \label{0f1:subsection:hypergeometrisch}}
-Als Grundlage der umgesetzten Algorithmen dient die Hypergeometrische Funktion $\mathstrut_0F_1$. Diese ist eine Unterfunktion der allgemein definierten Funktion $\mathstrut_pF_q$.
+Als Grundlage der umgesetzten Algorithmen dient die hypergeometrische Funktion $\mathstrut_0F_1$. Diese ist eine Anwendung der allgemein definierten Funktion $\mathstrut_pF_q$.
 
 \begin{definition}
 	\label{0f1:math:qFp:def}
@@ -42,7 +42,7 @@ Angewendet auf die Funktion $\mathstrut_pF_q$ ergibt sich für $\mathstrut_0F_1$
     \mathstrut_0F_1
     \biggl(
     \begin{matrix}
-    \\
+    \\-
     b_1
     \end{matrix}
     ;
@@ -60,22 +60,22 @@ Angewendet auf die Funktion $\mathstrut_pF_q$ ergibt sich für $\mathstrut_0F_1$
 
 \subsection{Airy Funktion
 \label{0f1:subsection:airy}}
-Die Airy-Funktion $Ai(x)$ und die verwandte Funktion $Bi(x)$ werden als Airy-Funktion bezeichnet. Sie werden zur Lösung verschiedener physikalischer Probleme benutzt, wie zum Beispiel zur Lösung der Schrödinger-Gleichung. \cite{0f1:wiki-airyFunktion}
+Die Funktion Ai(x) und die verwandte Funktion Bi(x) werden als Airy-Funktion bezeichnet. Sie werden zur Lösung verschiedener physikalischer Probleme benutzt, wie zum Beispiel zur Lösung der Schrödinger-Gleichung \cite{0f1:wiki-airyFunktion}.
 
 \begin{definition}
     \label{0f1:airy:differentialgleichung:def}
     Die Differentialgleichung
     $y'' - xy = 0$
-    heisst die {\em Airy-Differentialgleichung}. \cite{0f1:wiki-airyFunktion} 
+    heisst die {\em Airy-Differentialgleichung}.
 \end{definition}
 
-Die Airy Funktion lässt sich auf verschiedene Arten darstellen. \cite{0f1:wiki-airyFunktion} 
-Als hypergeometrische Funktion berechnet, ergibt sich wie in Kapitel \ref{buch:differentialgleichungen:section:hypergeometrisch} hergeleitet, folgende Lösungen der Airy-Differentialgleichung zu den Anfangsbedingungen $A(0)=1$ und $A'(0)=0$, sowie $B(0)=0$ und $B'(0)=0$.
+Die Airy Funktion lässt sich auf verschiedene Arten darstellen. 
+Als hypergeometrische Funktion berechnet, ergibt sich wie in Abschnitt \ref{buch:differentialgleichungen:section:hypergeometrisch} hergeleitet, folgende Lösungen der Airy-Differentialgleichung zu den Anfangsbedingungen $Ai(0)=1$ und $Ai'(0)=0$, sowie $Bi(0)=0$ und $Bi'(0)=0$.
 
 \begin{align}
 \label{0f1:airy:hypergeometrisch:eq}
 Ai(x)
-=
+=&
 \sum_{k=0}^\infty
 \frac{1}{(\frac23)_k} \frac{1}{k!}\biggl(\frac{x^3}{9}\biggr)^k
 =
@@ -84,7 +84,7 @@ Ai(x)
 \biggr).
 \\
 Bi(x)
-=
+=&
 \sum_{k=0}^\infty
 \frac{1}{(\frac43)_k} \frac{1}{k!}\biggl(\frac{x^3}{9}\biggr)^k
 =
@@ -95,7 +95,7 @@ x\cdot\mathstrut_0F_1\biggl(
 \qedhere
 \end{align}
 
-In diesem speziellem Fall wird die Airy Funktion $Ai(x)$ \eqref{0f1:airy:hypergeometrisch:eq}
-benutzt, um die Stabilität der Algorithmen zu $\mathstrut_0F_1$ zu überprüfen.
+Um die Stabilität der Algorithmen zu $\mathstrut_0F_1$ zu überprüfen, wird in diesem speziellem Fall die Airy Funktion $Ai(x)$ \eqref{0f1:airy:hypergeometrisch:eq}
+benutzt.
 
 
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