From 10a72bf8d66de28f3f1b5598c37c32d29a306893 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: Fabian <@>
Date: Tue, 16 Aug 2022 18:25:31 +0200
Subject: 3. Ueberarbeitung, Verbesserungen

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 buch/papers/0f1/teil2.tex | 20 ++++++++++++--------
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index ef9f55e..9b3a586 100644
--- a/buch/papers/0f1/teil2.tex
+++ b/buch/papers/0f1/teil2.tex
@@ -11,7 +11,7 @@ Die Unterprogramme wurde jeweils, wie die GNU Scientific Library, in C geschrieb
 
 \subsection{Potenzreihe
 \label{0f1:subsection:potenzreihe}}
-Die naheliegendste Lösung ist die Programmierung der Potenzreihe \eqref{0f1:umsetzung:0f1:eq}.
+Die naheliegendste Lösung ist die Programmierung der Potenzreihe
 
 \begin{align}
     \label{0f1:umsetzung:0f1:eq}
@@ -23,7 +23,7 @@ Die naheliegendste Lösung ist die Programmierung der Potenzreihe \eqref{0f1:ums
     \frac{1}{c}
     +\frac{z^1}{(c+1) \cdot 1}
     + \cdots
-    + \frac{z^{20}}{c(c+1)(c+2)\cdots(c+19) \cdot 2.4 \cdot 10^{18}}
+    + \frac{z^{20}}{c(c+1)(c+2)\cdots(c+19) \cdot 2.4 \cdot 10^{18}}.
 \end{align}
 
 \lstinputlisting[style=C,float,caption={Potenzreihe.},label={0f1:listing:potenzreihe}, firstline=59]{papers/0f1/listings/potenzreihe.c}
@@ -31,15 +31,17 @@ Die naheliegendste Lösung ist die Programmierung der Potenzreihe \eqref{0f1:ums
 \subsection{Kettenbruch
 \label{0f1:subsection:kettenbruch}}
 Eine weitere Variante zur Berechnung von $\mathstrut_0F_1(;c;z)$ ist die Umsetzung als Kettenbruch.
-Der Vorteil einer Umsetzung als Kettenbruch gegenüber der Potenzreihe, ist die schnellere Konvergenz.
+Der Vorteil einer Umsetzung als Kettenbruch gegenüber der Potenzreihe ist die schnellere Konvergenz.
 
+\subsubsection{Grundlage}
 Ein endlicher Kettenbruch \cite{0f1:wiki-kettenbruch} ist ein Bruch der Form
 \begin{equation*}
-a_0 + \cfrac{b_1}{a_1+\cfrac{b_2}{a_2+\cfrac{b_3}{a_3+\cdots}}}
+a_0 + \cfrac{b_1}{a_1+\cfrac{b_2}{a_2+\cfrac{b_3}{a_3+\cdots}}},
 \end{equation*}
 in welchem $a_0, a_1,\dots,a_n$ und $b_1,b_2,\dots,b_n$ ganze Zahlen sind.
 
-Nimmt man nun folgenden Gleichung \cite{0f1:wiki-fraction}:
+\subsubsection{Rekursionsbeziehungen und Kettenbrüche}
+Nimmt man nun folgende Gleichung \cite{0f1:wiki-fraction}:
 \begin{equation*}
 	f_{i-1} - f_i = k_i z f_{i+1},
 \end{equation*}
@@ -48,7 +50,7 @@ Ergibt sich folgender Zusammenhang:
 \begin{equation*}
 	\cfrac{f_i}{f_{i-1}} = \cfrac{1}{1+k_iz\cfrac{f_{i+1}}{f_i}}
 \end{equation*}
-
+\subsubsection{Rekursion für $\mathstrut_0F_1$}
 Angewendet auf die Funktion $\mathstrut_0F_1$ bedeutet dies:
 \begin{equation}
 	\label{0f1:math:potenzreihe:0f1:eq}
@@ -68,6 +70,7 @@ erhält man:
 	\cfrac{\mathstrut_0F_1(;c+1;z)}{\mathstrut_0F_1(;c;z)} = \cfrac{1}{1+\cfrac{\cfrac{z}{c(c+1)}}{1+\cfrac{\cfrac{z}{(c+1)(c+2)}}{1+\cfrac{\cfrac{z}{(c+2)(c+3)}}{\cdots}}}}.
 \end{equation*}
 
+\subsubsection{Algorithmus}
 Mit weiteren Relationen ergibt sich nach Wolfram Alpha \cite{0f1:wolfram-0f1} folgender Kettenbruch
 \begin{equation}
 	\label{0f1:math:kettenbruch:0f1:eq}
@@ -92,7 +95,7 @@ lässt sich zu
 	\cfrac{A_k}{B_k} = \cfrac{b_{k+1}}{a_{k+1} + \cfrac{p}{q}} = \frac{b_{k+1} \cdot q}{a_{k+1} \cdot q + p}
 \end{align*}
 umformen.
-Dies lässt sich auch durch die folgende Matrizenschreibweise ausdrücken:
+Dies lässt sich auch durch die folgende Matrizenschreibweise
 \begin{equation*}
 	\begin{pmatrix}
 		A_k\\
@@ -112,6 +115,7 @@ Dies lässt sich auch durch die folgende Matrizenschreibweise ausdrücken:
 	\end{pmatrix}.
 	%\label{0f1:math:rekursionsformel:herleitung}
 \end{equation*}
+ausdrücken.
 Wendet man dies nun auf den Kettenbruch in der Form
 \begin{equation*}
 	\frac{A_k}{B_k} = a_0 + \cfrac{b_1}{a_1+\cfrac{b_2}{a_2+\cfrac{\cdots}{\cdots+\cfrac{b_{k-1}}{a_{k-1} + \cfrac{b_k}{a_k}}}}}
@@ -166,7 +170,7 @@ Und schlussendlich kann der Näherungsbruch
 berechnet werden.
 
 
-\subsubsection{Lösung}
+\subsubsection{Algorithmus}
 Die Berechnung von $A_k, B_k$ gemäss \eqref{0f1:math:matrix:ende:eq} kann man auch ohne die Matrizenschreibweise \cite{0f1:kettenbrueche} aufschreiben:
 \begin{itemize}
 \item Startbedingungen:
-- 
cgit v1.2.1