From 3a530cc844c8213dade9fcf70d3ea7715f5c2a1b Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: Fabian <@> Date: Sat, 13 Aug 2022 15:21:13 +0200 Subject: 2. Ueberarbeitung, Referenzen --- buch/papers/0f1/teil2.tex | 21 ++++++++++----------- 1 file changed, 10 insertions(+), 11 deletions(-) (limited to 'buch/papers/0f1/teil2.tex') diff --git a/buch/papers/0f1/teil2.tex b/buch/papers/0f1/teil2.tex index 15a1c44..587f63b 100644 --- a/buch/papers/0f1/teil2.tex +++ b/buch/papers/0f1/teil2.tex @@ -6,12 +6,12 @@ \section{Umsetzung \label{0f1:section:teil2}} \rhead{Umsetzung} -Zur Umsetzung wurden drei verschiedene Ansätze gewählt \cite{0f1:code}. Dabei wurde der Schwerpunkt auf die Funktionalität und eine gute Lesbarkeit des Codes gelegt. +Zur Umsetzung wurden drei verschiedene Ansätze gewählt, die in vollständiger Form auf Github \cite{0f1:code} zu finden sind. Dabei wurde der Schwerpunkt auf die Funktionalität und eine gute Lesbarkeit des Codes gelegt. Die Unterprogramme wurde jeweils, wie die GNU Scientific Library, in C geschrieben. Die Zwischenresultate wurden vom Hauptprogramm in einem CSV-File gespeichert. Anschliessen wurde mit der Matplot-Library in Python die Resultate geplottet. \subsection{Potenzreihe \label{0f1:subsection:potenzreihe}} -Die naheliegendste Lösung ist die Programmierung der Potenzreihe. Allerdings ist ein Problem dieser Umsetzung \ref{0f1:listing:potenzreihe}, dass die Fakultät im Nenner schnell grosse Werte annimmt und so der Bruch gegen Null strebt. Spätesten ab $k=167$ stösst diese Umsetzung \eqref{0f1:umsetzung:0f1:eq} an ihre Grenzen, da die Fakultät von $168$ eine Bereichsüberschreitung des \textit{double} Bereiches darstellt \cite{0f1:double}. +Die naheliegendste Lösung ist die Programmierung der Potenzreihe \eqref{0f1:umsetzung:0f1:eq}. Allerdings ist ein Problem dieser Umsetzung (Listing \ref{0f1:listing:potenzreihe}), dass die Fakultät im Nenner schnell grosse Werte annimmt. Dies führt zu einer Bereichsüberschreitung des \verb+double+ Bereiches \cite{0f1:double}. Spätesten ab $k=167$ tritt dieser Falle ein. \begin{align} \label{0f1:umsetzung:0f1:eq} @@ -30,7 +30,7 @@ Die naheliegendste Lösung ist die Programmierung der Potenzreihe. Allerdings is \subsection{Kettenbruch \label{0f1:subsection:kettenbruch}} -Ein endlicher Kettenbruch ist ein Bruch der Form +Ein endlicher Kettenbruch \cite{0f1:wiki-kettenbruch} ist ein Bruch der Form \begin{equation*} a_0 + \cfrac{b_1}{a_1+\cfrac{b_2}{a_2+\cfrac{b_3}{a_3+\cdots}}} \end{equation*} @@ -39,24 +39,23 @@ Die Kurzschreibweise für einen allgemeinen Kettenbruch ist \begin{equation*} a_0 + \frac{a_1|}{|b_1} + \frac{a_2|}{|b_2} + \frac{a_3|}{|b_3} + \cdots \end{equation*} -\cite{0f1:wiki-kettenbruch}. Angewendet auf die Funktion $\mathstrut_0F_1$ bedeutet dies \cite{0f1:wiki-fraction}: \begin{equation*} \mathstrut_0F_1(;c;z) = 1 + \frac{z}{c\cdot1!} + \frac{z^2}{c(c+1)\cdot2!} + \frac{z^3}{c(c+1)(c+2)\cdot3!} + \cdots \end{equation*} -Umgeformt ergibt sich folgender Kettenbruch +Umgeformt ergibt sich folgender Kettenbruch \cite{0f1:wolfram-0f1} \begin{equation} \label{0f1:math:kettenbruch:0f1:eq} \mathstrut_0F_1(;c;z) = 1 + \cfrac{\cfrac{z}{c}}{1+\cfrac{-\cfrac{z}{2(c+1)}}{1+\cfrac{z}{2(c+1)}+\cfrac{-\cfrac{z}{3(c+2)}}{1+\cfrac{z}{5(c+4)} + \cdots}}}, \end{equation} -der als Code (siehe: Listing \ref{0f1:listing:kettenbruchIterativ}) umgesetzt wurde. -\cite{0f1:wolfram-0f1} +der als Code (Listing \ref{0f1:listing:kettenbruchIterativ}) umgesetzt wurde. + \lstinputlisting[style=C,float,caption={Iterativ umgesetzter Kettenbruch.},label={0f1:listing:kettenbruchIterativ}, firstline=8]{papers/0f1/listings/kettenbruchIterativ.c} \subsection{Rekursionsformel \label{0f1:subsection:rekursionsformel}} -Wesentlich stabiler zur Berechnung eines Kettenbruches ist die Rekursionsformel. Nachfolgend wird die verkürzte Herleitung vom Kettenbruch zur Rekursionsformel aufgezeigt. Eine vollständige Schritt für Schritt Herleitung ist im Seminarbuch Numerik, im Kapitel Kettenbrüche zu finden. \cite{0f1:kettenbrueche} +Wesentlich stabiler zur Berechnung eines Kettenbruches ist die Rekursionsformel. Nachfolgend wird die verkürzte Herleitung vom Kettenbruch zur Rekursionsformel aufgezeigt. Eine vollständige Schritt für Schritt Herleitung ist im Seminarbuch Numerik, im Kapitel Kettenbrüche \cite{0f1:kettenbrueche} zu finden. \subsubsection{Herleitung} Ein Näherungsbruch in der Form @@ -135,7 +134,7 @@ Nach vollständiger Induktion ergibt sich für den Schritt $k$, die Matrix a_k \end{pmatrix}. \end{equation} -Und Schlussendlich kann der Näherungsbruch +Und schlussendlich kann der Näherungsbruch \[ \frac{A_k}{B_k} \] @@ -143,7 +142,7 @@ berechnet werden. \subsubsection{Lösung} -Die Berechnung von $A_k, B_k$ \eqref{0f1:math:matrix:ende:eq} kann man auch ohne die Matrizenschreibweise aufschreiben: \cite{0f1:wiki-fraction} +Die Berechnung von $A_k, B_k$ \eqref{0f1:math:matrix:ende:eq} kann man auch ohne die Matrizenschreibweise \cite{0f1:kettenbrueche} aufschreiben: \begin{itemize} \item Startbedingungen: \begin{align*} @@ -165,7 +164,7 @@ B_{k+1} &= B_{k-1} \cdot b_k + B_k \cdot a_k Näherungsbruch: \qquad$\displaystyle\frac{A_k}{B_k}$ \end{itemize} -Ein grosser Vorteil dieser Umsetzung als Rekursionsformel ist \ref{0f1:listing:kettenbruchRekursion}, dass im Vergleich zum Code \ref{0f1:listing:kettenbruchIterativ} eine Division gespart werden kann und somit weniger Rundungsfehler entstehen können. +Ein grosser Vorteil dieser Umsetzung als Rekursionsformel \eqref{0f1:listing:kettenbruchRekursion} ist, dass im Vergleich zum Code (Listing \ref{0f1:listing:kettenbruchIterativ}) eine Division gespart werden kann und somit weniger Rundungsfehler entstehen können. %Code \lstinputlisting[style=C,float,caption={Rekursionsformel für Kettenbruch.},label={0f1:listing:kettenbruchRekursion}, firstline=8]{papers/0f1/listings/kettenbruchRekursion.c} \ No newline at end of file -- cgit v1.2.1 From 1a65f1e2cc20e1dfe5d0d88cf42ee7355c20b1ff Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: Fabian <@> Date: Sat, 13 Aug 2022 22:27:32 +0200 Subject: 2. Ueberarbeitung --- buch/papers/0f1/teil2.tex | 12 ++++++++---- 1 file changed, 8 insertions(+), 4 deletions(-) (limited to 'buch/papers/0f1/teil2.tex') diff --git a/buch/papers/0f1/teil2.tex b/buch/papers/0f1/teil2.tex index 587f63b..06ac53e 100644 --- a/buch/papers/0f1/teil2.tex +++ b/buch/papers/0f1/teil2.tex @@ -11,7 +11,7 @@ Die Unterprogramme wurde jeweils, wie die GNU Scientific Library, in C geschrieb \subsection{Potenzreihe \label{0f1:subsection:potenzreihe}} -Die naheliegendste Lösung ist die Programmierung der Potenzreihe \eqref{0f1:umsetzung:0f1:eq}. Allerdings ist ein Problem dieser Umsetzung (Listing \ref{0f1:listing:potenzreihe}), dass die Fakultät im Nenner schnell grosse Werte annimmt. Dies führt zu einer Bereichsüberschreitung des \verb+double+ Bereiches \cite{0f1:double}. Spätesten ab $k=167$ tritt dieser Falle ein. +Die naheliegendste Lösung ist die Programmierung der Potenzreihe \eqref{0f1:umsetzung:0f1:eq}. \begin{align} \label{0f1:umsetzung:0f1:eq} @@ -30,6 +30,9 @@ Die naheliegendste Lösung ist die Programmierung der Potenzreihe \eqref{0f1:ums \subsection{Kettenbruch \label{0f1:subsection:kettenbruch}} +Eine weitere Variante zur Berechnung von $\mathstrut_0F_1(;c;z)$ ist die Umsetzung als Kettenbruch. +Der Vorteil einer Umsetzung als Kettenbruch gegenüber der Potenzreihe, ist die schnellere Konvergenz. + Ein endlicher Kettenbruch \cite{0f1:wiki-kettenbruch} ist ein Bruch der Form \begin{equation*} a_0 + \cfrac{b_1}{a_1+\cfrac{b_2}{a_2+\cfrac{b_3}{a_3+\cdots}}} @@ -44,6 +47,7 @@ Angewendet auf die Funktion $\mathstrut_0F_1$ bedeutet dies \cite{0f1:wiki-fract \mathstrut_0F_1(;c;z) = 1 + \frac{z}{c\cdot1!} + \frac{z^2}{c(c+1)\cdot2!} + \frac{z^3}{c(c+1)(c+2)\cdot3!} + \cdots \end{equation*} Umgeformt ergibt sich folgender Kettenbruch \cite{0f1:wolfram-0f1} +{\color{red}TODO Herleitung} \begin{equation} \label{0f1:math:kettenbruch:0f1:eq} \mathstrut_0F_1(;c;z) = 1 + \cfrac{\cfrac{z}{c}}{1+\cfrac{-\cfrac{z}{2(c+1)}}{1+\cfrac{z}{2(c+1)}+\cfrac{-\cfrac{z}{3(c+2)}}{1+\cfrac{z}{5(c+4)} + \cdots}}}, @@ -115,7 +119,7 @@ an, ergibt sich folgende Matrixdarstellungen: \begin{pmatrix} b_k\\ a_k - \end{pmatrix} + \end{pmatrix}. \end{align*} Nach vollständiger Induktion ergibt sich für den Schritt $k$, die Matrix \begin{equation} @@ -142,7 +146,7 @@ berechnet werden. \subsubsection{Lösung} -Die Berechnung von $A_k, B_k$ \eqref{0f1:math:matrix:ende:eq} kann man auch ohne die Matrizenschreibweise \cite{0f1:kettenbrueche} aufschreiben: +Die Berechnung von $A_k, B_k$ gemäss \eqref{0f1:math:matrix:ende:eq} kann man auch ohne die Matrizenschreibweise \cite{0f1:kettenbrueche} aufschreiben: \begin{itemize} \item Startbedingungen: \begin{align*} @@ -161,7 +165,7 @@ B_{k+1} &= B_{k-1} \cdot b_k + B_k \cdot a_k \end{aligned} \] \item -Näherungsbruch: \qquad$\displaystyle\frac{A_k}{B_k}$ +Näherungsbruch: \qquad$\displaystyle\frac{A_k}{B_k}$. \end{itemize} Ein grosser Vorteil dieser Umsetzung als Rekursionsformel \eqref{0f1:listing:kettenbruchRekursion} ist, dass im Vergleich zum Code (Listing \ref{0f1:listing:kettenbruchIterativ}) eine Division gespart werden kann und somit weniger Rundungsfehler entstehen können. -- cgit v1.2.1 From 059dd7a0ec72d91ed7879201c10e0abfb8cea3ef Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: Fabian <@> Date: Mon, 15 Aug 2022 20:10:10 +0200 Subject: 2. Ueberarbeitung, done --- buch/papers/0f1/teil2.tex | 31 ++++++++++++++++++++++++++----- 1 file changed, 26 insertions(+), 5 deletions(-) (limited to 'buch/papers/0f1/teil2.tex') diff --git a/buch/papers/0f1/teil2.tex b/buch/papers/0f1/teil2.tex index 06ac53e..0c2f1e6 100644 --- a/buch/papers/0f1/teil2.tex +++ b/buch/papers/0f1/teil2.tex @@ -38,16 +38,37 @@ Ein endlicher Kettenbruch \cite{0f1:wiki-kettenbruch} ist ein Bruch der Form a_0 + \cfrac{b_1}{a_1+\cfrac{b_2}{a_2+\cfrac{b_3}{a_3+\cdots}}} \end{equation*} in welchem $a_0, a_1,\dots,a_n$ und $b_1,b_2,\dots,b_n$ ganze Zahlen sind. -Die Kurzschreibweise für einen allgemeinen Kettenbruch ist + +Nimmt man nun folgenden Gleichung \cite{0f1:wiki-fraction}: \begin{equation*} - a_0 + \frac{a_1|}{|b_1} + \frac{a_2|}{|b_2} + \frac{a_3|}{|b_3} + \cdots + f_{i-1} - f_i = k_i z f_{i+1}, \end{equation*} -Angewendet auf die Funktion $\mathstrut_0F_1$ bedeutet dies \cite{0f1:wiki-fraction}: +wo $f_i$ analytische Funktionen sind und $i > 0$ ist, sowie $k_i$ konstant. +Ergibt sich folgender Zusammenhang: \begin{equation*} + \cfrac{f_i}{f_{i-1}} = \cfrac{1}{1+k_iz\cfrac{f_{i+1}}{f_i}} +\end{equation*} + +Angewendet auf die Funktion $\mathstrut_0F_1$ bedeutet dies: +\begin{equation} + \label{0f1:math:potenzreihe:0f1:eq} \mathstrut_0F_1(;c;z) = 1 + \frac{z}{c\cdot1!} + \frac{z^2}{c(c+1)\cdot2!} + \frac{z^3}{c(c+1)(c+2)\cdot3!} + \cdots +\end{equation} +Durch Substitution kann bewiesen werden, dass die nachfolgende Formel eine Relation zur obigen Potenzreihe \eqref{0f1:math:potenzreihe:0f1:eq} ist: +\begin{equation*} + \mathstrut_0F_1(;c-1;z) - \mathstrut_0F_1(;c;z) = \frac{z}{c(c-1)} \cdot \mathstrut_0F_1(;c+1;z). \end{equation*} -Umgeformt ergibt sich folgender Kettenbruch \cite{0f1:wolfram-0f1} -{\color{red}TODO Herleitung} +Wenn man für $f_i$ und $k_i$ folgende Annahme trifft: +\begin{align*} + f_i =& \mathstrut_0F_1(;c+1;z)\\ + k_i =& \frac{1}{(c+1)(c+i-1)} +\end{align*} +erhält man: +\begin{equation*} + \cfrac{\mathstrut_0F_1(;c+1;z)}{\mathstrut_0F_1(;c;z)} = \cfrac{1}{1+\cfrac{\cfrac{z}{c(c+1)}}{1+\cfrac{\cfrac{z}{(c+1)(c+2)}}{1+\cfrac{z}{(c+2)(c+3)} + \cdots}}}. +\end{equation*} + +Mit weiteren Relationen ergibt sich nach Wolfram Alpha \cite{0f1:wolfram-0f1} folgender Kettenbruch \begin{equation} \label{0f1:math:kettenbruch:0f1:eq} \mathstrut_0F_1(;c;z) = 1 + \cfrac{\cfrac{z}{c}}{1+\cfrac{-\cfrac{z}{2(c+1)}}{1+\cfrac{z}{2(c+1)}+\cfrac{-\cfrac{z}{3(c+2)}}{1+\cfrac{z}{5(c+4)} + \cdots}}}, -- cgit v1.2.1 From 2e1c6aecc9e99334b84a10e0da9597e03f2de3c4 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: Fabian <@> Date: Mon, 15 Aug 2022 20:14:36 +0200 Subject: 2.Uerbarbeitung, bruch --- buch/papers/0f1/teil2.tex | 2 +- 1 file changed, 1 insertion(+), 1 deletion(-) (limited to 'buch/papers/0f1/teil2.tex') diff --git a/buch/papers/0f1/teil2.tex b/buch/papers/0f1/teil2.tex index 0c2f1e6..ef9f55e 100644 --- a/buch/papers/0f1/teil2.tex +++ b/buch/papers/0f1/teil2.tex @@ -65,7 +65,7 @@ Wenn man für $f_i$ und $k_i$ folgende Annahme trifft: \end{align*} erhält man: \begin{equation*} - \cfrac{\mathstrut_0F_1(;c+1;z)}{\mathstrut_0F_1(;c;z)} = \cfrac{1}{1+\cfrac{\cfrac{z}{c(c+1)}}{1+\cfrac{\cfrac{z}{(c+1)(c+2)}}{1+\cfrac{z}{(c+2)(c+3)} + \cdots}}}. + \cfrac{\mathstrut_0F_1(;c+1;z)}{\mathstrut_0F_1(;c;z)} = \cfrac{1}{1+\cfrac{\cfrac{z}{c(c+1)}}{1+\cfrac{\cfrac{z}{(c+1)(c+2)}}{1+\cfrac{\cfrac{z}{(c+2)(c+3)}}{\cdots}}}}. \end{equation*} Mit weiteren Relationen ergibt sich nach Wolfram Alpha \cite{0f1:wolfram-0f1} folgender Kettenbruch -- cgit v1.2.1