From 4a97506a4759a46f3263aee2c46d684aed0fb104 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: Fabian <@>
Date: Wed, 17 Aug 2022 01:35:28 +0200
Subject: 3. Ueberarbeitung, done

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 buch/papers/0f1/teil2.tex | 35 ++++++++++++++++++++++++++---------
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index 9b3a586..64f8d83 100644
--- a/buch/papers/0f1/teil2.tex
+++ b/buch/papers/0f1/teil2.tex
@@ -41,37 +41,54 @@ a_0 + \cfrac{b_1}{a_1+\cfrac{b_2}{a_2+\cfrac{b_3}{a_3+\cdots}}},
 in welchem $a_0, a_1,\dots,a_n$ und $b_1,b_2,\dots,b_n$ ganze Zahlen sind.
 
 \subsubsection{Rekursionsbeziehungen und Kettenbrüche}
-Nimmt man nun folgende Gleichung \cite{0f1:wiki-fraction}:
+Will man einen Kettenbruch für das Verhältnis $\frac{f_i(z)}{f_{i-1}(z)}$ finden, braucht man dazu eine Relation der analytischer Funktion $f_i(z)$.
+Nimmt man die Gleichung \cite{0f1:wiki-fraction}:
 \begin{equation*}
 	f_{i-1} - f_i = k_i z f_{i+1},
 \end{equation*}
 wo $f_i$ analytische Funktionen sind und $i > 0$ ist, sowie $k_i$ konstant.
 Ergibt sich folgender Zusammenhang:
 \begin{equation*}
-	\cfrac{f_i}{f_{i-1}} = \cfrac{1}{1+k_iz\cfrac{f_{i+1}}{f_i}}
+	\cfrac{f_i}{f_{i-1}} = \cfrac{1}{1+k_iz\cfrac{f_{i+1}}{f_i}}.
 \end{equation*}
+Geht man einen Schritt weiter und nimmt für $g_i = \frac{f_i}{f_{i-1}}$ an, kommt man zur Formel
+\begin{equation*}
+	g_i = \cfrac{1}{1+k_izg_{i+1}}.
+\end{equation*}
+Setzt man dies nun für $g_1$ in den Bruch ein, ergibt sich folgendes:
+\begin{equation*}
+	g_1 = \cfrac{f_1}{f_0} = \cfrac{1}{1+k_izg_2} = \cfrac{1}{1+\cfrac{k_1z}{1+k_2zg_3}} = \cdots
+\end{equation*}
+Repetiert man dies unendlich, erhält man einen Kettenbruch in der Form:
+\begin{equation}
+	\label{0f1:math:rekursion:eq}
+	\cfrac{f_1}{f_0} = \cfrac{1}{1+\cfrac{k_1z}{1+\cfrac{k_2z}{1+\cfrac{k_3z}{\cdots}}}}.
+\end{equation}
+
 \subsubsection{Rekursion für $\mathstrut_0F_1$}
-Angewendet auf die Funktion $\mathstrut_0F_1$ bedeutet dies:
+Angewendet auf die Potenzreihe
 \begin{equation}
 	\label{0f1:math:potenzreihe:0f1:eq}
 	\mathstrut_0F_1(;c;z) = 1 + \frac{z}{c\cdot1!} + \frac{z^2}{c(c+1)\cdot2!} + \frac{z^3}{c(c+1)(c+2)\cdot3!} + \cdots
 \end{equation}
-Durch Substitution kann bewiesen werden, dass die nachfolgende Formel eine Relation zur obigen Potenzreihe \eqref{0f1:math:potenzreihe:0f1:eq} ist:
+kann durch Substitution bewiesen werden, dass
 \begin{equation*}
-	\mathstrut_0F_1(;c-1;z) - \mathstrut_0F_1(;c;z) = \frac{z}{c(c-1)} \cdot \mathstrut_0F_1(;c+1;z).
+	\mathstrut_0F_1(;c-1;z) - \mathstrut_0F_1(;c;z) = \frac{z}{c(c-1)} \cdot \mathstrut_0F_1(;c+1;z)
 \end{equation*}
+eine Relation dazu ist.
 Wenn man für $f_i$ und $k_i$ folgende Annahme trifft:
 \begin{align*}
-	f_i =& \mathstrut_0F_1(;c+1;z)\\
-	k_i	=& \frac{1}{(c+1)(c+i-1)}
+	f_i =& \mathstrut_0F_1(;c+i;z)\\
+	k_i	=& \frac{1}{(c+i)(c+i-1)}
 \end{align*}
-erhält man:
+und in die Formel \eqref{0f1:math:rekursion:eq} einsetzt, erhält man:
 \begin{equation*}
 	\cfrac{\mathstrut_0F_1(;c+1;z)}{\mathstrut_0F_1(;c;z)} = \cfrac{1}{1+\cfrac{\cfrac{z}{c(c+1)}}{1+\cfrac{\cfrac{z}{(c+1)(c+2)}}{1+\cfrac{\cfrac{z}{(c+2)(c+3)}}{\cdots}}}}.
 \end{equation*}
 
 \subsubsection{Algorithmus}
-Mit weiteren Relationen ergibt sich nach Wolfram Alpha \cite{0f1:wolfram-0f1} folgender Kettenbruch
+Da mit obigen Formeln nur ein Verhältnis zwischen $	\frac{\mathstrut_0F_1(;c+1;z)}{\mathstrut_0F_1(;c;z)}$ berechnet wurde, braucht es weitere Relationen um $\mathstrut_0F_1(;c;z)$ zu erhalten.
+So ergeben ähnliche Relationen nach Wolfram Alpha \cite{0f1:wolfram-0f1} folgender Kettenbruch
 \begin{equation}
 	\label{0f1:math:kettenbruch:0f1:eq}
 	\mathstrut_0F_1(;c;z) = 1 + \cfrac{\cfrac{z}{c}}{1+\cfrac{-\cfrac{z}{2(c+1)}}{1+\cfrac{z}{2(c+1)}+\cfrac{-\cfrac{z}{3(c+2)}}{1+\cfrac{z}{5(c+4)} + \cdots}}},
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