From 10a72bf8d66de28f3f1b5598c37c32d29a306893 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: Fabian <@>
Date: Tue, 16 Aug 2022 18:25:31 +0200
Subject: 3. Ueberarbeitung, Verbesserungen

---
 buch/papers/0f1/teil2.tex | 20 ++++++++++++--------
 1 file changed, 12 insertions(+), 8 deletions(-)

(limited to 'buch/papers/0f1/teil2.tex')

diff --git a/buch/papers/0f1/teil2.tex b/buch/papers/0f1/teil2.tex
index ef9f55e..9b3a586 100644
--- a/buch/papers/0f1/teil2.tex
+++ b/buch/papers/0f1/teil2.tex
@@ -11,7 +11,7 @@ Die Unterprogramme wurde jeweils, wie die GNU Scientific Library, in C geschrieb
 
 \subsection{Potenzreihe
 \label{0f1:subsection:potenzreihe}}
-Die naheliegendste Lösung ist die Programmierung der Potenzreihe \eqref{0f1:umsetzung:0f1:eq}.
+Die naheliegendste Lösung ist die Programmierung der Potenzreihe
 
 \begin{align}
     \label{0f1:umsetzung:0f1:eq}
@@ -23,7 +23,7 @@ Die naheliegendste Lösung ist die Programmierung der Potenzreihe \eqref{0f1:ums
     \frac{1}{c}
     +\frac{z^1}{(c+1) \cdot 1}
     + \cdots
-    + \frac{z^{20}}{c(c+1)(c+2)\cdots(c+19) \cdot 2.4 \cdot 10^{18}}
+    + \frac{z^{20}}{c(c+1)(c+2)\cdots(c+19) \cdot 2.4 \cdot 10^{18}}.
 \end{align}
 
 \lstinputlisting[style=C,float,caption={Potenzreihe.},label={0f1:listing:potenzreihe}, firstline=59]{papers/0f1/listings/potenzreihe.c}
@@ -31,15 +31,17 @@ Die naheliegendste Lösung ist die Programmierung der Potenzreihe \eqref{0f1:ums
 \subsection{Kettenbruch
 \label{0f1:subsection:kettenbruch}}
 Eine weitere Variante zur Berechnung von $\mathstrut_0F_1(;c;z)$ ist die Umsetzung als Kettenbruch.
-Der Vorteil einer Umsetzung als Kettenbruch gegenüber der Potenzreihe, ist die schnellere Konvergenz.
+Der Vorteil einer Umsetzung als Kettenbruch gegenüber der Potenzreihe ist die schnellere Konvergenz.
 
+\subsubsection{Grundlage}
 Ein endlicher Kettenbruch \cite{0f1:wiki-kettenbruch} ist ein Bruch der Form
 \begin{equation*}
-a_0 + \cfrac{b_1}{a_1+\cfrac{b_2}{a_2+\cfrac{b_3}{a_3+\cdots}}}
+a_0 + \cfrac{b_1}{a_1+\cfrac{b_2}{a_2+\cfrac{b_3}{a_3+\cdots}}},
 \end{equation*}
 in welchem $a_0, a_1,\dots,a_n$ und $b_1,b_2,\dots,b_n$ ganze Zahlen sind.
 
-Nimmt man nun folgenden Gleichung \cite{0f1:wiki-fraction}:
+\subsubsection{Rekursionsbeziehungen und Kettenbrüche}
+Nimmt man nun folgende Gleichung \cite{0f1:wiki-fraction}:
 \begin{equation*}
 	f_{i-1} - f_i = k_i z f_{i+1},
 \end{equation*}
@@ -48,7 +50,7 @@ Ergibt sich folgender Zusammenhang:
 \begin{equation*}
 	\cfrac{f_i}{f_{i-1}} = \cfrac{1}{1+k_iz\cfrac{f_{i+1}}{f_i}}
 \end{equation*}
-
+\subsubsection{Rekursion für $\mathstrut_0F_1$}
 Angewendet auf die Funktion $\mathstrut_0F_1$ bedeutet dies:
 \begin{equation}
 	\label{0f1:math:potenzreihe:0f1:eq}
@@ -68,6 +70,7 @@ erhält man:
 	\cfrac{\mathstrut_0F_1(;c+1;z)}{\mathstrut_0F_1(;c;z)} = \cfrac{1}{1+\cfrac{\cfrac{z}{c(c+1)}}{1+\cfrac{\cfrac{z}{(c+1)(c+2)}}{1+\cfrac{\cfrac{z}{(c+2)(c+3)}}{\cdots}}}}.
 \end{equation*}
 
+\subsubsection{Algorithmus}
 Mit weiteren Relationen ergibt sich nach Wolfram Alpha \cite{0f1:wolfram-0f1} folgender Kettenbruch
 \begin{equation}
 	\label{0f1:math:kettenbruch:0f1:eq}
@@ -92,7 +95,7 @@ lässt sich zu
 	\cfrac{A_k}{B_k} = \cfrac{b_{k+1}}{a_{k+1} + \cfrac{p}{q}} = \frac{b_{k+1} \cdot q}{a_{k+1} \cdot q + p}
 \end{align*}
 umformen.
-Dies lässt sich auch durch die folgende Matrizenschreibweise ausdrücken:
+Dies lässt sich auch durch die folgende Matrizenschreibweise
 \begin{equation*}
 	\begin{pmatrix}
 		A_k\\
@@ -112,6 +115,7 @@ Dies lässt sich auch durch die folgende Matrizenschreibweise ausdrücken:
 	\end{pmatrix}.
 	%\label{0f1:math:rekursionsformel:herleitung}
 \end{equation*}
+ausdrücken.
 Wendet man dies nun auf den Kettenbruch in der Form
 \begin{equation*}
 	\frac{A_k}{B_k} = a_0 + \cfrac{b_1}{a_1+\cfrac{b_2}{a_2+\cfrac{\cdots}{\cdots+\cfrac{b_{k-1}}{a_{k-1} + \cfrac{b_k}{a_k}}}}}
@@ -166,7 +170,7 @@ Und schlussendlich kann der Näherungsbruch
 berechnet werden.
 
 
-\subsubsection{Lösung}
+\subsubsection{Algorithmus}
 Die Berechnung von $A_k, B_k$ gemäss \eqref{0f1:math:matrix:ende:eq} kann man auch ohne die Matrizenschreibweise \cite{0f1:kettenbrueche} aufschreiben:
 \begin{itemize}
 \item Startbedingungen:
-- 
cgit v1.2.1


From 4a97506a4759a46f3263aee2c46d684aed0fb104 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: Fabian <@>
Date: Wed, 17 Aug 2022 01:35:28 +0200
Subject: 3. Ueberarbeitung, done

---
 buch/papers/0f1/teil2.tex | 35 ++++++++++++++++++++++++++---------
 1 file changed, 26 insertions(+), 9 deletions(-)

(limited to 'buch/papers/0f1/teil2.tex')

diff --git a/buch/papers/0f1/teil2.tex b/buch/papers/0f1/teil2.tex
index 9b3a586..64f8d83 100644
--- a/buch/papers/0f1/teil2.tex
+++ b/buch/papers/0f1/teil2.tex
@@ -41,37 +41,54 @@ a_0 + \cfrac{b_1}{a_1+\cfrac{b_2}{a_2+\cfrac{b_3}{a_3+\cdots}}},
 in welchem $a_0, a_1,\dots,a_n$ und $b_1,b_2,\dots,b_n$ ganze Zahlen sind.
 
 \subsubsection{Rekursionsbeziehungen und Kettenbrüche}
-Nimmt man nun folgende Gleichung \cite{0f1:wiki-fraction}:
+Will man einen Kettenbruch für das Verhältnis $\frac{f_i(z)}{f_{i-1}(z)}$ finden, braucht man dazu eine Relation der analytischer Funktion $f_i(z)$.
+Nimmt man die Gleichung \cite{0f1:wiki-fraction}:
 \begin{equation*}
 	f_{i-1} - f_i = k_i z f_{i+1},
 \end{equation*}
 wo $f_i$ analytische Funktionen sind und $i > 0$ ist, sowie $k_i$ konstant.
 Ergibt sich folgender Zusammenhang:
 \begin{equation*}
-	\cfrac{f_i}{f_{i-1}} = \cfrac{1}{1+k_iz\cfrac{f_{i+1}}{f_i}}
+	\cfrac{f_i}{f_{i-1}} = \cfrac{1}{1+k_iz\cfrac{f_{i+1}}{f_i}}.
 \end{equation*}
+Geht man einen Schritt weiter und nimmt für $g_i = \frac{f_i}{f_{i-1}}$ an, kommt man zur Formel
+\begin{equation*}
+	g_i = \cfrac{1}{1+k_izg_{i+1}}.
+\end{equation*}
+Setzt man dies nun für $g_1$ in den Bruch ein, ergibt sich folgendes:
+\begin{equation*}
+	g_1 = \cfrac{f_1}{f_0} = \cfrac{1}{1+k_izg_2} = \cfrac{1}{1+\cfrac{k_1z}{1+k_2zg_3}} = \cdots
+\end{equation*}
+Repetiert man dies unendlich, erhält man einen Kettenbruch in der Form:
+\begin{equation}
+	\label{0f1:math:rekursion:eq}
+	\cfrac{f_1}{f_0} = \cfrac{1}{1+\cfrac{k_1z}{1+\cfrac{k_2z}{1+\cfrac{k_3z}{\cdots}}}}.
+\end{equation}
+
 \subsubsection{Rekursion für $\mathstrut_0F_1$}
-Angewendet auf die Funktion $\mathstrut_0F_1$ bedeutet dies:
+Angewendet auf die Potenzreihe
 \begin{equation}
 	\label{0f1:math:potenzreihe:0f1:eq}
 	\mathstrut_0F_1(;c;z) = 1 + \frac{z}{c\cdot1!} + \frac{z^2}{c(c+1)\cdot2!} + \frac{z^3}{c(c+1)(c+2)\cdot3!} + \cdots
 \end{equation}
-Durch Substitution kann bewiesen werden, dass die nachfolgende Formel eine Relation zur obigen Potenzreihe \eqref{0f1:math:potenzreihe:0f1:eq} ist:
+kann durch Substitution bewiesen werden, dass
 \begin{equation*}
-	\mathstrut_0F_1(;c-1;z) - \mathstrut_0F_1(;c;z) = \frac{z}{c(c-1)} \cdot \mathstrut_0F_1(;c+1;z).
+	\mathstrut_0F_1(;c-1;z) - \mathstrut_0F_1(;c;z) = \frac{z}{c(c-1)} \cdot \mathstrut_0F_1(;c+1;z)
 \end{equation*}
+eine Relation dazu ist.
 Wenn man für $f_i$ und $k_i$ folgende Annahme trifft:
 \begin{align*}
-	f_i =& \mathstrut_0F_1(;c+1;z)\\
-	k_i	=& \frac{1}{(c+1)(c+i-1)}
+	f_i =& \mathstrut_0F_1(;c+i;z)\\
+	k_i	=& \frac{1}{(c+i)(c+i-1)}
 \end{align*}
-erhält man:
+und in die Formel \eqref{0f1:math:rekursion:eq} einsetzt, erhält man:
 \begin{equation*}
 	\cfrac{\mathstrut_0F_1(;c+1;z)}{\mathstrut_0F_1(;c;z)} = \cfrac{1}{1+\cfrac{\cfrac{z}{c(c+1)}}{1+\cfrac{\cfrac{z}{(c+1)(c+2)}}{1+\cfrac{\cfrac{z}{(c+2)(c+3)}}{\cdots}}}}.
 \end{equation*}
 
 \subsubsection{Algorithmus}
-Mit weiteren Relationen ergibt sich nach Wolfram Alpha \cite{0f1:wolfram-0f1} folgender Kettenbruch
+Da mit obigen Formeln nur ein Verhältnis zwischen $	\frac{\mathstrut_0F_1(;c+1;z)}{\mathstrut_0F_1(;c;z)}$ berechnet wurde, braucht es weitere Relationen um $\mathstrut_0F_1(;c;z)$ zu erhalten.
+So ergeben ähnliche Relationen nach Wolfram Alpha \cite{0f1:wolfram-0f1} folgender Kettenbruch
 \begin{equation}
 	\label{0f1:math:kettenbruch:0f1:eq}
 	\mathstrut_0F_1(;c;z) = 1 + \cfrac{\cfrac{z}{c}}{1+\cfrac{-\cfrac{z}{2(c+1)}}{1+\cfrac{z}{2(c+1)}+\cfrac{-\cfrac{z}{3(c+2)}}{1+\cfrac{z}{5(c+4)} + \cdots}}},
-- 
cgit v1.2.1


From 9d52cc84df44e8479cafdd7b0d7f264aeb0c8a10 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: Fabian <@>
Date: Wed, 17 Aug 2022 21:38:44 +0200
Subject: letzte Korrektur

---
 buch/papers/0f1/teil2.tex | 18 +++++++++---------
 1 file changed, 9 insertions(+), 9 deletions(-)

(limited to 'buch/papers/0f1/teil2.tex')

diff --git a/buch/papers/0f1/teil2.tex b/buch/papers/0f1/teil2.tex
index 64f8d83..fdcb0fc 100644
--- a/buch/papers/0f1/teil2.tex
+++ b/buch/papers/0f1/teil2.tex
@@ -41,13 +41,13 @@ a_0 + \cfrac{b_1}{a_1+\cfrac{b_2}{a_2+\cfrac{b_3}{a_3+\cdots}}},
 in welchem $a_0, a_1,\dots,a_n$ und $b_1,b_2,\dots,b_n$ ganze Zahlen sind.
 
 \subsubsection{Rekursionsbeziehungen und Kettenbrüche}
-Will man einen Kettenbruch für das Verhältnis $\frac{f_i(z)}{f_{i-1}(z)}$ finden, braucht man dazu eine Relation der analytischer Funktion $f_i(z)$.
-Nimmt man die Gleichung \cite{0f1:wiki-fraction}:
+Wenn es eine Relation analytischer Funktion $f_i(z)$ hat, dann gibt es einen Kettenbruch für das Verhältnis $\frac{f_i(z)}{f_{i-1}(z)}$ \cite{0f1:wiki-fraction}. 
+Nimmt man die Gleichung
 \begin{equation*}
 	f_{i-1} - f_i = k_i z f_{i+1},
 \end{equation*}
 wo $f_i$ analytische Funktionen sind und $i > 0$ ist, sowie $k_i$ konstant.
-Ergibt sich folgender Zusammenhang:
+Ergibt sich der Zusammenhang
 \begin{equation*}
 	\cfrac{f_i}{f_{i-1}} = \cfrac{1}{1+k_iz\cfrac{f_{i+1}}{f_i}}.
 \end{equation*}
@@ -55,7 +55,7 @@ Geht man einen Schritt weiter und nimmt für $g_i = \frac{f_i}{f_{i-1}}$ an, kom
 \begin{equation*}
 	g_i = \cfrac{1}{1+k_izg_{i+1}}.
 \end{equation*}
-Setzt man dies nun für $g_1$ in den Bruch ein, ergibt sich folgendes:
+Setzt man dies nun für $g_1$ in den Bruch ein, ergibt sich
 \begin{equation*}
 	g_1 = \cfrac{f_1}{f_0} = \cfrac{1}{1+k_izg_2} = \cfrac{1}{1+\cfrac{k_1z}{1+k_2zg_3}} = \cdots
 \end{equation*}
@@ -76,19 +76,19 @@ kann durch Substitution bewiesen werden, dass
 	\mathstrut_0F_1(;c-1;z) - \mathstrut_0F_1(;c;z) = \frac{z}{c(c-1)} \cdot \mathstrut_0F_1(;c+1;z)
 \end{equation*}
 eine Relation dazu ist.
-Wenn man für $f_i$ und $k_i$ folgende Annahme trifft:
+Wenn man für $f_i$ und $k_i$ die Annahme
 \begin{align*}
 	f_i =& \mathstrut_0F_1(;c+i;z)\\
 	k_i	=& \frac{1}{(c+i)(c+i-1)}
 \end{align*}
-und in die Formel \eqref{0f1:math:rekursion:eq} einsetzt, erhält man:
+trifft und in die Formel \eqref{0f1:math:rekursion:eq} einsetzt, erhält man:
 \begin{equation*}
 	\cfrac{\mathstrut_0F_1(;c+1;z)}{\mathstrut_0F_1(;c;z)} = \cfrac{1}{1+\cfrac{\cfrac{z}{c(c+1)}}{1+\cfrac{\cfrac{z}{(c+1)(c+2)}}{1+\cfrac{\cfrac{z}{(c+2)(c+3)}}{\cdots}}}}.
 \end{equation*}
 
 \subsubsection{Algorithmus}
 Da mit obigen Formeln nur ein Verhältnis zwischen $	\frac{\mathstrut_0F_1(;c+1;z)}{\mathstrut_0F_1(;c;z)}$ berechnet wurde, braucht es weitere Relationen um $\mathstrut_0F_1(;c;z)$ zu erhalten.
-So ergeben ähnliche Relationen nach Wolfram Alpha \cite{0f1:wolfram-0f1} folgender Kettenbruch
+So ergeben ähnliche Relationen nach Wolfram Alpha \cite{0f1:wolfram-0f1} den Kettenbruch
 \begin{equation}
 	\label{0f1:math:kettenbruch:0f1:eq}
 	\mathstrut_0F_1(;c;z) = 1 + \cfrac{\cfrac{z}{c}}{1+\cfrac{-\cfrac{z}{2(c+1)}}{1+\cfrac{z}{2(c+1)}+\cfrac{-\cfrac{z}{3(c+2)}}{1+\cfrac{z}{5(c+4)} + \cdots}}},
@@ -112,7 +112,7 @@ lässt sich zu
 	\cfrac{A_k}{B_k} = \cfrac{b_{k+1}}{a_{k+1} + \cfrac{p}{q}} = \frac{b_{k+1} \cdot q}{a_{k+1} \cdot q + p}
 \end{align*}
 umformen.
-Dies lässt sich auch durch die folgende Matrizenschreibweise
+Dies lässt sich auch durch die Matrizenschreibweise
 \begin{equation*}
 	\begin{pmatrix}
 		A_k\\
@@ -137,7 +137,7 @@ Wendet man dies nun auf den Kettenbruch in der Form
 \begin{equation*}
 	\frac{A_k}{B_k} = a_0 + \cfrac{b_1}{a_1+\cfrac{b_2}{a_2+\cfrac{\cdots}{\cdots+\cfrac{b_{k-1}}{a_{k-1} + \cfrac{b_k}{a_k}}}}}
 \end{equation*}
-an, ergibt sich folgende Matrixdarstellungen:
+an, ergibt sich die Matrixdarstellungen:
 
 \begin{align*}
 	\begin{pmatrix}
-- 
cgit v1.2.1