From 3a530cc844c8213dade9fcf70d3ea7715f5c2a1b Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: Fabian <@>
Date: Sat, 13 Aug 2022 15:21:13 +0200
Subject: 2. Ueberarbeitung, Referenzen

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 buch/papers/0f1/teil3.tex | 27 +++++++++++++--------------
 1 file changed, 13 insertions(+), 14 deletions(-)

(limited to 'buch/papers/0f1/teil3.tex')

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index 72b1b21..00d4182 100644
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+++ b/buch/papers/0f1/teil3.tex
@@ -9,56 +9,55 @@
 Im Verlauf dieser Arbeit hat sich gezeigt, 
 das ein einfacher mathematischer Algorithmus zu implementieren gar nicht so einfach ist.
 So haben alle drei umgesetzten Ansätze Probleme mit grossen negativen $z$ in der Funktion $\mathstrut_0F_1(;c;z)$.
-Ebenso kann festgestellt werden, dass je grösser der Wert $z$ in $\mathstrut_0F_1(;c;z)$ wird, desto mehr weichen die berechneten Resultate von den Erwarteten ab \cite{0f1:wolfram-0f1}.
+Ebenso kann festgestellt werden, dass je grösser der Wert $z$ in $\mathstrut_0F_1(;c;z)$ wird, desto mehr weichen die berechneten Resultate von den Erwarteten \cite{0f1:wolfram-0f1} ab.
 
 \subsection{Konvergenz
 \label{0f1:subsection:konvergenz}}
-Es zeigt sich in Abbildung \ref{0f1:ausblick:plot:airy:konvergenz}, dass schon nach drei Iterationen ($k = 3$) die Funktionen schon genaue Resultate im Bereich von -2 bis 2 liefert. Ebenso kann festgestellt werden, dass der Kettenbruch schneller konvergiert und im positiven Bereich sogar mit der Referenzfunktion $Ai(x)$ übereinstimmt. Da die Rekursionsformel \ref{0f1:listing:kettenbruchRekursion} eine Abwandlung des Kettenbruches ist, verhalten sich die Funktionen in diesem Fall gleich.
+Es zeigt sich in Abbildung \ref{0f1:ausblick:plot:airy:konvergenz}, dass schon nach drei Iterationen ($k = 3$) die Funktionen schon genaue Resultate im Bereich von $-2$ bis $2$ liefert. Ebenso kann festgestellt werden, dass der Kettenbruch schneller konvergiert und im positiven Bereich sogar mit der Referenzfunktion $\operatorname{Ai}(x)$ übereinstimmt. Da die Rekursionsformel eine Abwandlung des Kettenbruches ist, verhalten sich die Funktionen in diesem Fall gleich.
 
 Erst wenn mehrerer Iterationen gemacht werden, um die Genauigkeit zu verbessern, ist der Kettenbruch den anderen zwei Algorithmen, bezüglich Konvergenz überlegen. 
-Interessant ist auch, dass die Rekursionsformel nahezu gleich schnell wie die Potenzreihe konvergiert, aber sich danach einschwingt \ref{0f1:ausblick:plot:konvergenz:positiv}. Dieses Verhalten ist auch bei grösseren $z$ zu beobachten, allerdings ist dann die Differenz zwischen dem ersten lokalen Minimum von k bis zum Abbruch kleiner
-\ref{0f1:ausblick:plot:konvergenz:positiv}.
-Dieses Phänomen ist auf die Lösung der Rekursionsformel zurück zu führen\eqref{0f1:math:loesung:eq}. Da im Gegensatz die ganz kleinen Werte nicht zu einer Konvergenz wie beim Kettenbruch führen, sondern sich noch eine Zeit lang durch die Multiplikation aufschwingen.
+Interessant ist auch, dass die Rekursionsformel nahezu gleich schnell wie die Potenzreihe konvergiert, aber sich danach, wie in Abbildung \ref{0f1:ausblick:plot:konvergenz:positiv} zu beobachten ist, einschwingt. Dieses Verhalten ist auch bei grösseren $z$ zu beobachten, allerdings ist dann die Differenz zwischen dem ersten lokalen Minimum von k bis zum Abbruch kleiner.
+Dieses Phänomen ist auf die Lösung der Rekursionsformel \eqref{0f1:math:loesung:eq} zurück zu führen. Da im Gegensatz die ganz kleinen Werte nicht zu einer Konvergenz wie beim Kettenbruch führen, sondern sich noch eine Zeit lang durch die Multiplikation aufschwingen.
 
-Ist $z$ negativ wie im Abbild \ref{0f1:ausblick:plot:konvergenz:negativ}, führt dies zu einer Gegenseitigen Kompensation von negativen und positiven Termen so bricht die Rekursionsformel hier zusammen mit der Potenzreihe ab.
+Ist $z$ negativ wie im Abbildung \ref{0f1:ausblick:plot:konvergenz:negativ}, führt dies zu einer Gegenseitigen Kompensation von negativen und positiven Termen so bricht die Rekursionsformel hier zusammen mit der Potenzreihe ab.
 Die ansteigende Differenz mit anschliessender, ist aufgrund der sich alternierenden Termen mit wechselnden Vorzeichens zu erklären.
 
 \subsection{Stabilität
 \label{0f1:subsection:Stabilitaet}}
-Verändert sich der Wert von z in $\mathstrut_0F_1(;c;z)$ gegen grössere positive Werte, wie zum Beispiel $c = 800$ liefert die Kettenbruch-Funktion \ref{0f1:listing:kettenbruchIterativ} \verb+inf+ zurück. Dies könnte durch ein Abbruchkriterien abgefangen werden. Allerdings würde das, bei grossen Werten zulasten der Genauigkeit gehen. Trotzdem könnte, je nach Anwendung, auf ein paar Nachkommastellen verzichtet werden.
+Verändert sich der Wert von z in $\mathstrut_0F_1(;c;z)$ gegen grössere positive Werte, wie zum Beispiel $c = 800$ liefert die Kettenbruch-Funktion (Listing \ref{0f1:listing:kettenbruchIterativ}) \verb+inf+ zurück. Dies könnte durch ein Abbruchkriterien abgefangen werden. Allerdings würde das, bei grossen Werten zulasten der Genauigkeit gehen. Trotzdem könnte, je nach Anwendung, auf ein paar Nachkommastellen verzichtet werden.
 
-Wohingegen die Potenzreihe \eqref{0f1:listing:potenzreihe} das Problem hat, dass je mehr Terme berechnet werden, desto schneller wächst die Fakultät und irgendwann gibt es eine Bereichsüberschreitung von \verb+double+. Schlussendlich gibt das Unterprogramm das Resultat \verb+-nan(ind)+ zurück.
-Die Rekursionformel \eqref{0f1:listing:kettenbruchRekursion} liefert für sehr grosse positive Werte die genausten Ergebnisse, verglichen mit der GNU Scientific Library. Wie schon vermutet ist die Rekursionsformel, im positivem Bereich, der stabilste Algorithmus. Um die Stabilität zu gewährleisten, muss wie in Abbild \ref{0f1:ausblick:plot:konvergenz:positiv} dargestellt, die Iterationstiefe $k$ genug gross gewählt werden.
+Wohingegen die Potenzreihe (Listing \ref{0f1:listing:potenzreihe}) das Problem hat, dass je mehr Terme berechnet werden, desto schneller wächst die Fakultät und irgendwann gibt es eine Bereichsüberschreitung von \verb+double+. Schlussendlich gibt das Unterprogramm das Resultat \verb+-nan(ind)+ zurück.
+Die Rekursionformel \eqref{0f1:listing:kettenbruchRekursion} liefert für sehr grosse positive Werte die genausten Ergebnisse, verglichen mit der GNU Scientific Library. Wie schon vermutet ist die Rekursionsformel, im positivem Bereich, der stabilste Algorithmus. Um die Stabilität zu gewährleisten, muss wie in Abbildung \ref{0f1:ausblick:plot:konvergenz:positiv} dargestellt, die Iterationstiefe $k$ genug gross gewählt werden.
 
-Im negativem Bereich sind alle gewählten und umgesetzten Ansätze instabil. Grund dafür ist die Potenz von z, was zum Phänomen der Auslöschung führt \cite{0f1:SeminarNumerik}. Schön zu beobachten ist dies in der Abbildung \ref{0f1:ausblick:plot:airy:stabilitaet} mit der Airy-Funktion als Test. So sind sowohl der Kettenbruch, als auch die Rekursionsformel bis ungefähr $\frac{-15^3}{9}$ stabil. Dies macht auch Sinn, da beide auf der gleichen mathematischen Grundlage basieren. Danach verhält sich allerdings die Instabilität unterschiedlich. Das unterschiedliche Verhalten kann damit erklärt werden, dass beim Kettenbruch jeweils eine zusätzliche Division stattfindet. Diese Unterschiede sind auch in Abbildung \ref{0f1:ausblick:plot:konvergenz:positiv} festzustellen.
+Im negativem Bereich sind alle gewählten und umgesetzten Ansätze instabil. Grund dafür ist die Potenz von z, was zum Phänomen der Auslöschung \cite{0f1:SeminarNumerik} führt. Schön zu beobachten ist dies in der Abbildung \ref{0f1:ausblick:plot:airy:stabilitaet} mit der Airy-Funktion als Test. So sind sowohl der Kettenbruch, als auch die Rekursionsformel bis ungefähr $\frac{-15^3}{9}$ stabil. Dies macht auch Sinn, da beide auf der gleichen mathematischen Grundlage basieren. Danach verhält sich allerdings die Instabilität unterschiedlich. Das unterschiedliche Verhalten kann damit erklärt werden, dass beim Kettenbruch jeweils eine zusätzliche Division stattfindet. Diese Unterschiede sind auch in Abbildung \ref{0f1:ausblick:plot:konvergenz:positiv} festzustellen.
 
 
 
 \begin{figure}
     \centering
     \includegraphics[width=0.8\textwidth]{papers/0f1/images/konvergenzAiry.pdf}
-    \caption{Konvergenz nach drei Iterationen, dargestellt anhand der Airy Funktion zu den Anfangsbedingungen $Ai(0)=1$ und $Ai'(0)=0$.
+    \caption{Konvergenz nach drei Iterationen, dargestellt anhand der Airy Funktion zu den Anfangsbedingungen $\operatorname{Ai}(0)=1$ und $\operatorname{Ai}'(0)=0$.
     \label{0f1:ausblick:plot:airy:konvergenz}}
 \end{figure}
 
 \begin{figure}
     \centering
     \includegraphics[width=0.8\textwidth]{papers/0f1/images/konvergenzPositiv.pdf}
-    \caption{Konvergenz: Logarithmisch dargestellte Differenz vom erwarteten Endresultat.
+    \caption{Konvergenz mit positivem z; Logarithmisch dargestellte Differenz vom erwarteten Endresultat.
     \label{0f1:ausblick:plot:konvergenz:positiv}}
 \end{figure}
 
 \begin{figure}
     \centering
     \includegraphics[width=0.8\textwidth]{papers/0f1/images/konvergenzNegativ.pdf}
-    \caption{Konvergenz: Logarithmisch dargestellte Differenz vom erwarteten Endresultat.
+    \caption{Konvergenz mit negativem z; Logarithmisch dargestellte Differenz vom erwarteten Endresultat.
     \label{0f1:ausblick:plot:konvergenz:negativ}}
 \end{figure}
 
 \begin{figure}
     \centering
     \includegraphics[width=1\textwidth]{papers/0f1/images/stabilitaet.pdf}
-    \caption{Stabilität der 3 Algorithmen verglichen mit der Referenz Funktion $Ai(x)$.
+    \caption{Stabilität der 3 Algorithmen verglichen mit der Referenz Funktion $\operatorname{Ai}(x)$.
     \label{0f1:ausblick:plot:airy:stabilitaet}}
 \end{figure}
 
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cgit v1.2.1


From 1a65f1e2cc20e1dfe5d0d88cf42ee7355c20b1ff Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: Fabian <@>
Date: Sat, 13 Aug 2022 22:27:32 +0200
Subject: 2. Ueberarbeitung

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 buch/papers/0f1/teil3.tex | 20 ++++++++++----------
 1 file changed, 10 insertions(+), 10 deletions(-)

(limited to 'buch/papers/0f1/teil3.tex')

diff --git a/buch/papers/0f1/teil3.tex b/buch/papers/0f1/teil3.tex
index 00d4182..2942a0b 100644
--- a/buch/papers/0f1/teil3.tex
+++ b/buch/papers/0f1/teil3.tex
@@ -13,25 +13,25 @@ Ebenso kann festgestellt werden, dass je grösser der Wert $z$ in $\mathstrut_0F
 
 \subsection{Konvergenz
 \label{0f1:subsection:konvergenz}}
-Es zeigt sich in Abbildung \ref{0f1:ausblick:plot:airy:konvergenz}, dass schon nach drei Iterationen ($k = 3$) die Funktionen schon genaue Resultate im Bereich von $-2$ bis $2$ liefert. Ebenso kann festgestellt werden, dass der Kettenbruch schneller konvergiert und im positiven Bereich sogar mit der Referenzfunktion $\operatorname{Ai}(x)$ übereinstimmt. Da die Rekursionsformel eine Abwandlung des Kettenbruches ist, verhalten sich die Funktionen in diesem Fall gleich.
+Es zeigt sich in Abbildung \ref{0f1:ausblick:plot:airy:konvergenz}, dass nach drei Iterationen ($k = 3$) die Funktionen genaue Resultate im Bereich von $-2$ bis $2$ liefert. Ebenso kann festgestellt werden, dass der Kettenbruch schneller konvergiert und im positiven Bereich sogar mit der Referenzfunktion $\operatorname{Ai}(x)$ übereinstimmt. Da die Rekursionsformel eine Abwandlung des Kettenbruches ist, verhalten sich die Funktionen in diesem Fall gleich.
 
-Erst wenn mehrerer Iterationen gemacht werden, um die Genauigkeit zu verbessern, ist der Kettenbruch den anderen zwei Algorithmen, bezüglich Konvergenz überlegen. 
-Interessant ist auch, dass die Rekursionsformel nahezu gleich schnell wie die Potenzreihe konvergiert, aber sich danach, wie in Abbildung \ref{0f1:ausblick:plot:konvergenz:positiv} zu beobachten ist, einschwingt. Dieses Verhalten ist auch bei grösseren $z$ zu beobachten, allerdings ist dann die Differenz zwischen dem ersten lokalen Minimum von k bis zum Abbruch kleiner.
-Dieses Phänomen ist auf die Lösung der Rekursionsformel \eqref{0f1:math:loesung:eq} zurück zu führen. Da im Gegensatz die ganz kleinen Werte nicht zu einer Konvergenz wie beim Kettenbruch führen, sondern sich noch eine Zeit lang durch die Multiplikation aufschwingen.
+Erst wenn mehrerer Iterationen gemacht werden, um die Genauigkeit zu verbessern, ist der Kettenbruch den anderen zwei Algorithmen bezüglich Konvergenz überlegen. 
+Interessant ist auch, dass die Rekursionsformel nahezu gleich schnell wie die Potenzreihe konvergiert, aber sich danach, wie in Abbildung \ref{0f1:ausblick:plot:konvergenz:positiv} zu beobachten ist, einschwingt. Dieses Verhalten ist auch bei grösseren $z$ zu beobachten, allerdings ist dann die Differenz zwischen dem ersten lokalen Minimum von $k$ bis zum Abbruch kleiner.
+Dieses Phänomen ist auf die Lösung der Rekursionsformel \eqref{0f1:math:matrix:ende:eq} zurück zu führen. Da im Gegensatz die ganz kleinen Werte nicht zu einer Konvergenz wie beim Kettenbruch führen, sondern sich noch eine Zeit lang durch die Multiplikation aufschwingen.
 
-Ist $z$ negativ wie im Abbildung \ref{0f1:ausblick:plot:konvergenz:negativ}, führt dies zu einer Gegenseitigen Kompensation von negativen und positiven Termen so bricht die Rekursionsformel hier zusammen mit der Potenzreihe ab.
-Die ansteigende Differenz mit anschliessender, ist aufgrund der sich alternierenden Termen mit wechselnden Vorzeichens zu erklären.
+Ist $z$ negativ wie in Abbildung \ref{0f1:ausblick:plot:konvergenz:negativ}, führt dies zu einer gegenseitigen Kompensation von negativen und positiven Termen. Dies führt dazu, dass die Rekursionsformel zusammen mit der Potenzreihe abbricht.
+Die ansteigende Differenz mit anschliessendendem Einschwingen, ist aufgrund der sich alternierenden Termen mit wechselnden Vorzeichens zu erklären.
 
 \subsection{Stabilität
 \label{0f1:subsection:Stabilitaet}}
-Verändert sich der Wert von z in $\mathstrut_0F_1(;c;z)$ gegen grössere positive Werte, wie zum Beispiel $c = 800$ liefert die Kettenbruch-Funktion (Listing \ref{0f1:listing:kettenbruchIterativ}) \verb+inf+ zurück. Dies könnte durch ein Abbruchkriterien abgefangen werden. Allerdings würde das, bei grossen Werten zulasten der Genauigkeit gehen. Trotzdem könnte, je nach Anwendung, auf ein paar Nachkommastellen verzichtet werden.
+Verändert sich der Wert von $z$ in $\mathstrut_0F_1(;c;z)$ gegen grössere positive Werte, wie zum Beispiel $c = 800$ liefert die Kettenbruch-Funktion (Listing \ref{0f1:listing:kettenbruchIterativ}) \verb+inf+ zurück. Dies könnte durch ein Abbruchkriterien abgefangen werden. Allerdings würde das, bei grossen Werten zulasten der Genauigkeit gehen. Trotzdem könnte, je nach Anwendung, auf ein paar Nachkommastellen verzichtet werden.
 
-Wohingegen die Potenzreihe (Listing \ref{0f1:listing:potenzreihe}) das Problem hat, dass je mehr Terme berechnet werden, desto schneller wächst die Fakultät und irgendwann gibt es eine Bereichsüberschreitung von \verb+double+. Schlussendlich gibt das Unterprogramm das Resultat \verb+-nan(ind)+ zurück.
+Wohingegen die Potenzreihe (Listing \ref{0f1:listing:potenzreihe}) das Problem hat, dass je mehr Terme berechnet werden, desto schneller wächst die Fakultät im Nenner. Dies führt zu einer Bereichsüberschreitung des \verb+double+ Bereiches \cite{0f1:double}, der spätesten ab $k=167$ eintritt. Schlussendlich gibt das Unterprogramm das Resultat \verb+-nan(ind)+ zurück.
 Die Rekursionformel \eqref{0f1:listing:kettenbruchRekursion} liefert für sehr grosse positive Werte die genausten Ergebnisse, verglichen mit der GNU Scientific Library. Wie schon vermutet ist die Rekursionsformel, im positivem Bereich, der stabilste Algorithmus. Um die Stabilität zu gewährleisten, muss wie in Abbildung \ref{0f1:ausblick:plot:konvergenz:positiv} dargestellt, die Iterationstiefe $k$ genug gross gewählt werden.
 
-Im negativem Bereich sind alle gewählten und umgesetzten Ansätze instabil. Grund dafür ist die Potenz von z, was zum Phänomen der Auslöschung \cite{0f1:SeminarNumerik} führt. Schön zu beobachten ist dies in der Abbildung \ref{0f1:ausblick:plot:airy:stabilitaet} mit der Airy-Funktion als Test. So sind sowohl der Kettenbruch, als auch die Rekursionsformel bis ungefähr $\frac{-15^3}{9}$ stabil. Dies macht auch Sinn, da beide auf der gleichen mathematischen Grundlage basieren. Danach verhält sich allerdings die Instabilität unterschiedlich. Das unterschiedliche Verhalten kann damit erklärt werden, dass beim Kettenbruch jeweils eine zusätzliche Division stattfindet. Diese Unterschiede sind auch in Abbildung \ref{0f1:ausblick:plot:konvergenz:positiv} festzustellen.
-
+{\color{red}TODO Abb. 20.3}
 
+Im negativem Bereich sind alle gewählten und umgesetzten Ansätze instabil. Grund dafür ist die Potenz von $z$, was zum Phänomen der Auslöschung \cite{0f1:SeminarNumerik} führt. Schön zu beobachten ist dies in der Abbildung \ref{0f1:ausblick:plot:airy:stabilitaet} mit der Airy-Funktion als Test. So sind sowohl der Kettenbruch, als auch die Rekursionsformel bis ungefähr $\frac{-15^3}{9}$ stabil. Dies macht auch Sinn, da beide auf der gleichen mathematischen Grundlage basieren. Danach verhält sich allerdings die Instabilität unterschiedlich. Das unterschiedliche Verhalten kann damit erklärt werden, dass beim Kettenbruch jeweils eine zusätzliche Division stattfindet. Diese Unterschiede sind auch in Abbildung \ref{0f1:ausblick:plot:konvergenz:positiv} festzustellen.
 
 \begin{figure}
     \centering
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cgit v1.2.1


From 9830947147dbe750081f4d8801c4172424283001 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: Fabian <@>
Date: Mon, 15 Aug 2022 17:25:40 +0200
Subject: 2. Ueberarbeitung, Inhalt

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 buch/papers/0f1/teil3.tex | 16 +++++++---------
 1 file changed, 7 insertions(+), 9 deletions(-)

(limited to 'buch/papers/0f1/teil3.tex')

diff --git a/buch/papers/0f1/teil3.tex b/buch/papers/0f1/teil3.tex
index 2942a0b..b283b07 100644
--- a/buch/papers/0f1/teil3.tex
+++ b/buch/papers/0f1/teil3.tex
@@ -7,7 +7,7 @@
 \label{0f1:section:teil3}}
 \rhead{Resultate}
 Im Verlauf dieser Arbeit hat sich gezeigt, 
-das ein einfacher mathematischer Algorithmus zu implementieren gar nicht so einfach ist.
+das einen einfachen mathematischen Algorithmus zu implementieren gar nicht so einfach ist.
 So haben alle drei umgesetzten Ansätze Probleme mit grossen negativen $z$ in der Funktion $\mathstrut_0F_1(;c;z)$.
 Ebenso kann festgestellt werden, dass je grösser der Wert $z$ in $\mathstrut_0F_1(;c;z)$ wird, desto mehr weichen die berechneten Resultate von den Erwarteten \cite{0f1:wolfram-0f1} ab.
 
@@ -19,19 +19,17 @@ Erst wenn mehrerer Iterationen gemacht werden, um die Genauigkeit zu verbessern,
 Interessant ist auch, dass die Rekursionsformel nahezu gleich schnell wie die Potenzreihe konvergiert, aber sich danach, wie in Abbildung \ref{0f1:ausblick:plot:konvergenz:positiv} zu beobachten ist, einschwingt. Dieses Verhalten ist auch bei grösseren $z$ zu beobachten, allerdings ist dann die Differenz zwischen dem ersten lokalen Minimum von $k$ bis zum Abbruch kleiner.
 Dieses Phänomen ist auf die Lösung der Rekursionsformel \eqref{0f1:math:matrix:ende:eq} zurück zu führen. Da im Gegensatz die ganz kleinen Werte nicht zu einer Konvergenz wie beim Kettenbruch führen, sondern sich noch eine Zeit lang durch die Multiplikation aufschwingen.
 
-Ist $z$ negativ wie in Abbildung \ref{0f1:ausblick:plot:konvergenz:negativ}, führt dies zu einer gegenseitigen Kompensation von negativen und positiven Termen. Dies führt dazu, dass die Rekursionsformel zusammen mit der Potenzreihe abbricht.
-Die ansteigende Differenz mit anschliessendendem Einschwingen, ist aufgrund der sich alternierenden Termen mit wechselnden Vorzeichens zu erklären.
+Ist $z$ negativ wie in Abbildung \ref{0f1:ausblick:plot:konvergenz:negativ}, führt dies zu aufgrund des Vorzeichens zu alternierenden Termen. So steigt bei allen Algorithmen zuerst die Differenz zum erwarteten Endwert. Erst nach genügend Iterationen sind die Terme genügend klein, so dass sie das Endresultat nicht mehr signifikant beeinflussen.
+Auch hier konvergiert der Kettenbruch am schnellsten von allen Algorithmen. Ebenso bricht die Rekursionsformel nahezu gleichzeitig mit der Potenzreihe ab.
 
 \subsection{Stabilität
 \label{0f1:subsection:Stabilitaet}}
 Verändert sich der Wert von $z$ in $\mathstrut_0F_1(;c;z)$ gegen grössere positive Werte, wie zum Beispiel $c = 800$ liefert die Kettenbruch-Funktion (Listing \ref{0f1:listing:kettenbruchIterativ}) \verb+inf+ zurück. Dies könnte durch ein Abbruchkriterien abgefangen werden. Allerdings würde das, bei grossen Werten zulasten der Genauigkeit gehen. Trotzdem könnte, je nach Anwendung, auf ein paar Nachkommastellen verzichtet werden.
 
 Wohingegen die Potenzreihe (Listing \ref{0f1:listing:potenzreihe}) das Problem hat, dass je mehr Terme berechnet werden, desto schneller wächst die Fakultät im Nenner. Dies führt zu einer Bereichsüberschreitung des \verb+double+ Bereiches \cite{0f1:double}, der spätesten ab $k=167$ eintritt. Schlussendlich gibt das Unterprogramm das Resultat \verb+-nan(ind)+ zurück.
-Die Rekursionformel \eqref{0f1:listing:kettenbruchRekursion} liefert für sehr grosse positive Werte die genausten Ergebnisse, verglichen mit der GNU Scientific Library. Wie schon vermutet ist die Rekursionsformel, im positivem Bereich, der stabilste Algorithmus. Um die Stabilität zu gewährleisten, muss wie in Abbildung \ref{0f1:ausblick:plot:konvergenz:positiv} dargestellt, die Iterationstiefe $k$ genug gross gewählt werden.
+Die Rekursionformel \eqref{0f1:listing:kettenbruchRekursion} liefert für sehr grosse positive Werte die genausten Ergebnisse, verglichen mit der GNU Scientific Library. Wie schon vermutet ist die Rekursionsformel, im positivem Bereich, der stabilste Algorithmus. Um die Konvergenz zu gewährleisten, muss wie in Abbildung \ref{0f1:ausblick:plot:konvergenz:positiv} dargestellt, die Iterationstiefe $k$ genug gross gewählt werden.
 
-{\color{red}TODO Abb. 20.3}
-
-Im negativem Bereich sind alle gewählten und umgesetzten Ansätze instabil. Grund dafür ist die Potenz von $z$, was zum Phänomen der Auslöschung \cite{0f1:SeminarNumerik} führt. Schön zu beobachten ist dies in der Abbildung \ref{0f1:ausblick:plot:airy:stabilitaet} mit der Airy-Funktion als Test. So sind sowohl der Kettenbruch, als auch die Rekursionsformel bis ungefähr $\frac{-15^3}{9}$ stabil. Dies macht auch Sinn, da beide auf der gleichen mathematischen Grundlage basieren. Danach verhält sich allerdings die Instabilität unterschiedlich. Das unterschiedliche Verhalten kann damit erklärt werden, dass beim Kettenbruch jeweils eine zusätzliche Division stattfindet. Diese Unterschiede sind auch in Abbildung \ref{0f1:ausblick:plot:konvergenz:positiv} festzustellen.
+Im negativem Bereich sind alle gewählten und umgesetzten Ansätze instabil. Grund dafür ist die Potenz von $z$, was zum Phänomen der Auslöschung \cite{0f1:SeminarNumerik} führt. Schön zu beobachten ist dies in der Abbildung \ref{0f1:ausblick:plot:airy:stabilitaet} mit der Airy-Funktion als Test. So sind sowohl die Potenzreihe, der Kettenbruch, als auch die Rekursionsformel bis ungefähr $\frac{-15^3}{9}$ stabil. Dies macht auch Sinn, da alle Algorithmen auf der gleichen mathematischen Grundlage basieren. Danach verhält sich allerdings die Instabilität unterschiedlich. Diese programmiertechnischen Unterschiede sind auch in Abbildung \ref{0f1:ausblick:plot:konvergenz:positiv} und \ref{0f1:ausblick:plot:konvergenz:negativ} festzustellen.
 
 \begin{figure}
     \centering
@@ -43,14 +41,14 @@ Im negativem Bereich sind alle gewählten und umgesetzten Ansätze instabil. Gru
 \begin{figure}
     \centering
     \includegraphics[width=0.8\textwidth]{papers/0f1/images/konvergenzPositiv.pdf}
-    \caption{Konvergenz mit positivem z; Logarithmisch dargestellte Differenz vom erwarteten Endresultat.
+    \caption{Konvergenz mit positivem z; Logarithmisch, vorzeichenlose dargestellte Differenz vom erwarteten Endresultat.
     \label{0f1:ausblick:plot:konvergenz:positiv}}
 \end{figure}
 
 \begin{figure}
     \centering
     \includegraphics[width=0.8\textwidth]{papers/0f1/images/konvergenzNegativ.pdf}
-    \caption{Konvergenz mit negativem z; Logarithmisch dargestellte Differenz vom erwarteten Endresultat.
+    \caption{Konvergenz mit negativem z; Logarithmisch, vorzeichenlose dargestellte Differenz vom erwarteten Endresultat.
     \label{0f1:ausblick:plot:konvergenz:negativ}}
 \end{figure}
 
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cgit v1.2.1


From 10a72bf8d66de28f3f1b5598c37c32d29a306893 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: Fabian <@>
Date: Tue, 16 Aug 2022 18:25:31 +0200
Subject: 3. Ueberarbeitung, Verbesserungen

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 buch/papers/0f1/teil3.tex | 12 ++++++------
 1 file changed, 6 insertions(+), 6 deletions(-)

(limited to 'buch/papers/0f1/teil3.tex')

diff --git a/buch/papers/0f1/teil3.tex b/buch/papers/0f1/teil3.tex
index b283b07..d7cdfe8 100644
--- a/buch/papers/0f1/teil3.tex
+++ b/buch/papers/0f1/teil3.tex
@@ -13,9 +13,9 @@ Ebenso kann festgestellt werden, dass je grösser der Wert $z$ in $\mathstrut_0F
 
 \subsection{Konvergenz
 \label{0f1:subsection:konvergenz}}
-Es zeigt sich in Abbildung \ref{0f1:ausblick:plot:airy:konvergenz}, dass nach drei Iterationen ($k = 3$) die Funktionen genaue Resultate im Bereich von $-2$ bis $2$ liefert. Ebenso kann festgestellt werden, dass der Kettenbruch schneller konvergiert und im positiven Bereich sogar mit der Referenzfunktion $\operatorname{Ai}(x)$ übereinstimmt. Da die Rekursionsformel eine Abwandlung des Kettenbruches ist, verhalten sich die Funktionen in diesem Fall gleich.
+Es zeigt sich in Abbildung \ref{0f1:ausblick:plot:airy:konvergenz}, dass nach drei Iterationen ($k = 3$) die Funktionen genaue Resultate im Bereich von $-2$ bis $2$ liefert. Ebenso kann festgestellt werden, dass der Kettenbruch schneller konvergiert und im positiven Bereich mit der Referenzfunktion $\operatorname{Ai}(x)$ übereinstimmt. Da die Rekursionsformel eine Abwandlung des Kettenbruches ist, verhalten sich die Funktionen in diesem Fall gleich.
 
-Erst wenn mehrerer Iterationen gemacht werden, um die Genauigkeit zu verbessern, ist der Kettenbruch den anderen zwei Algorithmen bezüglich Konvergenz überlegen. 
+Erst wenn mehrerer Iterationen gerechnet werden, um die Genauigkeit zu verbessern, ist der Kettenbruch den anderen zwei Algorithmen bezüglich Konvergenz überlegen. 
 Interessant ist auch, dass die Rekursionsformel nahezu gleich schnell wie die Potenzreihe konvergiert, aber sich danach, wie in Abbildung \ref{0f1:ausblick:plot:konvergenz:positiv} zu beobachten ist, einschwingt. Dieses Verhalten ist auch bei grösseren $z$ zu beobachten, allerdings ist dann die Differenz zwischen dem ersten lokalen Minimum von $k$ bis zum Abbruch kleiner.
 Dieses Phänomen ist auf die Lösung der Rekursionsformel \eqref{0f1:math:matrix:ende:eq} zurück zu führen. Da im Gegensatz die ganz kleinen Werte nicht zu einer Konvergenz wie beim Kettenbruch führen, sondern sich noch eine Zeit lang durch die Multiplikation aufschwingen.
 
@@ -29,7 +29,7 @@ Verändert sich der Wert von $z$ in $\mathstrut_0F_1(;c;z)$ gegen grössere posi
 Wohingegen die Potenzreihe (Listing \ref{0f1:listing:potenzreihe}) das Problem hat, dass je mehr Terme berechnet werden, desto schneller wächst die Fakultät im Nenner. Dies führt zu einer Bereichsüberschreitung des \verb+double+ Bereiches \cite{0f1:double}, der spätesten ab $k=167$ eintritt. Schlussendlich gibt das Unterprogramm das Resultat \verb+-nan(ind)+ zurück.
 Die Rekursionformel \eqref{0f1:listing:kettenbruchRekursion} liefert für sehr grosse positive Werte die genausten Ergebnisse, verglichen mit der GNU Scientific Library. Wie schon vermutet ist die Rekursionsformel, im positivem Bereich, der stabilste Algorithmus. Um die Konvergenz zu gewährleisten, muss wie in Abbildung \ref{0f1:ausblick:plot:konvergenz:positiv} dargestellt, die Iterationstiefe $k$ genug gross gewählt werden.
 
-Im negativem Bereich sind alle gewählten und umgesetzten Ansätze instabil. Grund dafür ist die Potenz von $z$, was zum Phänomen der Auslöschung \cite{0f1:SeminarNumerik} führt. Schön zu beobachten ist dies in der Abbildung \ref{0f1:ausblick:plot:airy:stabilitaet} mit der Airy-Funktion als Test. So sind sowohl die Potenzreihe, der Kettenbruch, als auch die Rekursionsformel bis ungefähr $\frac{-15^3}{9}$ stabil. Dies macht auch Sinn, da alle Algorithmen auf der gleichen mathematischen Grundlage basieren. Danach verhält sich allerdings die Instabilität unterschiedlich. Diese programmiertechnischen Unterschiede sind auch in Abbildung \ref{0f1:ausblick:plot:konvergenz:positiv} und \ref{0f1:ausblick:plot:konvergenz:negativ} festzustellen.
+Im negativem Bereich sind alle gewählten und umgesetzten Ansätze instabil. Grund dafür ist die Potenz von $z$, was zum Phänomen der Auslöschung \cite{0f1:SeminarNumerik} führt. Schön zu beobachten ist dies in der Abbildung \ref{0f1:ausblick:plot:airy:stabilitaet} mit der Airy-Funktion als Test. So sind nach Abbildung \ref{0f1:ausblick:plot:airy:stabilitaet} die Potenzreihe, der Kettenbruch, als auch die Rekursionsformel, bis ungefähr $\frac{-15^3}{9}$ stabil. Dies macht auch Sinn, da alle Algorithmen auf der gleichen mathematischen Grundlage basieren. Danach verhält sich allerdings die Instabilität unterschiedlich. Diese programmiertechnischen Unterschiede sind auch in Abbildung \ref{0f1:ausblick:plot:konvergenz:positiv} und \ref{0f1:ausblick:plot:konvergenz:negativ} festzustellen.
 
 \begin{figure}
     \centering
@@ -41,21 +41,21 @@ Im negativem Bereich sind alle gewählten und umgesetzten Ansätze instabil. Gru
 \begin{figure}
     \centering
     \includegraphics[width=0.8\textwidth]{papers/0f1/images/konvergenzPositiv.pdf}
-    \caption{Konvergenz mit positivem z; Logarithmisch, vorzeichenlose dargestellte Differenz vom erwarteten Endresultat.
+    \caption{Konvergenz mit positivem $z$; Logarithmisch, vorzeichenlose dargestellte Differenz vom erwarteten Endresultat.
     \label{0f1:ausblick:plot:konvergenz:positiv}}
 \end{figure}
 
 \begin{figure}
     \centering
     \includegraphics[width=0.8\textwidth]{papers/0f1/images/konvergenzNegativ.pdf}
-    \caption{Konvergenz mit negativem z; Logarithmisch, vorzeichenlose dargestellte Differenz vom erwarteten Endresultat.
+    \caption{Konvergenz mit negativem $z$; Logarithmisch, vorzeichenlose dargestellte Differenz vom erwarteten Endresultat.
     \label{0f1:ausblick:plot:konvergenz:negativ}}
 \end{figure}
 
 \begin{figure}
     \centering
     \includegraphics[width=1\textwidth]{papers/0f1/images/stabilitaet.pdf}
-    \caption{Stabilität der 3 Algorithmen verglichen mit der Referenz Funktion $\operatorname{Ai}(x)$.
+    \caption{Stabilität der drei Algorithmen verglichen mit der Referenz Funktion $\operatorname{Ai}(x)$.
     \label{0f1:ausblick:plot:airy:stabilitaet}}
 \end{figure}
 
-- 
cgit v1.2.1


From cd9bd7f2fb6e1088130c9eef5a96ea996fd14947 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: Fabian <@>
Date: Tue, 16 Aug 2022 21:44:28 +0200
Subject: 3. Ueberarbeitung, bilder

---
 buch/papers/0f1/teil3.tex | 4 ++--
 1 file changed, 2 insertions(+), 2 deletions(-)

(limited to 'buch/papers/0f1/teil3.tex')

diff --git a/buch/papers/0f1/teil3.tex b/buch/papers/0f1/teil3.tex
index d7cdfe8..eb32c52 100644
--- a/buch/papers/0f1/teil3.tex
+++ b/buch/papers/0f1/teil3.tex
@@ -16,7 +16,7 @@ Ebenso kann festgestellt werden, dass je grösser der Wert $z$ in $\mathstrut_0F
 Es zeigt sich in Abbildung \ref{0f1:ausblick:plot:airy:konvergenz}, dass nach drei Iterationen ($k = 3$) die Funktionen genaue Resultate im Bereich von $-2$ bis $2$ liefert. Ebenso kann festgestellt werden, dass der Kettenbruch schneller konvergiert und im positiven Bereich mit der Referenzfunktion $\operatorname{Ai}(x)$ übereinstimmt. Da die Rekursionsformel eine Abwandlung des Kettenbruches ist, verhalten sich die Funktionen in diesem Fall gleich.
 
 Erst wenn mehrerer Iterationen gerechnet werden, um die Genauigkeit zu verbessern, ist der Kettenbruch den anderen zwei Algorithmen bezüglich Konvergenz überlegen. 
-Interessant ist auch, dass die Rekursionsformel nahezu gleich schnell wie die Potenzreihe konvergiert, aber sich danach, wie in Abbildung \ref{0f1:ausblick:plot:konvergenz:positiv} zu beobachten ist, einschwingt. Dieses Verhalten ist auch bei grösseren $z$ zu beobachten, allerdings ist dann die Differenz zwischen dem ersten lokalen Minimum von $k$ bis zum Abbruch kleiner.
+Interessant ist auch, dass die Rekursionsformel nahezu gleich schnell wie die Potenzreihe konvergiert, aber sich danach, wie in Abbildung \ref{0f1:ausblick:plot:konvergenz:positiv} zu beobachten ist, auf. Dieses Verhalten ist auch bei grösseren $z$ zu beobachten, allerdings ist dann die Differenz zwischen dem ersten lokalen Minimum von $k$ bis zum Abbruch kleiner.
 Dieses Phänomen ist auf die Lösung der Rekursionsformel \eqref{0f1:math:matrix:ende:eq} zurück zu führen. Da im Gegensatz die ganz kleinen Werte nicht zu einer Konvergenz wie beim Kettenbruch führen, sondern sich noch eine Zeit lang durch die Multiplikation aufschwingen.
 
 Ist $z$ negativ wie in Abbildung \ref{0f1:ausblick:plot:konvergenz:negativ}, führt dies zu aufgrund des Vorzeichens zu alternierenden Termen. So steigt bei allen Algorithmen zuerst die Differenz zum erwarteten Endwert. Erst nach genügend Iterationen sind die Terme genügend klein, so dass sie das Endresultat nicht mehr signifikant beeinflussen.
@@ -24,7 +24,7 @@ Auch hier konvergiert der Kettenbruch am schnellsten von allen Algorithmen. Eben
 
 \subsection{Stabilität
 \label{0f1:subsection:Stabilitaet}}
-Verändert sich der Wert von $z$ in $\mathstrut_0F_1(;c;z)$ gegen grössere positive Werte, wie zum Beispiel $c = 800$ liefert die Kettenbruch-Funktion (Listing \ref{0f1:listing:kettenbruchIterativ}) \verb+inf+ zurück. Dies könnte durch ein Abbruchkriterien abgefangen werden. Allerdings würde das, bei grossen Werten zulasten der Genauigkeit gehen. Trotzdem könnte, je nach Anwendung, auf ein paar Nachkommastellen verzichtet werden.
+Verändert sich der Wert von $z$ in $\mathstrut_0F_1(;c;z)$ gegen grössere positive Werte, wie zum Beispiel $c = 800$ liefert die Kettenbruch-Funktion (Listing \ref{0f1:listing:kettenbruchIterativ}) \verb+inf+ zurück. Dies könnte durch ein Abbruchkriterien abgefangen werden. Allerdings würde das bei grossen Werten zulasten der Genauigkeit gehen. Trotzdem könnte, je nach Anwendung, auf ein paar Nachkommastellen verzichtet werden.
 
 Wohingegen die Potenzreihe (Listing \ref{0f1:listing:potenzreihe}) das Problem hat, dass je mehr Terme berechnet werden, desto schneller wächst die Fakultät im Nenner. Dies führt zu einer Bereichsüberschreitung des \verb+double+ Bereiches \cite{0f1:double}, der spätesten ab $k=167$ eintritt. Schlussendlich gibt das Unterprogramm das Resultat \verb+-nan(ind)+ zurück.
 Die Rekursionformel \eqref{0f1:listing:kettenbruchRekursion} liefert für sehr grosse positive Werte die genausten Ergebnisse, verglichen mit der GNU Scientific Library. Wie schon vermutet ist die Rekursionsformel, im positivem Bereich, der stabilste Algorithmus. Um die Konvergenz zu gewährleisten, muss wie in Abbildung \ref{0f1:ausblick:plot:konvergenz:positiv} dargestellt, die Iterationstiefe $k$ genug gross gewählt werden.
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cgit v1.2.1


From 7d969250f8860f407255091a61b0b441b172c524 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: Fabian <@>
Date: Tue, 16 Aug 2022 22:53:23 +0200
Subject: 3.Ueberarbeitung, bilder2

---
 buch/papers/0f1/teil3.tex | 12 +++++-------
 1 file changed, 5 insertions(+), 7 deletions(-)

(limited to 'buch/papers/0f1/teil3.tex')

diff --git a/buch/papers/0f1/teil3.tex b/buch/papers/0f1/teil3.tex
index eb32c52..b6c0f4f 100644
--- a/buch/papers/0f1/teil3.tex
+++ b/buch/papers/0f1/teil3.tex
@@ -15,12 +15,10 @@ Ebenso kann festgestellt werden, dass je grösser der Wert $z$ in $\mathstrut_0F
 \label{0f1:subsection:konvergenz}}
 Es zeigt sich in Abbildung \ref{0f1:ausblick:plot:airy:konvergenz}, dass nach drei Iterationen ($k = 3$) die Funktionen genaue Resultate im Bereich von $-2$ bis $2$ liefert. Ebenso kann festgestellt werden, dass der Kettenbruch schneller konvergiert und im positiven Bereich mit der Referenzfunktion $\operatorname{Ai}(x)$ übereinstimmt. Da die Rekursionsformel eine Abwandlung des Kettenbruches ist, verhalten sich die Funktionen in diesem Fall gleich.
 
-Erst wenn mehrerer Iterationen gerechnet werden, um die Genauigkeit zu verbessern, ist der Kettenbruch den anderen zwei Algorithmen bezüglich Konvergenz überlegen. 
-Interessant ist auch, dass die Rekursionsformel nahezu gleich schnell wie die Potenzreihe konvergiert, aber sich danach, wie in Abbildung \ref{0f1:ausblick:plot:konvergenz:positiv} zu beobachten ist, auf. Dieses Verhalten ist auch bei grösseren $z$ zu beobachten, allerdings ist dann die Differenz zwischen dem ersten lokalen Minimum von $k$ bis zum Abbruch kleiner.
-Dieses Phänomen ist auf die Lösung der Rekursionsformel \eqref{0f1:math:matrix:ende:eq} zurück zu führen. Da im Gegensatz die ganz kleinen Werte nicht zu einer Konvergenz wie beim Kettenbruch führen, sondern sich noch eine Zeit lang durch die Multiplikation aufschwingen.
+Erst wenn mehrerer Iterationen gerechnet werden, ist wie Abbildung \ref{0f1:ausblick:plot:konvergenz:positiv} dargestellt, der Kettenbruch den anderen zwei Algorithmen bezüglich Konvergenz überlegen. Allerdings muss beachtet werden, dass die Rekursionsformel zwar erst nach 35 Approximationen gänzlich konvergiert, nach 27 Iterationen sich nicht mehr gross verändert.
+
+Ist $z$ negativ wie in Abbildung \ref{0f1:ausblick:plot:konvergenz:negativ}, führt dies zu aufgrund des Vorzeichens zu alternierenden Termen. So steigt bei allen Algorithmen zuerst die Differenz zum erwarteten Endwert. Erst nach genügend Iterationen sind die Terme so klein, dass sie das Endresultat nicht mehr signifikant beeinflussen. Während die Potenzreihe zusammen mit dem Kettenbruch nach 34 Approximationen konvergiert, braucht die Rekursionsformel noch zwei Iterationen mehr. Wohingegen die Rekursionsformel der genauste Algorithmus im negativen Bereich ist. Da der Computer mit einer relativen Genauigkeit von $10^{-15}$ rechnet, ist dies das Maximum an Präzision, dass erreicht werden kann.
 
-Ist $z$ negativ wie in Abbildung \ref{0f1:ausblick:plot:konvergenz:negativ}, führt dies zu aufgrund des Vorzeichens zu alternierenden Termen. So steigt bei allen Algorithmen zuerst die Differenz zum erwarteten Endwert. Erst nach genügend Iterationen sind die Terme genügend klein, so dass sie das Endresultat nicht mehr signifikant beeinflussen.
-Auch hier konvergiert der Kettenbruch am schnellsten von allen Algorithmen. Ebenso bricht die Rekursionsformel nahezu gleichzeitig mit der Potenzreihe ab.
 
 \subsection{Stabilität
 \label{0f1:subsection:Stabilitaet}}
@@ -41,14 +39,14 @@ Im negativem Bereich sind alle gewählten und umgesetzten Ansätze instabil. Gru
 \begin{figure}
     \centering
     \includegraphics[width=0.8\textwidth]{papers/0f1/images/konvergenzPositiv.pdf}
-    \caption{Konvergenz mit positivem $z$; Logarithmisch, vorzeichenlose dargestellte Differenz vom erwarteten Endresultat.
+    \caption{Konvergenz mit positivem $z$; Logarithmisch dargestellte absoluter Fehler.
     \label{0f1:ausblick:plot:konvergenz:positiv}}
 \end{figure}
 
 \begin{figure}
     \centering
     \includegraphics[width=0.8\textwidth]{papers/0f1/images/konvergenzNegativ.pdf}
-    \caption{Konvergenz mit negativem $z$; Logarithmisch, vorzeichenlose dargestellte Differenz vom erwarteten Endresultat.
+    \caption{Konvergenz mit negativem $z$; Logarithmisch dargestellte absoluter Fehler.
     \label{0f1:ausblick:plot:konvergenz:negativ}}
 \end{figure}
 
-- 
cgit v1.2.1


From 4a97506a4759a46f3263aee2c46d684aed0fb104 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: Fabian <@>
Date: Wed, 17 Aug 2022 01:35:28 +0200
Subject: 3. Ueberarbeitung, done

---
 buch/papers/0f1/teil3.tex | 8 ++++----
 1 file changed, 4 insertions(+), 4 deletions(-)

(limited to 'buch/papers/0f1/teil3.tex')

diff --git a/buch/papers/0f1/teil3.tex b/buch/papers/0f1/teil3.tex
index b6c0f4f..2afc34b 100644
--- a/buch/papers/0f1/teil3.tex
+++ b/buch/papers/0f1/teil3.tex
@@ -15,9 +15,9 @@ Ebenso kann festgestellt werden, dass je grösser der Wert $z$ in $\mathstrut_0F
 \label{0f1:subsection:konvergenz}}
 Es zeigt sich in Abbildung \ref{0f1:ausblick:plot:airy:konvergenz}, dass nach drei Iterationen ($k = 3$) die Funktionen genaue Resultate im Bereich von $-2$ bis $2$ liefert. Ebenso kann festgestellt werden, dass der Kettenbruch schneller konvergiert und im positiven Bereich mit der Referenzfunktion $\operatorname{Ai}(x)$ übereinstimmt. Da die Rekursionsformel eine Abwandlung des Kettenbruches ist, verhalten sich die Funktionen in diesem Fall gleich.
 
-Erst wenn mehrerer Iterationen gerechnet werden, ist wie Abbildung \ref{0f1:ausblick:plot:konvergenz:positiv} dargestellt, der Kettenbruch den anderen zwei Algorithmen bezüglich Konvergenz überlegen. Allerdings muss beachtet werden, dass die Rekursionsformel zwar erst nach 35 Approximationen gänzlich konvergiert, nach 27 Iterationen sich nicht mehr gross verändert.
+Erst wenn mehrerer Iterationen gerechnet werden, ist wie Abbildung \ref{0f1:ausblick:plot:konvergenz:positiv} dargestellt, der Kettenbruch den anderen zwei Algorithmen bezüglich Konvergenz überlegen. Bei der Rekursionsformel muss beachtet werden, dass sie zwar erst nach 35 Approximationen gänzlich konvergiert, allerdings nach 27 Iterationen sich nicht mehr gross verändert.
 
-Ist $z$ negativ wie in Abbildung \ref{0f1:ausblick:plot:konvergenz:negativ}, führt dies zu aufgrund des Vorzeichens zu alternierenden Termen. So steigt bei allen Algorithmen zuerst die Differenz zum erwarteten Endwert. Erst nach genügend Iterationen sind die Terme so klein, dass sie das Endresultat nicht mehr signifikant beeinflussen. Während die Potenzreihe zusammen mit dem Kettenbruch nach 34 Approximationen konvergiert, braucht die Rekursionsformel noch zwei Iterationen mehr. Wohingegen die Rekursionsformel der genauste Algorithmus im negativen Bereich ist. Da der Computer mit einer relativen Genauigkeit von $10^{-15}$ rechnet, ist dies das Maximum an Präzision, dass erreicht werden kann.
+Ist $z$ negativ wie in Abbildung \ref{0f1:ausblick:plot:konvergenz:negativ}, führt dies zu aufgrund des Vorzeichens zu alternierenden Termen. So steigt bei allen Algorithmen zuerst die Differenz zum erwarteten Endwert. Erst nach genügend Iterationen sind die Terme so klein, dass sie das Endresultat nicht mehr signifikant beeinflussen. Während die Potenzreihe zusammen mit dem Kettenbruch nach 34 Approximationen konvergiert, braucht die Rekursionsformel noch zwei Iterationen mehr.  
 
 
 \subsection{Stabilität
@@ -39,14 +39,14 @@ Im negativem Bereich sind alle gewählten und umgesetzten Ansätze instabil. Gru
 \begin{figure}
     \centering
     \includegraphics[width=0.8\textwidth]{papers/0f1/images/konvergenzPositiv.pdf}
-    \caption{Konvergenz mit positivem $z$; Logarithmisch dargestellte absoluter Fehler.
+    \caption{Konvergenz mit positivem $z$; Logarithmisch dargestellter absoluter Fehler.
     \label{0f1:ausblick:plot:konvergenz:positiv}}
 \end{figure}
 
 \begin{figure}
     \centering
     \includegraphics[width=0.8\textwidth]{papers/0f1/images/konvergenzNegativ.pdf}
-    \caption{Konvergenz mit negativem $z$; Logarithmisch dargestellte absoluter Fehler.
+    \caption{Konvergenz mit negativem $z$; Logarithmisch dargestellter absoluter Fehler.
     \label{0f1:ausblick:plot:konvergenz:negativ}}
 \end{figure}
 
-- 
cgit v1.2.1


From 9d52cc84df44e8479cafdd7b0d7f264aeb0c8a10 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: Fabian <@>
Date: Wed, 17 Aug 2022 21:38:44 +0200
Subject: letzte Korrektur

---
 buch/papers/0f1/teil3.tex | 4 ++--
 1 file changed, 2 insertions(+), 2 deletions(-)

(limited to 'buch/papers/0f1/teil3.tex')

diff --git a/buch/papers/0f1/teil3.tex b/buch/papers/0f1/teil3.tex
index 2afc34b..147668a 100644
--- a/buch/papers/0f1/teil3.tex
+++ b/buch/papers/0f1/teil3.tex
@@ -15,9 +15,9 @@ Ebenso kann festgestellt werden, dass je grösser der Wert $z$ in $\mathstrut_0F
 \label{0f1:subsection:konvergenz}}
 Es zeigt sich in Abbildung \ref{0f1:ausblick:plot:airy:konvergenz}, dass nach drei Iterationen ($k = 3$) die Funktionen genaue Resultate im Bereich von $-2$ bis $2$ liefert. Ebenso kann festgestellt werden, dass der Kettenbruch schneller konvergiert und im positiven Bereich mit der Referenzfunktion $\operatorname{Ai}(x)$ übereinstimmt. Da die Rekursionsformel eine Abwandlung des Kettenbruches ist, verhalten sich die Funktionen in diesem Fall gleich.
 
-Erst wenn mehrerer Iterationen gerechnet werden, ist wie Abbildung \ref{0f1:ausblick:plot:konvergenz:positiv} dargestellt, der Kettenbruch den anderen zwei Algorithmen bezüglich Konvergenz überlegen. Bei der Rekursionsformel muss beachtet werden, dass sie zwar erst nach 35 Approximationen gänzlich konvergiert, allerdings nach 27 Iterationen sich nicht mehr gross verändert.
+Erst wenn mehrerer Iterationen gerechnet werden, ist wie in Abbildung \ref{0f1:ausblick:plot:konvergenz:positiv} dargestellt, der Kettenbruch den anderen zwei Algorithmen bezüglich Konvergenz überlegen. Bei der Rekursionsformel muss beachtet werden, dass sie zwar erst nach 35 Approximationen gänzlich konvergiert, allerdings nach 27 Iterationen sich nicht mehr gross verändert.
 
-Ist $z$ negativ wie in Abbildung \ref{0f1:ausblick:plot:konvergenz:negativ}, führt dies zu aufgrund des Vorzeichens zu alternierenden Termen. So steigt bei allen Algorithmen zuerst die Differenz zum erwarteten Endwert. Erst nach genügend Iterationen sind die Terme so klein, dass sie das Endresultat nicht mehr signifikant beeinflussen. Während die Potenzreihe zusammen mit dem Kettenbruch nach 34 Approximationen konvergiert, braucht die Rekursionsformel noch zwei Iterationen mehr.  
+Ist $z$ negativ, wie in Abbildung \ref{0f1:ausblick:plot:konvergenz:negativ}, führt dies aufgrund des Vorzeichens zu alternierenden Termen. So steigt bei allen Algorithmen zuerst die Differenz zum erwarteten Endwert. Erst nach genügend Iterationen sind die Terme so klein, dass sie das Endresultat nicht mehr signifikant beeinflussen. Während die Potenzreihe zusammen mit dem Kettenbruch nach 34 Approximationen konvergiert, braucht die Rekursionsformel noch zwei Iterationen mehr.  
 
 
 \subsection{Stabilität
-- 
cgit v1.2.1

