From bed0b6e09967200014ab83444a8b4316f285781a Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: Fabian <@> Date: Mon, 25 Jul 2022 00:27:05 +0200 Subject: 0f1, inhalt struktur --- buch/papers/0f1/teil3.tex | 85 ++++++++++++++++++++++++++++------------------- 1 file changed, 51 insertions(+), 34 deletions(-) (limited to 'buch/papers/0f1/teil3.tex') diff --git a/buch/papers/0f1/teil3.tex b/buch/papers/0f1/teil3.tex index 25472cb..dca61f8 100644 --- a/buch/papers/0f1/teil3.tex +++ b/buch/papers/0f1/teil3.tex @@ -1,40 +1,57 @@ % -% teil3.tex -- Beispiel-File für Teil 3 +% teil3.tex -- Resultate und Ausblick % -% (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil +% (c) 2022 Fabian Dünki, Hochschule Rapperswil % -\section{Teil 3 +\section{Resultate \label{0f1:section:teil3}} -\rhead{Teil 3} -Sed ut perspiciatis unde omnis iste natus error sit voluptatem -accusantium doloremque laudantium, totam rem aperiam, eaque ipsa -quae ab illo inventore veritatis et quasi architecto beatae vitae -dicta sunt explicabo. Nemo enim ipsam voluptatem quia voluptas sit -aspernatur aut odit aut fugit, sed quia consequuntur magni dolores -eos qui ratione voluptatem sequi nesciunt. Neque porro quisquam -est, qui dolorem ipsum quia dolor sit amet, consectetur, adipisci -velit, sed quia non numquam eius modi tempora incidunt ut labore -et dolore magnam aliquam quaerat voluptatem. Ut enim ad minima -veniam, quis nostrum exercitationem ullam corporis suscipit laboriosam, -nisi ut aliquid ex ea commodi consequatur? Quis autem vel eum iure -reprehenderit qui in ea voluptate velit esse quam nihil molestiae -consequatur, vel illum qui dolorem eum fugiat quo voluptas nulla -pariatur? - -\subsection{De finibus bonorum et malorum -\label{0f1:subsection:malorum}} -At vero eos et accusamus et iusto odio dignissimos ducimus qui -blanditiis praesentium voluptatum deleniti atque corrupti quos -dolores et quas molestias excepturi sint occaecati cupiditate non -provident, similique sunt in culpa qui officia deserunt mollitia -animi, id est laborum et dolorum fuga. Et harum quidem rerum facilis -est et expedita distinctio. Nam libero tempore, cum soluta nobis -est eligendi optio cumque nihil impedit quo minus id quod maxime -placeat facere possimus, omnis voluptas assumenda est, omnis dolor -repellendus. Temporibus autem quibusdam et aut officiis debitis aut -rerum necessitatibus saepe eveniet ut et voluptates repudiandae -sint et molestiae non recusandae. Itaque earum rerum hic tenetur a -sapiente delectus, ut aut reiciendis voluptatibus maiores alias -consequatur aut perferendis doloribus asperiores repellat. +\rhead{Resultate} +Im Verlauf des Seminares hat sich gezeigt, +das ein einfacher mathematischer Algorithmus zu implementieren gar nicht so einfach ist. +So haben alle drei umgesetzten Ansätze Probleme mit grossen negativen x in der Funktion $\mathstrut_0F_1(;b;x)$. +Ebenso wird, je grösser der Wert x wird $\mathstrut_0F_1(;b;x)$, desto mehr weichen die berechneten Resultate +von den erwarteten ab. +{\color{red}TODO cite wolfram alpha rechner} + +\subsection{Auswertung +\label{0f1:subsection:auswertung}} +\begin{figure} + \centering + \includegraphics[width=0.8\textwidth]{papers/0f1/images/konvergenzAiry.pdf} + \caption{Konvergenz nach drei Iterationen, dargestellt anhand der Airy Funktion}. + \label{0f1:ausblick:plot:airy:konvergenz}} +\end{figure} + +\begin{figure} + \centering + \includegraphics[width=0.8\textwidth]{papers/0f1/images/konvergenzPositiv.pdf} + \caption{Konvergenz: Logarithmisch dargestellte Differenz vom erwarteten Endresultat}. + \label{0f1:ausblick:plot:konvergenz:positiv}} +\end{figure} + +\begin{figure} + \centering + \includegraphics[width=0.8\textwidth]{papers/0f1/images/konvergenzNegativ.pdf} + \caption{Konvergenz: Logarithmisch dargestellte Differenz vom erwarteten Endresultat}. + \label{0f1:ausblick:plot:konvergenz:negativ}} +\end{figure} + +\begin{figure} + \centering + \includegraphics[width=1\textwidth]{papers/0f1/images/stabilitaet.pdf} + \caption{Stabilität der 3 Algorithmen verglichen mit der GNU Scientific Library}. + \label{0f1:ausblick:plot:airy:stabilitaet}} +\end{figure} + +\begin{itemize} + \item Negative Zahlen sind sowohl für die Potenzreihe als auch für den Kettenbruch ein Problem. + \item Die Potenzreihe hat das Problem, je tiefer die Rekursionstiefe, desto mehr machen die Brüche ein Problem. Also der Nenner mit der Fakultät und dem Pochhammer Symbol. + \item Die Rekursionformel liefert für sehr grosse positive Werte die genausten Ergebnisse, verglichen mit der GNU Scientific Library. +\end{itemize} + + +\subsection{Ausblick +\label{0f1:subsection:ausblick}} + -- cgit v1.2.1 From c558a668bcc6d820c489dad980dc0f8f83acdbde Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: =?UTF-8?q?Andreas=20M=C3=BCller?= Date: Mon, 25 Jul 2022 08:33:08 +0200 Subject: fix brace-problem --- buch/papers/0f1/teil3.tex | 8 ++++---- 1 file changed, 4 insertions(+), 4 deletions(-) (limited to 'buch/papers/0f1/teil3.tex') diff --git a/buch/papers/0f1/teil3.tex b/buch/papers/0f1/teil3.tex index dca61f8..44a4600 100644 --- a/buch/papers/0f1/teil3.tex +++ b/buch/papers/0f1/teil3.tex @@ -18,28 +18,28 @@ von den erwarteten ab. \begin{figure} \centering \includegraphics[width=0.8\textwidth]{papers/0f1/images/konvergenzAiry.pdf} - \caption{Konvergenz nach drei Iterationen, dargestellt anhand der Airy Funktion}. + \caption{Konvergenz nach drei Iterationen, dargestellt anhand der Airy Funktion. \label{0f1:ausblick:plot:airy:konvergenz}} \end{figure} \begin{figure} \centering \includegraphics[width=0.8\textwidth]{papers/0f1/images/konvergenzPositiv.pdf} - \caption{Konvergenz: Logarithmisch dargestellte Differenz vom erwarteten Endresultat}. + \caption{Konvergenz: Logarithmisch dargestellte Differenz vom erwarteten Endresultat. \label{0f1:ausblick:plot:konvergenz:positiv}} \end{figure} \begin{figure} \centering \includegraphics[width=0.8\textwidth]{papers/0f1/images/konvergenzNegativ.pdf} - \caption{Konvergenz: Logarithmisch dargestellte Differenz vom erwarteten Endresultat}. + \caption{Konvergenz: Logarithmisch dargestellte Differenz vom erwarteten Endresultat. \label{0f1:ausblick:plot:konvergenz:negativ}} \end{figure} \begin{figure} \centering \includegraphics[width=1\textwidth]{papers/0f1/images/stabilitaet.pdf} - \caption{Stabilität der 3 Algorithmen verglichen mit der GNU Scientific Library}. + \caption{Stabilität der 3 Algorithmen verglichen mit der GNU Scientific Library. \label{0f1:ausblick:plot:airy:stabilitaet}} \end{figure} -- cgit v1.2.1 From f064b343115255b4a6ae19cb09f397dcd8c6f25a Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: Fabian <@> Date: Tue, 26 Jul 2022 16:23:27 +0200 Subject: 0f1, Mathe done --- buch/papers/0f1/teil3.tex | 9 ++++----- 1 file changed, 4 insertions(+), 5 deletions(-) (limited to 'buch/papers/0f1/teil3.tex') diff --git a/buch/papers/0f1/teil3.tex b/buch/papers/0f1/teil3.tex index 44a4600..76d6e32 100644 --- a/buch/papers/0f1/teil3.tex +++ b/buch/papers/0f1/teil3.tex @@ -10,15 +10,14 @@ Im Verlauf des Seminares hat sich gezeigt, das ein einfacher mathematischer Algorithmus zu implementieren gar nicht so einfach ist. So haben alle drei umgesetzten Ansätze Probleme mit grossen negativen x in der Funktion $\mathstrut_0F_1(;b;x)$. Ebenso wird, je grösser der Wert x wird $\mathstrut_0F_1(;b;x)$, desto mehr weichen die berechneten Resultate -von den erwarteten ab. -{\color{red}TODO cite wolfram alpha rechner} +von den Erwarteten ab. \cite{0f1:wolfram-0f1} \subsection{Auswertung \label{0f1:subsection:auswertung}} \begin{figure} \centering \includegraphics[width=0.8\textwidth]{papers/0f1/images/konvergenzAiry.pdf} - \caption{Konvergenz nach drei Iterationen, dargestellt anhand der Airy Funktion. + \caption{Konvergenz nach drei Iterationen, dargestellt anhand der Airy Funktion zu den Anfangsbedingungen $y(0)=1$ und $y'(0)=0$. \label{0f1:ausblick:plot:airy:konvergenz}} \end{figure} @@ -52,6 +51,6 @@ von den erwarteten ab. \subsection{Ausblick \label{0f1:subsection:ausblick}} - - +Eine mögliche Lösung zum Problem ist \cite{0f1:SeminarNumerik} +{\color{red} TODO beschreiben Lösung} -- cgit v1.2.1 From 220b382cf4b7019b199c3023ddab73ba2658e27a Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: Fabian <@> Date: Wed, 27 Jul 2022 13:08:39 +0200 Subject: 0f1, bilder --- buch/papers/0f1/teil3.tex | 112 +++++++++++++++++++++++----------------------- 1 file changed, 56 insertions(+), 56 deletions(-) (limited to 'buch/papers/0f1/teil3.tex') diff --git a/buch/papers/0f1/teil3.tex b/buch/papers/0f1/teil3.tex index 76d6e32..355e1b7 100644 --- a/buch/papers/0f1/teil3.tex +++ b/buch/papers/0f1/teil3.tex @@ -1,56 +1,56 @@ -% -% teil3.tex -- Resultate und Ausblick -% -% (c) 2022 Fabian Dünki, Hochschule Rapperswil -% -\section{Resultate -\label{0f1:section:teil3}} -\rhead{Resultate} -Im Verlauf des Seminares hat sich gezeigt, -das ein einfacher mathematischer Algorithmus zu implementieren gar nicht so einfach ist. -So haben alle drei umgesetzten Ansätze Probleme mit grossen negativen x in der Funktion $\mathstrut_0F_1(;b;x)$. -Ebenso wird, je grösser der Wert x wird $\mathstrut_0F_1(;b;x)$, desto mehr weichen die berechneten Resultate -von den Erwarteten ab. \cite{0f1:wolfram-0f1} - -\subsection{Auswertung -\label{0f1:subsection:auswertung}} -\begin{figure} - \centering - \includegraphics[width=0.8\textwidth]{papers/0f1/images/konvergenzAiry.pdf} - \caption{Konvergenz nach drei Iterationen, dargestellt anhand der Airy Funktion zu den Anfangsbedingungen $y(0)=1$ und $y'(0)=0$. - \label{0f1:ausblick:plot:airy:konvergenz}} -\end{figure} - -\begin{figure} - \centering - \includegraphics[width=0.8\textwidth]{papers/0f1/images/konvergenzPositiv.pdf} - \caption{Konvergenz: Logarithmisch dargestellte Differenz vom erwarteten Endresultat. - \label{0f1:ausblick:plot:konvergenz:positiv}} -\end{figure} - -\begin{figure} - \centering - \includegraphics[width=0.8\textwidth]{papers/0f1/images/konvergenzNegativ.pdf} - \caption{Konvergenz: Logarithmisch dargestellte Differenz vom erwarteten Endresultat. - \label{0f1:ausblick:plot:konvergenz:negativ}} -\end{figure} - -\begin{figure} - \centering - \includegraphics[width=1\textwidth]{papers/0f1/images/stabilitaet.pdf} - \caption{Stabilität der 3 Algorithmen verglichen mit der GNU Scientific Library. - \label{0f1:ausblick:plot:airy:stabilitaet}} -\end{figure} - -\begin{itemize} - \item Negative Zahlen sind sowohl für die Potenzreihe als auch für den Kettenbruch ein Problem. - \item Die Potenzreihe hat das Problem, je tiefer die Rekursionstiefe, desto mehr machen die Brüche ein Problem. Also der Nenner mit der Fakultät und dem Pochhammer Symbol. - \item Die Rekursionformel liefert für sehr grosse positive Werte die genausten Ergebnisse, verglichen mit der GNU Scientific Library. -\end{itemize} - - -\subsection{Ausblick -\label{0f1:subsection:ausblick}} -Eine mögliche Lösung zum Problem ist \cite{0f1:SeminarNumerik} -{\color{red} TODO beschreiben Lösung} - +% +% teil3.tex -- Resultate und Ausblick +% +% (c) 2022 Fabian Dünki, Hochschule Rapperswil +% +\section{Resultate +\label{0f1:section:teil3}} +\rhead{Resultate} +Im Verlauf des Seminares hat sich gezeigt, +das ein einfacher mathematischer Algorithmus zu implementieren gar nicht so einfach ist. +So haben alle drei umgesetzten Ansätze Probleme mit grossen negativen z in der Funktion $\mathstrut_0F_1(;c;z)$. +Ebenso wird, je grösser der Wert z wird $\mathstrut_0F_1(;c;z)$, desto mehr weichen die berechneten Resultate +von den Erwarteten ab. \cite{0f1:wolfram-0f1} + +\subsection{Auswertung +\label{0f1:subsection:auswertung}} +\begin{figure} + \centering + \includegraphics[width=0.8\textwidth]{papers/0f1/images/konvergenzAiry.pdf} + \caption{Konvergenz nach drei Iterationen, dargestellt anhand der Airy Funktion zu den Anfangsbedingungen $Ai(0)=1$ und $Ai'(0)=0$. + \label{0f1:ausblick:plot:airy:konvergenz}} +\end{figure} + +\begin{figure} + \centering + \includegraphics[width=0.8\textwidth]{papers/0f1/images/konvergenzPositiv.pdf} + \caption{Konvergenz: Logarithmisch dargestellte Differenz vom erwarteten Endresultat. + \label{0f1:ausblick:plot:konvergenz:positiv}} +\end{figure} + +\begin{figure} + \centering + \includegraphics[width=0.8\textwidth]{papers/0f1/images/konvergenzNegativ.pdf} + \caption{Konvergenz: Logarithmisch dargestellte Differenz vom erwarteten Endresultat. + \label{0f1:ausblick:plot:konvergenz:negativ}} +\end{figure} + +\begin{figure} + \centering + \includegraphics[width=1\textwidth]{papers/0f1/images/stabilitaet.pdf} + \caption{Stabilität der 3 Algorithmen verglichen mit der GNU Scientific Library. + \label{0f1:ausblick:plot:airy:stabilitaet}} +\end{figure} + +\begin{itemize} + \item Negative Zahlen sind sowohl für die Potenzreihe als auch für den Kettenbruch ein Problem. + \item Die Potenzreihe hat das Problem, je tiefer die Rekursionstiefe, desto mehr machen die Brüche ein Problem. Also der Nenner mit der Fakultät und dem Pochhammer Symbol. + \item Die Rekursionformel liefert für sehr grosse positive Werte die genausten Ergebnisse, verglichen mit der GNU Scientific Library. +\end{itemize} + + +\subsection{Ausblick +\label{0f1:subsection:ausblick}} +Eine mögliche Lösung zum Problem ist \cite{0f1:SeminarNumerik} +{\color{red} TODO beschreiben Lösung} + -- cgit v1.2.1 From 18378909d070e684c0d7ee0b539be7baeee62cea Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: Fabian <@> Date: Wed, 27 Jul 2022 18:45:06 +0200 Subject: 0f1, abgabe --- buch/papers/0f1/teil3.tex | 46 +++++++++++++++++++++++++++------------------- 1 file changed, 27 insertions(+), 19 deletions(-) (limited to 'buch/papers/0f1/teil3.tex') diff --git a/buch/papers/0f1/teil3.tex b/buch/papers/0f1/teil3.tex index 355e1b7..2855e26 100644 --- a/buch/papers/0f1/teil3.tex +++ b/buch/papers/0f1/teil3.tex @@ -3,17 +3,37 @@ % % (c) 2022 Fabian Dünki, Hochschule Rapperswil % -\section{Resultate +\section{Auswertung \label{0f1:section:teil3}} \rhead{Resultate} Im Verlauf des Seminares hat sich gezeigt, das ein einfacher mathematischer Algorithmus zu implementieren gar nicht so einfach ist. -So haben alle drei umgesetzten Ansätze Probleme mit grossen negativen z in der Funktion $\mathstrut_0F_1(;c;z)$. -Ebenso wird, je grösser der Wert z wird $\mathstrut_0F_1(;c;z)$, desto mehr weichen die berechneten Resultate -von den Erwarteten ab. \cite{0f1:wolfram-0f1} +So haben alle drei umgesetzten Ansätze Probleme mit grossen negativen $z$ in der Funktion $\mathstrut_0F_1(;c;z)$. +Ebenso kann festgestellt werden,dass je grösser der Wert $z$ in $\mathstrut_0F_1(;c;z)$ wird, desto mehr weichen die berechneten Resultate von den Erwarteten ab. \cite{0f1:wolfram-0f1} + +\subsection{Konvergenz +\label{0f1:subsection:konvergenz}} +Es zeigt sich in Abbildung \ref{0f1:ausblick:plot:airy:konvergenz}, dass schon nach drei Iterationen ($k = 3$) die Funktionen schon genaue Resultate im Bereich von -2 bis 2 liefert. Ebenso kann festgestellt werden, dass der Kettenbruch schneller konvergiert und im positiven Bereich sogar mit der Referenzfunktion $Ai(x)$ übereinstimmt. Da die Rekursionsformel \ref{0f1:listing:kettenbruchRekursion} eine Abwandlung des Kettenbruches ist, verhalten sich die Funktionen in diesem Fall gleich. + +Erst wenn mehrere Durchläufe gemacht werden, um die Genauigkeit zu verbessern, ist der Kettenbruch den anderen zwei Algorithmen, bezüglich Konvergenz überlegen. +Interessant ist auch, dass die Rekursionsformel nahezu gleich schnell wie die Potenzreihe konvergiert, aber sich danach einschwingt. Dieses Verhalten ist auch bei grösseren $z$ zu beobachten, allerdings ist dann die Differenz zwischen dem ersten lokalen Minimum von k bis zum Abbruch kleiner. +\ref{0f1:ausblick:plot:konvergenz:positiv} +Dieses Phänomen ist auf die Lösung der Rekursionsformel zurück zu führen.\ref{0f1:math:loesung:eq} Da im Gegensatz die ganz kleinen Werte nicht zu einer Konvergenz wie beim Kettenbruch führen, sondern sich noch eine Zeit lang durch die Multiplikation aufschwingen. + +Ist $z$ negativ wie im Abbild \ref{0f1:ausblick:plot:konvergenz:negativ}, führt dies zu einer Gegenseitigen Kompensation von negativen und positiven Termen so bricht die Rekursionsformel hier zusammen mit der Potenzreihe ab. +Die ansteigende Differenz mit anschliessender, ist aufgrund der sich alternierenden Termen mit wechselnden Vorzeichens zu erklären. + +\subsection{Stabilität +\label{0f1:subsection:Stabilitaet}} +Verändert sich der Wert von z in $\mathstrut_0F_1(;c;z)$ gegen grössere positive Werte, wie zum Beispiel $c = 800$ liefert die Kettenbruch-Funktion \ref{0f1:listing:kettenbruchIterativ} \verb+inf+ zurück. Dies könnte durch ein Abbruchkriterien abgefangen werden. Allerdings würde das, bei grossen Werten zulasten der Genauigkeit gehen. Trotzdem könnte, je nach Anwendung, auf ein paar Nachkommastellen verzichtet werden. + +Wohingegen die Potenzreihe \ref{0f1:listing:potenzreihe} das Problem hat, dass je mehr Terme berechnet werden, desto schneller wächst die Fakultät und irgendwann gibt es eine Bereichsüberschreitung von \verb+double+. Schlussendlich gibt das Unterprogramm das Resultat \verb+-nan(ind)+ zurück. +Die Rekursionformel \ref{0f1:listing:kettenbruchRekursion} liefert für sehr grosse positive Werte die genausten Ergebnisse, verglichen mit der GNU Scientific Library. Wie schon vermutet ist die Rekursionsformel, im positivem Bereich, der stabilste Algorithmus. Um die Stabilität zu gewährleisten, muss wie in \ref{0f1:ausblick:plot:konvergenz:positiv} dargestellt, die Iterationstiefe $k$ genug gross gewählt werden. + +Im negativem Bereich sind alle gewählten und umgesetzten Ansätze instabil. Grund dafür ist die Fakultät im Nenner, was zum Phänomen der Auslöschung führt.\cite{0f1:SeminarNumerik} Schön zu beobachten ist dies in der Abbildung \ref{0f1:ausblick:plot:airy:stabilitaet} mit der Airy-Funktion als Test. So sind sowohl der Kettenbruch, als auch die Rekursionsformel bis ungefähr $\frac{-15^3}{9}$ stabil. Dies macht auch Sinn, da beide auf der gleichen mathematischen Grundlage basieren. Danach verhält sich allerdings die Instabilität unterschiedlich. Das unterschiedliche Verhalten kann damit erklärt werden, dass beim Kettenbruch jeweils eine zusätzliche Division stattfindet. Diese Unterschiede sind auch in Abbildung \ref{0f1:ausblick:plot:konvergenz:positiv} festzustellen. + + -\subsection{Auswertung -\label{0f1:subsection:auswertung}} \begin{figure} \centering \includegraphics[width=0.8\textwidth]{papers/0f1/images/konvergenzAiry.pdf} @@ -38,19 +58,7 @@ von den Erwarteten ab. \cite{0f1:wolfram-0f1} \begin{figure} \centering \includegraphics[width=1\textwidth]{papers/0f1/images/stabilitaet.pdf} - \caption{Stabilität der 3 Algorithmen verglichen mit der GNU Scientific Library. + \caption{Stabilität der 3 Algorithmen verglichen mit der Referenz Funktion $Ai(x)$. \label{0f1:ausblick:plot:airy:stabilitaet}} \end{figure} -\begin{itemize} - \item Negative Zahlen sind sowohl für die Potenzreihe als auch für den Kettenbruch ein Problem. - \item Die Potenzreihe hat das Problem, je tiefer die Rekursionstiefe, desto mehr machen die Brüche ein Problem. Also der Nenner mit der Fakultät und dem Pochhammer Symbol. - \item Die Rekursionformel liefert für sehr grosse positive Werte die genausten Ergebnisse, verglichen mit der GNU Scientific Library. -\end{itemize} - - -\subsection{Ausblick -\label{0f1:subsection:ausblick}} -Eine mögliche Lösung zum Problem ist \cite{0f1:SeminarNumerik} -{\color{red} TODO beschreiben Lösung} - -- cgit v1.2.1