From 54ab4af72ff10d4e5b739ac0e9d727482b9d5a15 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: =?UTF-8?q?Andreas=20M=C3=BCller?= Date: Tue, 7 Jun 2022 12:43:02 +0200 Subject: fix typos --- buch/papers/dreieck/teil2.tex | 17 ++++++++++------- 1 file changed, 10 insertions(+), 7 deletions(-) (limited to 'buch/papers/dreieck/teil2.tex') diff --git a/buch/papers/dreieck/teil2.tex b/buch/papers/dreieck/teil2.tex index c5a2826..8e89f6a 100644 --- a/buch/papers/dreieck/teil2.tex +++ b/buch/papers/dreieck/teil2.tex @@ -16,10 +16,10 @@ Das Problem kann daher neu formuliert werden: \begin{problem} \label{dreieck:problem2} Welche Polynome $P(t)$ lassen sich aus den Hermite-Polynomen -$H_n(t)$ mit $n>0$ linear kombinieren. +$H_n(t)$ mit $n>0$ linear kombinieren? \end{problem} -Sei jetzt +Sei also \[ P(t) = p_0 + p_1t + \ldots + p_{n-1}t^{n-1} + p_nt^n \] @@ -44,7 +44,7 @@ von Hermite-Polynomen schreiben. \begin{proof}[Beweis] Zunächst halten wir fest, dass aus der -Rekursionsformel~\eqref{dreieck:rekursion} +Rekursionsformel~\eqref{dreieck:eqn:rekursion} folgt, dass der Leitkoeffizient bei jedem Rekursionsschnitt mit $2$ multipliziert wird. Der Leitkoeffizient von $H_n(t)$ ist also $2^n$. @@ -53,10 +53,12 @@ Wir führen den Beweis mit vollständiger Induktion. Für $n=0$ ist $P(t)=p_0 = p_0 H_0(t)$ als Linearkombination von Hermite-Polynomen darstellbar, dies ist die Induktionsverankerung. -Nehmen wir jetzt an, dass sich ein Polynom vom Grad $n-1$ als +Wir nehmen jetzt im Sinne der Induktionsannahme an, +dass sich ein Polynom vom Grad $n-1$ als Linearkombination der Polynome $H_0(t),\dots,H_{n-1}(t)$ schreiben -lässt und untersuchen wir $P(t)$ vom Grad $n$. -Da der Leitkoeffizient des Polynoms $H_n(t)$ ist $2^n$, ist +lässt und untersuchen ein Polynom $P(t)$ vom Grad $n$. +Da der Leitkoeffizient des Polynoms $H_n(t)$ ist $2^n$, ist zerlegen +wir \[ P(t) = @@ -86,7 +88,7 @@ $n$ bewiesen. \label{dreieck:satz1} Die Funktion $P(t)e^{-t^2}$ hat genau dann eine elementare Stammfunktion, wenn in der Darstellung~\eqref{dreieck:lemma} -von $P(t)$ als Linearkombination von Hermite-Polynome $a_0=0$ gilt. +von $P(t)$ als Linearkombination von Hermite-Polynomen $a_0=0$ gilt. \end{satz} \begin{proof}[Beweis] @@ -100,6 +102,7 @@ a_0\int e^{-t^2}\,dt \sum_{k=1} a_kH_k(t)\,dt \\ &= +a_0 \frac{\sqrt{\pi}}2 \operatorname{erf}(t) + -- cgit v1.2.1