From d3c217cdb6106f2082097dd9e76f200885c853cb Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: =?UTF-8?q?Andreas=20M=C3=BCller?= <andreas.mueller@ost.ch>
Date: Tue, 7 Jun 2022 11:45:38 +0200
Subject: add polynomials with elementary w-integrals paper

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 buch/papers/dreieck/teil3.tex | 70 +++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++--
 1 file changed, 67 insertions(+), 3 deletions(-)

(limited to 'buch/papers/dreieck/teil3.tex')

diff --git a/buch/papers/dreieck/teil3.tex b/buch/papers/dreieck/teil3.tex
index e2dfd6b..888ceb6 100644
--- a/buch/papers/dreieck/teil3.tex
+++ b/buch/papers/dreieck/teil3.tex
@@ -3,8 +3,72 @@
 %
 % (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil
 %
-\section{Erweiterungen
-\label{dreieck:section:erweiterungen}}
-\rhead{Erweiterungen}
+\section{Integralbedingung
+\label{dreieck:section:integralbedingung}}
+\rhead{Lösung}
+Die Tatsache, dass die Hermite-Polynome orthogonal sind, erlaubt, das
+Kriterium von Satz~\ref{dreieck:satz1} etwas anders zu formulieren.
+
+Aus den Polynomen $H_n(t)$ lassen sich durch Normierung die
+orthonormierten Polynome
+\[
+\tilde{H}_n(t)
+=
+\frac{1}{\| H_n\|_w} H_n(t)
+\qquad\text{mit}\quad
+\|H_n\|_w^2
+=
+\int_{-\infty}^\infty H_n(t)e^{-t^2}\,dt
+\]
+bilden.
+Da diese Polynome eine orthonormierte Basis des Vektorraums der Polynome
+bilden, kann die gesuchte Zerlegung eines Polynoms $P(t)$ auch mit
+Hilfe des Skalarproduktes gefunden werden:
+\begin{align*}
+P(t)
+&=
+\sum_{k=1}^n
+\langle \tilde{H}_k, P\rangle_w
+\tilde{H}_k(t)
+=
+\sum_{k=1}^n
+\biggl\langle \frac{H_k}{\|H_k\|_w}, P\biggr\rangle_w
+\frac{H_k(t)}{\|H_k\|_w}
+=
+\sum_{k=1}^n
+\underbrace{
+\frac{ \langle H_k, P\rangle_w }{\|H_k\|_w^2}
+}_{\displaystyle =a_k}
+H_k(t).
+\end{align*}
+Die Darstellung von $P(t)$ als Linearkombination von Hermite-Polynomen
+hat die Koeffizienten
+\[
+a_k = \frac{\langle H_k,P\rangle_w}{\|H_k\|_w^2}.
+\]
+Aus dem Kriterium $a_0=0$ dafür, dass eine elementare Stammfunktion
+von $P(t)e^{-t^2}$ existiert, wird daher die Bedingung, dass
+$\langle H_0,P\rangle_w=0$ ist.
+Da $H_0(t)=1$ ist, folgt als Bedingung
+\[
+a_0
+=
+\langle H_0,P\rangle_w
+=
+\int_{-\infty}^\infty P(t) e^{-t^2}\,dt
+=
+0.
+\]
+
+\begin{satz}
+Ein Integrand der Form $P(t)e^{-t^2}$ mit einem Polynom $P(t)$
+hat genau dann eine elementare Stammfunktion, wenn
+\[
+\int_{-\infty}^\infty P(t)e^{-t^2}\,dt = 0
+\]
+ist.
+\end{satz}
+
+
 
 
-- 
cgit v1.2.1


From 54ab4af72ff10d4e5b739ac0e9d727482b9d5a15 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: =?UTF-8?q?Andreas=20M=C3=BCller?= <andreas.mueller@ost.ch>
Date: Tue, 7 Jun 2022 12:43:02 +0200
Subject: fix typos

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 buch/papers/dreieck/teil3.tex | 5 +++--
 1 file changed, 3 insertions(+), 2 deletions(-)

(limited to 'buch/papers/dreieck/teil3.tex')

diff --git a/buch/papers/dreieck/teil3.tex b/buch/papers/dreieck/teil3.tex
index 888ceb6..556a9d9 100644
--- a/buch/papers/dreieck/teil3.tex
+++ b/buch/papers/dreieck/teil3.tex
@@ -7,7 +7,8 @@
 \label{dreieck:section:integralbedingung}}
 \rhead{Lösung}
 Die Tatsache, dass die Hermite-Polynome orthogonal sind, erlaubt, das
-Kriterium von Satz~\ref{dreieck:satz1} etwas anders zu formulieren.
+Kriterium von Satz~\ref{dreieck:satz1} in einer besonders attraktiven
+Integralform zu formulieren.
 
 Aus den Polynomen $H_n(t)$ lassen sich durch Normierung die
 orthonormierten Polynome
@@ -42,7 +43,7 @@ P(t)
 H_k(t).
 \end{align*}
 Die Darstellung von $P(t)$ als Linearkombination von Hermite-Polynomen
-hat die Koeffizienten
+hat somit die Koeffizienten
 \[
 a_k = \frac{\langle H_k,P\rangle_w}{\|H_k\|_w^2}.
 \]
-- 
cgit v1.2.1


From 4220519090661503f243902aa58f48343920e89c Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: =?UTF-8?q?Andreas=20M=C3=BCller?= <andreas.mueller@ost.ch>
Date: Tue, 7 Jun 2022 12:47:03 +0200
Subject: index entries added

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 buch/papers/dreieck/teil3.tex | 2 ++
 1 file changed, 2 insertions(+)

(limited to 'buch/papers/dreieck/teil3.tex')

diff --git a/buch/papers/dreieck/teil3.tex b/buch/papers/dreieck/teil3.tex
index 556a9d9..c0c046a 100644
--- a/buch/papers/dreieck/teil3.tex
+++ b/buch/papers/dreieck/teil3.tex
@@ -11,6 +11,8 @@ Kriterium von Satz~\ref{dreieck:satz1} in einer besonders attraktiven
 Integralform zu formulieren.
 
 Aus den Polynomen $H_n(t)$ lassen sich durch Normierung die
+\index{orthogonale Polynome}%
+\index{Polynome, orthogonale}%
 orthonormierten Polynome
 \[
 \tilde{H}_n(t)
-- 
cgit v1.2.1