From 2cbc79a82e39702dd78919ac704fae01f50efb12 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: Nicolas Tobler <nicolas.tobler@ost.ch>
Date: Mon, 30 May 2022 00:33:47 +0200
Subject: split main into section files

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 buch/papers/ellfilter/elliptic.tex | 92 ++++++++++++++++++++++++++++++++++++++
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--- /dev/null
+++ b/buch/papers/ellfilter/elliptic.tex
@@ -0,0 +1,92 @@
+\section{Elliptische rationale Funktionen}
+
+Kommen wir nun zum eigentlichen Teil dieses Papers, den elliptischen rationalen Funktionen
+\begin{align}
+    R_N(\xi, w) &= \cd \left(N~f_1(\xi)~\cd^{-1}(w, 1/\xi), f_2(\xi)\right) \\
+                &= \cd \left(N~\frac{K_1}{K}~\cd^{-1}(w, k), k_1)\right) , \quad k= 1/\xi, k_1 = 1/f(\xi) \\
+                &= \cd \left(N~K_1~z , k_1 \right), \quad w= \cd(z K, k)
+\end{align}
+
+
+sieht ähnlich aus wie die trigonometrische Darstellung der Tschebyschef-Polynome \eqref{ellfilter:eq:chebychef_polynomials}
+Anstelle vom Kosinus kommt hier die $\cd$-Funktion zum Einsatz.
+Die Ordnungszahl $N$ kommt auch als Faktor for.
+Zusätzlich werden noch zwei verschiedene elliptische Module $k$ und $k_1$ gebraucht.
+
+
+
+Sinus entspricht $\sn$
+
+Damit die Nullstellen an ähnlichen Positionen zu liegen kommen wie bei den Tschebyscheff-Polynomen, muss die $\cd$-Funktion gewählt werden.
+
+Die $\cd^{-1}(w, k)$-Funktion ist um $K$ verschoben zur $\sn^{-1}(w, k)$-Funktion, wie ersichtlich in Abbildung \ref{ellfilter:fig:cd}.
+\begin{figure}
+    \centering
+    \input{papers/ellfilter/tikz/cd.tikz.tex}
+    \caption{
+        $z$-Ebene der Funktion $z = \sn^{-1}(w, k)$.
+        Die Funktion ist in der realen Achse $4K$-periodisch und in der imaginären Achse $2jK^\prime$-periodisch.
+    }
+    \label{ellfilter:fig:cd}
+\end{figure}
+Auffallend ist, dass sich alle Nullstellen und Polstellen um $K$ verschoben haben.
+
+Durch das Konzept vom fundamentalen Rechteck, siehe Abbildung \ref{ellfilter:fig:fundamental_rectangle} können für alle inversen Jaccobi elliptischen Funktionen die Positionen der Null- und Polstellen anhand eines Diagramms ermittelt werden.
+Der erste Buchstabe bestimmt die Position der Nullstelle und der zweite Buchstabe die Polstelle.
+\begin{figure}
+    \centering
+    \input{papers/ellfilter/tikz/fundamental_rectangle.tikz.tex}
+    \caption{
+        Fundamentales Rechteck der inversen Jaccobi elliptischen Funktionen.
+    }
+    \label{ellfilter:fig:fundamental_rectangle}
+\end{figure}
+
+Auffallend an der $w = \sn(z, k)$-Funktion ist, dass sich $w$ auf der reellen Achse wie der Kosinus immer zwischen $-1$ und $1$ bewegt, während bei $\mathrm{Im(z) = K^\prime}$ die Werte zwischen $\pm 1/k$ und $\pm \infty$ verlaufen.
+Die Funktion hat also Equirippel-Verhalten um $w=0$ und um $w=\pm \infty$.
+Falls es möglich ist diese Werte abzufahren im Sti der Tschebyscheff-Polynome, kann ein Filter gebaut werden, dass Equirippel-Verhalten im Durchlass- und Sperrbereich aufweist.
+
+
+
+Analog zu Abbildung \ref{ellfilter:fig:arccos2} können wir auch bei den elliptisch rationalen Funktionen die komplexe $z$-Ebene betrachten, wie ersichtlich in Abbildung \ref{ellfilter:fig:cd2}, um die besser zu verstehen.
+\begin{figure}
+    \centering
+    \input{papers/ellfilter/tikz/cd2.tikz.tex}
+    \caption{
+        $z_1$-Ebene der elliptischen rationalen Funktionen.
+        Je grösser die Ordnung $N$ gewählt wird, desto mehr Nullstellen passiert.
+    }
+    \label{ellfilter:fig:cd2}
+\end{figure}
+% Da die $\cd^{-1}$-Funktion 
+
+
+
+\begin{figure}
+    \centering
+    \input{papers/ellfilter/python/F_N_elliptic.pgf}
+    \caption{$F_N$ für ein elliptischs filter.}
+    \label{ellfilter:fig:elliptic}
+\end{figure}
+
+\subsection{Degree Equation}
+
+Der $\cd^{-1}$ Term muss so verzogen werden, dass die umgebene $\cd$-Funktion die Nullstellen und Pole trifft.
+Dies trifft ein wenn die Degree Equation erfüllt ist.
+
+\begin{equation}
+    N \frac{K^\prime}{K} = \frac{K^\prime_1}{K_1}
+\end{equation}
+
+
+Leider ist das lösen dieser Gleichung nicht trivial.
+Die Rechnung wird in \ref{ellfilter:bib:orfanidis} im Detail angeschaut.
+
+
+\subsection{Polynome?}
+
+Bei den Tschebyscheff-Polynomen haben wir gesehen, dass die Trigonometrische Formel zu einfachen Polynomen umgewandelt werden kann.
+Im gegensatz zum $\cos^{-1}$ hat der $\cd^{-1}$ nicht nur Nullstellen sondern auch Pole.
+Somit entstehen bei den elliptischen rationalen Funktionen, wie es der name auch deutet, rationale Funktionen, also ein Bruch von zwei Polynomen.
+
+Da Transformationen einer rationalen Funktionen mit Grundrechenarten, wie es in \eqref{ellfilter:eq:h_omega} der Fall ist, immer noch rationale Funktionen ergeben, stellt dies kein Problem für die Implementierung dar.
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cgit v1.2.1

