From 94352fe1f5e15535073daae3da6f62bdd166976a Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: ntobler <nitobler@gmail.com>
Date: Fri, 19 Aug 2022 11:27:19 +0200
Subject: Corrections

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 buch/papers/ellfilter/elliptic.tex | 22 ++++++++++++++--------
 1 file changed, 14 insertions(+), 8 deletions(-)

(limited to 'buch/papers/ellfilter/elliptic.tex')

diff --git a/buch/papers/ellfilter/elliptic.tex b/buch/papers/ellfilter/elliptic.tex
index 67bcca0..39f9b8d 100644
--- a/buch/papers/ellfilter/elliptic.tex
+++ b/buch/papers/ellfilter/elliptic.tex
@@ -7,7 +7,10 @@ Kommen wir nun zum eigentlichen Teil dieses Papers, den elliptischen rationalen
                 &= \cd \left(N~K_1~z , k_1 \right), \quad w= \cd(z K, k)
 \end{align}
 Beim Betrachten dieser Definition, fällt die Ähnlichkeit zur trigonometrische Darstellung der Tsche\-byschef-Polynome \eqref{ellfilter:eq:chebychef_polynomials} auf.
-Anstelle vom Kosinus kommt hier die $\cd$-Funktion zum Einsatz.
+Wie bei den Tschebyscheff-Polynomen ist die Formel mit speziellen Funktionen geschrieben.
+Es kann jedoch gezeigt werden, dass es sich tatsächlich um rationale Funktionen handelt, wie es für ein lineares Filter vorausgesetzt wird.
+Die elliptischen Funktionen werden also genau so eingesetzt, dass die resultierenden Nullstellen und Pole eine rationale Funktion ergeben. 
+Anstelle des Kosinus bei den Tschebyscheff-Polynomen kommt hier die $\cd$-Funktion zum Einsatz.
 Die Ordnungszahl $N$ kommt auch als Faktor for.
 Zusätzlich werden noch zwei verschiedene elliptische Moduli $k$ und $k_1$ gebraucht.
 Bei $k = k_1 = 0$ wird der $\cd$ zum Kosinus und wir erhalten in diesem Spezialfall die Tschebyschef-Polynome.
@@ -24,7 +27,7 @@ Die $\cd^{-1}(w, k)$-Funktion ist um $K$ verschoben zur $\sn^{-1}(w, k)$-Funktio
     \label{ellfilter:fig:cd}
 \end{figure}
 Auffallend an der $w = \cd(z, k)$-Funktion ist, dass sich $w$ auf der reellen Achse wie der Kosinus immer zwischen $-1$ und $1$ bewegt, während bei $\mathrm{Im(z) = K^\prime}$ die Werte zwischen $\pm 1/k$ und $\pm \infty$ verlaufen.
-Die Idee des elliptischen Filter ist es, diese zwei Equirippel-Zonen abzufahren, wie ersichtlich in Abbildung \ref{ellfilter:fig:cd2}, welche Analog zu Abbildung \ref{ellfilter:fig:arccos2} gesehen werden kann.
+Die Idee des elliptischen Filter ist es, diese zwei Equiripple-Zonen abzufahren, wie ersichtlich in Abbildung \ref{ellfilter:fig:cd2}, welche analog zu Abbildung \ref{ellfilter:fig:arccos2} gesehen werden kann.
 \begin{figure}
     \centering
     \input{papers/ellfilter/tikz/cd2.tikz.tex}
@@ -39,10 +42,7 @@ Das elliptische Filter hat im Gegensatz zum Tschebyscheff-Filter drei Zonen.
 Im Durchlassbereich werden wie beim Tschebyscheff-Filter die Nullstellen durchlaufen.
 Statt dass $z_1$ für alle $w>1$ in die imaginäre Richtung geht, bewegen wir uns im Sperrbereich wieder in reeller Richtung, wo Pole durchlaufen werden.
 Aus dieser Sicht kann der Sperrbereich vom Tschebyscheff-Filter als unendlich langer Übergangsbereich angesehen werden.
-% Falls es möglich ist diese Werte abzufahren im Stil der Tschebyscheff-Polynome, kann ein Filter gebaut werden, dass Equirippel-Verhalten im Durchlass- und Sperrbereich aufweist.
-Da sich die Funktion im Übergangsbereich nur zur nächsten Reihe bewegt, ist der Übergangsbereich monoton steigend.
-Theoretisch könnte eine gleiches Durchlass- und Sperrbereichverhalten erreicht werden, wenn die Funktion auf eine andere Reihe ansteigen würde.
-Dies würde jedoch zu Oszillationen zwischen $1$ und $1/k$ im Übergangsbereich führen.
+% Falls es möglich ist diese Werte abzufahren im Stil der Tschebyscheff-Polynome, kann ein Filter gebaut werden, dass Equiripple-Verhalten im Durchlass- und Sperrbereich aufweist.
 Abbildung \ref{ellfilter:fig:elliptic_freq} zeigt eine elliptisch rationale Funktion und die Frequenzantwort des daraus resultierenden Filters.
 \begin{figure}
     \centering
@@ -51,6 +51,10 @@ Abbildung \ref{ellfilter:fig:elliptic_freq} zeigt eine elliptisch rationale Funk
     \label{ellfilter:fig:elliptic_freq}
 \end{figure}
 
+Da sich die Funktion im Übergangsbereich nur zur nächsten Reihe von Polstellen bewegt, ist der Übergangsbereich monoton steigend.
+Theoretisch könnte eine gleiches Durchlass- und Sperrbereichverhalten erreicht werden, wenn die Funktion auf eine andere Reihe ansteigen würde.
+Dies würde jedoch zu Oszillationen zwischen $1$ und $1/k$ im Übergangsbereich führen.
+
 \subsection{Gradgleichung}
 
 Damit die Pol- und Nullstellen genau in dieser Konstellation durchfahren werden, müssen die elliptischen Moduli des inneren und äusseren $\cd$ aufeinander abgestimmt werden.
@@ -75,12 +79,14 @@ Algebraisch kann so die Gradgleichung
     N \frac{K^\prime}{K} = \frac{K^\prime_1}{K_1}
 \end{equation}
 aufgestellt werden, dessen Lösung ist gegeben durch
-\begin{equation} %TODO check
+\begin{equation}\label{ellfilter:eq:degeqsol}
 k_1 = k^N \prod_{i=1}^L \sn^4 \Bigg( \frac{2i - 1}{N} K, k \Bigg),
 \quad \text{wobei} \quad
 N = 2L+r.
 \end{equation}
 Die Herleitung ist sehr umfassend und wird in \cite{ellfilter:bib:orfanidis} im Detail angeschaut.
+Für das Auslegen von elliptischen Filtern müssen $k$ und $k_1$ mit \eqref{ellfilter:eq:degeqsol} oder mit numerischen Methoden berechnet werden.
+Die Position der Pol- und Nullstellen können dann konstruiert werden, wie dargestellt in Abbildung \ref{ellfilter:fig:cd2} und mit der $\cd$-Funktion zu der elliptischen rationalen Funktion transformiert werden.
 
 % \begin{figure}
 %     \centering
@@ -95,6 +101,6 @@ Bei den Tschebyscheff-Polynomen haben wir gesehen, dass die Trigonometrische For
 Im elliptischen Fall entstehen so rationale Funktionen mit Nullstellen und auch Pole.
 Somit entstehen bei den elliptischen rationalen Funktionen, wie es der name auch deutet, rationale Funktionen, also ein Bruch von zwei Polynomen.
 
-% Da Transformationen einer rationalen Funktionen mit Grundrechenarten, wie es in \eqref{ellfilter:eq:h_omega} der Fall ist, immer noch rationale Funktionen ergeben, stellt dies kein Problem für die Implementierung dar.
+
 
 
-- 
cgit v1.2.1


From c2dc01cbbb34c70ae63fc97dd101dc6e6c3a23df Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: Nicolas Tobler <nicolas.tobler@ost.ch>
Date: Sat, 20 Aug 2022 16:14:55 +0200
Subject: corrections

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 buch/papers/ellfilter/elliptic.tex | 30 ++++++++++++------------------
 1 file changed, 12 insertions(+), 18 deletions(-)

(limited to 'buch/papers/ellfilter/elliptic.tex')

diff --git a/buch/papers/ellfilter/elliptic.tex b/buch/papers/ellfilter/elliptic.tex
index 39f9b8d..fc9d5b6 100644
--- a/buch/papers/ellfilter/elliptic.tex
+++ b/buch/papers/ellfilter/elliptic.tex
@@ -40,7 +40,7 @@ Die Idee des elliptischen Filter ist es, diese zwei Equiripple-Zonen abzufahren,
 \end{figure}
 Das elliptische Filter hat im Gegensatz zum Tschebyscheff-Filter drei Zonen.
 Im Durchlassbereich werden wie beim Tschebyscheff-Filter die Nullstellen durchlaufen.
-Statt dass $z_1$ für alle $w>1$ in die imaginäre Richtung geht, bewegen wir uns im Sperrbereich wieder in reeller Richtung, wo Pole durchlaufen werden.
+Statt dass $z_1$ für alle $w>1$ in die imaginäre Richtung geht, bewegen wir uns im Sperrbereich wieder in reeller Richtung, wo Pole und Punkte mit $\pm 1/k$ durchlaufen werden.
 Aus dieser Sicht kann der Sperrbereich vom Tschebyscheff-Filter als unendlich langer Übergangsbereich angesehen werden.
 % Falls es möglich ist diese Werte abzufahren im Stil der Tschebyscheff-Polynome, kann ein Filter gebaut werden, dass Equiripple-Verhalten im Durchlass- und Sperrbereich aufweist.
 Abbildung \ref{ellfilter:fig:elliptic_freq} zeigt eine elliptisch rationale Funktion und die Frequenzantwort des daraus resultierenden Filters.
@@ -52,7 +52,7 @@ Abbildung \ref{ellfilter:fig:elliptic_freq} zeigt eine elliptisch rationale Funk
 \end{figure}
 
 Da sich die Funktion im Übergangsbereich nur zur nächsten Reihe von Polstellen bewegt, ist der Übergangsbereich monoton steigend.
-Theoretisch könnte eine gleiches Durchlass- und Sperrbereichverhalten erreicht werden, wenn die Funktion auf eine andere Reihe ansteigen würde.
+Theoretisch könnte eine gleiches Durchlass- und Sperrbereichsverhalten erreicht werden, wenn die Funktion auf eine andere Reihe ansteigen würde.
 Dies würde jedoch zu Oszillationen zwischen $1$ und $1/k$ im Übergangsbereich führen.
 
 \subsection{Gradgleichung}
@@ -85,22 +85,16 @@ k_1 = k^N \prod_{i=1}^L \sn^4 \Bigg( \frac{2i - 1}{N} K, k \Bigg),
 N = 2L+r.
 \end{equation}
 Die Herleitung ist sehr umfassend und wird in \cite{ellfilter:bib:orfanidis} im Detail angeschaut.
-Für das Auslegen von elliptischen Filtern müssen $k$ und $k_1$ mit \eqref{ellfilter:eq:degeqsol} oder mit numerischen Methoden berechnet werden.
-Die Position der Pol- und Nullstellen können dann konstruiert werden, wie dargestellt in Abbildung \ref{ellfilter:fig:cd2} und mit der $\cd$-Funktion zu der elliptischen rationalen Funktion transformiert werden.
-
-% \begin{figure}
-%     \centering
-%     \input{papers/ellfilter/tikz/elliptic_transform1.tikz}
-%     \caption{Die Gradgleichung als geometrisches Problem.}
-% \end{figure}
-
-\subsection{Schlussfolgerung}
-
-Die elliptischen Filter können als direkte Erweiterung der Tschebyscheff-Filter verstanden werden.
-Bei den Tschebyscheff-Polynomen haben wir gesehen, dass die Trigonometrische Formel zu einfachen Polynomen umgewandelt werden kann.
-Im elliptischen Fall entstehen so rationale Funktionen mit Nullstellen und auch Pole.
-Somit entstehen bei den elliptischen rationalen Funktionen, wie es der name auch deutet, rationale Funktionen, also ein Bruch von zwei Polynomen.
-
 
+Um ein elliptisches Filter auszulegen, kann die Ordnung $N$ und der Parameter $k$ gewählt werden.
+$k_1$ muss dann mit \eqref{ellfilter:eq:degeqsol} oder mit numerischen Methoden berechnet werden.
+Je kleiner $k$ gewählt wird, desto grösser wird die Dämpfung des Filters im Sperrbereich im Verhältnis zum Durchlassbereich.
+Allerdings verliert das Filter dabei auch an Steilheit.
+Wenn $k$ und $k_1$ bekannt sind, können die Position der Pol- und Nullstellen $p_i$ und $n_i$ in einem Raster konstruiert werden, wie dargestellt in Abbildung \ref{ellfilter:fig:cd2}.
+Durch das Rücktransformieren mit der $\cd$-Funktion gelangt man schlussendlich zu der elliptischen rationalen Funktion. %TODO check
 
+% \subsection{Schlussfolgerung}
 
+% Die elliptischen Filter können als direkte Erweiterung der Tschebyscheff-Filter verstanden werden.
+% Bei den Tschebyscheff-Polynomen haben wir gesehen, dass die Trigonometrische Formel zu einfachen Polynomen umgewandelt werden kann.
+% Im elliptischen Fall entstehen so rationale Funktionen mit Nullstellen und auch Pole.
-- 
cgit v1.2.1


From 71d369b3d24a42b5abb66e9b26477472e0100b2f Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: Nicolas Tobler <nicolas.tobler@ost.ch>
Date: Sun, 21 Aug 2022 18:06:18 +0200
Subject: added pole zero calculation

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 buch/papers/ellfilter/elliptic.tex | 3 ++-
 1 file changed, 2 insertions(+), 1 deletion(-)

(limited to 'buch/papers/ellfilter/elliptic.tex')

diff --git a/buch/papers/ellfilter/elliptic.tex b/buch/papers/ellfilter/elliptic.tex
index fc9d5b6..26d90f1 100644
--- a/buch/papers/ellfilter/elliptic.tex
+++ b/buch/papers/ellfilter/elliptic.tex
@@ -85,9 +85,10 @@ k_1 = k^N \prod_{i=1}^L \sn^4 \Bigg( \frac{2i - 1}{N} K, k \Bigg),
 N = 2L+r.
 \end{equation}
 Die Herleitung ist sehr umfassend und wird in \cite{ellfilter:bib:orfanidis} im Detail angeschaut.
+$k_1$ jedoch gar nicht berechnet werden, um die elliptisch rationale Funktion zu erhalten.
 
 Um ein elliptisches Filter auszulegen, kann die Ordnung $N$ und der Parameter $k$ gewählt werden.
-$k_1$ muss dann mit \eqref{ellfilter:eq:degeqsol} oder mit numerischen Methoden berechnet werden.
+% $k_1$ muss dann mit \eqref{ellfilter:eq:degeqsol} oder mit numerischen Methoden berechnet werden.
 Je kleiner $k$ gewählt wird, desto grösser wird die Dämpfung des Filters im Sperrbereich im Verhältnis zum Durchlassbereich.
 Allerdings verliert das Filter dabei auch an Steilheit.
 Wenn $k$ und $k_1$ bekannt sind, können die Position der Pol- und Nullstellen $p_i$ und $n_i$ in einem Raster konstruiert werden, wie dargestellt in Abbildung \ref{ellfilter:fig:cd2}.
-- 
cgit v1.2.1


From c07a2bbc5bceb34658e148562a483270f19061bf Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: Nicolas Tobler <nicolas.tobler@ost.ch>
Date: Tue, 23 Aug 2022 22:33:14 +0200
Subject: Added Berechnung der rationalen Funktion

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 buch/papers/ellfilter/elliptic.tex | 47 +++++++++++++++++++++++++++++++-------
 1 file changed, 39 insertions(+), 8 deletions(-)

(limited to 'buch/papers/ellfilter/elliptic.tex')

diff --git a/buch/papers/ellfilter/elliptic.tex b/buch/papers/ellfilter/elliptic.tex
index 26d90f1..81821c1 100644
--- a/buch/papers/ellfilter/elliptic.tex
+++ b/buch/papers/ellfilter/elliptic.tex
@@ -1,6 +1,6 @@
-\section{Elliptische rationale Funktionen}
+\section{Rationale elliptische Funktionen}
 
-Kommen wir nun zum eigentlichen Teil dieses Papers, den elliptischen rationalen Funktionen \cite{ellfilter:bib:orfanidis}
+Kommen wir nun zum eigentlichen Teil dieses Papers, den rationalen elliptischen Funktionen \cite{ellfilter:bib:orfanidis}
 \begin{align}
     R_N(\xi, w) &= \cd \left(N~f_1(\xi)~\cd^{-1}(w, 1/\xi), f_2(\xi)\right) \label{ellfilter:eq:elliptic}\\
                 &= \cd \left(N~\frac{K_1}{K}~\cd^{-1}(w, k), k_1\right) , \quad k= 1/\xi, k_1 = 1/f(\xi) \\
@@ -32,7 +32,7 @@ Die Idee des elliptischen Filter ist es, diese zwei Equiripple-Zonen abzufahren,
     \centering
     \input{papers/ellfilter/tikz/cd2.tikz.tex}
     \caption{
-        $z_1=N\frac{K_1}{K}\cd^{-1}(w, k)$-Ebene der elliptischen rationalen Funktionen.
+        $z_1=N\frac{K_1}{K}\cd^{-1}(w, k)$-Ebene der rationalen elliptischen Funktionen.
         Je grösser die Ordnung $N$ gewählt wird, desto mehr Nullstellen werden passiert.
         Als Vereinfachung ist die Funktion nur für $w>0$ dargestellt.
     }
@@ -43,7 +43,7 @@ Im Durchlassbereich werden wie beim Tschebyscheff-Filter die Nullstellen durchla
 Statt dass $z_1$ für alle $w>1$ in die imaginäre Richtung geht, bewegen wir uns im Sperrbereich wieder in reeller Richtung, wo Pole und Punkte mit $\pm 1/k$ durchlaufen werden.
 Aus dieser Sicht kann der Sperrbereich vom Tschebyscheff-Filter als unendlich langer Übergangsbereich angesehen werden.
 % Falls es möglich ist diese Werte abzufahren im Stil der Tschebyscheff-Polynome, kann ein Filter gebaut werden, dass Equiripple-Verhalten im Durchlass- und Sperrbereich aufweist.
-Abbildung \ref{ellfilter:fig:elliptic_freq} zeigt eine elliptisch rationale Funktion und die Frequenzantwort des daraus resultierenden Filters.
+Abbildung \ref{ellfilter:fig:elliptic_freq} zeigt eine rationale elliptische Funktion und die Frequenzantwort des daraus resultierenden Filters.
 \begin{figure}
     \centering
     \input{papers/ellfilter/python/elliptic.pgf}
@@ -85,14 +85,45 @@ k_1 = k^N \prod_{i=1}^L \sn^4 \Bigg( \frac{2i - 1}{N} K, k \Bigg),
 N = 2L+r.
 \end{equation}
 Die Herleitung ist sehr umfassend und wird in \cite{ellfilter:bib:orfanidis} im Detail angeschaut.
-$k_1$ jedoch gar nicht berechnet werden, um die elliptisch rationale Funktion zu erhalten.
 
-Um ein elliptisches Filter auszulegen, kann die Ordnung $N$ und der Parameter $k$ gewählt werden.
+\subsection{Berechnung der rationalen Funktion}
+
+$k_1$ muss jedoch gar nicht berechnet werden, um $R_N$ in der Form einer rationale Funktion erhalten.
+Die Ordnung $N$ und der Parameter $k$ können frei gewählt werden.
 % $k_1$ muss dann mit \eqref{ellfilter:eq:degeqsol} oder mit numerischen Methoden berechnet werden.
 Je kleiner $k$ gewählt wird, desto grösser wird die Dämpfung des Filters im Sperrbereich im Verhältnis zum Durchlassbereich.
 Allerdings verliert das Filter dabei auch an Steilheit.
-Wenn $k$ und $k_1$ bekannt sind, können die Position der Pol- und Nullstellen $p_i$ und $n_i$ in einem Raster konstruiert werden, wie dargestellt in Abbildung \ref{ellfilter:fig:cd2}.
-Durch das Rücktransformieren mit der $\cd$-Funktion gelangt man schlussendlich zu der elliptischen rationalen Funktion. %TODO check
+Wenn $k$ und $N$ bekannt sind, können die Position der Pol- und Nullstellen $p_i$ und $n_i$ in einem Raster konstruiert werden, wie dargestellt in Abbildung \ref{ellfilter:fig:pn}.
+\begin{figure}
+    \centering
+    \input{papers/ellfilter/tikz/pn.tikz.tex}
+    \caption{
+        Pole und Nullstellen in der $z = \cd^{-1}(w, k)$-Ebene für die Rücktransformation zur einer rationalen Funktion.
+    }
+    \label{ellfilter:fig:pn}
+\end{figure}
+Dabei muss aufgepasst werden, dass insgesamt nur $N$ Nullstellen und $N$ Pole gesetzt werden, da bei der transformation mit dem $\cd$ mehrere Werte auf einen abgebildet werden und mehrfache Pole und Nullstellen nicht erwünscht sind.
+Wegen der Periodizität sind diese in der komplexen $z$-Ebene linear angeordnet:
+\begin{align}
+    n_i(k) &= K\frac{2i+1}{N} \\
+    p_i(k) &= n_i + jK^\prime.
+\end{align}
+Durch das Rücktransformieren mit der $\cd$-Funktion gelangt man schlussendlich zu der rationalen Funktion
+\begin{equation}
+    R_N(w, k) = r_0 \prod_{i=1}^N \frac{w - \cd \big(n_i(k), k \big)}{w - \cd \big(p_i(k), k \big)},
+\end{equation}
+wobei $r_0$ so gewählt werden muss, dass $R_N(w, k) = 1$.
+
+\section{Elliptisches Filter}
+
+Um ein elliptisches Filter auszulegen werden aber nicht die Pol- und Nullstellen der rationalen Funktion gebraucht, sondern diejenigen der Übertragungsfunktion $H(s)$ der komplexen Frequenz $s = j\Omega + \sigma$.
+Der Bezug zum quadratischen Amplitudengang \eqref{ellfilter:eq:quadratic_transfer} ist dabei
+\begin{equation}
+    |H(\Omega)|^2 = H(s) H(s^*),
+\end{equation}
+wobei $*$ die komplexe Konjugation kennzeichnet.
+Die genaue Berechnung geht einiges tiefer in die Filtertheorie, und verlässt das Gebiet der speziellen Funktionen.
+Der interessierte Leser wird auf \cite[Kapitel~5]{ellfilter:bib:orfanidis} verwiesen.
 
 % \subsection{Schlussfolgerung}
 
-- 
cgit v1.2.1

