From 6e6ba027d2d03bcf4d53cef17326130cd49c9e66 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: Nicolas Tobler Date: Wed, 24 Aug 2022 22:46:42 +0200 Subject: corrections --- buch/papers/ellfilter/elliptic.tex | 23 ++++++++++------------- 1 file changed, 10 insertions(+), 13 deletions(-) (limited to 'buch/papers/ellfilter/elliptic.tex') diff --git a/buch/papers/ellfilter/elliptic.tex b/buch/papers/ellfilter/elliptic.tex index 81821c1..dd64a3c 100644 --- a/buch/papers/ellfilter/elliptic.tex +++ b/buch/papers/ellfilter/elliptic.tex @@ -9,9 +9,9 @@ Kommen wir nun zum eigentlichen Teil dieses Papers, den rationalen elliptischen Beim Betrachten dieser Definition, fällt die Ähnlichkeit zur trigonometrische Darstellung der Tsche\-byschef-Polynome \eqref{ellfilter:eq:chebychef_polynomials} auf. Wie bei den Tschebyscheff-Polynomen ist die Formel mit speziellen Funktionen geschrieben. Es kann jedoch gezeigt werden, dass es sich tatsächlich um rationale Funktionen handelt, wie es für ein lineares Filter vorausgesetzt wird. -Die elliptischen Funktionen werden also genau so eingesetzt, dass die resultierenden Nullstellen und Pole eine rationale Funktion ergeben. +Die elliptischen Funktionen werden also genau so eingesetzt, dass die resultierenden Nullstellen und Pole eine rationale Funktion ergeben. Anstelle des Kosinus bei den Tschebyscheff-Polynomen kommt hier die $\cd$-Funktion zum Einsatz. -Die Ordnungszahl $N$ kommt auch als Faktor for. +Die Ordnungszahl $N$ kommt auch als Faktor vor. Zusätzlich werden noch zwei verschiedene elliptische Moduli $k$ und $k_1$ gebraucht. Bei $k = k_1 = 0$ wird der $\cd$ zum Kosinus und wir erhalten in diesem Spezialfall die Tschebyschef-Polynome. @@ -58,12 +58,15 @@ Dies würde jedoch zu Oszillationen zwischen $1$ und $1/k$ im Übergangsbereich \subsection{Gradgleichung} Damit die Pol- und Nullstellen genau in dieser Konstellation durchfahren werden, müssen die elliptischen Moduli des inneren und äusseren $\cd$ aufeinander abgestimmt werden. -In der reellen Richtung müssen sich die Periodizitäten $K$ und $K_1$ um den Faktor $N$ unterscheiden, während die imagiäre Periodizitäten $K^\prime$ und $K^\prime_1$ gleich bleiben müssen. +In der reellen Richtung müssen sich die Periodizitäten $K$ und $K_1$ um den Faktor $N$ unterscheiden, während die imaginäre Periodizitäten $K^\prime$ und $K^\prime_1$ gleich bleiben müssen. Zur Erinnerung, $K$ und $K^\prime$ sind durch elliptische Integrale definiert und vom Modul $k$ abhängig wie ersichtlich in Abbildung \ref{ellfilter:fig:kprime}. \begin{figure} \centering \input{papers/ellfilter/python/k.pgf} - \caption{Die Periodizitäten in realer und imaginärer Richtung in Abhängigkeit vom elliptischen Modul $k$.} + \caption{ + Die Periodizitäten in realer und imaginärer Richtung in Abhängigkeit vom elliptischen Modul $k$. + In der rechten Grafik sind $K$ und $K^\prime$ gegenübergestellt, wobei alle möglichen Kombinationen auf der eingezeichneten Ortskurve liegen. + } \label{ellfilter:fig:kprime} \end{figure} $K$ und $K^\prime$ sind durch die Ortskurve $K + jK^\prime$ aneinander gebunden und benötigen den Zusatzfaktor $K_1/K$ in \eqref{ellfilter:eq:elliptic}, um die genanten Forderungen einzuhalten. @@ -84,7 +87,7 @@ k_1 = k^N \prod_{i=1}^L \sn^4 \Bigg( \frac{2i - 1}{N} K, k \Bigg), \quad \text{wobei} \quad N = 2L+r. \end{equation} -Die Herleitung ist sehr umfassend und wird in \cite{ellfilter:bib:orfanidis} im Detail angeschaut. +Die Herleitung ist sehr umfangreich und wird in \cite{ellfilter:bib:orfanidis} im Detail angeschaut. \subsection{Berechnung der rationalen Funktion} @@ -102,7 +105,7 @@ Wenn $k$ und $N$ bekannt sind, können die Position der Pol- und Nullstellen $p_ } \label{ellfilter:fig:pn} \end{figure} -Dabei muss aufgepasst werden, dass insgesamt nur $N$ Nullstellen und $N$ Pole gesetzt werden, da bei der transformation mit dem $\cd$ mehrere Werte auf einen abgebildet werden und mehrfache Pole und Nullstellen nicht erwünscht sind. +Dabei muss aufgepasst werden, dass insgesamt nur $N$ Nullstellen und $N$ Pole gesetzt werden, da bei der Transformation mit dem $\cd$ mehrere Werte auf einen abgebildet werden und mehrfache Pole und Nullstellen nicht erwünscht sind. Wegen der Periodizität sind diese in der komplexen $z$-Ebene linear angeordnet: \begin{align} n_i(k) &= K\frac{2i+1}{N} \\ @@ -116,7 +119,7 @@ wobei $r_0$ so gewählt werden muss, dass $R_N(w, k) = 1$. \section{Elliptisches Filter} -Um ein elliptisches Filter auszulegen werden aber nicht die Pol- und Nullstellen der rationalen Funktion gebraucht, sondern diejenigen der Übertragungsfunktion $H(s)$ der komplexen Frequenz $s = j\Omega + \sigma$. +Um ein elliptisches Filter auszulegen, werden aber nicht die Pol- und Nullstellen der rationalen Funktion gebraucht, sondern diejenigen der Übertragungsfunktion $H(s)$ der komplexen Frequenz $s = j\Omega + \sigma$. Der Bezug zum quadratischen Amplitudengang \eqref{ellfilter:eq:quadratic_transfer} ist dabei \begin{equation} |H(\Omega)|^2 = H(s) H(s^*), @@ -124,9 +127,3 @@ Der Bezug zum quadratischen Amplitudengang \eqref{ellfilter:eq:quadratic_transfe wobei $*$ die komplexe Konjugation kennzeichnet. Die genaue Berechnung geht einiges tiefer in die Filtertheorie, und verlässt das Gebiet der speziellen Funktionen. Der interessierte Leser wird auf \cite[Kapitel~5]{ellfilter:bib:orfanidis} verwiesen. - -% \subsection{Schlussfolgerung} - -% Die elliptischen Filter können als direkte Erweiterung der Tschebyscheff-Filter verstanden werden. -% Bei den Tschebyscheff-Polynomen haben wir gesehen, dass die Trigonometrische Formel zu einfachen Polynomen umgewandelt werden kann. -% Im elliptischen Fall entstehen so rationale Funktionen mit Nullstellen und auch Pole. -- cgit v1.2.1