From c07a2bbc5bceb34658e148562a483270f19061bf Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: Nicolas Tobler <nicolas.tobler@ost.ch>
Date: Tue, 23 Aug 2022 22:33:14 +0200
Subject: Added Berechnung der rationalen Funktion

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 buch/papers/ellfilter/elliptic.tex | 47 +++++++++++++++++++++++++++++++-------
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--- a/buch/papers/ellfilter/elliptic.tex
+++ b/buch/papers/ellfilter/elliptic.tex
@@ -1,6 +1,6 @@
-\section{Elliptische rationale Funktionen}
+\section{Rationale elliptische Funktionen}
 
-Kommen wir nun zum eigentlichen Teil dieses Papers, den elliptischen rationalen Funktionen \cite{ellfilter:bib:orfanidis}
+Kommen wir nun zum eigentlichen Teil dieses Papers, den rationalen elliptischen Funktionen \cite{ellfilter:bib:orfanidis}
 \begin{align}
     R_N(\xi, w) &= \cd \left(N~f_1(\xi)~\cd^{-1}(w, 1/\xi), f_2(\xi)\right) \label{ellfilter:eq:elliptic}\\
                 &= \cd \left(N~\frac{K_1}{K}~\cd^{-1}(w, k), k_1\right) , \quad k= 1/\xi, k_1 = 1/f(\xi) \\
@@ -32,7 +32,7 @@ Die Idee des elliptischen Filter ist es, diese zwei Equiripple-Zonen abzufahren,
     \centering
     \input{papers/ellfilter/tikz/cd2.tikz.tex}
     \caption{
-        $z_1=N\frac{K_1}{K}\cd^{-1}(w, k)$-Ebene der elliptischen rationalen Funktionen.
+        $z_1=N\frac{K_1}{K}\cd^{-1}(w, k)$-Ebene der rationalen elliptischen Funktionen.
         Je grösser die Ordnung $N$ gewählt wird, desto mehr Nullstellen werden passiert.
         Als Vereinfachung ist die Funktion nur für $w>0$ dargestellt.
     }
@@ -43,7 +43,7 @@ Im Durchlassbereich werden wie beim Tschebyscheff-Filter die Nullstellen durchla
 Statt dass $z_1$ für alle $w>1$ in die imaginäre Richtung geht, bewegen wir uns im Sperrbereich wieder in reeller Richtung, wo Pole und Punkte mit $\pm 1/k$ durchlaufen werden.
 Aus dieser Sicht kann der Sperrbereich vom Tschebyscheff-Filter als unendlich langer Übergangsbereich angesehen werden.
 % Falls es möglich ist diese Werte abzufahren im Stil der Tschebyscheff-Polynome, kann ein Filter gebaut werden, dass Equiripple-Verhalten im Durchlass- und Sperrbereich aufweist.
-Abbildung \ref{ellfilter:fig:elliptic_freq} zeigt eine elliptisch rationale Funktion und die Frequenzantwort des daraus resultierenden Filters.
+Abbildung \ref{ellfilter:fig:elliptic_freq} zeigt eine rationale elliptische Funktion und die Frequenzantwort des daraus resultierenden Filters.
 \begin{figure}
     \centering
     \input{papers/ellfilter/python/elliptic.pgf}
@@ -85,14 +85,45 @@ k_1 = k^N \prod_{i=1}^L \sn^4 \Bigg( \frac{2i - 1}{N} K, k \Bigg),
 N = 2L+r.
 \end{equation}
 Die Herleitung ist sehr umfassend und wird in \cite{ellfilter:bib:orfanidis} im Detail angeschaut.
-$k_1$ jedoch gar nicht berechnet werden, um die elliptisch rationale Funktion zu erhalten.
 
-Um ein elliptisches Filter auszulegen, kann die Ordnung $N$ und der Parameter $k$ gewählt werden.
+\subsection{Berechnung der rationalen Funktion}
+
+$k_1$ muss jedoch gar nicht berechnet werden, um $R_N$ in der Form einer rationale Funktion erhalten.
+Die Ordnung $N$ und der Parameter $k$ können frei gewählt werden.
 % $k_1$ muss dann mit \eqref{ellfilter:eq:degeqsol} oder mit numerischen Methoden berechnet werden.
 Je kleiner $k$ gewählt wird, desto grösser wird die Dämpfung des Filters im Sperrbereich im Verhältnis zum Durchlassbereich.
 Allerdings verliert das Filter dabei auch an Steilheit.
-Wenn $k$ und $k_1$ bekannt sind, können die Position der Pol- und Nullstellen $p_i$ und $n_i$ in einem Raster konstruiert werden, wie dargestellt in Abbildung \ref{ellfilter:fig:cd2}.
-Durch das Rücktransformieren mit der $\cd$-Funktion gelangt man schlussendlich zu der elliptischen rationalen Funktion. %TODO check
+Wenn $k$ und $N$ bekannt sind, können die Position der Pol- und Nullstellen $p_i$ und $n_i$ in einem Raster konstruiert werden, wie dargestellt in Abbildung \ref{ellfilter:fig:pn}.
+\begin{figure}
+    \centering
+    \input{papers/ellfilter/tikz/pn.tikz.tex}
+    \caption{
+        Pole und Nullstellen in der $z = \cd^{-1}(w, k)$-Ebene für die Rücktransformation zur einer rationalen Funktion.
+    }
+    \label{ellfilter:fig:pn}
+\end{figure}
+Dabei muss aufgepasst werden, dass insgesamt nur $N$ Nullstellen und $N$ Pole gesetzt werden, da bei der transformation mit dem $\cd$ mehrere Werte auf einen abgebildet werden und mehrfache Pole und Nullstellen nicht erwünscht sind.
+Wegen der Periodizität sind diese in der komplexen $z$-Ebene linear angeordnet:
+\begin{align}
+    n_i(k) &= K\frac{2i+1}{N} \\
+    p_i(k) &= n_i + jK^\prime.
+\end{align}
+Durch das Rücktransformieren mit der $\cd$-Funktion gelangt man schlussendlich zu der rationalen Funktion
+\begin{equation}
+    R_N(w, k) = r_0 \prod_{i=1}^N \frac{w - \cd \big(n_i(k), k \big)}{w - \cd \big(p_i(k), k \big)},
+\end{equation}
+wobei $r_0$ so gewählt werden muss, dass $R_N(w, k) = 1$.
+
+\section{Elliptisches Filter}
+
+Um ein elliptisches Filter auszulegen werden aber nicht die Pol- und Nullstellen der rationalen Funktion gebraucht, sondern diejenigen der Übertragungsfunktion $H(s)$ der komplexen Frequenz $s = j\Omega + \sigma$.
+Der Bezug zum quadratischen Amplitudengang \eqref{ellfilter:eq:quadratic_transfer} ist dabei
+\begin{equation}
+    |H(\Omega)|^2 = H(s) H(s^*),
+\end{equation}
+wobei $*$ die komplexe Konjugation kennzeichnet.
+Die genaue Berechnung geht einiges tiefer in die Filtertheorie, und verlässt das Gebiet der speziellen Funktionen.
+Der interessierte Leser wird auf \cite[Kapitel~5]{ellfilter:bib:orfanidis} verwiesen.
 
 % \subsection{Schlussfolgerung}
 
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cgit v1.2.1

