From d4e52d5bd83bed95d7712c34e14ccde3ff72810e Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: Nicolas Tobler <nicolas.tobler@ost.ch>
Date: Tue, 9 Aug 2022 23:54:32 +0200
Subject: Improved plot color choices

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 buch/papers/ellfilter/jacobi.tex | 79 +++++++++++++++++++---------------------
 1 file changed, 37 insertions(+), 42 deletions(-)

(limited to 'buch/papers/ellfilter/jacobi.tex')

diff --git a/buch/papers/ellfilter/jacobi.tex b/buch/papers/ellfilter/jacobi.tex
index 6a208fa..3940171 100644
--- a/buch/papers/ellfilter/jacobi.tex
+++ b/buch/papers/ellfilter/jacobi.tex
@@ -2,14 +2,16 @@
 
 %TODO $z$ or $u$ for parameter?
 
-Für das elliptische Filter wird statt der, für das Tschebyscheff-Filter benutzen Kreis-Trigonometrie die elliptischen Funktionen gebraucht.
+Für das elliptische Filter werden, wie es der Name bereits deutet, elliptische Funktionen gebraucht.
+Wie die trigonometrischen Funktionen Zusammenhänge eines Kreises darlegen, beschreiben die elliptischen Funktionen Ellipsen.
+Es ist daher naheliegend, dass Kosinus des Tschebyscheff-Filters mit einem elliptischen Pendant ausgetauscht werden könnte.
 Der Begriff elliptische Funktion wird für sehr viele Funktionen gebraucht, daher ist es hier wichtig zu erwähnen, dass es ausschliesslich um die Jacobischen elliptischen Funktionen geht.
 
+Die Jacobi elliptischen Funktionen werden ausführlich im Kapitel \ref{buch:elliptisch:section:jacobi} behandelt.
 Im Wesentlichen erweitern die Jacobi elliptischen Funktionen die trigonometrische Funktionen für Ellipsen.
 Zum Beispiel gibt es analog zum Sinus den elliptischen $\sn(z, k)$.
 Im Gegensatz zum den trigonometrischen Funktionen haben die elliptischen Funktionen zwei parameter.
-Zum einen gibt es den \textit{elliptische Modul} $k$, der die Exzentrizität der Ellipse parametrisiert.
-Zum andern das Winkelargument $z$.
+Den \textit{elliptische Modul} $k$, der die Exzentrizität der Ellipse parametrisiert und das Winkelargument $z$.
 Im Kreis ist der Radius für alle Winkel konstant, bei Ellipsen ändert sich das.
 Dies hat zur Folge, dass bei einer Ellipse die Kreisbodenstrecke nicht linear zum Winkel verläuft.
 Darum kann hier nicht der gewohnte Winkel verwendet werden.
@@ -27,17 +29,17 @@ Das Winkelargument $z$ kann durch das elliptische Integral erster Art
             1-k^2 \sin^2 \theta
         }
     }
-    =
-    \int_{0}^{\phi}
-    \frac{
-        dt
-    }{
-        \sqrt{
-            (1-t^2)(1-k^2 t^2)
-        }
-    } %TODO which is right? are both functions from phi?
+    % =
+    % \int_{0}^{\phi}
+    % \frac{
+    %     dt
+    % }{
+    %     \sqrt{
+    %         (1-t^2)(1-k^2 t^2)
+    %     }
+    % } %TODO which is right? are both functions from phi?
 \end{equation}
-mit dem Winkel $\phi$ in Verbindung liegt.
+mit dem Winkel $\phi$ in Verbindung gebracht werden.
 
 Dabei wird das vollständige und unvollständige Elliptische integral unterschieden.
 Beim vollständigen Integral
@@ -53,9 +55,9 @@ Beim vollständigen Integral
         }
     }
 \end{equation}
-wird über ein viertel Ellipsenbogen integriert also bis $\phi=\pi/2$ und liefert das Winkelargument für eine Vierteldrehung.
+wird über ein viertel Ellipsenbogen integriert, also bis $\phi=\pi/2$ und liefert das Winkelargument für eine Vierteldrehung.
 Die Zahl wird oft auch abgekürzt mit $K = K(k)$ und ist für das elliptische Filter sehr relevant.
-Alle elliptishen Funktionen sind somit $4K$-periodisch.
+Alle elliptischen Funktionen sind somit $4K$-periodisch.
 
 Neben dem $\sn$ gibt es zwei weitere basis-elliptische Funktionen $\cn$ und $\dn$.
 Dazu kommen noch weitere abgeleitete Funktionen, die durch Quotienten und Kehrwerte dieser Funktionen zustande kommen.
@@ -96,7 +98,7 @@ Mithilfe von $F^{-1}$ kann zum Beispiel $sn^{-1}$ mit dem Elliptischen integral
     w
 \end{equation}
 
-\begin{equation}
+\begin{equation} %TODO remove unnecessary equations
     \phi
     =
      F^{-1}(z, k)
@@ -153,31 +155,9 @@ Beim $\cos^{-1}(x)$ haben wir gesehen, dass die analytische Fortsetzung bei $x <
 Wenn man das gleiche mit $\sn^{-1}(w, k)$ macht, erkennt man zwei interessante Stellen.
 Die erste ist die gleiche wie beim $\cos^{-1}(x)$ nämlich bei $t = \pm 1$.
 Der erste Term unter der Wurzel wird dann negativ, während der zweite noch positiv ist, da $k \leq 1$.
-\begin{equation}
-    \frac{
-        1
-    }{
-        \sqrt{
-            (1-t^2)(1-k^2 t^2)
-        }
-    }
-    \in \mathbb{R}
-    \quad \forall \quad
-    -1 \leq t \leq 1
-\end{equation}
-Die zweite stelle passiert wenn beide Faktoren unter der Wurzel negativ werden, was bei $t = 1/k$ der Fall ist.
-
-
-
-
-Funktion in relle und komplexe Richtung periodisch
-
-In der reellen Richtung ist sie $4K(k)$-periodisch und in der imaginären Richtung $4K^\prime(k)$-periodisch.
-
-
-
-%TODO sn^{-1} grafik
-
+Ab diesem Punkt verläuft knickt die Funktion in die imaginäre Richtung ab.
+Bei $t = 1/k$ ist auch der zweite Term negativ und die Funktion verläuft in die negative reelle Richtung.
+Abbildung \label{ellfilter:fig:sn} zeigt den Verlauf der Funktion in der komplexen Ebene.
 \begin{figure}
     \centering
     \input{papers/ellfilter/tikz/sn.tikz.tex}
@@ -185,5 +165,20 @@ In der reellen Richtung ist sie $4K(k)$-periodisch und in der imaginären Richtu
         $z$-Ebene der Funktion $z = \sn^{-1}(w, k)$.
         Die Funktion ist in der realen Achse $4K$-periodisch und in der imaginären Achse $2jK^\prime$-periodisch.
     }
-    % \label{ellfilter:fig:cd2}
+    \label{ellfilter:fig:sn}
 \end{figure}
+In der reellen Richtung ist sie $4K(k)$-periodisch und in der imaginären Richtung $4K^\prime(k)$-periodisch, wobei $K^\prime$ das komplemenäre vollständige Elliptische Integral ist:
+\begin{equation}
+    K^\prime(k)
+    =
+    \int_{0}^{\pi / 2}
+    \frac{
+        d\theta
+    }{
+        \sqrt{
+            1-{k^\prime}^2 \sin^2 \theta
+        }
+    },
+    \quad
+    k^\prime = \sqrt{1-k^2}.
+\end{equation}
-- 
cgit v1.2.1


From efa82f7edc7345c29c2d44674d8c8d8ad8741548 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: Nicolas Tobler <nicolas.tobler@ost.ch>
Date: Sat, 13 Aug 2022 19:32:21 +0200
Subject: corrections

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 buch/papers/ellfilter/jacobi.tex | 73 +++++++++++++++++++++++-----------------
 1 file changed, 43 insertions(+), 30 deletions(-)

(limited to 'buch/papers/ellfilter/jacobi.tex')

diff --git a/buch/papers/ellfilter/jacobi.tex b/buch/papers/ellfilter/jacobi.tex
index 3940171..fae6b31 100644
--- a/buch/papers/ellfilter/jacobi.tex
+++ b/buch/papers/ellfilter/jacobi.tex
@@ -13,7 +13,7 @@ Zum Beispiel gibt es analog zum Sinus den elliptischen $\sn(z, k)$.
 Im Gegensatz zum den trigonometrischen Funktionen haben die elliptischen Funktionen zwei parameter.
 Den \textit{elliptische Modul} $k$, der die Exzentrizität der Ellipse parametrisiert und das Winkelargument $z$.
 Im Kreis ist der Radius für alle Winkel konstant, bei Ellipsen ändert sich das.
-Dies hat zur Folge, dass bei einer Ellipse die Kreisbodenstrecke nicht linear zum Winkel verläuft.
+Dies hat zur Folge, dass bei einer Ellipse die Kreisbogenlänge nicht linear zum Winkel verläuft.
 Darum kann hier nicht der gewohnte Winkel verwendet werden.
 Das Winkelargument $z$ kann durch das elliptische Integral erster Art
 \begin{equation}
@@ -95,37 +95,40 @@ Mithilfe von $F^{-1}$ kann zum Beispiel $sn^{-1}$ mit dem Elliptischen integral
     =
     \sn(z, k)
     =
-    w
+    w.
 \end{equation}
 
-\begin{equation} %TODO remove unnecessary equations
-    \phi
-    =
-     F^{-1}(z, k)
-     =
-     \sin^{-1} \big( \sn (z, k ) \big)
-     =
-    \sin^{-1} ( w )
-\end{equation}
+% \begin{equation} %TODO remove unnecessary equations
+%     \phi
+%     =
+%      F^{-1}(z, k)
+%      =
+%      \sin^{-1} \big( \sn (z, k ) \big)
+%      =
+%     \sin^{-1} ( w )
+% \end{equation}
 
-\begin{equation}
-    F(\phi, k)
-    =
-    z
-    =
-    F( \sin^{-1} \big( \sn (z, k ) \big) , k)
-    =
-    F( \sin^{-1} ( w ), k)
-\end{equation}
+% \begin{equation}
+%     F(\phi, k)
+%     =
+%     z
+%     =
+%     F( \sin^{-1} \big( \sn (z, k ) \big) , k)
+%     =
+%     F( \sin^{-1} ( w ), k)
+% \end{equation}
 
-\begin{equation}
-    \sn^{-1}(w, k)
-    =
-    F(\phi, k),
-    \quad
-    \phi = \sin^{-1}(w)
-\end{equation}
+% \begin{equation}
+%     \sn^{-1}(w, k)
+%     =
+%     F(\phi, k),
+%     \quad
+%     \phi = \sin^{-1}(w)
+% \end{equation}
 
+Beim Tschebyscheff-Filter konnten wir mit Betrachten des Arcuscosinus die Funktionalität erklären.
+Für das Elliptische Filter machen wir die gleiche Betrachtung mit der $\sn^{-1}$-Funktion.
+Der $\sn^{-1}$ ist durch das elliptische Integral
 \begin{align}
     \sn^{-1}(w, k)
         & =
@@ -150,12 +153,22 @@ Mithilfe von $F^{-1}$ kann zum Beispiel $sn^{-1}$ mit dem Elliptischen integral
         }
     }
 \end{align}
-
+beschrieben.
+Dazu betrachten wir wieder den Integranden
+\begin{equation}
+    \frac{
+        1
+    }{
+        \sqrt{
+            (1-t^2)(1-k^2 t^2)
+        }
+    }.
+\end{equation}
 Beim $\cos^{-1}(x)$ haben wir gesehen, dass die analytische Fortsetzung bei $x < -1$ und $x > 1$ rechtwinklig in die Komplexen zahlen wandert.
-Wenn man das gleiche mit $\sn^{-1}(w, k)$ macht, erkennt man zwei interessante Stellen.
+Wenn man das Gleiche mit $\sn^{-1}(w, k)$ macht, erkennt man zwei interessante Stellen.
 Die erste ist die gleiche wie beim $\cos^{-1}(x)$ nämlich bei $t = \pm 1$.
 Der erste Term unter der Wurzel wird dann negativ, während der zweite noch positiv ist, da $k \leq 1$.
-Ab diesem Punkt verläuft knickt die Funktion in die imaginäre Richtung ab.
+Ab diesem Punkt knickt die Funktion in die imaginäre Richtung ab.
 Bei $t = 1/k$ ist auch der zweite Term negativ und die Funktion verläuft in die negative reelle Richtung.
 Abbildung \label{ellfilter:fig:sn} zeigt den Verlauf der Funktion in der komplexen Ebene.
 \begin{figure}
-- 
cgit v1.2.1


From bc0c70fdd1bd92d48fc38b17877d6d8515253225 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: Nicolas Tobler <nicolas.tobler@ost.ch>
Date: Sun, 14 Aug 2022 15:42:31 +0200
Subject: corrections

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 buch/papers/ellfilter/jacobi.tex | 15 ++-------------
 1 file changed, 2 insertions(+), 13 deletions(-)

(limited to 'buch/papers/ellfilter/jacobi.tex')

diff --git a/buch/papers/ellfilter/jacobi.tex b/buch/papers/ellfilter/jacobi.tex
index fae6b31..567bbcc 100644
--- a/buch/papers/ellfilter/jacobi.tex
+++ b/buch/papers/ellfilter/jacobi.tex
@@ -1,7 +1,5 @@
 \section{Jacobische elliptische Funktionen}
 
-%TODO $z$ or $u$ for parameter?
-
 Für das elliptische Filter werden, wie es der Name bereits deutet, elliptische Funktionen gebraucht.
 Wie die trigonometrischen Funktionen Zusammenhänge eines Kreises darlegen, beschreiben die elliptischen Funktionen Ellipsen.
 Es ist daher naheliegend, dass Kosinus des Tschebyscheff-Filters mit einem elliptischen Pendant ausgetauscht werden könnte.
@@ -29,15 +27,6 @@ Das Winkelargument $z$ kann durch das elliptische Integral erster Art
             1-k^2 \sin^2 \theta
         }
     }
-    % =
-    % \int_{0}^{\phi}
-    % \frac{
-    %     dt
-    % }{
-    %     \sqrt{
-    %         (1-t^2)(1-k^2 t^2)
-    %     }
-    % } %TODO which is right? are both functions from phi?
 \end{equation}
 mit dem Winkel $\phi$ in Verbindung gebracht werden.
 
@@ -170,7 +159,7 @@ Die erste ist die gleiche wie beim $\cos^{-1}(x)$ nämlich bei $t = \pm 1$.
 Der erste Term unter der Wurzel wird dann negativ, während der zweite noch positiv ist, da $k \leq 1$.
 Ab diesem Punkt knickt die Funktion in die imaginäre Richtung ab.
 Bei $t = 1/k$ ist auch der zweite Term negativ und die Funktion verläuft in die negative reelle Richtung.
-Abbildung \label{ellfilter:fig:sn} zeigt den Verlauf der Funktion in der komplexen Ebene.
+Abbildung \ref{ellfilter:fig:sn} zeigt den Verlauf der Funktion in der komplexen Ebene.
 \begin{figure}
     \centering
     \input{papers/ellfilter/tikz/sn.tikz.tex}
@@ -180,7 +169,7 @@ Abbildung \label{ellfilter:fig:sn} zeigt den Verlauf der Funktion in der komplex
     }
     \label{ellfilter:fig:sn}
 \end{figure}
-In der reellen Richtung ist sie $4K(k)$-periodisch und in der imaginären Richtung $4K^\prime(k)$-periodisch, wobei $K^\prime$ das komplemenäre vollständige Elliptische Integral ist:
+In der reellen Richtung ist sie $4K(k)$-periodisch und in der imaginären Richtung $4K^\prime(k)$-periodisch, wobei $K^\prime$ das komplementäre vollständige Elliptische Integral ist:
 \begin{equation}
     K^\prime(k)
     =
-- 
cgit v1.2.1

