From 2cbc79a82e39702dd78919ac704fae01f50efb12 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: Nicolas Tobler Date: Mon, 30 May 2022 00:33:47 +0200 Subject: split main into section files --- buch/papers/ellfilter/main.tex | 485 +---------------------------------------- 1 file changed, 5 insertions(+), 480 deletions(-) (limited to 'buch/papers/ellfilter/main.tex') diff --git a/buch/papers/ellfilter/main.tex b/buch/papers/ellfilter/main.tex index e9d6aba..c58dfa7 100644 --- a/buch/papers/ellfilter/main.tex +++ b/buch/papers/ellfilter/main.tex @@ -8,485 +8,10 @@ \begin{refsection} \chapterauthor{Nicolas Tobler} +\input{papers/ellfilter/einleitung.tex} +\input{papers/ellfilter/tschebyscheff.tex} +\input{papers/ellfilter/jacobi.tex} +\input{papers/ellfilter/elliptic.tex} -\section{Einleitung} - -% Lineare filter - -% Filter, Signalverarbeitung - - -Der womöglich wichtigste Filtertyp ist das Tiefpassfilter. -Dieses soll im Durchlassbereich unter der Grenzfrequenz $\Omega_p$ unverstärkt durchlassen und alle anderen Frequenzen vollständig auslöschen. - -% Bei der Implementierung von Filtern - -In der Elektrotechnik führen Schaltungen mit linearen Bauelementen wie Kondensatoren, Spulen und Widerständen immer zu linearen zeitinvarianten Systemen (LTI-System von englich \textit{time-invariant system}). -Die Übertragungsfunktion im Frequenzbereich $|H(\Omega)|$ eines solchen Systems ist dabei immer eine rationale Funktion, also eine Division von zwei Polynomen. -Die Polynome habe dabei immer reelle oder komplex-konjugierte Nullstellen. - - -\begin{equation} \label{ellfilter:eq:h_omega} - | H(\Omega)|^2 = \frac{1}{1 + \varepsilon_p^2 F_N^2(w)}, \quad w=\frac{\Omega}{\Omega_p} -\end{equation} - -$\Omega = 2 \pi f$ ist die analoge Frequenz - - -% Linear filter -Damit das Filter implementierbar und stabil ist, muss $H(\Omega)^2$ eine rationale Funktion sein, deren Nullstellen und Pole auf der linken Halbebene liegen. - -$N \in \mathbb{N} $ gibt dabei die Ordnung des Filters vor, also die maximale Anzahl Pole oder Nullstellen. - -Damit ein Filter die Passband Kondition erfüllt muss $|F_N(w)| \leq 1 \forall |w| \leq 1$ und für $|w| \geq 1$ sollte die Funktion möglichst schnell divergieren. -Eine einfaches Polynom, dass das erfüllt, erhalten wir wenn $F_N(w) = w^N$. -Tatsächlich erhalten wir damit das Butterworth Filter, wie in Abbildung \ref{ellfilter:fig:butterworth} ersichtlich. -\begin{figure} - \centering - \input{papers/ellfilter/python/F_N_butterworth.pgf} - \caption{$F_N$ für Butterworth filter. Der grüne Bereich definiert die erlaubten Werte für alle $F_N$-Funktionen.} - \label{ellfilter:fig:butterworth} -\end{figure} - -wenn $F_N(w)$ eine rationale Funktion ist, ist auch $H(\Omega)$ eine rationale Funktion und daher ein lineares Filter. %proof? - -\begin{align} - F_N(w) & = - \begin{cases} - w^N & \text{Butterworth} \\ - T_N(w) & \text{Tschebyscheff, Typ 1} \\ - [k_1 T_N (k^{-1} w^{-1})]^{-1} & \text{Tschebyscheff, Typ 2} \\ - R_N(w, \xi) & \text{Elliptisch (Cauer)} \\ - \end{cases} -\end{align} - -Mit der Ausnahme vom Butterworth filter sind alle Filter nach speziellen Funktionen benannt. -Alle diese Filter sind optimal für unterschiedliche Anwendungsgebiete. -Das Butterworth-Filter, zum Beispiel, ist maximal flach im Durchlassbereich. -Das Tschebyscheff-1 Filter sind maximal steil für eine definierte Welligkeit im Durchlassbereich, währendem es im Sperrbereich monoton abfallend ist. -Es scheint so als sind gewisse Eigenschaften dieser speziellen Funktionen verantwortlich für die Optimalität dieser Filter. - -\section{Tschebyscheff-Filter} - -Als Einstieg betrachent Wir das Tschebyscheff-Filter, welches sehr verwand ist mit dem elliptischen Filter. -Genauer ausgedrückt sind die Tschebyscheff-1 und -2 Filter Spezialfälle davon. - -Der Name des Filters deutet schon an, dass die Tschebyscheff-Polynome $T_N$ für das Filter relevant sind: -\begin{align} - T_{0}(x)&=1\\ - T_{1}(x)&=x\\ - T_{2}(x)&=2x^{2}-1\\ - T_{3}(x)&=4x^{3}-3x\\ - T_{n+1}(x)&=2x~T_{n}(x)-T_{n-1}(x). -\end{align} -Bemerkenswert ist, dass die Polynome im Intervall $[-1, 1]$ mit der trigonometrischen Funktion -\begin{align} \label{ellfilter:eq:chebychef_polynomials} - T_N(w) &= \cos \left( N \cos^{-1}(w) \right) \\ - &= \cos \left(N~z \right), \quad w= \cos(z) -\end{align} -übereinstimmt. -Der Zusammenhang lässt sich mit den Doppel- und Mehrfachwinkelfunktionen der trigonometrischen Funktionen erklären. -Abbildung \ref{ellfilter:fig:chebychef_polynomials} zeigt einige Tschebyscheff-Polynome. -\begin{figure} - \centering - \input{papers/ellfilter/python/F_N_chebychev2.pgf} - \caption{Die Tschebyscheff-Polynome $C_N$.} - \label{ellfilter:fig:chebychef_polynomials} -\end{figure} -Da der Kosinus begrenzt zwischen $-1$ und $1$ ist, sind auch die Tschebyscheff-Polynome begrenzt. -Geht man aber über das Intervall $[-1, 1]$ hinaus, divergieren die Funktionen mit zunehmender Ordnung immer steiler gegen $\pm \infty$. -Diese Eigenschaft ist sehr nützlich für ein Filter. -Wenn wir die Tschebyscheff-Polynome quadrieren, passen sie perfekt in die Voraussetzungen für Filterfunktionen, wie es Abbildung \ref{ellfiter:fig:chebychef} demonstriert. -\begin{figure} - \centering - \input{papers/ellfilter/python/F_N_chebychev.pgf} - \caption{Die Tschebyscheff-Polynome füllen den erlaubten Bereich besser, und erhalten dadurch eine steilere Flanke im Sperrbereich.} - \label{ellfiter:fig:chebychef} -\end{figure} - - -Die analytische Fortsetzung von \eqref{ellfilter:eq:chebychef_polynomials} über das Intervall $[-1,1]$ hinaus stimmt mit den Polynomen überein, wie es zu erwarten ist. -Die genauere Betrachtung wird uns dann helfen die elliptischen Filter besser zu verstehen. - -Starten wir mit der Funktion, die als erstes auf $w$ angewendet wird, dem Arcuscosinus. -Die invertierte Funktion des Kosinus kann als definites Integral dargestellt werden: -\begin{align} - \cos^{-1}(x) - &= - \int_{x}^{1} - \frac{ - dz - }{ - \sqrt{ - 1-z^2 - } - }\\ - &= - \int_{0}^{x} - \frac{ - -1 - }{ - \sqrt{ - 1-z^2 - } - } - ~dz - + \frac{\pi}{2} -\end{align} -Der Integrand oder auch die Ableitung -\begin{equation} - \frac{ - -1 - }{ - \sqrt{ - 1-z^2 - } - } -\end{equation} -bestimmt dabei die Richtung, in der die Funktion verläuft. -Der reelle Arcuscosinus is bekanntlich nur für $|z| \leq 1$ definiert. -Hier bleibt der Wert unter der Wurzel positiv und das Integral liefert reelle Werte. -Doch wenn $|z|$ über 1 hinausgeht, wird der Term unter der Wurzel negativ. -Durch die Quadratwurzel entstehen für den Integranden zwei rein komplexe Lösungen. -Der Wert des Arcuscosinus verlässt also bei $z= \pm 1$ den reellen Zahlenstrahl und knickt in die komplexe Ebene ab. -Abbildung \ref{ellfilter:fig:arccos} zeigt den $\arccos$ in der komplexen Ebene. -\begin{figure} - \centering - \input{papers/ellfilter/tikz/arccos.tikz.tex} - \caption{Die Funktion $z = \cos^{-1}(w)$ dargestellt in der komplexen ebene.} - \label{ellfilter:fig:arccos} -\end{figure} -Wegen der Periodizität des Kosinus ist auch der Arcuscosinus $2\pi$-periodisch und es entstehen periodische Nullstellen. -% \begin{equation} -% \frac{ -% 1 -% }{ -% \sqrt{ -% 1-z^2 -% } -% } -% \in \mathbb{R} -% \quad -% \forall -% \quad -% -1 \leq z \leq 1 -% \end{equation} -% \begin{equation} -% \frac{ -% 1 -% }{ -% \sqrt{ -% 1-z^2 -% } -% } -% = i \xi \quad | \quad \xi \in \mathbb{R} -% \quad -% \forall -% \quad -% z \leq -1 \cup z \geq 1 -% \end{equation} - -Die Tschebyscheff-Polynome skalieren diese Nullstellen mit dem Ordnungsfaktor $N$, wie dargestellt in Abbildung \ref{ellfilter:fig:arccos2}. -\begin{figure} - \centering - \input{papers/ellfilter/tikz/arccos2.tikz.tex} - \caption{ - $z_1=N \cos^{-1}(w)$-Ebene der Tschebyscheff-Funktion. - Die eingefärbten Pfade sind Verläufe von $w~\forall~[-\infty, \infty]$ für verschiedene Ordnungen $N$. - Je grösser die Ordnung $N$ gewählt wird, desto mehr Nullstellen werden passiert. - } - \label{ellfilter:fig:arccos2} -\end{figure} -Somit passert $\cos( N~\cos^{-1}(w))$ im Intervall $[-1, 1]$ $N$ Nullstellen. -Durch die spezielle Anordnung der Nullstellen hat die Funktion Equirippel-Verhalten und ist dennoch ein Polynom, was sich perfekt für linear Filter eignet. - -\section{Jacobische elliptische Funktionen} - -%TODO $z$ or $u$ for parameter? - -Für das elliptische Filter wird statt der, für das Tschebyscheff-Filter benutzen Kreis-Trigonometrie die elliptischen Funktionen gebraucht. -Der Begriff elliptische Funktion wird für sehr viele Funktionen gebraucht, daher ist es hier wichtig zu erwähnen, dass es ausschliesslich um die Jacobischen elliptischen Funktionen geht. - -Im Wesentlichen erweitern die Jacobi elliptischen Funktionen die trigonometrische Funktionen für Ellipsen. -Zum Beispiel gibt es analog zum Sinus den elliptischen $\sn(z, k)$. -Im Gegensatz zum den trigonometrischen Funktionen haben die elliptischen Funktionen zwei parameter. -Zum einen gibt es den \textit{elliptische Modul} $k$, der die Exzentrizität der Ellipse parametrisiert. -Zum andern das Winkelargument $z$. -Im Kreis ist der Radius für alle Winkel konstant, bei Ellipsen ändert sich das. -Dies hat zur Folge, dass bei einer Ellipse die Kreisbodenstrecke nicht linear zum Winkel verläuft. -Darum kann hier nicht der gewohnte Winkel verwendet werden. -Das Winkelargument $z$ kann durch das elliptische Integral erster Art -\begin{equation} - z - = - F(\phi, k) - = - \int_{0}^{\phi} - \frac{ - d\theta - }{ - \sqrt{ - 1-k^2 \sin^2 \theta - } - } - = - \int_{0}^{\phi} - \frac{ - dt - }{ - \sqrt{ - (1-t^2)(1-k^2 t^2) - } - } %TODO which is right? are both functions from phi? -\end{equation} -mit dem Winkel $\phi$ in Verbindung liegt. - -Dabei wird das vollständige und unvollständige Elliptische integral unterschieden. -Beim vollständigen Integral -\begin{equation} - K(k) - = - \int_{0}^{\pi / 2} - \frac{ - d\theta - }{ - \sqrt{ - 1-k^2 \sin^2 \theta - } - } -\end{equation} -wird über ein viertel Ellipsenbogen integriert also bis $\phi=\pi/2$ und liefert das Winkelargument für eine Vierteldrehung. -Die Zahl wird oft auch abgekürzt mit $K = K(k)$ und ist für das elliptische Filter sehr relevant. -Alle elliptishen Funktionen sind somit $4K$-periodisch. - -Neben dem $\sn$ gibt es zwei weitere basis-elliptische Funktionen $\cn$ und $\dn$. -Dazu kommen noch weitere abgeleitete Funktionen, die durch Quotienten und Kehrwerte dieser Funktionen zustande kommen. -Insgesamt sind es die zwölf Funktionen -\begin{equation*} - \sn \quad - \ns \quad - \scelliptic \quad - \sd \quad - \cn \quad - \nc \quad - \cs \quad - \cd \quad - \dn \quad - \nd \quad - \ds \quad - \dc. -\end{equation*} - -Die Jacobischen elliptischen Funktionen können mit der inversen Funktion des kompletten elliptischen Integrals erster Art -\begin{equation} - \phi = F^{-1}(z, k) -\end{equation} -definiert werden. Dabei ist zu beachten dass nur das $z$ Argument der Funktion invertiert wird, also -\begin{equation} - z = F(\phi, k) - \Leftrightarrow - \phi = F^{-1}(z, k). -\end{equation} -Mithilfe von $F^{-1}$ kann zum Beispiel $sn^{-1}$ mit dem Elliptischen integral dargestellt werden: -\begin{equation} - \sin(\phi) - = - \sin \left( F^{-1}(z, k) \right) - = - \sn(z, k) - = - w -\end{equation} - -\begin{equation} - \phi - = - F^{-1}(z, k) - = - \sin^{-1} \big( \sn (z, k ) \big) - = - \sin^{-1} ( w ) -\end{equation} - -\begin{equation} - F(\phi, k) - = - z - = - F( \sin^{-1} \big( \sn (z, k ) \big) , k) - = - F( \sin^{-1} ( w ), k) -\end{equation} - -\begin{equation} - \sn^{-1}(w, k) - = - F(\phi, k), - \quad - \phi = \sin^{-1}(w) -\end{equation} - -\begin{align} - \sn^{-1}(w, k) - & = - \int_{0}^{\phi} - \frac{ - d\theta - }{ - \sqrt{ - 1-k^2 \sin^2 \theta - } - }, - \quad - \phi = \sin^{-1}(w) - \\ - & = - \int_{0}^{w} - \frac{ - dt - }{ - \sqrt{ - (1-t^2)(1-k^2 t^2) - } - } -\end{align} - -Beim $\cos^{-1}(x)$ haben wir gesehen, dass die analytische Fortsetzung bei $x < -1$ und $x > 1$ rechtwinklig in die Komplexen zahlen wandert. -Wenn man das gleiche mit $\sn^{-1}(w, k)$ macht, erkennt man zwei interessante Stellen. -Die erste ist die gleiche wie beim $\cos^{-1}(x)$ nämlich bei $t = \pm 1$. -Der erste Term unter der Wurzel wird dann negativ, während der zweite noch positiv ist, da $k \leq 1$. -\begin{equation} - \frac{ - 1 - }{ - \sqrt{ - (1-t^2)(1-k^2 t^2) - } - } - \in \mathbb{R} - \quad \forall \quad - -1 \leq t \leq 1 -\end{equation} -Die zweite stelle passiert wenn beide Faktoren unter der Wurzel negativ werden, was bei $t = 1/k$ der Fall ist. - - - - -Funktion in relle und komplexe Richtung periodisch - -In der reellen Richtung ist sie $4K(k)$-periodisch und in der imaginären Richtung $4K^\prime(k)$-periodisch. - - - -%TODO sn^{-1} grafik - -\begin{figure} - \centering - \input{papers/ellfilter/tikz/sn.tikz.tex} - \caption{ - $z$-Ebene der Funktion $z = \sn^{-1}(w, k)$. - Die Funktion ist in der realen Achse $4K$-periodisch und in der imaginären Achse $2jK^\prime$-periodisch. - } - % \label{ellfilter:fig:cd2} -\end{figure} - -\section{Elliptische rationale Funktionen} - -Kommen wir nun zum eigentlichen Teil dieses Papers, den elliptischen rationalen Funktionen -\begin{align} - R_N(\xi, w) &= \cd \left(N~f_1(\xi)~\cd^{-1}(w, 1/\xi), f_2(\xi)\right) \\ - &= \cd \left(N~\frac{K_1}{K}~\cd^{-1}(w, k), k_1)\right) , \quad k= 1/\xi, k_1 = 1/f(\xi) \\ - &= \cd \left(N~K_1~z , k_1 \right), \quad w= \cd(z K, k) -\end{align} - - -sieht ähnlich aus wie die trigonometrische Darstellung der Tschebyschef-Polynome \eqref{ellfilter:eq:chebychef_polynomials} -Anstelle vom Kosinus kommt hier die $\cd$-Funktion zum Einsatz. -Die Ordnungszahl $N$ kommt auch als Faktor for. -Zusätzlich werden noch zwei verschiedene elliptische Module $k$ und $k_1$ gebraucht. - - - -Sinus entspricht $\sn$ - -Damit die Nullstellen an ähnlichen Positionen zu liegen kommen wie bei den Tschebyscheff-Polynomen, muss die $\cd$-Funktion gewählt werden. - -Die $\cd^{-1}(w, k)$-Funktion ist um $K$ verschoben zur $\sn^{-1}(w, k)$-Funktion, wie ersichtlich in Abbildung \ref{ellfilter:fig:cd}. -\begin{figure} - \centering - \input{papers/ellfilter/tikz/cd.tikz.tex} - \caption{ - $z$-Ebene der Funktion $z = \sn^{-1}(w, k)$. - Die Funktion ist in der realen Achse $4K$-periodisch und in der imaginären Achse $2jK^\prime$-periodisch. - } - \label{ellfilter:fig:cd} -\end{figure} -Auffallend ist, dass sich alle Nullstellen und Polstellen um $K$ verschoben haben. - -Durch das Konzept vom fundamentalen Rechteck, siehe Abbildung \ref{ellfilter:fig:fundamental_rectangle} können für alle inversen Jaccobi elliptischen Funktionen die Positionen der Null- und Polstellen anhand eines Diagramms ermittelt werden. -Der erste Buchstabe bestimmt die Position der Nullstelle und der zweite Buchstabe die Polstelle. -\begin{figure} - \centering - \input{papers/ellfilter/tikz/fundamental_rectangle.tikz.tex} - \caption{ - Fundamentales Rechteck der inversen Jaccobi elliptischen Funktionen. - } - \label{ellfilter:fig:fundamental_rectangle} -\end{figure} - -Auffallend an der $w = \sn(z, k)$-Funktion ist, dass sich $w$ auf der reellen Achse wie der Kosinus immer zwischen $-1$ und $1$ bewegt, während bei $\mathrm{Im(z) = K^\prime}$ die Werte zwischen $\pm 1/k$ und $\pm \infty$ verlaufen. -Die Funktion hat also Equirippel-Verhalten um $w=0$ und um $w=\pm \infty$. -Falls es möglich ist diese Werte abzufahren im Sti der Tschebyscheff-Polynome, kann ein Filter gebaut werden, dass Equirippel-Verhalten im Durchlass- und Sperrbereich aufweist. - - - -Analog zu Abbildung \ref{ellfilter:fig:arccos2} können wir auch bei den elliptisch rationalen Funktionen die komplexe $z$-Ebene betrachten, wie ersichtlich in Abbildung \ref{ellfilter:fig:cd2}, um die besser zu verstehen. -\begin{figure} - \centering - \input{papers/ellfilter/tikz/cd2.tikz.tex} - \caption{ - $z_1$-Ebene der elliptischen rationalen Funktionen. - Je grösser die Ordnung $N$ gewählt wird, desto mehr Nullstellen passiert. - } - \label{ellfilter:fig:cd2} -\end{figure} -% Da die $\cd^{-1}$-Funktion - - - -\begin{figure} - \centering - \input{papers/ellfilter/python/F_N_elliptic.pgf} - \caption{$F_N$ für ein elliptischs filter.} - \label{ellfilter:fig:elliptic} -\end{figure} - -\subsection{Degree Equation} - -Der $\cd^{-1}$ Term muss so verzogen werden, dass die umgebene $\cd$-Funktion die Nullstellen und Pole trifft. -Dies trifft ein wenn die Degree Equation erfüllt ist. - -\begin{equation} - N \frac{K^\prime}{K} = \frac{K^\prime_1}{K_1} -\end{equation} - - -Leider ist das lösen dieser Gleichung nicht trivial. -Die Rechnung wird in \ref{ellfilter:bib:orfanidis} im Detail angeschaut. - - -\subsection{Polynome?} - -Bei den Tschebyscheff-Polynomen haben wir gesehen, dass die Trigonometrische Formel zu einfachen Polynomen umgewandelt werden kann. -Im gegensatz zum $\cos^{-1}$ hat der $\cd^{-1}$ nicht nur Nullstellen sondern auch Pole. -Somit entstehen bei den elliptischen rationalen Funktionen, wie es der name auch deutet, rationale Funktionen, also ein Bruch von zwei Polynomen. - -Da Transformationen einer rationalen Funktionen mit Grundrechenarten, wie es in \eqref{ellfilter:eq:h_omega} der Fall ist, immer noch rationale Funktionen ergeben, stellt dies kein Problem für die Implementierung dar. - -\input{papers/ellfilter/teil0.tex} -\input{papers/ellfilter/teil1.tex} -\input{papers/ellfilter/teil2.tex} -\input{papers/ellfilter/teil3.tex} - -% \printbibliography[heading=subbibliography] +\printbibliography[heading=subbibliography] \end{refsection} -- cgit v1.2.1