From 4fd4422b52f6377a82696ea67da9beb13d93e581 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: Nicolas Tobler Date: Sun, 15 May 2022 23:15:36 +0200 Subject: draft --- buch/papers/ellfilter/main.tex | 370 ++++++++++++++++++++++++++++++++++++++--- 1 file changed, 351 insertions(+), 19 deletions(-) (limited to 'buch/papers/ellfilter/main.tex') diff --git a/buch/papers/ellfilter/main.tex b/buch/papers/ellfilter/main.tex index 26aaec1..29ebf7a 100644 --- a/buch/papers/ellfilter/main.tex +++ b/buch/papers/ellfilter/main.tex @@ -8,29 +8,361 @@ \begin{refsection} \chapterauthor{Nicolas Tobler} -Ein paar Hinweise für die korrekte Formatierung des Textes -\begin{itemize} -\item -Absätze werden gebildet, indem man eine Leerzeile einfügt. -Die Verwendung von \verb+\\+ ist nur in Tabellen und Arrays gestattet. -\item -Die explizite Platzierung von Bildern ist nicht erlaubt, entsprechende -Optionen werden gelöscht. -Verwenden Sie Labels und Verweise, um auf Bilder hinzuweisen. -\item -Beginnen Sie jeden Satz auf einer neuen Zeile. -Damit ermöglichen Sie dem Versionsverwaltungssysteme, Änderungen -in verschiedenen Sätzen von verschiedenen Autoren ohne Konflikt -anzuwenden. -\item -Bilden Sie auch für Formeln kurze Zeilen, einerseits der besseren -Übersicht wegen, aber auch um GIT die Arbeit zu erleichtern. -\end{itemize} + +\section{Einleitung} + +Lineare filter + +Filter, Signalverarbeitung + + +Der womöglich wichtigste Filtertyp ist das Tiefpassfilter. +Dieses soll im Durchlassbereich unter der Grenzfrequenz $\Omega_p$ unverstärkt durchlassen und alle anderen Frequenzen vollständig auslöschen. + +Bei der Implementierung von Filtern + + +In der Elektrotechnik führen Schaltungen mit linearen Bauelementen wie Kondensatoren, Spulen und Widerständen immer zu linearen zeitinvarianten Systemen (LTI-System von englich \textit{time-invariant system}). +Die Übertragungsfunktion im Frequenzbereich $|H(\Omega)|$ eines solchen Systems ist dabei immer eine rationale Funktion, also eine Division von zwei Polynomen. +Die Polynome habe dabei immer reelle oder komplex-konjugierte Nullstellen. + + +\begin{equation} \label{ellfilter:eq:h_omega} + | H(\Omega)|^2 = \frac{1}{1 + \varepsilon_p^2 F_N^2(w)}, \quad w=\frac{\Omega}{\Omega_p} +\end{equation} + +$\Omega = 2 \pi f$ ist die analoge Frequenz + + +% Linear filter +Damit das Filter implementierbar und stabil ist, muss $H(\Omega)^2$ eine rationale Funktion sein, deren Nullstellen und Pole auf der linken Halbebene liegen. + +$N \in \mathbb{N} $ gibt dabei die Ordnung des Filters vor, also die maximale Anzahl Pole oder Nullstellen. + +% In \eqref{ellfilter:eq:h_omega} wird $F_N(w)$ so verzogen, dass $F_N(w) \forall |w| < 1$ + + +Damit ein Filter die Passband Kondition erfüllt muss $|F_N(w)| \leq 1 \forall |w| \leq 1$ und für $|w| \geq 1$ sollte die Funktion möglichst schnell divergieren. +Eine einfaches Polynom, dass das erfüllt, erhalten wir wenn $F_N(w) = w^N$. +Tatsächlich erhalten wir damit das Butterworth Filter, wie in Abbildung \ref{ellfilter:fig:butterworth} ersichtlich. +\begin{figure} + \centering + \includegraphics[scale=1]{papers/ellfilter/python/F_N_butterworth.pdf} + \caption{$F_N$ für Butterworth filter. Der grüne Bereich definiert die erlaubten Werte für alle $F_N$-Funktionen.} + \label{ellfilter:fig:butterworth} +\end{figure} + +wenn $F_N(w)$ eine rationale Funktion ist, ist auch $H(\Omega)$ eine rationale Funktion und daher ein lineares Filter. %proof? + +\begin{align} + F_N(w) & = + \begin{cases} + w^N & \text{Butterworth} \\ + T_N(w) & \text{Tschebyscheff, Typ 1} \\ + [k_1 T_N (k^{-1} w^{-1})]^{-1} & \text{Tschebyscheff, Typ 2} \\ + R_N(w) & \text{Elliptisch (Cauer)} \\ + \end{cases} +\end{align} + +Mit der Ausnahme vom Butterworth filter sind alle Filter nach speziellen Funktionen benannt. +Alle diese Filter sind optimal für unterschiedliche Anwendungsgebiete. +Das Butterworth-Filter, zum Beispiel, ist maximal flach im Durchlassbereich. +Das Tschebyscheff-1 Filter sind maximal steil für eine definierte Welligkeit im Durchlassbereich, währendem es im Sperrbereich monoton abfallend ist. +Es scheint so als sind gewisse Eigenschaften dieser speziellen Funktionen verantwortlich für die Optimalität dieser Filter. + +\section{Tschebyscheff-Filter} + +Als Einstieg betrachent Wir das Tschebyscheff-Filter, welches sehr verwand ist mit dem elliptischen Filter. +Genauer ausgedrückt sind die Tschebyscheff-1 und -2 Fitler ein Spezialfall davon. + +Der Name des Filters deutet schon an, dass die Tschebyschff-Polynome $T_N$ relevant sind für das Filter: +\begin{align} + T_{0}(x)&=1\\ + T_{1}(x)&=x\\ + T_{2}(x)&=2x^{2}-1\\ + T_{3}(x)&=4x^{3}-3x\\ + T_{n+1}(x)&=2x~T_{n}(x)-T_{n-1}(x). +\end{align} +Bemerkenswert ist, dass die Polynome im Intervall $[-1, 1]$ mit der Trigonometrischen Funktion +\begin{equation} \label{ellfilter:eq:chebychef_polynomials} + T_N(w) = \cos \left( N \cos^{-1}(w) \right) +\end{equation} +übereinstimmt. +Abbildung \ref{ellfilter:fig:chebychef_polynomials} zeigt einige Tschebyscheff-Polynome. +\begin{figure} + \centering + \includegraphics[scale=1]{papers/ellfilter/python/F_N_chebychev2.pdf} + \caption{Die Tschebyscheff-Polynome $C_N$.} + \label{ellfilter:fig:chebychef_polynomials} +\end{figure} +Da der Kosinus begrenzt zwischen $-1$ und $1$ ist, sind auch die Tschebyscheff-Polynome begrenzt. +Geht man aber über das Intervall $[-1, 1]$ hinaus, divergieren die Funktionen mit zunehmender Ordnung immer steiler gegen $\pm \infty$. +Diese Eigenschaft ist sehr nützlich für ein Filter. +Wenn wir die Tschebyscheff-Polynome quadrieren, passen sie perfekt in die Voraussetzungen für Filterfunktionen, wie es Abbildung \ref{ellfiter:fig:chebychef} demonstriert. +\begin{figure} + \centering + \includegraphics[scale=1]{papers/ellfilter/python/F_N_chebychev.pdf} + \caption{Die Tschebyscheff-Polynome füllen den erlaubten Bereich besser, und erhalten dadurch eine steilere Flanke im Sperrbereich.} + \label{ellfiter:fig:chebychef} +\end{figure} + + +Die analytische Fortsetzung von \eqref{ellfilter:eq:chebychef_polynomials} über das Intervall $[-1,1]$ hinaus stimmt mit den Polynomen überein, wie es zu erwarten ist. +Die genauere Betrachtung wird uns dann helfen die elliptischen Filter zu verstehen. + +\begin{equation} + \cos^{-1}(x) + = + \int_{0}^{x} + \frac{ + dz + }{ + \sqrt{ + 1-z^2 + } + } +\end{equation} %TOdO is it minus dz? + +\begin{equation} + \frac{ + 1 + }{ + \sqrt{ + 1-z^2 + } + } + \in \mathbb{R} + \quad + \forall + \quad + -1 \leq z \leq 1 +\end{equation} +Wenn $|z|$ über 1 hinausgeht, wird der Term unter der Wurzel negativ. +Durch die Quadratwurzel entstehen zwei Reinkomplexe Lösungen +\begin{equation} + \frac{ + 1 + }{ + \sqrt{ + 1-z^2 + } + } + = i \xi \quad | \quad \xi \in \mathbb{R} + \quad + \forall + \quad + z \leq -1 \cup z \geq 1 +\end{equation} + +\begin{figure} + \centering + \input{papers/ellfilter/tikz/arccos.tikz.tex} + \caption{Die Funktion $z = \cos^{-1}(w)$ dargestellt in der komplexen ebene.} + \label{ellfilter:fig:arccos} +\end{figure} + + + +\begin{figure} + \centering + \input{papers/ellfilter/tikz/arccos2.tikz.tex} + \caption{ + $z$-Ebene der Tschebyscheff-Funktion. + Je grösser die Ordnung $N$ gewählt wird, desto mehr Nullstellen werden hat das Tschebyscheff-Polynom. + } + % \label{ellfilter:fig:arccos} +\end{figure} + + + + + +% Analytische Fortsetzung + + + +\section{Jacobische elliptische Funktionen} + + +Für das elliptische Filter, wird statt der für das Tschebyscheff-Filter benutzen Kreis-Trigonometrie die elliptischen Funktionen gebraucht. +Der begriff elliptische Funktion wird für sehr viele Funktionen gebraucht, daher ist es hier wichtig zu erwähnen, dass es ausschliesslich um die Jacobischen elliptischen Funktionen geht. + +Im Wesentlichen erweitern die Jacobi elliptischen Funktionen die trigonometrische Funktionen für Ellipsen. + +%TODO $z$ or $u$ for parameter? + +neu zwei parameter +$sn(z, k)$ +$z$ ist das winkelargument +Im Kreis ist der Radius für alle Winkel konstant, bei Ellipsen ändert sich das. +Dies hat zur Folge, dass bei einer Ellipse die Kreisbodenstrecke nicht linear zum Winkel verläuft. +Darum kann hier nicht der gewohnte Winkel verwendet werden. +An deren stelle kommt der parameter $k$ zum Einsatz, welcher durch das elliptische Integral erster Art +\begin{equation} + z + = + F(\phi, k) + = + \int_{0}^{\phi} + \frac{ + d\theta + }{ + \sqrt{ + 1-k^2 \sin^2 \theta + } + } +\end{equation} +mit dem Winkel $\phi$ in Verbindung liegt. + + + + +Dabei wird das vollständige und unvollständige Elliptische integral unterschieden. +Beim vollständigen Integral +\begin{equation} + K(k) + = + \int_{0}^{\pi / 2} + \frac{ + d\theta + }{ + \sqrt{ + 1-k^2 \sin^2 \theta + } + } +\end{equation} +wird über ein viertel Ellipsenbogen integriert also bis $\phi=\pi/2$. + +Die Jacobischen elliptischen Funktionen können mit der inversen Funktion +\begin{equation} + \phi = F^{-1}(z, k) +\end{equation} +definiert werden. Dabei ist zu beachten dass nur das $z$ Argument der Funktion invertiert wird also +\begin{equation} + z = F(\phi, k) + \Leftrightarrow + \phi = F^{-1}(z, k). +\end{equation} +Mithilfe von $F^{-1}$ kann $sn^{-1}$ mit dem Elliptischen integral dargestellt werden: +\begin{equation} + \sin(\phi) + = + \sin \left( F^{-1}(z, k) \right) + = + \sn(u, k) +\end{equation} + +\begin{align} + \sn^{-1}(w, k) + & = + \int_{0}^{\phi} + \frac{ + d\theta + }{ + \sqrt{ + 1-k^2 \sin^2 \theta + } + }, + \quad + \phi = \sin^{-1}(w) + \\ + & = + \int_{0}^{w} + \frac{ + dt + }{ + \sqrt{ + (1-t^2)(1-k^2 t^2) + } + } +\end{align} + +Beim $\cos^{-1}(x)$ haben wir gesehen, dass die analytische Fortsetzung bei $x < -1$ und $x > 1$ rechtwinklig in die Komplexen zahlen wandert. +Wenn man das gleiche mit $\sn^{-1}(w, k)$ macht, erkennt man zwei interessante Stellen. +Die erste ist die gleiche wie beim $\cos^{-1}(x)$ nämlich bei $t = \pm 1$. +Der erste Term unter der Wurzel wird dann negativ, während der zweite noch positiv ist, da $k \leq 1$. +\begin{equation} + \frac{ + 1 + }{ + \sqrt{ + (1-t^2)(1-k^2 t^2) + } + } + \in \mathbb{R} + \quad \forall \quad + -1 \leq t \leq 1 +\end{equation} +Die zweite stelle passiert wenn beide Faktoren unter der Wurzel negativ werden, was bei $t = 1/k$ der Fall ist. + + + + +Funktion in relle und komplexe Richtung periodisch + +In der reellen Richtung ist sie $4K(k)$-periodisch und in der imaginären Richtung $4K^\prime(k)$-periodisch. + + + +%TODO sn^{-1} grafik + + +\section{Elliptische rationale Funktionen} + + +\begin{equation} + R_N(\xi, w) = \cd \left(N~f_1(\xi)~\cd^{-1}(w, 1/\xi), f_2(\xi)\right) +\end{equation} +\begin{equation} + R_N(\xi, w) = \cd (N~u K_1, k_1), \quad w= \cd(uK, k) +\end{equation} + + +sieht ähnlich aus wie die trigonometrische darstellung der Tschebyschef-Polynome + +der Ordnungszahl $N$ kommt auch als Faktor for + +%TODO cd^{-1} grafik mit + + +\subsection{Degree Equation} + +Der $cd^{-1}$ Term muss so verzogen werden, dass die umgebene $cd$ funktion die nullstellen und pole trifft. +Dies trifft ein wenn die Degree Equation erfüllt ist. + +\begin{equation} + N \frac{K^\prime}{K} = \frac{K^\prime_1}{K_1} +\end{equation} + + +Leider ist das lösen dieser Gleichung nicht trivial. +Die Rechnung wird in \ref{ellfilter:bib:orfanidis} im Detail angeschaut. + + +\subsection{Polynome?} + +Bei den Tschebyscheff-Polynomen haben wir gesehen, dass die Trigonometrische Formel zu einfachen Polynomen umgewandelt werden kann. +Im gegensatz zum $\cos^{-1}$ hat der $\cd^{-1}$ nicht nur Nullstellen sondern auch Pole. +Somit entstehen bei den elliptischen rationalen Funktionen, wie es der name auch deutet, rationale Funktionen, also ein Bruch von zwei Polynomen. + + + + +\begin{figure} + \centering + \includegraphics[scale=1]{papers/ellfilter/python/F_N_elliptic.pdf} + \caption{$F_N$ für ein elliptischs filter.} + \label{ellfilter:fig:elliptic} +\end{figure} + + + + \input{papers/ellfilter/teil0.tex} \input{papers/ellfilter/teil1.tex} \input{papers/ellfilter/teil2.tex} \input{papers/ellfilter/teil3.tex} -\printbibliography[heading=subbibliography] +% \printbibliography[heading=subbibliography] \end{refsection} -- cgit v1.2.1