From 2cbc79a82e39702dd78919ac704fae01f50efb12 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: Nicolas Tobler Date: Mon, 30 May 2022 00:33:47 +0200 Subject: split main into section files --- buch/papers/ellfilter/tschebyscheff.tex | 133 ++++++++++++++++++++++++++++++++ 1 file changed, 133 insertions(+) create mode 100644 buch/papers/ellfilter/tschebyscheff.tex (limited to 'buch/papers/ellfilter/tschebyscheff.tex') diff --git a/buch/papers/ellfilter/tschebyscheff.tex b/buch/papers/ellfilter/tschebyscheff.tex new file mode 100644 index 0000000..7d426b6 --- /dev/null +++ b/buch/papers/ellfilter/tschebyscheff.tex @@ -0,0 +1,133 @@ +\section{Tschebyscheff-Filter} + +Als Einstieg betrachent Wir das Tschebyscheff-Filter, welches sehr verwand ist mit dem elliptischen Filter. +Genauer ausgedrückt sind die Tschebyscheff-1 und -2 Filter Spezialfälle davon. + +Der Name des Filters deutet schon an, dass die Tschebyscheff-Polynome $T_N$ für das Filter relevant sind: +\begin{align} + T_{0}(x)&=1\\ + T_{1}(x)&=x\\ + T_{2}(x)&=2x^{2}-1\\ + T_{3}(x)&=4x^{3}-3x\\ + T_{n+1}(x)&=2x~T_{n}(x)-T_{n-1}(x). +\end{align} +Bemerkenswert ist, dass die Polynome im Intervall $[-1, 1]$ mit der trigonometrischen Funktion +\begin{align} \label{ellfilter:eq:chebychef_polynomials} + T_N(w) &= \cos \left( N \cos^{-1}(w) \right) \\ + &= \cos \left(N~z \right), \quad w= \cos(z) +\end{align} +übereinstimmt. +Der Zusammenhang lässt sich mit den Doppel- und Mehrfachwinkelfunktionen der trigonometrischen Funktionen erklären. +Abbildung \ref{ellfilter:fig:chebychef_polynomials} zeigt einige Tschebyscheff-Polynome. +\begin{figure} + \centering + \input{papers/ellfilter/python/F_N_chebychev2.pgf} + \caption{Die Tschebyscheff-Polynome $C_N$.} + \label{ellfilter:fig:chebychef_polynomials} +\end{figure} +Da der Kosinus begrenzt zwischen $-1$ und $1$ ist, sind auch die Tschebyscheff-Polynome begrenzt. +Geht man aber über das Intervall $[-1, 1]$ hinaus, divergieren die Funktionen mit zunehmender Ordnung immer steiler gegen $\pm \infty$. +Diese Eigenschaft ist sehr nützlich für ein Filter. +Wenn wir die Tschebyscheff-Polynome quadrieren, passen sie perfekt in die Voraussetzungen für Filterfunktionen, wie es Abbildung \ref{ellfiter:fig:chebychef} demonstriert. +\begin{figure} + \centering + \input{papers/ellfilter/python/F_N_chebychev.pgf} + \caption{Die Tschebyscheff-Polynome füllen den erlaubten Bereich besser, und erhalten dadurch eine steilere Flanke im Sperrbereich.} + \label{ellfiter:fig:chebychef} +\end{figure} + + +Die analytische Fortsetzung von \eqref{ellfilter:eq:chebychef_polynomials} über das Intervall $[-1,1]$ hinaus stimmt mit den Polynomen überein, wie es zu erwarten ist. +Die genauere Betrachtung wird uns dann helfen die elliptischen Filter besser zu verstehen. + +Starten wir mit der Funktion, die als erstes auf $w$ angewendet wird, dem Arcuscosinus. +Die invertierte Funktion des Kosinus kann als definites Integral dargestellt werden: +\begin{align} + \cos^{-1}(x) + &= + \int_{x}^{1} + \frac{ + dz + }{ + \sqrt{ + 1-z^2 + } + }\\ + &= + \int_{0}^{x} + \frac{ + -1 + }{ + \sqrt{ + 1-z^2 + } + } + ~dz + + \frac{\pi}{2} +\end{align} +Der Integrand oder auch die Ableitung +\begin{equation} + \frac{ + -1 + }{ + \sqrt{ + 1-z^2 + } + } +\end{equation} +bestimmt dabei die Richtung, in der die Funktion verläuft. +Der reelle Arcuscosinus is bekanntlich nur für $|z| \leq 1$ definiert. +Hier bleibt der Wert unter der Wurzel positiv und das Integral liefert reelle Werte. +Doch wenn $|z|$ über 1 hinausgeht, wird der Term unter der Wurzel negativ. +Durch die Quadratwurzel entstehen für den Integranden zwei rein komplexe Lösungen. +Der Wert des Arcuscosinus verlässt also bei $z= \pm 1$ den reellen Zahlenstrahl und knickt in die komplexe Ebene ab. +Abbildung \ref{ellfilter:fig:arccos} zeigt den $\arccos$ in der komplexen Ebene. +\begin{figure} + \centering + \input{papers/ellfilter/tikz/arccos.tikz.tex} + \caption{Die Funktion $z = \cos^{-1}(w)$ dargestellt in der komplexen ebene.} + \label{ellfilter:fig:arccos} +\end{figure} +Wegen der Periodizität des Kosinus ist auch der Arcuscosinus $2\pi$-periodisch und es entstehen periodische Nullstellen. +% \begin{equation} +% \frac{ +% 1 +% }{ +% \sqrt{ +% 1-z^2 +% } +% } +% \in \mathbb{R} +% \quad +% \forall +% \quad +% -1 \leq z \leq 1 +% \end{equation} +% \begin{equation} +% \frac{ +% 1 +% }{ +% \sqrt{ +% 1-z^2 +% } +% } +% = i \xi \quad | \quad \xi \in \mathbb{R} +% \quad +% \forall +% \quad +% z \leq -1 \cup z \geq 1 +% \end{equation} + +Die Tschebyscheff-Polynome skalieren diese Nullstellen mit dem Ordnungsfaktor $N$, wie dargestellt in Abbildung \ref{ellfilter:fig:arccos2}. +\begin{figure} + \centering + \input{papers/ellfilter/tikz/arccos2.tikz.tex} + \caption{ + $z_1=N \cos^{-1}(w)$-Ebene der Tschebyscheff-Funktion. + Die eingefärbten Pfade sind Verläufe von $w~\forall~[-\infty, \infty]$ für verschiedene Ordnungen $N$. + Je grösser die Ordnung $N$ gewählt wird, desto mehr Nullstellen werden passiert. + } + \label{ellfilter:fig:arccos2} +\end{figure} +Somit passert $\cos( N~\cos^{-1}(w))$ im Intervall $[-1, 1]$ $N$ Nullstellen. +Durch die spezielle Anordnung der Nullstellen hat die Funktion Equirippel-Verhalten und ist dennoch ein Polynom, was sich perfekt für linear Filter eignet. -- cgit v1.2.1