From 6e6ba027d2d03bcf4d53cef17326130cd49c9e66 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: Nicolas Tobler <nicolas.tobler@ost.ch>
Date: Wed, 24 Aug 2022 22:46:42 +0200
Subject: corrections

---
 buch/papers/ellfilter/tschebyscheff.tex | 11 ++++++-----
 1 file changed, 6 insertions(+), 5 deletions(-)

(limited to 'buch/papers/ellfilter/tschebyscheff.tex')

diff --git a/buch/papers/ellfilter/tschebyscheff.tex b/buch/papers/ellfilter/tschebyscheff.tex
index 0a48949..327c5e7 100644
--- a/buch/papers/ellfilter/tschebyscheff.tex
+++ b/buch/papers/ellfilter/tschebyscheff.tex
@@ -36,7 +36,7 @@ Wenn wir die Tschebyscheff-Polynome quadrieren, passen sie perfekt in die Forder
 \end{figure}
 
 Die analytische Fortsetzung von \eqref{ellfilter:eq:chebychef_polynomials} über das Intervall $[-1,1]$ hinaus stimmt mit den Polynomen überein, wie es zu erwarten ist.
-Die genauere Betrachtung wird uns helfen die elliptischen Filter besser zu verstehen.
+Die genauere Betrachtung wird uns helfen, die elliptischen Filter besser zu verstehen.
 Starten wir mit der Funktion, die in \eqref{ellfilter:eq:chebychef_polynomials} als erstes auf $w$ angewendet wird, dem Arcuscosinus.
 Die invertierte Funktion des Kosinus kann als bestimmtes Integral dargestellt werden:
 \begin{align}
@@ -73,7 +73,7 @@ Der Integrand oder auch die Ableitung von $\cos^{-1}(x)$,
     },
 \end{equation}
 bestimmt dabei die Richtung, in welche die Funktion verläuft.
-Der reelle Arcuscosinus is bekanntlich nur für $|z| \leq 1$ definiert.
+Der reelle Arcuscosinus ist bekanntlich nur für $|z| \leq 1$ definiert.
 Hier bleibt der Wert unter der Wurzel positiv und das Integral liefert reelle Werte.
 Doch wenn $|z|$ über 1 hinausgeht, wird der Term unter der Wurzel negativ.
 Durch die Quadratwurzel entstehen für den Integranden zwei rein komplexe Lösungen.
@@ -82,10 +82,11 @@ Abbildung \ref{ellfilter:fig:arccos} zeigt den Arcuscosinus in der komplexen Ebe
 \begin{figure}
     \centering
     \input{papers/ellfilter/tikz/arccos.tikz.tex}
-    \caption{Die Funktion $z = \cos^{-1}(w)$ dargestellt in der komplexen ebene.}
+    \caption{Die Funktion $z = \cos^{-1}(w)$ dargestellt in der komplexen Ebene.}
     \label{ellfilter:fig:arccos}
 \end{figure}
-Wegen der Periodizität des Kosinus ist auch der Arcuscosinus $2\pi$-periodisch.
+Wegen der Periodizität des Kosinus werden periodisch Werte in der $z$-Ebene auf den gleichen Wert in $w$ abgebildet.
+Das gleiche Muster kommt daher periodisch vor.
 Das Einzeichnen von Pol- und Nullstellen ist hilfreich für die Betrachtung der Funktion.
 
 
@@ -105,4 +106,4 @@ Somit passiert $\cos \big( N~\cos^{-1}(w) \big)$ im Intervall $[-1, 1]$ $N$ Null
     \label{ellfilter:fig:arccos2}
 \end{figure}
 Durch die spezielle Anordnung der Nullstellen hat die Funktion auf der reellen Achse Equiripple-Verhalten und ist dennoch ein Polynom, was sich perfekt für lineare Filter eignet.
-Für $|w| <= 1$ ist die Funktion begrenzt zwischen $-1$ und $1$.
+Für $|w| \le 1$ ist die Funktion begrenzt zwischen $-1$ und $1$.
-- 
cgit v1.2.1

