From d4e52d5bd83bed95d7712c34e14ccde3ff72810e Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: Nicolas Tobler <nicolas.tobler@ost.ch>
Date: Tue, 9 Aug 2022 23:54:32 +0200
Subject: Improved plot color choices

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 buch/papers/ellfilter/tschebyscheff.tex | 51 ++++++++-------------------------
 1 file changed, 12 insertions(+), 39 deletions(-)

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--- a/buch/papers/ellfilter/tschebyscheff.tex
+++ b/buch/papers/ellfilter/tschebyscheff.tex
@@ -1,8 +1,7 @@
 \section{Tschebyscheff-Filter}
 
-Als Einstieg betrachent Wir das Tschebyscheff-Filter, welches sehr verwand ist mit dem elliptischen Filter.
+Als Einstieg betrachten wir das Tschebyscheff-Filter, welches sehr verwand ist mit dem elliptischen Filter.
 Genauer ausgedrückt sind die Tschebyscheff-1 und -2 Filter Spezialfälle davon.
-
 Der Name des Filters deutet schon an, dass die Tschebyscheff-Polynome $T_N$ für das Filter relevant sind:
 \begin{align}
     T_{0}(x)&=1\\
@@ -16,7 +15,7 @@ Bemerkenswert ist, dass die Polynome im Intervall $[-1, 1]$ mit der trigonometri
     T_N(w) &= \cos \left( N \cos^{-1}(w) \right) \\
            &= \cos \left(N~z \right), \quad w= \cos(z)
 \end{align}
-übereinstimmt.
+übereinstimmen.
 Der Zusammenhang lässt sich mit den Doppel- und Mehrfachwinkelfunktionen der trigonometrischen Funktionen erklären.
 Abbildung \ref{ellfilter:fig:chebychef_polynomials} zeigt einige Tschebyscheff-Polynome.
 \begin{figure}
@@ -36,12 +35,11 @@ Wenn wir die Tschebyscheff-Polynome quadrieren, passen sie perfekt in die Voraus
     \label{ellfiter:fig:chebychef}
 \end{figure}
 
-
 Die analytische Fortsetzung von \eqref{ellfilter:eq:chebychef_polynomials} über das Intervall $[-1,1]$ hinaus stimmt mit den Polynomen überein, wie es zu erwarten ist.
-Die genauere Betrachtung wird uns dann helfen die elliptischen Filter besser zu verstehen.
+Die genauere Betrachtung wird uns helfen die elliptischen Filter besser zu verstehen.
 
-Starten wir mit der Funktion, die als erstes auf $w$ angewendet wird, dem Arcuscosinus.
-Die invertierte Funktion des Kosinus kann als definites Integral dargestellt werden:
+Starten wir mit der Funktion, die in \eqref{ellfilter:eq:chebychef_polynomials} als erstes auf $w$ angewendet wird, dem Arcuscosinus.
+Die invertierte Funktion des Kosinus kann als bestimmtes Integral dargestellt werden:
 \begin{align}
     \cos^{-1}(x)
     &=
@@ -88,46 +86,21 @@ Abbildung \ref{ellfilter:fig:arccos} zeigt den $\arccos$ in der komplexen Ebene.
     \caption{Die Funktion $z = \cos^{-1}(w)$ dargestellt in der komplexen ebene.}
     \label{ellfilter:fig:arccos}
 \end{figure}
-Wegen der Periodizität des Kosinus ist auch der Arcuscosinus $2\pi$-periodisch und es entstehen periodische Nullstellen.
-% \begin{equation}
-%     \frac{
-%         1
-%     }{
-%         \sqrt{
-%             1-z^2
-%         }
-%     }
-%     \in \mathbb{R}
-%     \quad
-%     \forall
-%     \quad
-%     -1  \leq z \leq 1
-% \end{equation}
-% \begin{equation}
-%     \frac{
-%         1
-%     }{
-%         \sqrt{
-%             1-z^2
-%         }
-%     }
-%     = i \xi \quad | \quad \xi \in \mathbb{R}
-%     \quad
-%     \forall
-%     \quad
-%     z \leq -1 \cup z \geq 1
-% \end{equation}
+Wegen der Periodizität des Kosinus ist auch der Arcuscosinus $2\pi$-periodisch.
+Das Einzeichnen von Pol- und Nullstellen ist hilfreich für die Betrachtung der Funktion.
+
 
-Die Tschebyscheff-Polynome skalieren diese Nullstellen mit dem Ordnungsfaktor $N$, wie dargestellt in Abbildung \ref{ellfilter:fig:arccos2}.
+In \eqref{ellfilter:eq:chebychef_polynomials} wird $z$ mit dem Ordnungsfaktor $N$ multipliziert und durch die Kosinusfunktion zurück transformiert.
+Die Skalierung hat zur folge, dass bei der Rücktransformation durch den Kosinus mehrere Nullstellen durchlaufen werden.
+Somit passiert $\cos( N~\cos^{-1}(w))$ im Intervall $[-1, 1]$ $N$ Nullstellen, wie dargestellt in Abbildung \ref{ellfilter:fig:arccos2}.
 \begin{figure}
     \centering
     \input{papers/ellfilter/tikz/arccos2.tikz.tex}
     \caption{
         $z_1=N \cos^{-1}(w)$-Ebene der Tschebyscheff-Funktion.
-        Die eingefärbten Pfade sind Verläufe von $w~\forall~[-\infty, \infty]$ für verschiedene Ordnungen $N$.
+        Die eingefärbten Pfade sind Verläufe von $w~\forall~[-\infty, \infty]$ für $N = 4$.
         Je grösser die Ordnung $N$ gewählt wird, desto mehr Nullstellen werden passiert.
     }
     \label{ellfilter:fig:arccos2}
 \end{figure}
-Somit passert $\cos( N~\cos^{-1}(w))$ im Intervall $[-1, 1]$ $N$ Nullstellen.
 Durch die spezielle Anordnung der Nullstellen hat die Funktion Equirippel-Verhalten und ist dennoch ein Polynom, was sich perfekt für linear Filter eignet.
-- 
cgit v1.2.1


From efa82f7edc7345c29c2d44674d8c8d8ad8741548 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: Nicolas Tobler <nicolas.tobler@ost.ch>
Date: Sat, 13 Aug 2022 19:32:21 +0200
Subject: corrections

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 buch/papers/ellfilter/tschebyscheff.tex | 25 ++++++++++++++-----------
 1 file changed, 14 insertions(+), 11 deletions(-)

(limited to 'buch/papers/ellfilter/tschebyscheff.tex')

diff --git a/buch/papers/ellfilter/tschebyscheff.tex b/buch/papers/ellfilter/tschebyscheff.tex
index 8a82c5f..639c87c 100644
--- a/buch/papers/ellfilter/tschebyscheff.tex
+++ b/buch/papers/ellfilter/tschebyscheff.tex
@@ -1,8 +1,8 @@
 \section{Tschebyscheff-Filter}
 
-Als Einstieg betrachten wir das Tschebyscheff-Filter, welches sehr verwand ist mit dem elliptischen Filter.
-Genauer ausgedrückt sind die Tschebyscheff-1 und -2 Filter Spezialfälle davon.
-Der Name des Filters deutet schon an, dass die Tschebyscheff-Polynome $T_N$ für das Filter relevant sind:
+Als Einstieg betrachten wir das Tschebyscheff-Filter, welches sehr verwandt ist mit dem elliptischen Filter.
+Genauer ausgedrückt erhält man die Tschebyscheff-1 und -2 Filter bei Grenzwerten von Parametern beim elliptischen Filter.
+Der Name des Filters deutet schon an, dass die Tschebyscheff-Polynome $T_N$ (siehe auch Kapitel \label{buch:polynome:section:tschebyscheff}) für das Filter relevant sind:
 \begin{align}
     T_{0}(x)&=1\\
     T_{1}(x)&=x\\
@@ -27,7 +27,7 @@ Abbildung \ref{ellfilter:fig:chebychef_polynomials} zeigt einige Tschebyscheff-P
 Da der Kosinus begrenzt zwischen $-1$ und $1$ ist, sind auch die Tschebyscheff-Polynome begrenzt.
 Geht man aber über das Intervall $[-1, 1]$ hinaus, divergieren die Funktionen mit zunehmender Ordnung immer steiler gegen $\pm \infty$.
 Diese Eigenschaft ist sehr nützlich für ein Filter.
-Wenn wir die Tschebyscheff-Polynome quadrieren, passen sie perfekt in die Voraussetzungen für Filterfunktionen, wie es Abbildung \ref{ellfiter:fig:chebychef} demonstriert.
+Wenn wir die Tschebyscheff-Polynome quadrieren, passen sie perfekt in die Forderungen für Filterfunktionen, wie es Abbildung \ref{ellfiter:fig:chebychef} demonstriert.
 \begin{figure}
     \centering
     \input{papers/ellfilter/python/F_N_chebychev.pgf}
@@ -61,9 +61,9 @@ Die invertierte Funktion des Kosinus kann als bestimmtes Integral dargestellt we
         }
     }
     ~dz
-    + \frac{\pi}{2}
+    + \frac{\pi}{2}.
 \end{align}
-Der Integrand oder auch die Ableitung
+Der Integrand oder auch die Ableitung von $\cos^{-1}(x)$
 \begin{equation}
     \frac{
         -1
@@ -73,13 +73,13 @@ Der Integrand oder auch die Ableitung
         }
     }
 \end{equation}
-bestimmt dabei die Richtung, in der die Funktion verläuft.
+bestimmt dabei die Richtung, in welche die Funktion verläuft.
 Der reelle Arcuscosinus is bekanntlich nur für $|z| \leq 1$ definiert.
 Hier bleibt der Wert unter der Wurzel positiv und das Integral liefert reelle Werte.
 Doch wenn $|z|$ über 1 hinausgeht, wird der Term unter der Wurzel negativ.
 Durch die Quadratwurzel entstehen für den Integranden zwei rein komplexe Lösungen.
 Der Wert des Arcuscosinus verlässt also bei $z= \pm 1$ den reellen Zahlenstrahl und knickt in die komplexe Ebene ab.
-Abbildung \ref{ellfilter:fig:arccos} zeigt den $\arccos$ in der komplexen Ebene.
+Abbildung \ref{ellfilter:fig:arccos} zeigt den Arcuscosinus in der komplexen Ebene.
 \begin{figure}
     \centering
     \input{papers/ellfilter/tikz/arccos.tikz.tex}
@@ -98,9 +98,12 @@ Somit passiert $\cos( N~\cos^{-1}(w))$ im Intervall $[-1, 1]$ $N$ Nullstellen, w
     \input{papers/ellfilter/tikz/arccos2.tikz.tex}
     \caption{
         $z_1=N \cos^{-1}(w)$-Ebene der Tschebyscheff-Funktion.
-        Die eingefärbten Pfade sind Verläufe von $w~\forall~[-\infty, \infty]$ für $N = 4$.
-        Je grösser die Ordnung $N$ gewählt wird, desto mehr Nullstellen werden passiert.
+        Die eingefärbten Pfade sind Verläufe von $w\in(-\infty, \infty)$ für $N = 4$.
+        Je grösser die Ordnung $N$ gewählt wird, desto mehr Nullstellen werden passiert die zu Equirippel-Verhalten führen.
+        Die vertikalen Segmente der Funktion sorgen für das Ansteigen der Funktion gegen $\infty$ nach der Grenzfrequenz.
+        Die eingezeichneten Nullstellen sind vom zurücktransformierenden Kosinus.
     }
     \label{ellfilter:fig:arccos2}
 \end{figure}
-Durch die spezielle Anordnung der Nullstellen hat die Funktion Equirippel-Verhalten und ist dennoch ein Polynom, was sich perfekt für linear Filter eignet.
+Durch die spezielle Anordnung der Nullstellen hat die Funktion auf der reellen Achse Equirippel-Verhalten und ist dennoch ein Polynom, was sich perfekt für linear Filter eignet.
+Equirippel bedeutet, dass alle lokalen Maxima der Betragsfunktion gleich gross sind.
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cgit v1.2.1

