From 7d7dd6055db4cd39053f766e86242b12d93a9cd9 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: Joshua Baer <joshua.baer@ost.ch>
Date: Wed, 17 Aug 2022 18:29:07 +0200
Subject: FM save

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 buch/papers/fm/02_FM.tex | 60 +++++++++++++++++++++---------------------------
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index 3b4fdfd..a46b63c 100644
--- a/buch/papers/fm/02_FM.tex
+++ b/buch/papers/fm/02_FM.tex
@@ -10,7 +10,6 @@
 (skript Nat ab Seite 60)
 Als weiterer Parameter, um ein sinusförmiges Trägersignal \(x_c = A_c \cdot \cos(\omega_c t + \varphi)\) zu modulieren,
 bietet sich neben der Amplitude \(A_c\) auch der Phasenwinkel \(\varphi\) oder die momentane Frequenzabweichung \(\frac{d\varphi}{dt}\) an.
-Da beide nur durch die Operation differenzieren getrennt wird, sind diese zwei Modulationen so miteinenader Verwandt das ich nur auf die Frequenzmodulation eingehe.
 Bei der Phasenmodulation (Englisch: phase modulation, PM) erzeugt das Nachrichtensignal \(m(t)\) eine Phasenabweichung \(\varphi(t)\)
 des modulierten Trägersignals im Vergleich zum nicht-modulierten Träger.
 Sie ist proportional zum Nachrichtensignal \(m(t)\) durch eine Skalierung mit der Phasenhubkonstanten (Englisch: phase deviation constant) 
@@ -18,20 +17,20 @@ Sie ist proportional zum Nachrichtensignal \(m(t)\) durch eine Skalierung mit de
     k_p [rad],
 \]
 welche die Amplitude des Nachrichtensignals auf die Phasenabweichung des
-modulierten Trägersignals abbildet: φ(t) = k p · m(t). Damit ergibt sich für das phasenmodulierte Trägersignal:
+modulierten Trägersignals abbildet: \(\varphi(t) = k_p \cdot m(t)\).
+Damit ergibt sich für das phasenmodulierte Trägersignal:
 \[
-    x_PM (t) = A_c \cdot \cos (\omega_c t + k_p \cdot m(t))
+    x_{PM} (t) = A_c \cdot \cos (\omega_c t + k_p \cdot m(t))
 \]
 Die modulierte Phase \(\varphi(t)\) verändert dabei auch die Momentanfrequenz (Englisch: instantaneous frequency) \(\omega_i\)
 , welche wie folgt berechnet wird:
 \[
-    f_i = 2\pi
-    \omega_i (t) = \omega_c + \frac{d\varphi(t)}{dt}
+    f_i = 2\pi \omega_i (t) = \omega_c + \frac{d\varphi(t)}{dt}
 \]
 Bei der Frequenzmodulation (Englisch: frequency modulation, FM) ist die Abweichung der momentanen
 Kreisfrequenz \(\omega_i\) von der Trägerkreisfrequenz \(\omega_c\) proportional zum Nachrichtensignal \(m(t)\).
- Sie ergibt sich, indem \(m(t)\) mit der (Kreis-)Frequenzhubkonstanten (Englisch: frequency deviation constant) \(k_f [rad/s] \)skaliert wird: 
- \[
+Sie ergibt sich, indem \(m(t)\) mit der (Kreis-)Frequenzhubkonstanten (Englisch: frequency deviation constant) \(k_f [rad/s] \)skaliert wird: 
+\[
     \omega_i (t) = \omega_c + k_f \cdot m(t).
 \]
 Diese sich zeitlich verändernde Abweichung von der Kreisfrequenz \(\omega_c\)
@@ -39,35 +38,28 @@ verursacht gleichzeitig auch Schwankungen der Phase \(\varphi(t)\),
 welche wie folgt berechnet wird:
 \[
     \varphi (t) =
-    \int_{-\infty}^0
-%ω i (τ ) − ω c dτ =
-%Somit ergibt sich für das frequenzmodulierte Trägersignal:
-%
-%Z t
-%−∞
-%x FM (t) = A c · cos  ω c t + k f
-%k f · m(t) dτ
-%Z t
-%−∞
-%
-%m(τ ) dτ 
+    \int_{-\infty}^t \omega_i (\tau ) - \omega_c\, d\tau =
+    \int_{-\infty}^t k_f \cdot m(t)\,d\tau
+\]
+%\intertext{Somit ergibt sich für das frequenzmodulierte Trägersignal: }
+\[
+    x_{FM} (t) = A_c \cdot \cos \left( \omega_c t +  \int_{-\infty}^t k_f  \cdot m ( \tau) \,d\tau \right) 
 \]
+Die Phase \(\varphi(t)\) hat dabei einen kontinuierlichen Verlauf, d.h. das FM-modulierte Signal \(x_{FM}(t)\) weist keine Stellen auf,
+ wo sich die Phase sprunghaft ändert. Aus diesem Grund spricht man bei frequenzmodulierten
+ Signalen - speziell auch bei digitalen FM-Signalen - von einer Modulation mit kontinuierlicher Phase (Englisch: continuous phase modulation).
+Wie aus diesen Ausführungen hervorgeht, sind Phasenmodulation und Frequenzmodulation äquivalente Modulationsverfahren.
+Beide variieren sowohl die Phase \(\varphi\) wie auch die Momentanfrequenz \(\omega_i.\)
+Dadurch kannman leider nicht - wie vielleicht erhofft - je mit einem eigenen Nachrichtensignal ein gemeinsames Trägersignal unabhängig PM- und FM-modulieren,
+ ohne dass sich diese Modulationen für den Empfänger untrennbar vermischen würden.
+Um die mathematische Behandlung der nicht-linearen Winkelmodulation etwas zu verkürzen, ist es aufgrund dieser Äquivalenzen gerechtfertigt,
+dass PM und FM gemeinsam behandelt werden. 
+Da beide nur durch die Operation differenzieren getrennt wird, sind diese zwei Modulationen so miteinenader Verwandt das ich nur auf die Frequenzmodulation eingehe.
+Jeweils vor der Modulation bzw. nach der Demodulation kann dann noch eine Differentiation oder 
+Integration durchgeführt wird, um von der einen Modulationsart zur anderen zu gelangen.
+\citeauthor{fm:NAT}
 
-%Die Phase φ(t) hat dabei einen kontinuierlichen Verlauf, d.h. das FM-modulierte Signal x FM (t) weist keine
-%Stellen auf, wo sich die Phase sprunghaft ändert. Aus diesem Grund spricht man bei frequenzmodulierten
-%Signalen – speziell auch bei digitalen FM-Signalen – von einer Modulation mit kontinuierlicher Phase (Eng-
-%lisch: continuous phase modulation).
-%Wie aus diesen Ausführungen hervorgeht, sind Phasenmodulation und Frequenzmodulation äquivalente Mo-
-%dulationsverfahren. Beide variieren sowohl die Phase φ wie auch die Momentanfrequenz ω i . Dadurch kann
-%man leider nicht – wie vielleicht erhofft – je mit einem eigenen Nachrichtensignal ein gemeinsames Trägersi-
-%gnal unabhängig PM- und FM-modulieren, ohne dass sich diese Modulationen für den Empfänger untrennbar
-%vermischen würden.
-%
-%Um die mathematische Behandlung der nicht-linearen Winkelmodulation etwas zu verkürzen, ist es aufgrund
-%dieser Äquivalenzen gerechtfertigt, dass PM und FM gemeinsam behandelt werden. Jeweils vor der Modu-
-%lation bzw. nach der Demodulation kann dann noch eine Differentiation oder Integration durchgeführt wird,
-%um von der einen Modulationsart zur anderen zu gelangen.
-%\subsection{Frequenzbereich}
+\subsection{Frequenzbereich}
 %Nun
 %TODO
 %Hier Beschreiben ich FM und FM im Frequenzspektrum.
-- 
cgit v1.2.1

