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From: Joshua Baer <joshua.baer@ost.ch>
Date: Wed, 3 Aug 2022 19:45:04 +0200
Subject: bessel labeled

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@@ -24,6 +24,7 @@ Das Ziel ist es unser moduliertes Signal mit der Besselfunktion so auszudrücken
     \sum_{k= -\infty}^\infty J_{k}(\beta) \cos((\omega_c+k\omega_m)t)
     \label{fm:eq:proof}
 \end{align}
+
 \subsubsection{Hilfsmittel}
 Doch dazu brauchen wir die Hilfe der Additionsthoerme 
 \begin{align}
@@ -46,18 +47,18 @@ und die drei Besselfunktions indentitäten,
 \begin{align}
     \cos(\beta\sin\phi)
     &=
-    J_0(\beta) + 2\sum_{k=1}^\infty J_{2k}(\beta) \cos(2k\phi)
+    J_0(\beta) + 2\sum_{k=1}^\infty(-1)^k \cdot J_{2k}(\beta) \cos(2k\phi)
     \label{fm:eq:besselid1}
     \\
     \sin(\beta\sin\phi)
     &=
-    J_0(\beta) + 2\sum_{k=1}^\infty J_{2k+1}(\beta) \cos((2k+1)\phi)
+    2\sum_{k=0}^\infty (-1)^k J_{2k+1}(\beta) \cos((2k+1)\phi)
     \label{fm:eq:besselid2}
     \\
     J_{-n}(\beta) &= (-1)^n J_n(\beta)
     \label{fm:eq:besselid3}
 \end{align}
-welche man im Kapitel (ref), ref, ref findet.
+welche man im Kapitel \eqref{buch:fourier:eqn:expinphireal}, \eqref{buch:fourier:eqn:expinphiimaginary}, \eqref{buch:fourier:eqn:symetrie}.
 
 \subsubsection{Anwenden des Additionstheorem}
 Mit dem \eqref{fm:eq:addth1} wird aus dem modulierten Signal
@@ -66,26 +67,31 @@ Mit dem \eqref{fm:eq:addth1} wird aus dem modulierten Signal
     =
     \cos(\omega_c t + \beta\sin(\omega_mt))
     =
-    \cos(\omega_c t)\cos(\beta\sin(\omega_m t))-\sin(\omega_c)\sin(\beta\sin(\omega_m t)).
+    \cos(\omega_c t)\cos(\beta\sin(\omega_m t))-\sin(\omega_ct)\sin(\beta\sin(\omega_m t)).
     \label{fm:eq:start}
 \]
+
 \subsubsection{Cos-Teil}
 Zu beginn wird der Cos-Teil
 \[
-    \cos(\omega_c)\cos(\beta\sin(\omega_mt))  
+    \cos(\omega_c t)\cdot\cos(\beta\sin(\omega_mt))  
 \]
 mit hilfe der Besselindentität \eqref{fm:eq:besselid1} zum
 \begin{align*}
-    \cos(\omega_c t) \cdot \bigg[\, J_0(\beta) + 2\sum_{k=1}^\infty J_{2k}(\beta) \cos( 2k \omega_m t)\, \bigg]
-    &=\\
-    J_0(\beta)\cos(\omega_c t) + \sum_{k=1}^\infty J_{2k}(\beta) 
-    \underbrace{2\cos(\omega_c t)\cos(2k\omega_m t)}_{\text{Additionstheorem}}
+    \cos(\omega_c t) \cdot \bigg[ J_0(\beta) + 2\sum_{k=1}^\infty(-1)^k \cdot J_{2k}(\beta) \cos( 2k \omega_m t)\, \bigg]
+    &=
+    (-1)^k \cdot \sum_{k=1}^\infty J_{2k}(\beta) \underbrace{2\cos(\omega_c t)\cos(2k\omega_m t)}_{\text{Additionstheorem}}
 \end{align*}
 wobei mit dem Additionstheorem \eqref{fm:eq:addth2} \(A = \omega_c t\) und \(B = 2k\omega_m t \) zum
-\[
-    J_0(\beta)\cdot \cos(\omega_c t) + \sum_{k=1}^\infty J_{2k}(\beta) \{ \cos((\omega_c - 2k \omega_m) t)+\cos((\omega_c + 2k \omega_m) t) \}
-\]
-wird.
+\begin{align*}
+    J_0(\beta) \cdot \cos(\omega_c t) +(-1)^k \cdot \sum_{k=1}^\infty J_{2k}(\beta) \{ \underbrace{\cos((\omega_c - 2k \omega_m) t)} \,+\, \cos((\omega_c + 2k \omega_m) t) \}
+    \\
+    =
+    (-1)^k \cdot \sum_{k=-\infty}^{-1} J_{2k}(\beta)  \overbrace{\cos((\omega_c +2k \omega_m) t)} 
+    \,+\,J_0(\beta)\cdot \cos(\omega_c t+ 2\cdot0 \omega_m) 
+    \,+\, (-1)^k \cdot\sum_{k=1}^\infty J_{2k}(\beta)\cos((\omega_c + 2k \omega_m) t) 
+\end{align*}
+
 Wenn dabei \(2k\) durch alle geraden Zahlen von \(-\infty \to \infty\) mit \(n\) substituiert erhält man den vereinfachten Term
 \[
     \sum_{n\, \text{gerade}} J_{n}(\beta) \cos((\omega_c + n\omega_m) t),
@@ -96,22 +102,32 @@ dabei gehen nun die Terme von \(-\infty \to \infty\), dabei bleibt n Ganzzahlig.
 \subsubsection{Sin-Teil}
 Nun zum zweiten Teil des Term \eqref{fm:eq:start}, den Sin-Teil
 \[
-    \sin(\omega_c)\sin(\beta\sin(\omega_m t)).
+    -\sin(\omega_c t)\cdot\sin(\beta\sin(\omega_m t)).
 \]
 Dieser wird mit der \eqref{fm:eq:besselid2} Besselindentität zu
 \begin{align*}
-    \sin(\omega_c t) \cdot \bigg[ J_0(\beta) + 2 \sum_{k=1}^\infty J_{ 2k + 1}(\beta) \cos(( 2k + 1) \omega_m t) \bigg]
-    &=\\
-    J_0(\beta) \cdot \sin(\omega_c t) + \sum_{k=1}^\infty J_{2k+1}(\beta) \underbrace{2\sin(\omega_c t)\cos((2k+1)\omega_m t)}_{\text{Additionstheorem}}.
+    -\sin(\omega_c t) \cdot \bigg[ 2 \sum_{k=0}^\infty(-1)^k \cdot J_{ 2k + 1}(\beta) \cos(( 2k + 1) \omega_m t) \bigg]
+    \\
+    =
+    (-1)^k \cdot -\sum_{k=0}^\infty J_{2k+1}(\beta) \underbrace{2\sin(\omega_c t)\cos((2k+1)\omega_m t)}_{\text{Additionstheorem}}.
 \end{align*}
 Auch hier wird ein Additionstheorem \eqref{fm:eq:addth3} gebraucht, dabei ist \(A = \omega_c t\) und \(B = (2k+1)\omega_m t \), 
 somit wird daraus
-\[
-    J_0(\beta) \cdot \sin(\omega_c) + \sum_{k=1}^\infty J_{2k+1}(\beta) \{ \underbrace{\cos((\omega_c-(2k+1)\omega_m) t)}_{\text{neg.Teil}} - \cos((\omega_c+(2k+1)\omega_m) t) \}
-\]dieser Term.
-Wenn dabei \(2k +1\) durch alle ungeraden Zahlen von \(-\infty \to \infty\) mit \(n\) substituiert.
+\begin{align*}
+    (-1)^k \cdot -\sum_{k=0}^\infty J_{2k+1}(\beta) \{ \underbrace{\cos((\omega_c - (2k+1)\omega_m) t)} \,-\, \cos((\omega_c+(2k+1)\omega_m) t) \}
+    \\
+    =
+    (-1)^k \cdot -\sum_{k=- \infty}^{-1} J_{2k+1}(\beta)  \overbrace{\cos((\omega_c + (2k+1)\omega_m) t)}
+    \,-\, (-1)^k \cdot -\sum_{k=0}^\infty J_{2k+1}(\beta) \cos((\omega_c + (2k+1)\omega_m) t) 
+\end{align*}
+dieser Term.
 Zusätzlich dabei noch die letzte Besselindentität \eqref{fm:eq:besselid3} brauchen, ist bei allen ungeraden negativen \(n : J_{-n}(\beta) = -1\cdot J_n(\beta)\).
-Somit wird neg.Teil zum Term \(-\cos((\omega_c+(2k+1)\omega_m) t)\) und die Summe vereinfacht sich zu
+Somit wird neg.Teil zum Term 
+\[
+    (-1)^k \cdot \sum_{k= \infty}^{1} -1 \cdot J_{2k+1}(\beta) \cos((\omega_c+(2k+1)\omega_m) t).
+\] 
+TODO (jetzt habe ich zwei Summen die immer positiv sind? )
+Wenn dabei \(2k +1\) durch alle ungeraden Zahlen von \(-\infty \to \infty\) mit \(n\) substituiert vereinfacht sich die Summe zu
 \[
      \sum_{n\, \text{ungerade}} -1 \cdot J_{n}(\beta) \cos((\omega_c + n\omega_m) t).
      \label{fm:eq:ungerade}
@@ -122,7 +138,8 @@ Substituiert man nun noch \(n \text{mit} -n \) so fällt das \(-1\) weg.
 Beide Teile \eqref{fm:eq:gerade} Gerade 
 \[
     \sum_{n\, \text{gerade}} J_{n}(\beta) \cos((\omega_c + n\omega_m) t)
-\]und \eqref{fm:eq:ungerade} Ungerade 
+\]
+und \eqref{fm:eq:ungerade} Ungerade 
 \[
     \sum_{n\, \text{ungerade}} J_{n}(\beta) \cos((\omega_c + n\omega_m) t)
 \]
@@ -140,7 +157,7 @@ Somit ist \eqref{fm:eq:proof} bewiesen.
 Um sich das ganze noch einwenig Bildlicher vorzustellenhier einmal die Besselfunktion \(J_{k}(\beta)\) in geplottet.
 \begin{figure}
 	\centering
-%	\input{./PyPython animation/bessel.pgf}
+	\input{papers/fm/Python animation/bessel.pgf}
 	\caption{Bessle Funktion \(J_{k}(\beta)\)}
 	\label{fig:bessel}
 \end{figure}
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cgit v1.2.1

