From e63dbdeedff258f834311a449d935e7945d6c9db Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: Joshua Baer <joshua.baer@ost.ch>
Date: Tue, 16 Aug 2022 10:28:32 +0200
Subject: signal m draw

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+++ b/buch/papers/fm/03_bessel.tex
@@ -157,14 +157,14 @@ jedoch so \(-1 \cdot J_{-n}(\beta) = J_n(\beta)\) und daraus wird dann:
     \sum_{n=- \infty}^{-1} J_{n}(\beta)  \cos((\omega_c + n \omega_m) t)
     \,+\, \sum_{n=1}^\infty J_{n}(\beta) \cos((\omega_c + n\omega_m) t)
 \end{align*}
-Da \(n\) immer ungerade ist und \(0\) nicht zu den ungeraden zahlen zählt, kann man dies so vereinfacht 
+Da \(n\) immer ungerade ist und \(0\) nicht zu den ungeraden Zahlen zählt, kann man dies so vereinfacht 
 \[
     s(t)
     =
-    \sum_{n\, \text{ungerade}} -1 \cdot J_{n}(\beta) \cos((\omega_c + n\omega_m) t).
+    \sum_{n\, \text{ungerade}} J_{n}(\beta) \cos((\omega_c + n\omega_m) t).
     \label{fm:eq:ungerade}
 \]
-schreiben.
+, mit allen positiven und negativen Ganzzahlen schreiben.
 %------------------------------------------------------------------------------------------
 \subsubsection{Summe Zusammenführen}
 Beide Teile \eqref{fm:eq:gerade} Gerade 
@@ -179,7 +179,7 @@ ergeben zusammen
 \[
     \cos(\omega_ct+\beta\sin(\omega_mt))
     =
-    \sum_{k= -\infty}^\infty J_{k}(\beta) \cos((\omega_c+k\omega_m)t).
+    \sum_{k= -\infty}^\infty J_{n}(\beta) \cos((\omega_c+ n\omega_m)t).
 \]
 Somit ist \eqref{fm:eq:proof} bewiesen.
 \newpage
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From afb21283eeaa8178fbf1890212e177aa05a92c1b Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: Joshua Baer <joshua.baer@ost.ch>
Date: Tue, 16 Aug 2022 16:57:02 +0200
Subject: started e littel bit

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 buch/papers/fm/03_bessel.tex | 25 ++++++++++++++++++-------
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index 45f2dfd..3c2cb71 100644
--- a/buch/papers/fm/03_bessel.tex
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@@ -67,7 +67,7 @@ Mit dem \eqref{fm:eq:addth1} wird aus dem modulierten Signal
     =
     \cos(\omega_c t + \beta\sin(\omega_mt))
     =
-    \cos(\omega_c t)\cos(\beta\sin(\omega_m t))-\sin(\omega_ct)\sin(\beta\sin(\omega_m t)).
+    \cos(\omega_c t)\cos(\beta\sin(\omega_m t)) - \sin(\omega_ct)\sin(\beta\sin(\omega_m t)).
     \label{fm:eq:start}
 \]
 %-----------------------------------------------------------------------------------------------------------
@@ -89,23 +89,34 @@ mit hilfe der Besselindentität \eqref{fm:eq:besselid1} zum
 \end{align*}
 %intertext{}   Funktioniert nicht.
 wobei mit dem Additionstheorem \eqref{fm:eq:addth2} \(A = \omega_c t\) und \(B = 2k\omega_m t \) ersetzt wurden.
+Nun kann die Summe in zwei Summen 
 \begin{align*}
     c(t)
     &=
-    J_0(\beta) \cdot \cos(\omega_c t) + \sum_{k=1}^\infty J_{2k}(\beta) \{ \underbrace{\cos((\omega_c - 2k \omega_m) t)} \,+\, \cos((\omega_c + 2k \omega_m) t) \}
+    J_0(\beta) \cdot \cos(\omega_c t) + \sum_{k=1}^\infty J_{2k}(\beta) \cos((\omega_c - 2k \omega_m) t) \,+\, \cos((\omega_c + 2k \omega_m) t) \}
     \\
     &=
-    \sum_{k=-\infty}^{-1} J_{2k}(\beta)  \overbrace{\cos((\omega_c +2k \omega_m) t)} 
-    \,+\,J_0(\beta)\cdot \cos(\omega_c t+ 2\cdot0 \omega_m) 
+    \sum_{k=\infty}^{1} J_{2k}(\beta)  \underbrace{\cos((\omega_c - 2k \omega_m) t)} 
+    \,+\,J_0(\beta)\cdot \cos(\omega_c t) 
     \,+\, \sum_{k=1}^\infty J_{2k}(\beta)\cos((\omega_c + 2k \omega_m) t) 
 \end{align*}
-wird.
-Das Minus im Ersten Term wird  zur negativen Summe \(\sum_{-\infty}^{-1}\) ersetzt.
-Da \(2k\) immer gerade ist, wird es durch alle negativen und positiven Ganzzahlen \(n\) ersetzt:
+aufgeteilt werden.
+Wenn bei der ersten Summe noch \(k\) von \(-\infty \to -1\) läuft, wird diese summe zu \(\sum_{k=-1}^{-\infty} J_{-2k}(\beta)  {\cos((\omega_c + 2k \omega_m) t)} \)
+Zudem kann die Besselindentität \eqref{fm:eq:besselid3} gebraucht werden.  \(n \) wird  mit \(2k\) ersetzt, da dies immer gerade ist so gilt: \(J_{-n}(\beta) = J_n(\beta)\)
+Somit bekommt man zwei gleiche Summen
+\begin{align*}
+    c(t)
+    &=
+    \sum_{k=-\infty}^{-1} J_{2k}(\beta) \cos((\omega_c + 2k \omega_m) t)
+    \,+\,J_0(\beta)\cdot \cos(\omega_c t+ 2 \cdot 0 \omega_m) 
+    \,+\, \sum_{k=1}^\infty J_{2k}(\beta)\cos((\omega_c + 2k \omega_m) t) 
+\end{align*}
+Diese können wir vereinfachter schreiben,
 \begin{align*}
     \sum_{n\, \text{gerade}} J_{n}(\beta) \cos((\omega_c + n \omega_m) t),
     \label{fm:eq:gerade}
 \end{align*}
+da \(2k\) für alle negativen, wie positiven geraden Zahlen zählt.
 %----------------------------------------------------------------------------------------------------------------
 \subsubsection{Sin-Teil}
 Nun zum zweiten Teil des Term \eqref{fm:eq:start}, den Sin-Teil
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