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From: =?UTF-8?q?Andreas=20M=C3=BCller?= <andreas.mueller@othello.ch>
Date: Tue, 30 Aug 2022 20:44:19 +0900
Subject: =?UTF-8?q?teil=203=20\intertext=20aufger=C3=A4umt?=
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 buch/papers/fm/03_bessel.tex | 304 +++++++++++++++++++++++++++----------------
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@@ -3,30 +3,41 @@
 %
 % (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil
 %
-\section{FM und Bessel-Funktion 
+\section{Frequenzmodulation und Bessel-Funktionen
 \label{fm:section:proof}}
 \rhead{Herleitung}
 Die momentane Trägerkreisfrequenz \(\omega_i\), wie schon in (ref) beschrieben ist, bringt die Ableitung \(\frac{d \varphi(t)}{dt}\) mit sich.
 Diese wiederum kann durch \(\beta\sin(\omega_mt)\) ausgedrückt werden, wobei es das modulierende Signal \(m(t)\) ist.
-Somit haben wir unser \(x_c\) welches 
+Somit haben wir unser Signal
 \[
-\cos(\omega_c t+\beta\sin(\omega_mt))
+x_c(t)
+=
+\cos(\omega_c t+\beta\sin(\omega_mt)),
 \]
-ist.
+welches nun als Superposition von harmonischen Schwingungen
+geschrieben werden soll, damit man das Frequenzspektrum ablesen 
+kann.
 
-\subsection{Herleitung}
-Das Ziel ist, unser moduliertes Signal mit der Bessel-Funktion so auszudrücken:
+\begin{satz}
+\label{fm:satz:spektrum}
+Das frequenzmodulierte Signal $x_c(t)$ lässt sich schreiben als
 \begin{align}
     x_c(t)
     = 
     \cos(\omega_ct+\beta\sin(\omega_mt))
     &=
-    \sum_{k= -\infty}^\infty J_{k}(\beta) \cos((\omega_c+k\omega_m)t)
+    \sum_{k= -\infty}^\infty J_{k}(\beta) \cos((\omega_c+k\omega_m)t).
     \label{fm:eq:proof}
 \end{align}
+\end{satz}
+
+\subsection{Herleitung}
+Zum Beweise von Satz~\ref{fm:satz:spektrum} werden zunächst einige
+Hilfsmittel gebraucht, deren Anwendung später die Darstellung
+\eqref{fm:eq:proof} liefert.
 
 \subsubsection{Hilfsmittel}
-Doch dazu brauchen wir die Hilfe der Additionsthoerme 
+Wir brauchen die Hilfe der Additionstheoreme 
 \begin{align}
     \cos(A + B) 
     &= 
@@ -43,7 +54,7 @@ Doch dazu brauchen wir die Hilfe der Additionsthoerme
     \cos(A-B)-\cos(A+B)
     \label{fm:eq:addth3}
 \end{align}
-und die drei Bessel-Funktionsindentitäten,
+und die drei Bessel-Funktionsidentitäten,
 \begin{align}
     \cos(\beta\sin\phi)
     &=
@@ -58,7 +69,11 @@ und die drei Bessel-Funktionsindentitäten,
     J_{-n}(\beta) &= (-1)^n J_n(\beta)
     \label{fm:eq:besselid3}
 \end{align}
-welche man im Kapitel \eqref{buch:fourier:eqn:expinphireal}, \eqref{buch:fourier:eqn:expinphiimaginary}, \eqref{buch:fourier:eqn:symetrie} findet.
+welche man im Kapitel~\ref{buch:chapter:fourier}
+als Gleichungen
+\eqref{buch:fourier:eqn:expinphireal},
+\eqref{buch:fourier:eqn:expinphiimaginary},
+und \eqref{buch:fourier:eqn:symetrie} findet.
 
 \subsubsection{Anwenden des Additionstheorem}
 Mit dem \eqref{fm:eq:addth1} wird aus dem modulierten Signal
@@ -67,134 +82,199 @@ Mit dem \eqref{fm:eq:addth1} wird aus dem modulierten Signal
     =
     \cos(\omega_c t + \beta\sin(\omega_mt))
     =
-    \cos(\omega_c t)\cos(\beta\sin(\omega_m t)) - \sin(\omega_ct)\sin(\beta\sin(\omega_m t)).
+    \underbrace{
+	\cos(\omega_c t)\cos(\beta\sin(\omega_m t))
+    }_{\displaystyle=c(t)}
+     -
+    \underbrace{
+	\sin(\omega_ct)\sin(\beta\sin(\omega_m t))
+    }_{\displaystyle=s(t)}.
     \label{fm:eq:start}
 \]
-%-----------------------------------------------------------------------------------------------------------
-\subsubsection{Cos-Teil}
-Zu beginn wird der Cos-Teil
-\begin{align*}
+Die beiden Terme auf der rechten Seite werden jetzt unabhängig 
+voneinander analysiert.
+
+\subsubsection{Cosinus-Teil}
+Zu Beginn wird der Cosinus-Teil
+\begin{align}
     c(t) 
     &=
     \cos(\omega_c t)\cdot\cos(\beta\sin(\omega_mt))  
-\end{align*}
-mit hilfe der Besselindentität \eqref{fm:eq:besselid1} zum
-\begin{align*}
-    c(t)
+\notag
+\intertext{mit Hilfe der Bessel-Indentität \eqref{fm:eq:besselid1} zum}
     &=
-    \cos(\omega_c t) \cdot \bigg[ J_0(\beta) + 2\sum_{k=1}^\infty J_{2k}(\beta) \cos( 2k \omega_m t)\, \bigg]
+    \cos(\omega_c t) \cdot \bigg[ J_0(\beta)
+    +
+    2\sum_{k=1}^\infty J_{2k}(\beta) \cos( 2k \omega_m t)\, \bigg]
+\notag
     \\
     &=
-    J_0(\beta) \cdot \cos(\omega_c t) + \sum_{k=1}^\infty J_{2k}(\beta) \underbrace{2\cos(\omega_c t)\cos(2k\omega_m t)}_{\text{Additionstheorem \eqref{fm:eq:addth2}}}
-\end{align*}
-%intertext{}   Funktioniert nicht.
-wobei mit dem Additionstheorem \eqref{fm:eq:addth2} \(A = \omega_c t\) und \(B = 2k\omega_m t \) ersetzt wurden.
-Nun kann die Summe in zwei Summen 
-\begin{align*}
-    c(t)
+    J_0(\beta) \cdot \cos(\omega_c t)
+    +
+    \sum_{k=1}^\infty J_{2k}(\beta)
+	\underbrace{
+		2\cos(\omega_c t)\cos(2k\omega_m t)
+	}_{\displaystyle\text{Additionstheorem \eqref{fm:eq:addth2}}},
+\notag
+\intertext{wobei mit dem Additionstheorem \eqref{fm:eq:addth2}
+\(A = \omega_c t\) und \(B = 2k\omega_m t \) ersetzt wurden.
+Nun kann die Summe in zwei Summen }
     &=
-    J_0(\beta) \cdot \cos(\omega_c t) + \sum_{k=1}^\infty J_{2k}(\beta) \cos((\omega_c - 2k \omega_m) t) \,+\, \cos((\omega_c + 2k \omega_m) t) \}
+    J_0(\beta) \cdot \cos(\omega_c t)
+    +
+    \sum_{k=1}^\infty J_{2k}(\beta) \cos((\omega_c - 2k \omega_m) t)
+    +
+    \cos((\omega_c + 2k \omega_m) t) \}
     \\
     &=
-    \sum_{k=\infty}^{1} J_{2k}(\beta)  \underbrace{\cos((\omega_c - 2k \omega_m) t)} 
-    \,+\,J_0(\beta)\cdot \cos(\omega_c t) 
-    \,+\, \sum_{k=1}^\infty J_{2k}(\beta)\cos((\omega_c + 2k \omega_m) t) 
-\end{align*}
-aufgeteilt werden.
-Wenn bei der ersten Summe noch \(k\) von \(-\infty \to -1\) läuft, wird diese summe zu \(\sum_{k=-1}^{-\infty} J_{-2k}(\beta)  {\cos((\omega_c + 2k \omega_m) t)} \)
-Zudem kann die Besselindentität \eqref{fm:eq:besselid3} gebraucht werden.  \(n \) wird  mit \(2k\) ersetzt, da dies immer gerade ist so gilt: \(J_{-n}(\beta) = J_n(\beta)\)
-Somit bekommt man zwei gleiche Summen
-\begin{align*}
-    c(t)
+    \sum_{k=1}^{\infty} J_{2k}(\beta) \cos((\omega_c - 2k \omega_m) t) 
+    +
+    J_0(\beta)\cdot \cos(\omega_c t) 
+    +
+    \sum_{k=1}^\infty J_{2k}(\beta)\cos((\omega_c + 2k \omega_m) t) 
+\notag
+\intertext{aufgeteilt werden.
+Damit man die beiden Summen in eine zusammenfassen kann, müssen
+die Kosinus-Terme in die gleiche Form gebracht werden.
+Dazu kann man $k$ durch $-k$ ersetzen, dann muss in der ersten Summe
+aber von $-1$ bis $-\infty$ summiert werden.
+Ausserdem ist nach Bessel-Indentität \eqref{fm:eq:besselid3}
+für gerade Ordnung der Besselfunktion $J_{-2k}(\beta)=J_{2k}(\beta)$,
+so dass die Summe
+}
     &=
-    \sum_{k=-\infty}^{-1} J_{2k}(\beta) \cos((\omega_c + 2k \omega_m) t)
-    \,+\,J_0(\beta)\cdot \cos(\omega_c t+ 2 \cdot 0 \omega_m) 
-    \,+\, \sum_{k=1}^\infty J_{2k}(\beta)\cos((\omega_c + 2k \omega_m) t) 
-\end{align*}
-Diese können wir vereinfachter schreiben,
-\begin{align*}
-    \sum_{n\, \text{gerade}} J_{n}(\beta) \cos((\omega_c + n \omega_m) t),
+    \sum_{k=-\infty}^{-1}
+	J_{2k}(\beta)
+	\cos\bigl((\omega_c + 2k \omega_m) t\bigr) 
+    +
+    J_0(\beta)\cdot \cos\bigl((\omega_c + 0\omega_m) t\bigr)
+    +
+    \sum_{k=1}^\infty
+	J_{2k}(\beta)
+	\cos\bigl((\omega_c + 2k \omega_m) t\bigr) 
+\notag
+\\
+    &=
+    \sum_{k=-\infty}^\infty
+	J_{2k}(\beta)
+	\bigl(\cos(\omega_c + 2k\omega_m)t\bigr).
+\notag
+\intertext{Dies kann vereinfacht als}
+    &=
+    \sum_{\text{$n$ gerade}}
+	J_{n}(\beta)
+	\cos\bigl((\omega_c + n \omega_m) t\bigr)
     \label{fm:eq:gerade}
-\end{align*}
-da \(2k\) für alle negativen, wie positiven geraden Zahlen zählt.
-%----------------------------------------------------------------------------------------------------------------
-\subsubsection{Sin-Teil}
-Nun zum zweiten Teil des Term \eqref{fm:eq:start}, den Sin-Teil
-\begin{align*}
+\end{align}
+geschrieben werden.
+
+\subsubsection{Sinus-Teil}
+Nun zum zweiten Teil der Summe \eqref{fm:eq:start}, den Sinus-Teil
+\begin{align}
     s(t) 
     &=
-    -\sin(\omega_c t)\cdot\sin(\beta\sin(\omega_m t)).
-\end{align*}
-Dieser wird mit der \eqref{fm:eq:besselid2} Besselindentität zu
-\begin{align*}
-    s(t) 
+    -\sin(\omega_c t)\cdot\sin\bigl(\beta\sin(\omega_m t)\bigr).
+\notag
+\intertext{Dieser wird mit der \eqref{fm:eq:besselid2} Bessel-Indentität zu}
     &=
-    -\sin(\omega_c t) \cdot \bigg[ 2 \sum_{k=0}^\infty J_{ 2k + 1}(\beta) \cos(( 2k + 1) \omega_m t) \bigg]
+    -\sin(\omega_c t) \cdot \bigg[
+	2 \sum_{k=0}^\infty
+	J_{ 2k + 1}(\beta)
+	\cos\bigl(( 2k + 1) \omega_m t\bigr)
+    \bigg]
     \\
     &=
-    \sum_{k=0}^\infty -1 \cdot J_{2k+1}(\beta) 2\sin(\omega_c t)\cos((2k+1)\omega_m t).
-\end{align*}
-Da \(2k + 1\) alle ungeraden positiven Ganzzahlen entspricht wird es durch \(n\) ersetzt. 
-Wird die Besselindentität \eqref{fm:eq:besselid3} gebraucht, so ersetzten wird \(J_{-n}(\beta) = -1\cdot J_n(\beta)\) ersetzt:
-\begin{align*}
-    s(t)
+    \sum_{k=0}^\infty
+	-1 \cdot J_{2k+1}(\beta)
+	2\sin(\omega_c t)
+	\cos\bigl((2k+1)\omega_m t\bigr).
+\notag
+\intertext{\(2k + 1\) durchläuft alle ungeraden positiven Ganzzahlen.
+Nach der Bessel-Identität \eqref{fm:eq:besselid3} ist
+\(J_{-(2k+1)}(\beta) = -1\cdot J_{2k+1}(\beta)\).
+Damit kann die Summe schreiben als eine Summe über die ungeraden Zahlen $n$:
+}
     &=
-    \sum_{n=0}^\infty J_{-n}(\beta) \underbrace{2\sin(\omega_c t)\cos(n \omega_m t)}_{\text{Additionstheorem \eqref{fm:eq:addth3}}}.
-\end{align*}
-Auch hier wird ein Additionstheorem \eqref{fm:eq:addth3} gebraucht, dabei ist \(A = \omega_c t\) und \(B = n \omega_m t \), 
-somit wird daraus:
-\begin{align*}
-    s(t)
+    \sum_{\text{$n>0$ ungerade}}^\infty
+	J_{-n}(\beta)
+	\underbrace{
+		2\sin(\omega_c t)\cos(n \omega_m t)
+	}_{\displaystyle\text{Additionstheorem \eqref{fm:eq:addth3}}}.
+\notag
+\intertext{Auch hier wird ein Additionstheorem \eqref{fm:eq:addth3}
+gebraucht, dabei ist \(A = \omega_c t\) und \(B = n \omega_m t \), 
+und es entsteht:}
     &=
-    \sum_{n=0}^\infty J_{-n}(\beta) \{ \underbrace{\cos((\omega_c - n\omega_m) t)} \,-\, \cos((\omega_c + n\omega_m) t) \}
-    \\
+    \sum_{\text{$n>0$ ungerade}}
+	J_{-n}(\beta)
+	\{
+	\cos\bigl((\omega_c - n\omega_m) t\bigr)
+	-
+	\cos\bigl((\omega_c + n\omega_m) t\bigr)
+	\}.
+\notag
+\intertext{Wieder ersetzen wir $n$ durch $-n$ in der ersten Summe,
+um die gleichen Kosinus-Terme zu erhalten:}
     &=
-   \sum_{n=- \infty}^{0} J_{n}(\beta)  \overbrace{\cos((\omega_c + n \omega_m) t)}
-   \,-\, \sum_{n=0}^\infty J_{-n}(\beta) \cos((\omega_c + n\omega_m) t)
-\end{align*}
-Auch hier wurde wieder eine zweite Summe \(\sum_{-\infty}^{-1}\) gebraucht um das Minus zu einem Plus zu wandeln.
-Wenn \(n = 0 \) ist der Minuend gleich dem Subtrahend und somit dieser Teil \(=0\), das bedeutet \(n\) ended bei \(-1\) und started bei \(1\).
-\begin{align*}
-    s(t)
+    \sum_{\text{$n<0$ ungerade}}
+	J_{n}(\beta)
+	\cos\bigl((\omega_c + n \omega_m) t\bigr)
+    -
+    \sum_{\text{$n>0$ ungerade}}
+	J_{-n}(\beta)
+	\cos\bigl((\omega_c + n\omega_m) t\bigr)
+\notag
+\\
     &=
-    \sum_{n=- \infty}^{-1} J_{n}(\beta)  \cos((\omega_c + n \omega_m) t)
-    \underbrace{\,-\, \sum_{n=1}^\infty J_{-n}(\beta)} \cos((\omega_c + n\omega_m) t)
-\end{align*}
-Um aus diesem Subtrahend eine Addition zu kreiernen, wird die Besselindentität \eqref{fm:eq:besselid3} gebraucht, 
-jedoch so \(-1 \cdot J_{-n}(\beta) = J_n(\beta)\) und daraus wird dann:
-\begin{align*}
-    s(t)
+    \sum_{\text{$n<0$ ungerade}}
+	J_{n}(\beta)
+	\cos\bigl((\omega_c + n \omega_m) t\bigr)
+    +
+    \sum_{\text{$n>0$ ungerade}}
+	J_{n}(\beta)
+	\cos\bigl((\omega_c + n\omega_m) t\bigr)
+\notag
+\intertext{
+In der zweiten Gleichung haben wir wieder die
+Bessel-Identität $J_{-n}(\beta)=-J_{n}(\beta)$
+verwendet, die für $n$ ungerade gilt.
+Jetzt kann man die beiden Summen wieder zusammenfassen in
+eine einzige, die über alle positiven und negativen ungeraden
+Zahl läuft:}
     &=
-    \sum_{n=- \infty}^{-1} J_{n}(\beta)  \cos((\omega_c + n \omega_m) t)
-    \,+\, \sum_{n=1}^\infty J_{n}(\beta) \cos((\omega_c + n\omega_m) t)
-\end{align*}
-Da \(n\) immer ungerade ist und \(0\) nicht zu den ungeraden Zahlen zählt, kann man dies so vereinfacht 
-\[
-    s(t)
-    =
-    \sum_{n\, \text{ungerade}} J_{n}(\beta) \cos((\omega_c + n\omega_m) t).
-    \label{fm:eq:ungerade}
-\]
-, mit allen positiven und negativen Ganzzahlen schreiben.
-%------------------------------------------------------------------------------------------
+    \sum_{\text{$n$ ungerade}}
+	J_{n}(\beta)
+	\cos\bigl((\omega_c + n \omega_m) t\bigr).
+\label{fm:eq:ungerade}
+\end{align}
+
 \subsubsection{Summe Zusammenführen}
-Beide Teile \eqref{fm:eq:gerade} Gerade 
-\[
-    \sum_{n\, \text{gerade}} J_{n}(\beta) \cos((\omega_c + n\omega_m) t)
-\]
-und \eqref{fm:eq:ungerade} Ungerade 
-\[
-    \sum_{n\, \text{ungerade}} J_{n}(\beta) \cos((\omega_c + n\omega_m) t)
-\]
-ergeben zusammen
-\[
-    \cos(\omega_ct+\beta\sin(\omega_mt))
+Beide Teile \eqref{fm:eq:gerade} für die geraden Terme 
+\begin{align*}
+c(t)
+&=
+    \sum_{n\, \text{gerade}}
+	J_{n}(\beta)
+	\cos\bigl((\omega_c + n\omega_m) t\bigr)
+\intertext{und \eqref{fm:eq:ungerade} für die ungeraden Terme }
+s(t)
+&=
+    \sum_{n\, \text{ungerade}}
+	J_{n}(\beta)
+	\cos\bigl((\omega_c + n\omega_m) t\bigr)
+\intertext{ergeben zusammen}
+x_c(t)
+&=c(t)+s(t)
+\\
+&=
+    \cos\bigl(\omega_ct+\beta\sin(\omega_mt)\bigr)
     =
-    \sum_{k= -\infty}^\infty J_{n}(\beta) \cos((\omega_c+ n\omega_m)t).
-\]
+    \sum_{k= -\infty}^\infty
+	J_{n}(\beta)
+	\cos\bigl((\omega_c+ n\omega_m)t\bigr).
+\end{align*}
 Somit ist \eqref{fm:eq:proof} bewiesen.
-\newpage
-%-----------------------------------------------------------------------------------------
+
 \subsection{Bessel und Frequenzspektrum}
 Unser FM-signal Fourientransformiert \eqref{fm:FM:fourie} wird zusammengestzt aus den einzelen Reihenteilen mit der gewichtung der Besselfunktion.
 
-- 
cgit v1.2.1

