From 4a5bb7d7fa8ae99e2982ff30873b15a41a4f2a73 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: Joshua Baer <joshua.baer@ost.ch>
Date: Mon, 18 Jul 2022 14:35:43 +0200
Subject: Kapitel unterteilung

---
 buch/papers/fm/03_bessel.tex | 40 ++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++
 1 file changed, 40 insertions(+)
 create mode 100644 buch/papers/fm/03_bessel.tex

(limited to 'buch/papers/fm/03_bessel.tex')

diff --git a/buch/papers/fm/03_bessel.tex b/buch/papers/fm/03_bessel.tex
new file mode 100644
index 0000000..6ab6fa0
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/fm/03_bessel.tex
@@ -0,0 +1,40 @@
+%
+% teil2.tex -- Beispiel-File für teil2 
+%
+% (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil
+%
+\section{Teil 2 
+\label{fm:section:teil2}}
+\rhead{Teil 2}
+Sed ut perspiciatis unde omnis iste natus error sit voluptatem
+accusantium doloremque laudantium, totam rem aperiam, eaque ipsa
+quae ab illo inventore veritatis et quasi architecto beatae vitae
+dicta sunt explicabo. Nemo enim ipsam voluptatem quia voluptas sit
+aspernatur aut odit aut fugit, sed quia consequuntur magni dolores
+eos qui ratione voluptatem sequi nesciunt. Neque porro quisquam
+est, qui dolorem ipsum quia dolor sit amet, consectetur, adipisci
+velit, sed quia non numquam eius modi tempora incidunt ut labore
+et dolore magnam aliquam quaerat voluptatem. Ut enim ad minima
+veniam, quis nostrum exercitationem ullam corporis suscipit laboriosam,
+nisi ut aliquid ex ea commodi consequatur? Quis autem vel eum iure
+reprehenderit qui in ea voluptate velit esse quam nihil molestiae
+consequatur, vel illum qui dolorem eum fugiat quo voluptas nulla
+pariatur?
+
+\subsection{De finibus bonorum et malorum
+\label{fm:subsection:bonorum}}
+At vero eos et accusamus et iusto odio dignissimos ducimus qui
+blanditiis praesentium voluptatum deleniti atque corrupti quos
+dolores et quas molestias excepturi sint occaecati cupiditate non
+provident, similique sunt in culpa qui officia deserunt mollitia
+animi, id est laborum et dolorum fuga. Et harum quidem rerum facilis
+est et expedita distinctio. Nam libero tempore, cum soluta nobis
+est eligendi optio cumque nihil impedit quo minus id quod maxime
+placeat facere possimus, omnis voluptas assumenda est, omnis dolor
+repellendus. Temporibus autem quibusdam et aut officiis debitis aut
+rerum necessitatibus saepe eveniet ut et voluptates repudiandae
+sint et molestiae non recusandae. Itaque earum rerum hic tenetur a
+sapiente delectus, ut aut reiciendis voluptatibus maiores alias
+consequatur aut perferendis doloribus asperiores repellat.
+
+
-- 
cgit v1.2.1


From 24235f4b1ac1d6b837fc7740a69d8906ff2376eb Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: Joshua Baer <joshua.baer@ost.ch>
Date: Mon, 18 Jul 2022 14:44:14 +0200
Subject: save

---
 buch/papers/fm/03_bessel.tex | 50 ++++++++++++++++++--------------------------
 1 file changed, 20 insertions(+), 30 deletions(-)

(limited to 'buch/papers/fm/03_bessel.tex')

diff --git a/buch/papers/fm/03_bessel.tex b/buch/papers/fm/03_bessel.tex
index 6ab6fa0..fdaa0d1 100644
--- a/buch/papers/fm/03_bessel.tex
+++ b/buch/papers/fm/03_bessel.tex
@@ -3,38 +3,28 @@
 %
 % (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil
 %
-\section{Teil 2 
+\section{FM und Besselfunktion 
 \label{fm:section:teil2}}
 \rhead{Teil 2}
-Sed ut perspiciatis unde omnis iste natus error sit voluptatem
-accusantium doloremque laudantium, totam rem aperiam, eaque ipsa
-quae ab illo inventore veritatis et quasi architecto beatae vitae
-dicta sunt explicabo. Nemo enim ipsam voluptatem quia voluptas sit
-aspernatur aut odit aut fugit, sed quia consequuntur magni dolores
-eos qui ratione voluptatem sequi nesciunt. Neque porro quisquam
-est, qui dolorem ipsum quia dolor sit amet, consectetur, adipisci
-velit, sed quia non numquam eius modi tempora incidunt ut labore
-et dolore magnam aliquam quaerat voluptatem. Ut enim ad minima
-veniam, quis nostrum exercitationem ullam corporis suscipit laboriosam,
-nisi ut aliquid ex ea commodi consequatur? Quis autem vel eum iure
-reprehenderit qui in ea voluptate velit esse quam nihil molestiae
-consequatur, vel illum qui dolorem eum fugiat quo voluptas nulla
-pariatur?
 
-\subsection{De finibus bonorum et malorum
-\label{fm:subsection:bonorum}}
-At vero eos et accusamus et iusto odio dignissimos ducimus qui
-blanditiis praesentium voluptatum deleniti atque corrupti quos
-dolores et quas molestias excepturi sint occaecati cupiditate non
-provident, similique sunt in culpa qui officia deserunt mollitia
-animi, id est laborum et dolorum fuga. Et harum quidem rerum facilis
-est et expedita distinctio. Nam libero tempore, cum soluta nobis
-est eligendi optio cumque nihil impedit quo minus id quod maxime
-placeat facere possimus, omnis voluptas assumenda est, omnis dolor
-repellendus. Temporibus autem quibusdam et aut officiis debitis aut
-rerum necessitatibus saepe eveniet ut et voluptates repudiandae
-sint et molestiae non recusandae. Itaque earum rerum hic tenetur a
-sapiente delectus, ut aut reiciendis voluptatibus maiores alias
-consequatur aut perferendis doloribus asperiores repellat.
+Hier wird beschrieben wie die Bessel Funktion der FM im Frequenzspektrum hilft, wieso diese gebrauch wird und ihre Vorteile.
+%Sed ut perspiciatis unde omnis iste natus error sit voluptatem
+%accusantium doloremque laudantium, totam rem aperiam, eaque ipsa
+%quae ab illo inventore veritatis et quasi architecto beatae vitae
+%dicta sunt explicabo. Nemo enim ipsam voluptatem quia voluptas sit
+%aspernatur aut odit aut fugit, sed quia consequuntur magni dolores
+%eos qui ratione voluptatem sequi nesciunt. Neque porro quisquam
+%est, qui dolorem ipsum quia dolor sit amet, consectetur, adipisci
+%velit, sed quia non numquam eius modi tempora incidunt ut labore
+%et dolore magnam aliquam quaerat voluptatem. Ut enim ad minima
+%veniam, quis nostrum exercitationem ullam corporis suscipit laboriosam,
+%nisi ut aliquid ex ea commodi consequatur? Quis autem vel eum iure
+%reprehenderit qui in ea voluptate velit esse quam nihil molestiae
+%consequatur, vel illum qui dolorem eum fugiat quo voluptas nulla
+%pariatur?
+%
+%\subsection{De finibus bonorum et malorum
+%\label{fm:subsection:bonorum}}
+
 
 
-- 
cgit v1.2.1


From a5b1d13fd6d9d5df3d7289093e57cf67ae5cb81c Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: Joshua Baer <joshua.baer@ost.ch>
Date: Tue, 26 Jul 2022 15:04:22 +0200
Subject: Kapitel TODOs

---
 buch/papers/fm/03_bessel.tex | 24 +++++++++---------------
 1 file changed, 9 insertions(+), 15 deletions(-)

(limited to 'buch/papers/fm/03_bessel.tex')

diff --git a/buch/papers/fm/03_bessel.tex b/buch/papers/fm/03_bessel.tex
index fdaa0d1..aed084e 100644
--- a/buch/papers/fm/03_bessel.tex
+++ b/buch/papers/fm/03_bessel.tex
@@ -7,22 +7,16 @@
 \label{fm:section:teil2}}
 \rhead{Teil 2}
 
+
+TODO
 Hier wird beschrieben wie die Bessel Funktion der FM im Frequenzspektrum hilft, wieso diese gebrauch wird und ihre Vorteile.
-%Sed ut perspiciatis unde omnis iste natus error sit voluptatem
-%accusantium doloremque laudantium, totam rem aperiam, eaque ipsa
-%quae ab illo inventore veritatis et quasi architecto beatae vitae
-%dicta sunt explicabo. Nemo enim ipsam voluptatem quia voluptas sit
-%aspernatur aut odit aut fugit, sed quia consequuntur magni dolores
-%eos qui ratione voluptatem sequi nesciunt. Neque porro quisquam
-%est, qui dolorem ipsum quia dolor sit amet, consectetur, adipisci
-%velit, sed quia non numquam eius modi tempora incidunt ut labore
-%et dolore magnam aliquam quaerat voluptatem. Ut enim ad minima
-%veniam, quis nostrum exercitationem ullam corporis suscipit laboriosam,
-%nisi ut aliquid ex ea commodi consequatur? Quis autem vel eum iure
-%reprehenderit qui in ea voluptate velit esse quam nihil molestiae
-%consequatur, vel illum qui dolorem eum fugiat quo voluptas nulla
-%pariatur?
-%
+\begin{itemize}
+    \item Zuerest einmal die Herleitung von FM zu der Besselfunktion
+    \item Im Frequenzspektrum darstellen mit Farben, ersichtlich machen. 
+    \item Parameter tuing der Trägerfrequenz, Modulierende frequenz und Beta. 
+\end{itemize}
+
+
 %\subsection{De finibus bonorum et malorum
 %\label{fm:subsection:bonorum}}
 
-- 
cgit v1.2.1


From e7f4d8d568bf62c76f4bf0ffdc0fe009134c184d Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: Joshua Baer <joshua.baer@ost.ch>
Date: Wed, 27 Jul 2022 17:45:10 +0200
Subject: Herleitung Kapitel Bessel

---
 buch/papers/fm/03_bessel.tex | 123 +++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++--
 1 file changed, 120 insertions(+), 3 deletions(-)

(limited to 'buch/papers/fm/03_bessel.tex')

diff --git a/buch/papers/fm/03_bessel.tex b/buch/papers/fm/03_bessel.tex
index aed084e..7a0e20e 100644
--- a/buch/papers/fm/03_bessel.tex
+++ b/buch/papers/fm/03_bessel.tex
@@ -4,9 +4,126 @@
 % (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil
 %
 \section{FM und Besselfunktion 
-\label{fm:section:teil2}}
-\rhead{Teil 2}
-
+\label{fm:section:proof}}
+\rhead{Herleitung}
+Die momentane Trägerkreisfrequenz \(\omega_i\) wie schon in (ref) beschrieben ist, bringt die Vorigen Kapittel beschreiben. (Ableitung \(\frac{d \varphi(t)}{dt}\) mit sich).
+Diese wiederum kann durch \(\beta\sin(\omega_mt)\) ausgedrückt werden, wobei es das Modulierende Signal \(m(t)\) ist.
+Somit haben wir unser \(x_c\) welches 
+\[
+\cos(\omega_c t+\beta\sin(\omega_mt))
+\]
+ist.
+\subsection{Herleitung}
+Das Ziel ist es Unser moduliertes Signal mit der Besselfunktion so auszudrücken:
+\begin{align}
+    \cos(\omega_ct+\beta\sin(\omega_mt))
+    &=
+    \sum_{k= -\infty}^\infty J_{k}(\beta) \cos((\omega_c+k\omega_m)t)
+    \label{fm:eq:proof}
+\end{align}
+Doch dazu brauchen wir die Hilfe der Additionsthoerme 
+\begin{align}
+    \cos(A + B) 
+    &= 
+    \cos(A)\cos(B)-\sin(A)\sin(B)
+    \label{fm:eq:addth1}
+    \\
+    2\cos (A)\cos (B)
+    &=
+    \cos(A-B)+\cos(A+B)
+    \label{fm:eq:addth2}
+    \\
+    2\sin(A)\sin(B)
+    &=
+    \cos(A-B)-\cos(A+B)
+    \label{fm:eq:addth3}
+\end{align}
+und die drei Besselfunktions indentitäten,
+\begin{align}
+    \cos(\beta\sin\phi)
+    &=
+    J_0(\beta) + 2\sum_{k=1}^\infty J_{2k}(\beta) \cos(2k\phi)
+    \label{fm:eq:besselid1}
+    \\
+    \sin(\beta\sin\phi)
+    &=
+    J_0(\beta) + 2\sum_{k=1}^\infty J_{2k+1}(\beta) \cos((2k+1)\phi)
+    \label{fm:eq:besselid2}
+    \\
+    J_{-n}(\beta) &= (-1)^n J_n(\beta)
+    \label{fm:eq:besselid3}
+\end{align}
+welche man im Kapitel (ref), ref, ref findet.
+\newline
+Mit dem \refname{fm:eq:addth1} wird aus dem modulierten Signal
+\[
+\cos(\omega_c t + \beta\sin(\omega_mt))
+\]
+das Signal
+\[
+    \cos(\omega_c t)\cos(\beta\sin(\omega_m t))-\sin(\omega_c)\sin(\beta\sin(\omega_m t)).
+    \label{fm:eq:start}
+\]
+Zu beginn wird der erste Teil 
+\[
+    \cos(\omega_c)\cos(\beta\sin(\omega_mt))  
+\]
+mit hilfe der Bessel indentität \ref{fm:eq:besselid1} zum
+\[
+    J_0(\beta)\cos(\omega_c) + \sum_{k=1}^\infty J_{2k}(\beta) 2\cos(\omega_c t)\cos(2k\omega_m t)
+\]
+\newline
+TODO 2 und \(\cos( )\) in lime.
+wobei mit dem \colorbox{lime}{Additionstheorem} \ref{fm:eq:addth2} zum
+\[
+    J_0(\beta)\dot \cos(\omega_c t) + \sum_{k=1}^\infty J_{2k}(\beta) \{ \cos((\omega_c - 2k\omega_m) t)+\cos((\omega_c + 2k\omega_m) t) \}
+\]
+wird.
+Wenn dabei \(2k\) durch alle geraden Zahlen von \(-\infty \to \infty\) mit \(n\) substituiert erhält man den vereinfachten Term
+\[
+    \sum_{n\, gerade} J_{n}(\beta) \cos((\omega_c + n\omega_m) t)
+    \label{fm:eq:gerade}
+\]
+\newline
+nun zum zweiten Teil des Term \ref{fm:eq:start} 
+\[
+    \sin(\omega_c)\sin(\beta\sin(\omega_m t)).
+\]
+Dieser wird mit der \ref{fm:eq:besselid2} Bessel indentität zu
+\[
+    J_0(\beta) \dot \sin(\omega_c t) + \sum_{k=1}^\infty J_{2k+1}(\beta) 2\sin(\omega_c t)\cos((2k+1)\omega_m t).
+\]
+Auch hier wird ein Additionstheorem \ref{fm:eq:addth3} gebraucht um aus dem Sumanden diesen Term 
+\[
+    J_0(\beta) \dot \sin(\omega_c) + \sum_{k=1}^\infty J_{2k+1}(\beta) \{ \underbrace{\cos((\omega_c-(2k+1)\omega_m) t)}_{Teil1} - \cos((\omega_c+(2k+1)\omega_m) t) \}
+\]zu gewinnen.
+Wenn dabei \(2k +1\) durch alle ungeraden Zahlen von \(-\infty \to \infty\) mit \(n\) substituiert.
+Zusätzlich dabei noch die letzte Bessel indentität \ref{fm:eq:besselid3} brauchen, ist bei allen ungeraden negativen \(n : J_{-n}(\beta) = -1 J_n(\beta)\).
+Somit wird Teil1 zum negativen Term und die Summe vereinfacht sich zu
+\[
+     \sum_{n\, ungerade} -1 J_{n}(\beta) \cos((\omega_c + n\omega_m) t).
+     \label{fm:eq:ungerade}
+\]
+Substituiert man nun noch \(n \text{mit} -n \) so fällt das \(-1\) weg.
+Beide Teile \ref{fm:eq:gerade} Gerade und \ref{fm:eq:ungerade} Ungerade ergeben zusammen
+\[
+    \cos(\omega_ct+\beta\sin(\omega_mt))
+    =
+    \sum_{k= -\infty}^\infty J_{k}(\beta) \cos((\omega_c+k\omega_m)t).
+\]
+Somit ist \ref{fm:eq:proof} bewiesen.
+\newpage
+\subsection{Bessel und Frequenzspektrum}
+Um sich das ganze noch einwenig Bildlicher vorzustellenhier einmal die Besselfunktion \(J_{k}(\beta)\) in geplottet.
+\begin{figure}
+	\centering
+	\includegraphics[width=0.5\textwidth]{/home/joshua/Documents/SeminarSpezielleFunktionen/buch/papers/fm/FM presentation/images/bessel.png}
+	\caption{Bessle Funktion \(J_{k}(\beta)\)}
+	\label{fig:bessel}
+\end{figure}
+TODO Grafik einfügen,
+\newline
+Nun einmal das Modulierte FM signal im Frequenzspektrum mit den einzelen Summen dargestellt
 
 TODO
 Hier wird beschrieben wie die Bessel Funktion der FM im Frequenzspektrum hilft, wieso diese gebrauch wird und ihre Vorteile.
-- 
cgit v1.2.1


From 5ab407e87a3912b2a8e0b1698b9cf967c42c268d Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: =?UTF-8?q?Andreas=20M=C3=BCller?= <andreas.mueller@othello.ch>
Date: Wed, 27 Jul 2022 22:00:28 +0200
Subject: comment out bessel.png

---
 buch/papers/fm/03_bessel.tex | 2 +-
 1 file changed, 1 insertion(+), 1 deletion(-)

(limited to 'buch/papers/fm/03_bessel.tex')

diff --git a/buch/papers/fm/03_bessel.tex b/buch/papers/fm/03_bessel.tex
index 7a0e20e..edb932b 100644
--- a/buch/papers/fm/03_bessel.tex
+++ b/buch/papers/fm/03_bessel.tex
@@ -117,7 +117,7 @@ Somit ist \ref{fm:eq:proof} bewiesen.
 Um sich das ganze noch einwenig Bildlicher vorzustellenhier einmal die Besselfunktion \(J_{k}(\beta)\) in geplottet.
 \begin{figure}
 	\centering
-	\includegraphics[width=0.5\textwidth]{/home/joshua/Documents/SeminarSpezielleFunktionen/buch/papers/fm/FM presentation/images/bessel.png}
+%	\includegraphics[width=0.5\textwidth]{/home/joshua/Documents/SeminarSpezielleFunktionen/buch/papers/fm/FM presentation/images/bessel.png}
 	\caption{Bessle Funktion \(J_{k}(\beta)\)}
 	\label{fig:bessel}
 \end{figure}
-- 
cgit v1.2.1


From b4c0297a9cf2e2bc38fcb9110f7b5c89ae0fe9fa Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: Joshua Baer <joshua.baer@ost.ch>
Date: Thu, 28 Jul 2022 17:49:24 +0200
Subject: Kapitel bessel unterteilt

---
 buch/papers/fm/03_bessel.tex | 87 ++++++++++++++++++++++++++++----------------
 1 file changed, 55 insertions(+), 32 deletions(-)

(limited to 'buch/papers/fm/03_bessel.tex')

diff --git a/buch/papers/fm/03_bessel.tex b/buch/papers/fm/03_bessel.tex
index edb932b..bf485b1 100644
--- a/buch/papers/fm/03_bessel.tex
+++ b/buch/papers/fm/03_bessel.tex
@@ -13,14 +13,18 @@ Somit haben wir unser \(x_c\) welches
 \cos(\omega_c t+\beta\sin(\omega_mt))
 \]
 ist.
+
 \subsection{Herleitung}
-Das Ziel ist es Unser moduliertes Signal mit der Besselfunktion so auszudrücken:
+Das Ziel ist es unser moduliertes Signal mit der Besselfunktion so auszudrücken:
 \begin{align}
+    x_c(t)
+    = 
     \cos(\omega_ct+\beta\sin(\omega_mt))
     &=
     \sum_{k= -\infty}^\infty J_{k}(\beta) \cos((\omega_c+k\omega_m)t)
     \label{fm:eq:proof}
 \end{align}
+\subsubsection{Hilfsmittel}
 Doch dazu brauchen wir die Hilfe der Additionsthoerme 
 \begin{align}
     \cos(A + B) 
@@ -54,70 +58,89 @@ und die drei Besselfunktions indentitäten,
     \label{fm:eq:besselid3}
 \end{align}
 welche man im Kapitel (ref), ref, ref findet.
-\newline
-Mit dem \refname{fm:eq:addth1} wird aus dem modulierten Signal
-\[
-\cos(\omega_c t + \beta\sin(\omega_mt))
-\]
-das Signal
+
+\subsubsection{Anwenden des Additionstheorem}
+Mit dem \eqref{fm:eq:addth1} wird aus dem modulierten Signal
 \[
+    x_c(t) 
+    =
+    \cos(\omega_c t + \beta\sin(\omega_mt))
+    =
     \cos(\omega_c t)\cos(\beta\sin(\omega_m t))-\sin(\omega_c)\sin(\beta\sin(\omega_m t)).
     \label{fm:eq:start}
 \]
-Zu beginn wird der erste Teil 
+\subsubsection{Cos-Teil}
+Zu beginn wird der Cos-Teil
 \[
     \cos(\omega_c)\cos(\beta\sin(\omega_mt))  
 \]
-mit hilfe der Bessel indentität \ref{fm:eq:besselid1} zum
-\[
-    J_0(\beta)\cos(\omega_c) + \sum_{k=1}^\infty J_{2k}(\beta) 2\cos(\omega_c t)\cos(2k\omega_m t)
-\]
-\newline
-TODO 2 und \(\cos( )\) in lime.
-wobei mit dem \colorbox{lime}{Additionstheorem} \ref{fm:eq:addth2} zum
+mit hilfe der Bessel indentität \eqref{fm:eq:besselid1} zum
+\begin{align*}
+    \cos(\omega_c t) \cdot [\, J_0(\beta) + 2\sum_{k=1}^\infty J_{2k}(\beta) \cos(2k\omega_m t)\, ]
+    &=\\
+    J_0(\beta)\cos(\omega_c t) + \sum_{k=1}^\infty J_{2k}(\beta) 
+    \underbrace{2\cos(\omega_c t)\cos(2k\omega_m t)}_{Additionstheorem}
+\end{align*}
+wobei mit dem Additionstheorem \eqref{fm:eq:addth2} \(A = \omega_c t\) und \(B = 2k\omega_m t \) zum
 \[
-    J_0(\beta)\dot \cos(\omega_c t) + \sum_{k=1}^\infty J_{2k}(\beta) \{ \cos((\omega_c - 2k\omega_m) t)+\cos((\omega_c + 2k\omega_m) t) \}
+    J_0(\beta)\cdot \cos(\omega_c t) + \sum_{k=1}^\infty J_{2k}(\beta) \{ \cos((\omega_c - 2k\omega_m) t)+\cos((\omega_c + 2k\omega_m) t) \}
 \]
 wird.
 Wenn dabei \(2k\) durch alle geraden Zahlen von \(-\infty \to \infty\) mit \(n\) substituiert erhält man den vereinfachten Term
 \[
-    \sum_{n\, gerade} J_{n}(\beta) \cos((\omega_c + n\omega_m) t)
+    \sum_{n\, \text{gerade}} J_{n}(\beta) \cos((\omega_c + n\omega_m) t),
     \label{fm:eq:gerade}
 \]
-\newline
-nun zum zweiten Teil des Term \ref{fm:eq:start} 
+dabei gehen nun die Terme von \(-\infty \to \infty\), dabei bleibt n Ganzzahlig.
+
+\subsubsection{Sin-Teil}
+Nun zum zweiten Teil des Term \eqref{fm:eq:start}, den Sin-Teil
 \[
     \sin(\omega_c)\sin(\beta\sin(\omega_m t)).
 \]
-Dieser wird mit der \ref{fm:eq:besselid2} Bessel indentität zu
+Dieser wird mit der \eqref{fm:eq:besselid2} Bessel indentität zu
+\begin{align*}
+    \sin(\omega_c t) \cdot [J_0(\beta)  \sin(\omega_c t) + 2\sum_{k=1}^\infty J_{2k+1}(\beta) \cos((2k+1)\omega_m t)]
+    &=\\
+    J_0(\beta) \cdot \sin(\omega_c t) + \sum_{k=1}^\infty J_{2k+1}(\beta) \underbrace{2\sin(\omega_c t)\cos((2k+1)\omega_m t)}_{Additionstheorem}.
+\end{align*}
+Auch hier wird ein Additionstheorem \eqref{fm:eq:addth3} gebraucht, dabei ist \(A = \omega_c t\) und \(B = (2k+1)\omega_m t \), 
+somit wird daraus
 \[
-    J_0(\beta) \dot \sin(\omega_c t) + \sum_{k=1}^\infty J_{2k+1}(\beta) 2\sin(\omega_c t)\cos((2k+1)\omega_m t).
-\]
-Auch hier wird ein Additionstheorem \ref{fm:eq:addth3} gebraucht um aus dem Sumanden diesen Term 
-\[
-    J_0(\beta) \dot \sin(\omega_c) + \sum_{k=1}^\infty J_{2k+1}(\beta) \{ \underbrace{\cos((\omega_c-(2k+1)\omega_m) t)}_{Teil1} - \cos((\omega_c+(2k+1)\omega_m) t) \}
-\]zu gewinnen.
+    J_0(\beta) \cdot \sin(\omega_c) + \sum_{k=1}^\infty J_{2k+1}(\beta) \{ \underbrace{\cos((\omega_c-(2k+1)\omega_m) t)}_{neg.Teil} - \cos((\omega_c+(2k+1)\omega_m) t) \}
+\]dieser Term.
 Wenn dabei \(2k +1\) durch alle ungeraden Zahlen von \(-\infty \to \infty\) mit \(n\) substituiert.
-Zusätzlich dabei noch die letzte Bessel indentität \ref{fm:eq:besselid3} brauchen, ist bei allen ungeraden negativen \(n : J_{-n}(\beta) = -1 J_n(\beta)\).
-Somit wird Teil1 zum negativen Term und die Summe vereinfacht sich zu
+Zusätzlich dabei noch die letzte Bessel indentität \eqref{fm:eq:besselid3} brauchen, ist bei allen ungeraden negativen \(n : J_{-n}(\beta) = -1\cdot J_n(\beta)\).
+Somit wird negTeil zum Term \(-\cos((\omega_c+(2k+1)\omega_m) t)\)und die Summe vereinfacht sich zu
 \[
-     \sum_{n\, ungerade} -1 J_{n}(\beta) \cos((\omega_c + n\omega_m) t).
+     \sum_{n\, \text{ungerade}} -1 \cdot J_{n}(\beta) \cos((\omega_c + n\omega_m) t).
      \label{fm:eq:ungerade}
 \]
 Substituiert man nun noch \(n \text{mit} -n \) so fällt das \(-1\) weg.
-Beide Teile \ref{fm:eq:gerade} Gerade und \ref{fm:eq:ungerade} Ungerade ergeben zusammen
+
+\subsubsection{Summe Zusammenführen}
+Beide Teile \eqref{fm:eq:gerade} Gerade 
+\[
+    \sum_{n\, \text{gerade}} J_{n}(\beta) \cos((\omega_c + n\omega_m) t)
+\]und \eqref{fm:eq:ungerade} Ungerade 
+\[
+    \sum_{n\, \text{ungerade}} J_{n}(\beta) \cos((\omega_c + n\omega_m) t)
+\]
+ergeben zusammen
 \[
     \cos(\omega_ct+\beta\sin(\omega_mt))
     =
     \sum_{k= -\infty}^\infty J_{k}(\beta) \cos((\omega_c+k\omega_m)t).
 \]
-Somit ist \ref{fm:eq:proof} bewiesen.
+Somit ist \eqref{fm:eq:proof} bewiesen.
 \newpage
+
+%----------------------------------------------------------------------------
 \subsection{Bessel und Frequenzspektrum}
 Um sich das ganze noch einwenig Bildlicher vorzustellenhier einmal die Besselfunktion \(J_{k}(\beta)\) in geplottet.
 \begin{figure}
 	\centering
-%	\includegraphics[width=0.5\textwidth]{/home/joshua/Documents/SeminarSpezielleFunktionen/buch/papers/fm/FM presentation/images/bessel.png}
+%	\input{./PyPython animation/bessel.pgf}
 	\caption{Bessle Funktion \(J_{k}(\beta)\)}
 	\label{fig:bessel}
 \end{figure}
-- 
cgit v1.2.1


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 buch/papers/fm/03_bessel.tex | 20 ++++++++++----------
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diff --git a/buch/papers/fm/03_bessel.tex b/buch/papers/fm/03_bessel.tex
index bf485b1..760cdc4 100644
--- a/buch/papers/fm/03_bessel.tex
+++ b/buch/papers/fm/03_bessel.tex
@@ -74,16 +74,16 @@ Zu beginn wird der Cos-Teil
 \[
     \cos(\omega_c)\cos(\beta\sin(\omega_mt))  
 \]
-mit hilfe der Bessel indentität \eqref{fm:eq:besselid1} zum
+mit hilfe der Besselindentität \eqref{fm:eq:besselid1} zum
 \begin{align*}
-    \cos(\omega_c t) \cdot [\, J_0(\beta) + 2\sum_{k=1}^\infty J_{2k}(\beta) \cos(2k\omega_m t)\, ]
+    \cos(\omega_c t) \cdot \bigg[\, J_0(\beta) + 2\sum_{k=1}^\infty J_{2k}(\beta) \cos( 2k \omega_m t)\, \bigg]
     &=\\
     J_0(\beta)\cos(\omega_c t) + \sum_{k=1}^\infty J_{2k}(\beta) 
-    \underbrace{2\cos(\omega_c t)\cos(2k\omega_m t)}_{Additionstheorem}
+    \underbrace{2\cos(\omega_c t)\cos(2k\omega_m t)}_{\text{Additionstheorem}}
 \end{align*}
 wobei mit dem Additionstheorem \eqref{fm:eq:addth2} \(A = \omega_c t\) und \(B = 2k\omega_m t \) zum
 \[
-    J_0(\beta)\cdot \cos(\omega_c t) + \sum_{k=1}^\infty J_{2k}(\beta) \{ \cos((\omega_c - 2k\omega_m) t)+\cos((\omega_c + 2k\omega_m) t) \}
+    J_0(\beta)\cdot \cos(\omega_c t) + \sum_{k=1}^\infty J_{2k}(\beta) \{ \cos((\omega_c - 2k \omega_m) t)+\cos((\omega_c + 2k \omega_m) t) \}
 \]
 wird.
 Wenn dabei \(2k\) durch alle geraden Zahlen von \(-\infty \to \infty\) mit \(n\) substituiert erhält man den vereinfachten Term
@@ -98,20 +98,20 @@ Nun zum zweiten Teil des Term \eqref{fm:eq:start}, den Sin-Teil
 \[
     \sin(\omega_c)\sin(\beta\sin(\omega_m t)).
 \]
-Dieser wird mit der \eqref{fm:eq:besselid2} Bessel indentität zu
+Dieser wird mit der \eqref{fm:eq:besselid2} Besselindentität zu
 \begin{align*}
-    \sin(\omega_c t) \cdot [J_0(\beta)  \sin(\omega_c t) + 2\sum_{k=1}^\infty J_{2k+1}(\beta) \cos((2k+1)\omega_m t)]
+    \sin(\omega_c t) \cdot \bigg[ J_0(\beta) + 2 \sum_{k=1}^\infty J_{ 2k + 1}(\beta) \cos(( 2k + 1) \omega_m t) \bigg]
     &=\\
-    J_0(\beta) \cdot \sin(\omega_c t) + \sum_{k=1}^\infty J_{2k+1}(\beta) \underbrace{2\sin(\omega_c t)\cos((2k+1)\omega_m t)}_{Additionstheorem}.
+    J_0(\beta) \cdot \sin(\omega_c t) + \sum_{k=1}^\infty J_{2k+1}(\beta) \underbrace{2\sin(\omega_c t)\cos((2k+1)\omega_m t)}_{\text{Additionstheorem}}.
 \end{align*}
 Auch hier wird ein Additionstheorem \eqref{fm:eq:addth3} gebraucht, dabei ist \(A = \omega_c t\) und \(B = (2k+1)\omega_m t \), 
 somit wird daraus
 \[
-    J_0(\beta) \cdot \sin(\omega_c) + \sum_{k=1}^\infty J_{2k+1}(\beta) \{ \underbrace{\cos((\omega_c-(2k+1)\omega_m) t)}_{neg.Teil} - \cos((\omega_c+(2k+1)\omega_m) t) \}
+    J_0(\beta) \cdot \sin(\omega_c) + \sum_{k=1}^\infty J_{2k+1}(\beta) \{ \underbrace{\cos((\omega_c-(2k+1)\omega_m) t)}_{\text{neg.Teil}} - \cos((\omega_c+(2k+1)\omega_m) t) \}
 \]dieser Term.
 Wenn dabei \(2k +1\) durch alle ungeraden Zahlen von \(-\infty \to \infty\) mit \(n\) substituiert.
-Zusätzlich dabei noch die letzte Bessel indentität \eqref{fm:eq:besselid3} brauchen, ist bei allen ungeraden negativen \(n : J_{-n}(\beta) = -1\cdot J_n(\beta)\).
-Somit wird negTeil zum Term \(-\cos((\omega_c+(2k+1)\omega_m) t)\)und die Summe vereinfacht sich zu
+Zusätzlich dabei noch die letzte Besselindentität \eqref{fm:eq:besselid3} brauchen, ist bei allen ungeraden negativen \(n : J_{-n}(\beta) = -1\cdot J_n(\beta)\).
+Somit wird neg.Teil zum Term \(-\cos((\omega_c+(2k+1)\omega_m) t)\) und die Summe vereinfacht sich zu
 \[
      \sum_{n\, \text{ungerade}} -1 \cdot J_{n}(\beta) \cos((\omega_c + n\omega_m) t).
      \label{fm:eq:ungerade}
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