From a5b1d13fd6d9d5df3d7289093e57cf67ae5cb81c Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: Joshua Baer Date: Tue, 26 Jul 2022 15:04:22 +0200 Subject: Kapitel TODOs --- buch/papers/fm/03_bessel.tex | 24 +++++++++--------------- 1 file changed, 9 insertions(+), 15 deletions(-) (limited to 'buch/papers/fm/03_bessel.tex') diff --git a/buch/papers/fm/03_bessel.tex b/buch/papers/fm/03_bessel.tex index fdaa0d1..aed084e 100644 --- a/buch/papers/fm/03_bessel.tex +++ b/buch/papers/fm/03_bessel.tex @@ -7,22 +7,16 @@ \label{fm:section:teil2}} \rhead{Teil 2} + +TODO Hier wird beschrieben wie die Bessel Funktion der FM im Frequenzspektrum hilft, wieso diese gebrauch wird und ihre Vorteile. -%Sed ut perspiciatis unde omnis iste natus error sit voluptatem -%accusantium doloremque laudantium, totam rem aperiam, eaque ipsa -%quae ab illo inventore veritatis et quasi architecto beatae vitae -%dicta sunt explicabo. Nemo enim ipsam voluptatem quia voluptas sit -%aspernatur aut odit aut fugit, sed quia consequuntur magni dolores -%eos qui ratione voluptatem sequi nesciunt. Neque porro quisquam -%est, qui dolorem ipsum quia dolor sit amet, consectetur, adipisci -%velit, sed quia non numquam eius modi tempora incidunt ut labore -%et dolore magnam aliquam quaerat voluptatem. Ut enim ad minima -%veniam, quis nostrum exercitationem ullam corporis suscipit laboriosam, -%nisi ut aliquid ex ea commodi consequatur? Quis autem vel eum iure -%reprehenderit qui in ea voluptate velit esse quam nihil molestiae -%consequatur, vel illum qui dolorem eum fugiat quo voluptas nulla -%pariatur? -% +\begin{itemize} + \item Zuerest einmal die Herleitung von FM zu der Besselfunktion + \item Im Frequenzspektrum darstellen mit Farben, ersichtlich machen. + \item Parameter tuing der Trägerfrequenz, Modulierende frequenz und Beta. +\end{itemize} + + %\subsection{De finibus bonorum et malorum %\label{fm:subsection:bonorum}} -- cgit v1.2.1 From e7f4d8d568bf62c76f4bf0ffdc0fe009134c184d Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: Joshua Baer Date: Wed, 27 Jul 2022 17:45:10 +0200 Subject: Herleitung Kapitel Bessel --- buch/papers/fm/03_bessel.tex | 123 +++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++-- 1 file changed, 120 insertions(+), 3 deletions(-) (limited to 'buch/papers/fm/03_bessel.tex') diff --git a/buch/papers/fm/03_bessel.tex b/buch/papers/fm/03_bessel.tex index aed084e..7a0e20e 100644 --- a/buch/papers/fm/03_bessel.tex +++ b/buch/papers/fm/03_bessel.tex @@ -4,9 +4,126 @@ % (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil % \section{FM und Besselfunktion -\label{fm:section:teil2}} -\rhead{Teil 2} - +\label{fm:section:proof}} +\rhead{Herleitung} +Die momentane Trägerkreisfrequenz \(\omega_i\) wie schon in (ref) beschrieben ist, bringt die Vorigen Kapittel beschreiben. (Ableitung \(\frac{d \varphi(t)}{dt}\) mit sich). +Diese wiederum kann durch \(\beta\sin(\omega_mt)\) ausgedrückt werden, wobei es das Modulierende Signal \(m(t)\) ist. +Somit haben wir unser \(x_c\) welches +\[ +\cos(\omega_c t+\beta\sin(\omega_mt)) +\] +ist. +\subsection{Herleitung} +Das Ziel ist es Unser moduliertes Signal mit der Besselfunktion so auszudrücken: +\begin{align} + \cos(\omega_ct+\beta\sin(\omega_mt)) + &= + \sum_{k= -\infty}^\infty J_{k}(\beta) \cos((\omega_c+k\omega_m)t) + \label{fm:eq:proof} +\end{align} +Doch dazu brauchen wir die Hilfe der Additionsthoerme +\begin{align} + \cos(A + B) + &= + \cos(A)\cos(B)-\sin(A)\sin(B) + \label{fm:eq:addth1} + \\ + 2\cos (A)\cos (B) + &= + \cos(A-B)+\cos(A+B) + \label{fm:eq:addth2} + \\ + 2\sin(A)\sin(B) + &= + \cos(A-B)-\cos(A+B) + \label{fm:eq:addth3} +\end{align} +und die drei Besselfunktions indentitäten, +\begin{align} + \cos(\beta\sin\phi) + &= + J_0(\beta) + 2\sum_{k=1}^\infty J_{2k}(\beta) \cos(2k\phi) + \label{fm:eq:besselid1} + \\ + \sin(\beta\sin\phi) + &= + J_0(\beta) + 2\sum_{k=1}^\infty J_{2k+1}(\beta) \cos((2k+1)\phi) + \label{fm:eq:besselid2} + \\ + J_{-n}(\beta) &= (-1)^n J_n(\beta) + \label{fm:eq:besselid3} +\end{align} +welche man im Kapitel (ref), ref, ref findet. +\newline +Mit dem \refname{fm:eq:addth1} wird aus dem modulierten Signal +\[ +\cos(\omega_c t + \beta\sin(\omega_mt)) +\] +das Signal +\[ + \cos(\omega_c t)\cos(\beta\sin(\omega_m t))-\sin(\omega_c)\sin(\beta\sin(\omega_m t)). + \label{fm:eq:start} +\] +Zu beginn wird der erste Teil +\[ + \cos(\omega_c)\cos(\beta\sin(\omega_mt)) +\] +mit hilfe der Bessel indentität \ref{fm:eq:besselid1} zum +\[ + J_0(\beta)\cos(\omega_c) + \sum_{k=1}^\infty J_{2k}(\beta) 2\cos(\omega_c t)\cos(2k\omega_m t) +\] +\newline +TODO 2 und \(\cos( )\) in lime. +wobei mit dem \colorbox{lime}{Additionstheorem} \ref{fm:eq:addth2} zum +\[ + J_0(\beta)\dot \cos(\omega_c t) + \sum_{k=1}^\infty J_{2k}(\beta) \{ \cos((\omega_c - 2k\omega_m) t)+\cos((\omega_c + 2k\omega_m) t) \} +\] +wird. +Wenn dabei \(2k\) durch alle geraden Zahlen von \(-\infty \to \infty\) mit \(n\) substituiert erhält man den vereinfachten Term +\[ + \sum_{n\, gerade} J_{n}(\beta) \cos((\omega_c + n\omega_m) t) + \label{fm:eq:gerade} +\] +\newline +nun zum zweiten Teil des Term \ref{fm:eq:start} +\[ + \sin(\omega_c)\sin(\beta\sin(\omega_m t)). +\] +Dieser wird mit der \ref{fm:eq:besselid2} Bessel indentität zu +\[ + J_0(\beta) \dot \sin(\omega_c t) + \sum_{k=1}^\infty J_{2k+1}(\beta) 2\sin(\omega_c t)\cos((2k+1)\omega_m t). +\] +Auch hier wird ein Additionstheorem \ref{fm:eq:addth3} gebraucht um aus dem Sumanden diesen Term +\[ + J_0(\beta) \dot \sin(\omega_c) + \sum_{k=1}^\infty J_{2k+1}(\beta) \{ \underbrace{\cos((\omega_c-(2k+1)\omega_m) t)}_{Teil1} - \cos((\omega_c+(2k+1)\omega_m) t) \} +\]zu gewinnen. +Wenn dabei \(2k +1\) durch alle ungeraden Zahlen von \(-\infty \to \infty\) mit \(n\) substituiert. +Zusätzlich dabei noch die letzte Bessel indentität \ref{fm:eq:besselid3} brauchen, ist bei allen ungeraden negativen \(n : J_{-n}(\beta) = -1 J_n(\beta)\). +Somit wird Teil1 zum negativen Term und die Summe vereinfacht sich zu +\[ + \sum_{n\, ungerade} -1 J_{n}(\beta) \cos((\omega_c + n\omega_m) t). + \label{fm:eq:ungerade} +\] +Substituiert man nun noch \(n \text{mit} -n \) so fällt das \(-1\) weg. +Beide Teile \ref{fm:eq:gerade} Gerade und \ref{fm:eq:ungerade} Ungerade ergeben zusammen +\[ + \cos(\omega_ct+\beta\sin(\omega_mt)) + = + \sum_{k= -\infty}^\infty J_{k}(\beta) \cos((\omega_c+k\omega_m)t). +\] +Somit ist \ref{fm:eq:proof} bewiesen. +\newpage +\subsection{Bessel und Frequenzspektrum} +Um sich das ganze noch einwenig Bildlicher vorzustellenhier einmal die Besselfunktion \(J_{k}(\beta)\) in geplottet. +\begin{figure} + \centering + \includegraphics[width=0.5\textwidth]{/home/joshua/Documents/SeminarSpezielleFunktionen/buch/papers/fm/FM presentation/images/bessel.png} + \caption{Bessle Funktion \(J_{k}(\beta)\)} + \label{fig:bessel} +\end{figure} +TODO Grafik einfügen, +\newline +Nun einmal das Modulierte FM signal im Frequenzspektrum mit den einzelen Summen dargestellt TODO Hier wird beschrieben wie die Bessel Funktion der FM im Frequenzspektrum hilft, wieso diese gebrauch wird und ihre Vorteile. -- cgit v1.2.1 From 5ab407e87a3912b2a8e0b1698b9cf967c42c268d Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: =?UTF-8?q?Andreas=20M=C3=BCller?= Date: Wed, 27 Jul 2022 22:00:28 +0200 Subject: comment out bessel.png --- buch/papers/fm/03_bessel.tex | 2 +- 1 file changed, 1 insertion(+), 1 deletion(-) (limited to 'buch/papers/fm/03_bessel.tex') diff --git a/buch/papers/fm/03_bessel.tex b/buch/papers/fm/03_bessel.tex index 7a0e20e..edb932b 100644 --- a/buch/papers/fm/03_bessel.tex +++ b/buch/papers/fm/03_bessel.tex @@ -117,7 +117,7 @@ Somit ist \ref{fm:eq:proof} bewiesen. Um sich das ganze noch einwenig Bildlicher vorzustellenhier einmal die Besselfunktion \(J_{k}(\beta)\) in geplottet. \begin{figure} \centering - \includegraphics[width=0.5\textwidth]{/home/joshua/Documents/SeminarSpezielleFunktionen/buch/papers/fm/FM presentation/images/bessel.png} +% \includegraphics[width=0.5\textwidth]{/home/joshua/Documents/SeminarSpezielleFunktionen/buch/papers/fm/FM presentation/images/bessel.png} \caption{Bessle Funktion \(J_{k}(\beta)\)} \label{fig:bessel} \end{figure} -- cgit v1.2.1 From b4c0297a9cf2e2bc38fcb9110f7b5c89ae0fe9fa Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: Joshua Baer Date: Thu, 28 Jul 2022 17:49:24 +0200 Subject: Kapitel bessel unterteilt --- buch/papers/fm/03_bessel.tex | 87 ++++++++++++++++++++++++++++---------------- 1 file changed, 55 insertions(+), 32 deletions(-) (limited to 'buch/papers/fm/03_bessel.tex') diff --git a/buch/papers/fm/03_bessel.tex b/buch/papers/fm/03_bessel.tex index edb932b..bf485b1 100644 --- a/buch/papers/fm/03_bessel.tex +++ b/buch/papers/fm/03_bessel.tex @@ -13,14 +13,18 @@ Somit haben wir unser \(x_c\) welches \cos(\omega_c t+\beta\sin(\omega_mt)) \] ist. + \subsection{Herleitung} -Das Ziel ist es Unser moduliertes Signal mit der Besselfunktion so auszudrücken: +Das Ziel ist es unser moduliertes Signal mit der Besselfunktion so auszudrücken: \begin{align} + x_c(t) + = \cos(\omega_ct+\beta\sin(\omega_mt)) &= \sum_{k= -\infty}^\infty J_{k}(\beta) \cos((\omega_c+k\omega_m)t) \label{fm:eq:proof} \end{align} +\subsubsection{Hilfsmittel} Doch dazu brauchen wir die Hilfe der Additionsthoerme \begin{align} \cos(A + B) @@ -54,70 +58,89 @@ und die drei Besselfunktions indentitäten, \label{fm:eq:besselid3} \end{align} welche man im Kapitel (ref), ref, ref findet. -\newline -Mit dem \refname{fm:eq:addth1} wird aus dem modulierten Signal -\[ -\cos(\omega_c t + \beta\sin(\omega_mt)) -\] -das Signal + +\subsubsection{Anwenden des Additionstheorem} +Mit dem \eqref{fm:eq:addth1} wird aus dem modulierten Signal \[ + x_c(t) + = + \cos(\omega_c t + \beta\sin(\omega_mt)) + = \cos(\omega_c t)\cos(\beta\sin(\omega_m t))-\sin(\omega_c)\sin(\beta\sin(\omega_m t)). \label{fm:eq:start} \] -Zu beginn wird der erste Teil +\subsubsection{Cos-Teil} +Zu beginn wird der Cos-Teil \[ \cos(\omega_c)\cos(\beta\sin(\omega_mt)) \] -mit hilfe der Bessel indentität \ref{fm:eq:besselid1} zum -\[ - J_0(\beta)\cos(\omega_c) + \sum_{k=1}^\infty J_{2k}(\beta) 2\cos(\omega_c t)\cos(2k\omega_m t) -\] -\newline -TODO 2 und \(\cos( )\) in lime. -wobei mit dem \colorbox{lime}{Additionstheorem} \ref{fm:eq:addth2} zum +mit hilfe der Bessel indentität \eqref{fm:eq:besselid1} zum +\begin{align*} + \cos(\omega_c t) \cdot [\, J_0(\beta) + 2\sum_{k=1}^\infty J_{2k}(\beta) \cos(2k\omega_m t)\, ] + &=\\ + J_0(\beta)\cos(\omega_c t) + \sum_{k=1}^\infty J_{2k}(\beta) + \underbrace{2\cos(\omega_c t)\cos(2k\omega_m t)}_{Additionstheorem} +\end{align*} +wobei mit dem Additionstheorem \eqref{fm:eq:addth2} \(A = \omega_c t\) und \(B = 2k\omega_m t \) zum \[ - J_0(\beta)\dot \cos(\omega_c t) + \sum_{k=1}^\infty J_{2k}(\beta) \{ \cos((\omega_c - 2k\omega_m) t)+\cos((\omega_c + 2k\omega_m) t) \} + J_0(\beta)\cdot \cos(\omega_c t) + \sum_{k=1}^\infty J_{2k}(\beta) \{ \cos((\omega_c - 2k\omega_m) t)+\cos((\omega_c + 2k\omega_m) t) \} \] wird. Wenn dabei \(2k\) durch alle geraden Zahlen von \(-\infty \to \infty\) mit \(n\) substituiert erhält man den vereinfachten Term \[ - \sum_{n\, gerade} J_{n}(\beta) \cos((\omega_c + n\omega_m) t) + \sum_{n\, \text{gerade}} J_{n}(\beta) \cos((\omega_c + n\omega_m) t), \label{fm:eq:gerade} \] -\newline -nun zum zweiten Teil des Term \ref{fm:eq:start} +dabei gehen nun die Terme von \(-\infty \to \infty\), dabei bleibt n Ganzzahlig. + +\subsubsection{Sin-Teil} +Nun zum zweiten Teil des Term \eqref{fm:eq:start}, den Sin-Teil \[ \sin(\omega_c)\sin(\beta\sin(\omega_m t)). \] -Dieser wird mit der \ref{fm:eq:besselid2} Bessel indentität zu +Dieser wird mit der \eqref{fm:eq:besselid2} Bessel indentität zu +\begin{align*} + \sin(\omega_c t) \cdot [J_0(\beta) \sin(\omega_c t) + 2\sum_{k=1}^\infty J_{2k+1}(\beta) \cos((2k+1)\omega_m t)] + &=\\ + J_0(\beta) \cdot \sin(\omega_c t) + \sum_{k=1}^\infty J_{2k+1}(\beta) \underbrace{2\sin(\omega_c t)\cos((2k+1)\omega_m t)}_{Additionstheorem}. +\end{align*} +Auch hier wird ein Additionstheorem \eqref{fm:eq:addth3} gebraucht, dabei ist \(A = \omega_c t\) und \(B = (2k+1)\omega_m t \), +somit wird daraus \[ - J_0(\beta) \dot \sin(\omega_c t) + \sum_{k=1}^\infty J_{2k+1}(\beta) 2\sin(\omega_c t)\cos((2k+1)\omega_m t). -\] -Auch hier wird ein Additionstheorem \ref{fm:eq:addth3} gebraucht um aus dem Sumanden diesen Term -\[ - J_0(\beta) \dot \sin(\omega_c) + \sum_{k=1}^\infty J_{2k+1}(\beta) \{ \underbrace{\cos((\omega_c-(2k+1)\omega_m) t)}_{Teil1} - \cos((\omega_c+(2k+1)\omega_m) t) \} -\]zu gewinnen. + J_0(\beta) \cdot \sin(\omega_c) + \sum_{k=1}^\infty J_{2k+1}(\beta) \{ \underbrace{\cos((\omega_c-(2k+1)\omega_m) t)}_{neg.Teil} - \cos((\omega_c+(2k+1)\omega_m) t) \} +\]dieser Term. Wenn dabei \(2k +1\) durch alle ungeraden Zahlen von \(-\infty \to \infty\) mit \(n\) substituiert. -Zusätzlich dabei noch die letzte Bessel indentität \ref{fm:eq:besselid3} brauchen, ist bei allen ungeraden negativen \(n : J_{-n}(\beta) = -1 J_n(\beta)\). -Somit wird Teil1 zum negativen Term und die Summe vereinfacht sich zu +Zusätzlich dabei noch die letzte Bessel indentität \eqref{fm:eq:besselid3} brauchen, ist bei allen ungeraden negativen \(n : J_{-n}(\beta) = -1\cdot J_n(\beta)\). +Somit wird negTeil zum Term \(-\cos((\omega_c+(2k+1)\omega_m) t)\)und die Summe vereinfacht sich zu \[ - \sum_{n\, ungerade} -1 J_{n}(\beta) \cos((\omega_c + n\omega_m) t). + \sum_{n\, \text{ungerade}} -1 \cdot J_{n}(\beta) \cos((\omega_c + n\omega_m) t). \label{fm:eq:ungerade} \] Substituiert man nun noch \(n \text{mit} -n \) so fällt das \(-1\) weg. -Beide Teile \ref{fm:eq:gerade} Gerade und \ref{fm:eq:ungerade} Ungerade ergeben zusammen + +\subsubsection{Summe Zusammenführen} +Beide Teile \eqref{fm:eq:gerade} Gerade +\[ + \sum_{n\, \text{gerade}} J_{n}(\beta) \cos((\omega_c + n\omega_m) t) +\]und \eqref{fm:eq:ungerade} Ungerade +\[ + \sum_{n\, \text{ungerade}} J_{n}(\beta) \cos((\omega_c + n\omega_m) t) +\] +ergeben zusammen \[ \cos(\omega_ct+\beta\sin(\omega_mt)) = \sum_{k= -\infty}^\infty J_{k}(\beta) \cos((\omega_c+k\omega_m)t). \] -Somit ist \ref{fm:eq:proof} bewiesen. +Somit ist \eqref{fm:eq:proof} bewiesen. \newpage + +%---------------------------------------------------------------------------- \subsection{Bessel und Frequenzspektrum} Um sich das ganze noch einwenig Bildlicher vorzustellenhier einmal die Besselfunktion \(J_{k}(\beta)\) in geplottet. \begin{figure} \centering -% \includegraphics[width=0.5\textwidth]{/home/joshua/Documents/SeminarSpezielleFunktionen/buch/papers/fm/FM presentation/images/bessel.png} +% \input{./PyPython animation/bessel.pgf} \caption{Bessle Funktion \(J_{k}(\beta)\)} \label{fig:bessel} \end{figure} -- cgit v1.2.1 From e2b1ed24b607291b6af86ba43c8f6f656a92b476 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: Joshua Baer Date: Thu, 28 Jul 2022 18:09:00 +0200 Subject: minor cosmetic changes --- buch/papers/fm/03_bessel.tex | 20 ++++++++++---------- 1 file changed, 10 insertions(+), 10 deletions(-) (limited to 'buch/papers/fm/03_bessel.tex') diff --git a/buch/papers/fm/03_bessel.tex b/buch/papers/fm/03_bessel.tex index bf485b1..760cdc4 100644 --- a/buch/papers/fm/03_bessel.tex +++ b/buch/papers/fm/03_bessel.tex @@ -74,16 +74,16 @@ Zu beginn wird der Cos-Teil \[ \cos(\omega_c)\cos(\beta\sin(\omega_mt)) \] -mit hilfe der Bessel indentität \eqref{fm:eq:besselid1} zum +mit hilfe der Besselindentität \eqref{fm:eq:besselid1} zum \begin{align*} - \cos(\omega_c t) \cdot [\, J_0(\beta) + 2\sum_{k=1}^\infty J_{2k}(\beta) \cos(2k\omega_m t)\, ] + \cos(\omega_c t) \cdot \bigg[\, J_0(\beta) + 2\sum_{k=1}^\infty J_{2k}(\beta) \cos( 2k \omega_m t)\, \bigg] &=\\ J_0(\beta)\cos(\omega_c t) + \sum_{k=1}^\infty J_{2k}(\beta) - \underbrace{2\cos(\omega_c t)\cos(2k\omega_m t)}_{Additionstheorem} + \underbrace{2\cos(\omega_c t)\cos(2k\omega_m t)}_{\text{Additionstheorem}} \end{align*} wobei mit dem Additionstheorem \eqref{fm:eq:addth2} \(A = \omega_c t\) und \(B = 2k\omega_m t \) zum \[ - J_0(\beta)\cdot \cos(\omega_c t) + \sum_{k=1}^\infty J_{2k}(\beta) \{ \cos((\omega_c - 2k\omega_m) t)+\cos((\omega_c + 2k\omega_m) t) \} + J_0(\beta)\cdot \cos(\omega_c t) + \sum_{k=1}^\infty J_{2k}(\beta) \{ \cos((\omega_c - 2k \omega_m) t)+\cos((\omega_c + 2k \omega_m) t) \} \] wird. Wenn dabei \(2k\) durch alle geraden Zahlen von \(-\infty \to \infty\) mit \(n\) substituiert erhält man den vereinfachten Term @@ -98,20 +98,20 @@ Nun zum zweiten Teil des Term \eqref{fm:eq:start}, den Sin-Teil \[ \sin(\omega_c)\sin(\beta\sin(\omega_m t)). \] -Dieser wird mit der \eqref{fm:eq:besselid2} Bessel indentität zu +Dieser wird mit der \eqref{fm:eq:besselid2} Besselindentität zu \begin{align*} - \sin(\omega_c t) \cdot [J_0(\beta) \sin(\omega_c t) + 2\sum_{k=1}^\infty J_{2k+1}(\beta) \cos((2k+1)\omega_m t)] + \sin(\omega_c t) \cdot \bigg[ J_0(\beta) + 2 \sum_{k=1}^\infty J_{ 2k + 1}(\beta) \cos(( 2k + 1) \omega_m t) \bigg] &=\\ - J_0(\beta) \cdot \sin(\omega_c t) + \sum_{k=1}^\infty J_{2k+1}(\beta) \underbrace{2\sin(\omega_c t)\cos((2k+1)\omega_m t)}_{Additionstheorem}. + J_0(\beta) \cdot \sin(\omega_c t) + \sum_{k=1}^\infty J_{2k+1}(\beta) \underbrace{2\sin(\omega_c t)\cos((2k+1)\omega_m t)}_{\text{Additionstheorem}}. \end{align*} Auch hier wird ein Additionstheorem \eqref{fm:eq:addth3} gebraucht, dabei ist \(A = \omega_c t\) und \(B = (2k+1)\omega_m t \), somit wird daraus \[ - J_0(\beta) \cdot \sin(\omega_c) + \sum_{k=1}^\infty J_{2k+1}(\beta) \{ \underbrace{\cos((\omega_c-(2k+1)\omega_m) t)}_{neg.Teil} - \cos((\omega_c+(2k+1)\omega_m) t) \} + J_0(\beta) \cdot \sin(\omega_c) + \sum_{k=1}^\infty J_{2k+1}(\beta) \{ \underbrace{\cos((\omega_c-(2k+1)\omega_m) t)}_{\text{neg.Teil}} - \cos((\omega_c+(2k+1)\omega_m) t) \} \]dieser Term. Wenn dabei \(2k +1\) durch alle ungeraden Zahlen von \(-\infty \to \infty\) mit \(n\) substituiert. -Zusätzlich dabei noch die letzte Bessel indentität \eqref{fm:eq:besselid3} brauchen, ist bei allen ungeraden negativen \(n : J_{-n}(\beta) = -1\cdot J_n(\beta)\). -Somit wird negTeil zum Term \(-\cos((\omega_c+(2k+1)\omega_m) t)\)und die Summe vereinfacht sich zu +Zusätzlich dabei noch die letzte Besselindentität \eqref{fm:eq:besselid3} brauchen, ist bei allen ungeraden negativen \(n : J_{-n}(\beta) = -1\cdot J_n(\beta)\). +Somit wird neg.Teil zum Term \(-\cos((\omega_c+(2k+1)\omega_m) t)\) und die Summe vereinfacht sich zu \[ \sum_{n\, \text{ungerade}} -1 \cdot J_{n}(\beta) \cos((\omega_c + n\omega_m) t). \label{fm:eq:ungerade} -- cgit v1.2.1 From f8ac7479589ae069c7a509cf9908f8e3dddd8451 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: Joshua Baer Date: Wed, 3 Aug 2022 19:45:04 +0200 Subject: bessel labeled --- buch/papers/fm/03_bessel.tex | 65 ++++++++++++++++++++++++++++---------------- 1 file changed, 41 insertions(+), 24 deletions(-) (limited to 'buch/papers/fm/03_bessel.tex') diff --git a/buch/papers/fm/03_bessel.tex b/buch/papers/fm/03_bessel.tex index 760cdc4..eec64f2 100644 --- a/buch/papers/fm/03_bessel.tex +++ b/buch/papers/fm/03_bessel.tex @@ -24,6 +24,7 @@ Das Ziel ist es unser moduliertes Signal mit der Besselfunktion so auszudrücken \sum_{k= -\infty}^\infty J_{k}(\beta) \cos((\omega_c+k\omega_m)t) \label{fm:eq:proof} \end{align} + \subsubsection{Hilfsmittel} Doch dazu brauchen wir die Hilfe der Additionsthoerme \begin{align} @@ -46,18 +47,18 @@ und die drei Besselfunktions indentitäten, \begin{align} \cos(\beta\sin\phi) &= - J_0(\beta) + 2\sum_{k=1}^\infty J_{2k}(\beta) \cos(2k\phi) + J_0(\beta) + 2\sum_{k=1}^\infty(-1)^k \cdot J_{2k}(\beta) \cos(2k\phi) \label{fm:eq:besselid1} \\ \sin(\beta\sin\phi) &= - J_0(\beta) + 2\sum_{k=1}^\infty J_{2k+1}(\beta) \cos((2k+1)\phi) + 2\sum_{k=0}^\infty (-1)^k J_{2k+1}(\beta) \cos((2k+1)\phi) \label{fm:eq:besselid2} \\ J_{-n}(\beta) &= (-1)^n J_n(\beta) \label{fm:eq:besselid3} \end{align} -welche man im Kapitel (ref), ref, ref findet. +welche man im Kapitel \eqref{buch:fourier:eqn:expinphireal}, \eqref{buch:fourier:eqn:expinphiimaginary}, \eqref{buch:fourier:eqn:symetrie}. \subsubsection{Anwenden des Additionstheorem} Mit dem \eqref{fm:eq:addth1} wird aus dem modulierten Signal @@ -66,26 +67,31 @@ Mit dem \eqref{fm:eq:addth1} wird aus dem modulierten Signal = \cos(\omega_c t + \beta\sin(\omega_mt)) = - \cos(\omega_c t)\cos(\beta\sin(\omega_m t))-\sin(\omega_c)\sin(\beta\sin(\omega_m t)). + \cos(\omega_c t)\cos(\beta\sin(\omega_m t))-\sin(\omega_ct)\sin(\beta\sin(\omega_m t)). \label{fm:eq:start} \] + \subsubsection{Cos-Teil} Zu beginn wird der Cos-Teil \[ - \cos(\omega_c)\cos(\beta\sin(\omega_mt)) + \cos(\omega_c t)\cdot\cos(\beta\sin(\omega_mt)) \] mit hilfe der Besselindentität \eqref{fm:eq:besselid1} zum \begin{align*} - \cos(\omega_c t) \cdot \bigg[\, J_0(\beta) + 2\sum_{k=1}^\infty J_{2k}(\beta) \cos( 2k \omega_m t)\, \bigg] - &=\\ - J_0(\beta)\cos(\omega_c t) + \sum_{k=1}^\infty J_{2k}(\beta) - \underbrace{2\cos(\omega_c t)\cos(2k\omega_m t)}_{\text{Additionstheorem}} + \cos(\omega_c t) \cdot \bigg[ J_0(\beta) + 2\sum_{k=1}^\infty(-1)^k \cdot J_{2k}(\beta) \cos( 2k \omega_m t)\, \bigg] + &= + (-1)^k \cdot \sum_{k=1}^\infty J_{2k}(\beta) \underbrace{2\cos(\omega_c t)\cos(2k\omega_m t)}_{\text{Additionstheorem}} \end{align*} wobei mit dem Additionstheorem \eqref{fm:eq:addth2} \(A = \omega_c t\) und \(B = 2k\omega_m t \) zum -\[ - J_0(\beta)\cdot \cos(\omega_c t) + \sum_{k=1}^\infty J_{2k}(\beta) \{ \cos((\omega_c - 2k \omega_m) t)+\cos((\omega_c + 2k \omega_m) t) \} -\] -wird. +\begin{align*} + J_0(\beta) \cdot \cos(\omega_c t) +(-1)^k \cdot \sum_{k=1}^\infty J_{2k}(\beta) \{ \underbrace{\cos((\omega_c - 2k \omega_m) t)} \,+\, \cos((\omega_c + 2k \omega_m) t) \} + \\ + = + (-1)^k \cdot \sum_{k=-\infty}^{-1} J_{2k}(\beta) \overbrace{\cos((\omega_c +2k \omega_m) t)} + \,+\,J_0(\beta)\cdot \cos(\omega_c t+ 2\cdot0 \omega_m) + \,+\, (-1)^k \cdot\sum_{k=1}^\infty J_{2k}(\beta)\cos((\omega_c + 2k \omega_m) t) +\end{align*} + Wenn dabei \(2k\) durch alle geraden Zahlen von \(-\infty \to \infty\) mit \(n\) substituiert erhält man den vereinfachten Term \[ \sum_{n\, \text{gerade}} J_{n}(\beta) \cos((\omega_c + n\omega_m) t), @@ -96,22 +102,32 @@ dabei gehen nun die Terme von \(-\infty \to \infty\), dabei bleibt n Ganzzahlig. \subsubsection{Sin-Teil} Nun zum zweiten Teil des Term \eqref{fm:eq:start}, den Sin-Teil \[ - \sin(\omega_c)\sin(\beta\sin(\omega_m t)). + -\sin(\omega_c t)\cdot\sin(\beta\sin(\omega_m t)). \] Dieser wird mit der \eqref{fm:eq:besselid2} Besselindentität zu \begin{align*} - \sin(\omega_c t) \cdot \bigg[ J_0(\beta) + 2 \sum_{k=1}^\infty J_{ 2k + 1}(\beta) \cos(( 2k + 1) \omega_m t) \bigg] - &=\\ - J_0(\beta) \cdot \sin(\omega_c t) + \sum_{k=1}^\infty J_{2k+1}(\beta) \underbrace{2\sin(\omega_c t)\cos((2k+1)\omega_m t)}_{\text{Additionstheorem}}. + -\sin(\omega_c t) \cdot \bigg[ 2 \sum_{k=0}^\infty(-1)^k \cdot J_{ 2k + 1}(\beta) \cos(( 2k + 1) \omega_m t) \bigg] + \\ + = + (-1)^k \cdot -\sum_{k=0}^\infty J_{2k+1}(\beta) \underbrace{2\sin(\omega_c t)\cos((2k+1)\omega_m t)}_{\text{Additionstheorem}}. \end{align*} Auch hier wird ein Additionstheorem \eqref{fm:eq:addth3} gebraucht, dabei ist \(A = \omega_c t\) und \(B = (2k+1)\omega_m t \), somit wird daraus -\[ - J_0(\beta) \cdot \sin(\omega_c) + \sum_{k=1}^\infty J_{2k+1}(\beta) \{ \underbrace{\cos((\omega_c-(2k+1)\omega_m) t)}_{\text{neg.Teil}} - \cos((\omega_c+(2k+1)\omega_m) t) \} -\]dieser Term. -Wenn dabei \(2k +1\) durch alle ungeraden Zahlen von \(-\infty \to \infty\) mit \(n\) substituiert. +\begin{align*} + (-1)^k \cdot -\sum_{k=0}^\infty J_{2k+1}(\beta) \{ \underbrace{\cos((\omega_c - (2k+1)\omega_m) t)} \,-\, \cos((\omega_c+(2k+1)\omega_m) t) \} + \\ + = + (-1)^k \cdot -\sum_{k=- \infty}^{-1} J_{2k+1}(\beta) \overbrace{\cos((\omega_c + (2k+1)\omega_m) t)} + \,-\, (-1)^k \cdot -\sum_{k=0}^\infty J_{2k+1}(\beta) \cos((\omega_c + (2k+1)\omega_m) t) +\end{align*} +dieser Term. Zusätzlich dabei noch die letzte Besselindentität \eqref{fm:eq:besselid3} brauchen, ist bei allen ungeraden negativen \(n : J_{-n}(\beta) = -1\cdot J_n(\beta)\). -Somit wird neg.Teil zum Term \(-\cos((\omega_c+(2k+1)\omega_m) t)\) und die Summe vereinfacht sich zu +Somit wird neg.Teil zum Term +\[ + (-1)^k \cdot \sum_{k= \infty}^{1} -1 \cdot J_{2k+1}(\beta) \cos((\omega_c+(2k+1)\omega_m) t). +\] +TODO (jetzt habe ich zwei Summen die immer positiv sind? ) +Wenn dabei \(2k +1\) durch alle ungeraden Zahlen von \(-\infty \to \infty\) mit \(n\) substituiert vereinfacht sich die Summe zu \[ \sum_{n\, \text{ungerade}} -1 \cdot J_{n}(\beta) \cos((\omega_c + n\omega_m) t). \label{fm:eq:ungerade} @@ -122,7 +138,8 @@ Substituiert man nun noch \(n \text{mit} -n \) so fällt das \(-1\) weg. Beide Teile \eqref{fm:eq:gerade} Gerade \[ \sum_{n\, \text{gerade}} J_{n}(\beta) \cos((\omega_c + n\omega_m) t) -\]und \eqref{fm:eq:ungerade} Ungerade +\] +und \eqref{fm:eq:ungerade} Ungerade \[ \sum_{n\, \text{ungerade}} J_{n}(\beta) \cos((\omega_c + n\omega_m) t) \] @@ -140,7 +157,7 @@ Somit ist \eqref{fm:eq:proof} bewiesen. Um sich das ganze noch einwenig Bildlicher vorzustellenhier einmal die Besselfunktion \(J_{k}(\beta)\) in geplottet. \begin{figure} \centering -% \input{./PyPython animation/bessel.pgf} + \input{papers/fm/Python animation/bessel.pgf} \caption{Bessle Funktion \(J_{k}(\beta)\)} \label{fig:bessel} \end{figure} -- cgit v1.2.1 From 58bb0cea67d894d7f9cb3b667a489abd05cbab39 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: Joshua Baer Date: Thu, 4 Aug 2022 18:04:11 +0200 Subject: Herleitung fix --- buch/papers/fm/03_bessel.tex | 135 ++++++++++++++++++++++++++----------------- 1 file changed, 83 insertions(+), 52 deletions(-) (limited to 'buch/papers/fm/03_bessel.tex') diff --git a/buch/papers/fm/03_bessel.tex b/buch/papers/fm/03_bessel.tex index eec64f2..5f85dc6 100644 --- a/buch/papers/fm/03_bessel.tex +++ b/buch/papers/fm/03_bessel.tex @@ -3,11 +3,11 @@ % % (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil % -\section{FM und Besselfunktion +\section{FM und Bessel-Funktion \label{fm:section:proof}} \rhead{Herleitung} -Die momentane Trägerkreisfrequenz \(\omega_i\) wie schon in (ref) beschrieben ist, bringt die Vorigen Kapittel beschreiben. (Ableitung \(\frac{d \varphi(t)}{dt}\) mit sich). -Diese wiederum kann durch \(\beta\sin(\omega_mt)\) ausgedrückt werden, wobei es das Modulierende Signal \(m(t)\) ist. +Die momentane Trägerkreisfrequenz \(\omega_i\), wie schon in (ref) beschrieben ist, bringt die Ableitung \(\frac{d \varphi(t)}{dt}\) mit sich. +Diese wiederum kann durch \(\beta\sin(\omega_mt)\) ausgedrückt werden, wobei es das modulierende Signal \(m(t)\) ist. Somit haben wir unser \(x_c\) welches \[ \cos(\omega_c t+\beta\sin(\omega_mt)) @@ -15,7 +15,7 @@ Somit haben wir unser \(x_c\) welches ist. \subsection{Herleitung} -Das Ziel ist es unser moduliertes Signal mit der Besselfunktion so auszudrücken: +Das Ziel ist, unser moduliertes Signal mit der Bessel-Funktion so auszudrücken: \begin{align} x_c(t) = @@ -43,22 +43,22 @@ Doch dazu brauchen wir die Hilfe der Additionsthoerme \cos(A-B)-\cos(A+B) \label{fm:eq:addth3} \end{align} -und die drei Besselfunktions indentitäten, +und die drei Bessel-Funktionsindentitäten, \begin{align} \cos(\beta\sin\phi) &= - J_0(\beta) + 2\sum_{k=1}^\infty(-1)^k \cdot J_{2k}(\beta) \cos(2k\phi) + J_0(\beta) + 2\sum_{k=1}^\infty J_{2k}(\beta) \cos(2k\phi) \label{fm:eq:besselid1} \\ \sin(\beta\sin\phi) &= - 2\sum_{k=0}^\infty (-1)^k J_{2k+1}(\beta) \cos((2k+1)\phi) + 2\sum_{k=0}^\infty J_{2k+1}(\beta) \cos((2k+1)\phi) \label{fm:eq:besselid2} \\ J_{-n}(\beta) &= (-1)^n J_n(\beta) \label{fm:eq:besselid3} \end{align} -welche man im Kapitel \eqref{buch:fourier:eqn:expinphireal}, \eqref{buch:fourier:eqn:expinphiimaginary}, \eqref{buch:fourier:eqn:symetrie}. +welche man im Kapitel \eqref{buch:fourier:eqn:expinphireal}, \eqref{buch:fourier:eqn:expinphiimaginary}, \eqref{buch:fourier:eqn:symetrie} findet. \subsubsection{Anwenden des Additionstheorem} Mit dem \eqref{fm:eq:addth1} wird aus dem modulierten Signal @@ -70,70 +70,102 @@ Mit dem \eqref{fm:eq:addth1} wird aus dem modulierten Signal \cos(\omega_c t)\cos(\beta\sin(\omega_m t))-\sin(\omega_ct)\sin(\beta\sin(\omega_m t)). \label{fm:eq:start} \] - +%----------------------------------------------------------------------------------------------------------- \subsubsection{Cos-Teil} Zu beginn wird der Cos-Teil -\[ +\begin{align*} + c(t) + &= \cos(\omega_c t)\cdot\cos(\beta\sin(\omega_mt)) -\] +\end{align*} mit hilfe der Besselindentität \eqref{fm:eq:besselid1} zum \begin{align*} - \cos(\omega_c t) \cdot \bigg[ J_0(\beta) + 2\sum_{k=1}^\infty(-1)^k \cdot J_{2k}(\beta) \cos( 2k \omega_m t)\, \bigg] + c(t) &= - (-1)^k \cdot \sum_{k=1}^\infty J_{2k}(\beta) \underbrace{2\cos(\omega_c t)\cos(2k\omega_m t)}_{\text{Additionstheorem}} + \cos(\omega_c t) \cdot \bigg[ J_0(\beta) + 2\sum_{k=1}^\infty J_{2k}(\beta) \cos( 2k \omega_m t)\, \bigg] + \\ + &= + J_0(\beta) \cdot \cos(\omega_c t) + \sum_{k=1}^\infty J_{2k}(\beta) \underbrace{2\cos(\omega_c t)\cos(2k\omega_m t)}_{\text{Additionstheorem \eqref{fm:eq:addth2}}} \end{align*} -wobei mit dem Additionstheorem \eqref{fm:eq:addth2} \(A = \omega_c t\) und \(B = 2k\omega_m t \) zum +%intertext{} Funktioniert nicht. +wobei mit dem Additionstheorem \eqref{fm:eq:addth2} \(A = \omega_c t\) und \(B = 2k\omega_m t \) ersetzt wurden. \begin{align*} - J_0(\beta) \cdot \cos(\omega_c t) +(-1)^k \cdot \sum_{k=1}^\infty J_{2k}(\beta) \{ \underbrace{\cos((\omega_c - 2k \omega_m) t)} \,+\, \cos((\omega_c + 2k \omega_m) t) \} + c(t) + &= + J_0(\beta) \cdot \cos(\omega_c t) + \sum_{k=1}^\infty J_{2k}(\beta) \{ \underbrace{\cos((\omega_c - 2k \omega_m) t)} \,+\, \cos((\omega_c + 2k \omega_m) t) \} \\ - = - (-1)^k \cdot \sum_{k=-\infty}^{-1} J_{2k}(\beta) \overbrace{\cos((\omega_c +2k \omega_m) t)} + &= + \sum_{k=-\infty}^{-1} J_{2k}(\beta) \overbrace{\cos((\omega_c +2k \omega_m) t)} \,+\,J_0(\beta)\cdot \cos(\omega_c t+ 2\cdot0 \omega_m) - \,+\, (-1)^k \cdot\sum_{k=1}^\infty J_{2k}(\beta)\cos((\omega_c + 2k \omega_m) t) + \,+\, \sum_{k=1}^\infty J_{2k}(\beta)\cos((\omega_c + 2k \omega_m) t) \end{align*} - -Wenn dabei \(2k\) durch alle geraden Zahlen von \(-\infty \to \infty\) mit \(n\) substituiert erhält man den vereinfachten Term -\[ - \sum_{n\, \text{gerade}} J_{n}(\beta) \cos((\omega_c + n\omega_m) t), +wird. +Das Minus im Ersten Term wird zur negativen Summe \(\sum_{-\infty}^{-1}\) ersetzt. +Da \(2k\) immer gerade ist, wird es durch alle negativen und positiven Ganzzahlen \(n\) ersetzt: +\begin{align*} + \sum_{n\, \text{gerade}} J_{n}(\beta) \cos((\omega_c + n \omega_m) t), \label{fm:eq:gerade} -\] -dabei gehen nun die Terme von \(-\infty \to \infty\), dabei bleibt n Ganzzahlig. - +\end{align*} +%---------------------------------------------------------------------------------------------------------------- \subsubsection{Sin-Teil} Nun zum zweiten Teil des Term \eqref{fm:eq:start}, den Sin-Teil -\[ +\begin{align*} + s(t) + &= -\sin(\omega_c t)\cdot\sin(\beta\sin(\omega_m t)). -\] +\end{align*} Dieser wird mit der \eqref{fm:eq:besselid2} Besselindentität zu \begin{align*} - -\sin(\omega_c t) \cdot \bigg[ 2 \sum_{k=0}^\infty(-1)^k \cdot J_{ 2k + 1}(\beta) \cos(( 2k + 1) \omega_m t) \bigg] + s(t) + &= + -\sin(\omega_c t) \cdot \bigg[ 2 \sum_{k=0}^\infty J_{ 2k + 1}(\beta) \cos(( 2k + 1) \omega_m t) \bigg] \\ - = - (-1)^k \cdot -\sum_{k=0}^\infty J_{2k+1}(\beta) \underbrace{2\sin(\omega_c t)\cos((2k+1)\omega_m t)}_{\text{Additionstheorem}}. + &= + \sum_{k=0}^\infty -1 \cdot J_{2k+1}(\beta) 2\sin(\omega_c t)\cos((2k+1)\omega_m t). +\end{align*} +Da \(2k + 1\) alle ungeraden positiven Ganzzahlen entspricht wird es durch \(n\) ersetzt. +Wird die Besselindentität \eqref{fm:eq:besselid3} gebraucht, so ersetzten wird \(J_{-n}(\beta) = -1\cdot J_n(\beta)\) ersetzt: +\begin{align*} + s(t) + &= + \sum_{n=0}^\infty J_{-n}(\beta) \underbrace{2\sin(\omega_c t)\cos(n \omega_m t)}_{\text{Additionstheorem \eqref{fm:eq:addth3}}}. \end{align*} -Auch hier wird ein Additionstheorem \eqref{fm:eq:addth3} gebraucht, dabei ist \(A = \omega_c t\) und \(B = (2k+1)\omega_m t \), -somit wird daraus +Auch hier wird ein Additionstheorem \eqref{fm:eq:addth3} gebraucht, dabei ist \(A = \omega_c t\) und \(B = n \omega_m t \), +somit wird daraus: \begin{align*} - (-1)^k \cdot -\sum_{k=0}^\infty J_{2k+1}(\beta) \{ \underbrace{\cos((\omega_c - (2k+1)\omega_m) t)} \,-\, \cos((\omega_c+(2k+1)\omega_m) t) \} + s(t) + &= + \sum_{n=0}^\infty J_{-n}(\beta) \{ \underbrace{\cos((\omega_c - n\omega_m) t)} \,-\, \cos((\omega_c + n\omega_m) t) \} \\ - = - (-1)^k \cdot -\sum_{k=- \infty}^{-1} J_{2k+1}(\beta) \overbrace{\cos((\omega_c + (2k+1)\omega_m) t)} - \,-\, (-1)^k \cdot -\sum_{k=0}^\infty J_{2k+1}(\beta) \cos((\omega_c + (2k+1)\omega_m) t) + &= + \sum_{n=- \infty}^{0} J_{n}(\beta) \overbrace{\cos((\omega_c + n \omega_m) t)} + \,-\, \sum_{n=0}^\infty J_{-n}(\beta) \cos((\omega_c + n\omega_m) t) \end{align*} -dieser Term. -Zusätzlich dabei noch die letzte Besselindentität \eqref{fm:eq:besselid3} brauchen, ist bei allen ungeraden negativen \(n : J_{-n}(\beta) = -1\cdot J_n(\beta)\). -Somit wird neg.Teil zum Term -\[ - (-1)^k \cdot \sum_{k= \infty}^{1} -1 \cdot J_{2k+1}(\beta) \cos((\omega_c+(2k+1)\omega_m) t). -\] -TODO (jetzt habe ich zwei Summen die immer positiv sind? ) -Wenn dabei \(2k +1\) durch alle ungeraden Zahlen von \(-\infty \to \infty\) mit \(n\) substituiert vereinfacht sich die Summe zu +Auch hier wurde wieder eine zweite Summe \(\sum_{-\infty}^{-1}\) gebraucht um das Minus zu einem Plus zu wandeln. +Wenn \(n = 0 \) ist der Minuend gleich dem Subtrahend und somit dieser Teil \(=0\), das bedeutet \(n\) ended bei \(-1\) und started bei \(1\). +\begin{align*} + s(t) + &= + \sum_{n=- \infty}^{-1} J_{n}(\beta) \cos((\omega_c + n \omega_m) t) + \underbrace{\,-\, \sum_{n=1}^\infty J_{-n}(\beta)} \cos((\omega_c + n\omega_m) t) +\end{align*} +Um aus diesem Subtrahend eine Addition zu kreiernen, wird die Besselindentität \eqref{fm:eq:besselid3} gebraucht, +jedoch so \(-1 \cdot J_{-n}(\beta) = J_n(\beta)\) und daraus wird dann: +\begin{align*} + s(t) + &= + \sum_{n=- \infty}^{-1} J_{n}(\beta) \cos((\omega_c + n \omega_m) t) + \,+\, \sum_{n=1}^\infty J_{n}(\beta) \cos((\omega_c + n\omega_m) t) +\end{align*} +Da \(n\) immer ungerade ist und \(0\) nicht zu den ungeraden zahlen zählt, kann man dies so vereinfacht \[ - \sum_{n\, \text{ungerade}} -1 \cdot J_{n}(\beta) \cos((\omega_c + n\omega_m) t). - \label{fm:eq:ungerade} + s(t) + = + \sum_{n\, \text{ungerade}} -1 \cdot J_{n}(\beta) \cos((\omega_c + n\omega_m) t). + \label{fm:eq:ungerade} \] -Substituiert man nun noch \(n \text{mit} -n \) so fällt das \(-1\) weg. - +schreiben. +%------------------------------------------------------------------------------------------ \subsubsection{Summe Zusammenführen} Beide Teile \eqref{fm:eq:gerade} Gerade \[ @@ -151,10 +183,9 @@ ergeben zusammen \] Somit ist \eqref{fm:eq:proof} bewiesen. \newpage - -%---------------------------------------------------------------------------- +%----------------------------------------------------------------------------------------- \subsection{Bessel und Frequenzspektrum} -Um sich das ganze noch einwenig Bildlicher vorzustellenhier einmal die Besselfunktion \(J_{k}(\beta)\) in geplottet. +Um sich das ganze noch einwenig Bildlicher vorzustellenhier einmal die Bessel-Funktion \(J_{k}(\beta)\) in geplottet. \begin{figure} \centering \input{papers/fm/Python animation/bessel.pgf} @@ -168,7 +199,7 @@ Nun einmal das Modulierte FM signal im Frequenzspektrum mit den einzelen Summen TODO Hier wird beschrieben wie die Bessel Funktion der FM im Frequenzspektrum hilft, wieso diese gebrauch wird und ihre Vorteile. \begin{itemize} - \item Zuerest einmal die Herleitung von FM zu der Besselfunktion + \item Zuerest einmal die Herleitung von FM zu der Bessel-Funktion \item Im Frequenzspektrum darstellen mit Farben, ersichtlich machen. \item Parameter tuing der Trägerfrequenz, Modulierende frequenz und Beta. \end{itemize} -- cgit v1.2.1