From fc8bf49548f168fe0a77e1446c73ff7be5d980cf Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: =?UTF-8?q?Andreas=20M=C3=BCller?= Date: Fri, 13 May 2022 23:11:38 +0200 Subject: fresnel paper erste Fassung --- buch/papers/fresnel/Makefile | 15 ++- buch/papers/fresnel/eulerspirale.m | 61 +++++++++ buch/papers/fresnel/eulerspirale.pdf | Bin 0 -> 22592 bytes buch/papers/fresnel/eulerspirale.tex | 41 ++++++ buch/papers/fresnel/fresnelgraph.pdf | Bin 0 -> 30018 bytes buch/papers/fresnel/fresnelgraph.tex | 46 +++++++ buch/papers/fresnel/main.tex | 24 +--- buch/papers/fresnel/pfad.pdf | Bin 0 -> 19126 bytes buch/papers/fresnel/pfad.tex | 34 +++++ buch/papers/fresnel/references.bib | 11 ++ buch/papers/fresnel/teil0.tex | 109 +++++++++++++--- buch/papers/fresnel/teil1.tex | 239 ++++++++++++++++++++++++++++------- buch/papers/fresnel/teil2.tex | 48 +++---- buch/papers/fresnel/teil3.tex | 136 +++++++++++++++----- 14 files changed, 617 insertions(+), 147 deletions(-) create mode 100644 buch/papers/fresnel/eulerspirale.m create mode 100644 buch/papers/fresnel/eulerspirale.pdf create mode 100644 buch/papers/fresnel/eulerspirale.tex create mode 100644 buch/papers/fresnel/fresnelgraph.pdf create mode 100644 buch/papers/fresnel/fresnelgraph.tex create mode 100644 buch/papers/fresnel/pfad.pdf create mode 100644 buch/papers/fresnel/pfad.tex (limited to 'buch/papers/fresnel') diff --git a/buch/papers/fresnel/Makefile b/buch/papers/fresnel/Makefile index c8aa073..11af3a7 100644 --- a/buch/papers/fresnel/Makefile +++ b/buch/papers/fresnel/Makefile @@ -1,9 +1,22 @@ # # Makefile -- make file for the paper fresnel # -# (c) 2020 Prof Dr Andreas Mueller +# (c) 2022 Prof Dr Andreas Mueller # +all: fresnelgraph.pdf eulerspirale.pdf pfad.pdf images: @echo "no images to be created in fresnel" +eulerpath.tex: eulerspirale.m + octave eulerspirale.m + +fresnelgraph.pdf: fresnelgraph.tex eulerpath.tex + pdflatex fresnelgraph.tex + +eulerspirale.pdf: eulerspirale.tex eulerpath.tex + pdflatex eulerspirale.tex + +pfad.pdf: pfad.tex + pdflatex pfad.tex + diff --git a/buch/papers/fresnel/eulerspirale.m b/buch/papers/fresnel/eulerspirale.m new file mode 100644 index 0000000..84e3696 --- /dev/null +++ b/buch/papers/fresnel/eulerspirale.m @@ -0,0 +1,61 @@ +# +# eulerspirale.m +# +# (c) 2022 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschlue +# +global n; +n = 1000; +global tmax; +tmax = 10; +global N; +N = round(n*5/tmax); + +function retval = f(x, t) + x = pi * t^2 / 2; + retval = [ cos(x); sin(x) ]; +endfunction + +x0 = [ 0; 0 ]; +t = tmax * (0:n) / n; + +c = lsode(@f, x0, t); + +fn = fopen("eulerpath.tex", "w"); + +fprintf(fn, "\\def\\fresnela{ (0,0)"); +for i = (2:n) + fprintf(fn, "\n\t-- (%.4f,%.4f)", c(i,1), c(i,2)); +end +fprintf(fn, "\n}\n\n"); + +fprintf(fn, "\\def\\fresnelb{ (0,0)"); +for i = (2:n) + fprintf(fn, "\n\t-- (%.4f,%.4f)", -c(i,1), -c(i,2)); +end +fprintf(fn, "\n}\n\n"); + +fprintf(fn, "\\def\\Cplotright{ (0,0)"); +for i = (2:N) + fprintf(fn, "\n\t-- ({%.4f*\\dx},{%.4f*\\dy})", t(i), c(i,1)); +end +fprintf(fn, "\n}\n\n"); + +fprintf(fn, "\\def\\Cplotleft{ (0,0)"); +for i = (2:N) + fprintf(fn, "\n\t-- ({%.4f*\\dx},{%.4f*\\dy})", -t(i), -c(i,1)); +end +fprintf(fn, "\n}\n\n"); + +fprintf(fn, "\\def\\Splotright{ (0,0)"); +for i = (2:N) + fprintf(fn, "\n\t-- ({%.4f*\\dx},{%.4f*\\dy})", t(i), c(i,2)); +end +fprintf(fn, "\n}\n\n"); + +fprintf(fn, "\\def\\Splotleft{ (0,0)"); +for i = (2:N) + fprintf(fn, "\n\t-- ({%.4f*\\dx},{%.4f*\\dy})", -t(i), -c(i,2)); +end +fprintf(fn, "\n}\n\n"); + +fclose(fn); diff --git a/buch/papers/fresnel/eulerspirale.pdf b/buch/papers/fresnel/eulerspirale.pdf new file mode 100644 index 0000000..4a85a50 Binary files /dev/null and b/buch/papers/fresnel/eulerspirale.pdf differ diff --git a/buch/papers/fresnel/eulerspirale.tex b/buch/papers/fresnel/eulerspirale.tex new file mode 100644 index 0000000..38ef756 --- /dev/null +++ b/buch/papers/fresnel/eulerspirale.tex @@ -0,0 +1,41 @@ +% +% eulerspirale.tex -- Darstellung der Eulerspirale +% +% (c) 2022 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule +% +\documentclass[tikz]{standalone} +\usepackage{amsmath} +\usepackage{times} +\usepackage{txfonts} +\usepackage{pgfplots} +\usepackage{csvsimple} +\usetikzlibrary{arrows,intersections,math} +\begin{document} +\def\skala{1} +\definecolor{darkgreen}{rgb}{0,0.6,0} +\begin{tikzpicture}[>=latex,thick,scale=\skala] + +\input{eulerpath.tex} + +\def\s{8} + +\begin{scope}[scale=\s] +\draw[color=blue] (-0.5,-0.5) rectangle (0.5,0.5); +\draw[color=darkgreen,line width=1.4pt] \fresnela; +\draw[color=darkgreen,line width=1.4pt] \fresnelb; +\fill[color=blue] (0.5,0.5) circle[radius={0.1/\s}]; +\fill[color=blue] (-0.5,-0.5) circle[radius={0.1/\s}]; +\draw (-0.5,{-0.05/\s}) -- (-0.5,{0.05/\s}); +\draw (0.5,{-0.05/\s}) -- (0.5,{-0.05/\s}); +\node at (-0.5,0) [above left] {$\frac12$}; +\node at (0.5,0) [below right] {$\frac12$}; +\node at (0,-0.5) [below right] {$\frac12$}; +\node at (0,0.5) [above left] {$\frac12$}; +\end{scope} + +\draw[->] (-6.7,0) -- (6.9,0) coordinate[label={$C(x)$}];; +\draw[->] (0,-5.8) -- (0,6.1) coordinate[label={left:$S(x)$}];; + +\end{tikzpicture} +\end{document} + diff --git a/buch/papers/fresnel/fresnelgraph.pdf b/buch/papers/fresnel/fresnelgraph.pdf new file mode 100644 index 0000000..9ccad56 Binary files /dev/null and b/buch/papers/fresnel/fresnelgraph.pdf differ diff --git a/buch/papers/fresnel/fresnelgraph.tex b/buch/papers/fresnel/fresnelgraph.tex new file mode 100644 index 0000000..20df951 --- /dev/null +++ b/buch/papers/fresnel/fresnelgraph.tex @@ -0,0 +1,46 @@ +% +% fresnelgraph.tex -- Graphs of the fresnel functions +% +% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule +% +\documentclass[tikz]{standalone} +\usepackage{amsmath} +\usepackage{times} +\usepackage{txfonts} +\usepackage{pgfplots} +\usepackage{csvsimple} +\usetikzlibrary{arrows,intersections,math} +\begin{document} +\def\skala{1} +\begin{tikzpicture}[>=latex,thick,scale=\skala] + +\input{eulerpath.tex} +\def\dx{1.3} +\def\dy{2.6} + +\draw[color=gray] (0,{0.5*\dy}) -- ({5*\dx},{0.5*\dy}); +\draw[color=gray] (0,{-0.5*\dy}) -- ({-5*\dx},{-0.5*\dy}); + +\draw[color=blue,line width=1.4pt] \Splotright; +\draw[color=blue,line width=1.4pt] \Splotleft; + +\draw[color=red,line width=1.4pt] \Cplotright; +\draw[color=red,line width=1.4pt] \Cplotleft; + +\draw[->] (-6.7,0) -- (6.9,0) coordinate[label={$x$}]; +\draw[->] (0,-2.3) -- (0,2.3) coordinate[label={$y$}]; + +\foreach \x in {1,2,3,4,5}{ + \draw ({\x*\dx},-0.05) -- ({\x*\dx},0.05); + \draw ({-\x*\dx},-0.05) -- ({-\x*\dx},0.05); + \node at ({\x*\dx},-0.05) [below] {$\x$}; + \node at ({-\x*\dx},0.05) [above] {$-\x$}; +} +\draw (-0.05,{0.5*\dy}) -- (0.05,{0.5*\dy}); +\node at (-0.05,{0.5*\dy}) [left] {$\frac12$}; +\draw (-0.05,{-0.5*\dy}) -- (0.05,{-0.5*\dy}); +\node at (0.05,{-0.5*\dy}) [right] {$-\frac12$}; + +\end{tikzpicture} +\end{document} + diff --git a/buch/papers/fresnel/main.tex b/buch/papers/fresnel/main.tex index bbaf7e6..e6ee3b5 100644 --- a/buch/papers/fresnel/main.tex +++ b/buch/papers/fresnel/main.tex @@ -3,29 +3,11 @@ % % (c) 2020 Hochschule Rapperswil % -\chapter{Thema\label{chapter:fresnel}} -\lhead{Thema} +\chapter{Fresnel-Integrale\label{chapter:fresnel}} +\lhead{Fresnel-Integrale} \begin{refsection} -\chapterauthor{Hans Muster} +\chapterauthor{Andreas Müller} -Ein paar Hinweise für die korrekte Formatierung des Textes -\begin{itemize} -\item -Absätze werden gebildet, indem man eine Leerzeile einfügt. -Die Verwendung von \verb+\\+ ist nur in Tabellen und Arrays gestattet. -\item -Die explizite Platzierung von Bildern ist nicht erlaubt, entsprechende -Optionen werden gelöscht. -Verwenden Sie Labels und Verweise, um auf Bilder hinzuweisen. -\item -Beginnen Sie jeden Satz auf einer neuen Zeile. -Damit ermöglichen Sie dem Versionsverwaltungssysteme, Änderungen -in verschiedenen Sätzen von verschiedenen Autoren ohne Konflikt -anzuwenden. -\item -Bilden Sie auch für Formeln kurze Zeilen, einerseits der besseren -Übersicht wegen, aber auch um GIT die Arbeit zu erleichtern. -\end{itemize} \input{papers/fresnel/teil0.tex} \input{papers/fresnel/teil1.tex} diff --git a/buch/papers/fresnel/pfad.pdf b/buch/papers/fresnel/pfad.pdf new file mode 100644 index 0000000..ff514cc Binary files /dev/null and b/buch/papers/fresnel/pfad.pdf differ diff --git a/buch/papers/fresnel/pfad.tex b/buch/papers/fresnel/pfad.tex new file mode 100644 index 0000000..5439a71 --- /dev/null +++ b/buch/papers/fresnel/pfad.tex @@ -0,0 +1,34 @@ +% +% pfad.tex -- template for standalon tikz images +% +% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule +% +\documentclass[tikz]{standalone} +\usepackage{amsmath} +\usepackage{times} +\usepackage{txfonts} +\usepackage{pgfplots} +\usepackage{csvsimple} +\usetikzlibrary{arrows,intersections,math} +\begin{document} +\def\skala{1} +\definecolor{darkgreen}{rgb}{0,0.6,0} +\begin{tikzpicture}[>=latex,thick,scale=\skala] + +\draw[->] (-1,0) -- (9,0) coordinate[label={$\operatorname{Re}$}]; +\draw[->] (0,-1) -- (0,6) coordinate[label={left:$\operatorname{Im}$}]; + +\draw[->,color=red,line width=1.4pt] (0,0) -- (7,0); +\draw[->,color=blue,line width=1.4pt] (7,0) arc (0:45:7); +\draw[->,color=darkgreen,line width=1.4pt] (45:7) -- (0,0); + +\node[color=red] at (3.5,0) [below] {$\gamma_1(t) = tR$}; +\node[color=blue] at (25:7) [right] {$\gamma_2(t) = Re^{it}$}; +\node[color=darkgreen] at (45:3.5) [above left] {$\gamma_3(t) = te^{i\pi/4}$}; + +\node at (7,0) [below] {$R$}; +\node at (45:7) [above] {$Re^{i\pi/4}$}; + +\end{tikzpicture} +\end{document} + diff --git a/buch/papers/fresnel/references.bib b/buch/papers/fresnel/references.bib index 84cd3bc..58e9242 100644 --- a/buch/papers/fresnel/references.bib +++ b/buch/papers/fresnel/references.bib @@ -33,3 +33,14 @@ url = {https://doi.org/10.1016/j.acha.2017.11.004} } +@online{fresnel:fresnelC, + url = { https://functions.wolfram.com/GammaBetaErf/FresnelC/introductions/FresnelIntegrals/ShowAll.html }, + title = { FresnelC }, + date = { 2022-05-13 } +} + +@online{fresnel:wikipedia, + url = { https://en.wikipedia.org/wiki/Fresnel_integral }, + title = { Fresnel Integral }, + date = { 2022-05-13 } +} diff --git a/buch/papers/fresnel/teil0.tex b/buch/papers/fresnel/teil0.tex index 5e9fdaf..253e2f3 100644 --- a/buch/papers/fresnel/teil0.tex +++ b/buch/papers/fresnel/teil0.tex @@ -1,22 +1,101 @@ % -% einleitung.tex -- Beispiel-File für die Einleitung +% teil0.tex -- Definition % % (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil % -\section{Teil 0\label{fresnel:section:teil0}} -\rhead{Teil 0} -Lorem ipsum dolor sit amet, consetetur sadipscing elitr, sed diam -nonumy eirmod tempor invidunt ut labore et dolore magna aliquyam -erat, sed diam voluptua \cite{fresnel:bibtex}. -At vero eos et accusam et justo duo dolores et ea rebum. -Stet clita kasd gubergren, no sea takimata sanctus est Lorem ipsum -dolor sit amet. +\section{Definition\label{fresnel:section:teil0}} +\rhead{Definition} +Die Funktion $e^{x^2}$ hat bekanntermassen keine elementare Stammfunktion, +weshalb die Fehlerfunktion als Stammfunktion definiert wurde. +Die Funktionen $\cos x^2$ und $\sin x^2$ sind eng mit $e^{x^2}$ +verwandt, es ist daher nicht überraschend, dass sie ebenfalls +keine elementare Stammfunktionen haben. +Dies rechtfertigt die Definition der Fresnel-Integrale als neue spezielle +Funktionen. -Lorem ipsum dolor sit amet, consetetur sadipscing elitr, sed diam -nonumy eirmod tempor invidunt ut labore et dolore magna aliquyam -erat, sed diam voluptua. -At vero eos et accusam et justo duo dolores et ea rebum. Stet clita -kasd gubergren, no sea takimata sanctus est Lorem ipsum dolor sit -amet. +\begin{definition} +Die Funktionen +\begin{align*} +C(x) &= \int_0^x \cos\biggl(\frac{\pi}2 t^2\biggr)\,dt +\\ +S(x) &= \int_0^x \sin\biggl(\frac{\pi}2 t^2\biggr)\,dt +\end{align*} +heissen die Fesnel-Integrale. +\end{definition} +Der Faktor $\frac{\pi}2$ ist einigermassen willkürlich, man könnte +daher noch allgemeiner die Funktionen +\begin{align*} +C_a(x) &= \int_0^x \cos(at^2)\,dt +\\ +S_a(x) &= \int_0^x \sin(at^2)\,dt +\end{align*} +definieren, so dass die Funktionen $C(x)$ und $S(x)$ der Fall +$a=\frac{\pi}2$ werden, also +\[ +\begin{aligned} +C(x) &= C_{\frac{\pi}2}(x), +& +S(x) &= S_{\frac{\pi}2}(x). +\end{aligned} +\] +Durch eine Substution $t=bs$ erhält man +\begin{align*} +C_a(x) +&= +\int_0^x \cos(at^2)\,dt += +b +\int_0^{\frac{x}b} \cos(ab^2s^2)\,ds += +b +C_{ab^2}\biggl(\frac{x}b\biggr) +\\ +S_a(x) +&= +\int_0^x \sin(at^2)\,dt += +b +\int_0^{\frac{x}b} \sin(ab^2s^2)\,ds += +b +S_{ab^2}\biggl(\frac{x}b\biggr). +\end{align*} +Indem man $ab^2=\frac{\pi}2$ setzt, also +\[ +b += +\sqrt{\frac{\pi}{2a}} +, +\] +kann man die Funktionen $C_a(x)$ und $S_a(x)$ durch $C(x)$ und $S(x)$ +ausdrücken: +\begin{align} +C_a(x) +&= +\sqrt{\frac{\pi}{2a}} +C\biggl(x +\sqrt{\frac{2a}{\pi}} +\biggr) +&&\text{und}& +S_a(x) +&= +\sqrt{\frac{\pi}{2a}} +S\biggl(x +\sqrt{\frac{2a}{\pi}} +\biggr). +\label{fresnel:equation:arg} +\end{align} +Im Folgenden werden wir meistens nur den Fall $a=1$, also die Funktionen +$C_1(x)$ und $S_1(x)$ betrachten, da in diesem Fall die Formeln einfacher +werden. +\begin{figure} +\centering +\includegraphics{papers/fresnel/fresnelgraph.pdf} +\caption{Graph der Funktionen $C(x)$ ({\color{red}rot}) +und $S(x)$ ({\color{blue}blau}) +\label{fresnel:figure:plot}} +\end{figure} +Die Abbildung~\ref{fresnel:figure:plot} zeigt die Graphen der +Funktion $C(x)$ und $S(x)$. diff --git a/buch/papers/fresnel/teil1.tex b/buch/papers/fresnel/teil1.tex index a2df138..df84797 100644 --- a/buch/papers/fresnel/teil1.tex +++ b/buch/papers/fresnel/teil1.tex @@ -1,55 +1,202 @@ % -% teil1.tex -- Beispiel-File für das Paper +% teil1.tex -- Euler-Spirale % % (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil % -\section{Teil 1 -\label{fresnel:section:teil1}} -\rhead{Problemstellung} -Sed ut perspiciatis unde omnis iste natus error sit voluptatem -accusantium doloremque laudantium, totam rem aperiam, eaque ipsa -quae ab illo inventore veritatis et quasi architecto beatae vitae -dicta sunt explicabo. -Nemo enim ipsam voluptatem quia voluptas sit aspernatur aut odit -aut fugit, sed quia consequuntur magni dolores eos qui ratione -voluptatem sequi nesciunt -\begin{equation} -\int_a^b x^2\, dx -= -\left[ \frac13 x^3 \right]_a^b -= -\frac{b^3-a^3}3. -\label{fresnel:equation1} -\end{equation} -Neque porro quisquam est, qui dolorem ipsum quia dolor sit amet, -consectetur, adipisci velit, sed quia non numquam eius modi tempora -incidunt ut labore et dolore magnam aliquam quaerat voluptatem. +\section{Euler-Spirale +\label{fresnel:section:eulerspirale}} +\rhead{Euler-Spirale} +\begin{figure} +\centering +\includegraphics{papers/fresnel/eulerspirale.pdf} +\caption{Die Eulerspirale ist die Kurve mit der Parameterdarstellung +$x\mapsto (C(x),S(x))$, sie ist rot dargestellt. +Sie windet sich unendlich oft um die beiden Punkte $(\pm\frac12,\pm\frac12)$. +\label{fresnel:figure:eulerspirale}} +\end{figure} +Ein besseres Verständnis für die beiden Funktionen $C(x)$ und $S(x)$ +als die Darstellung~\ref{fresnel:figure:plot} ermöglicht die +Abbildung~\ref{fresnel:figure:eulerspirale}, die die beiden Funktionen +als die $x$- und $y$-Koordinaten der Parameterdarstellung einer Kurve +zeigt. +Sie heisst die {\em Euler-Spirale}. +Die Spirale scheint sich für $x\to\pm\infty$ um die Punkte +$(\pm\frac12,\pm\frac12)$ zu winden. -Ut enim ad minima veniam, quis nostrum exercitationem ullam corporis -suscipit laboriosam, nisi ut aliquid ex ea commodi consequatur? -Quis autem vel eum iure reprehenderit qui in ea voluptate velit -esse quam nihil molestiae consequatur, vel illum qui dolorem eum -fugiat quo voluptas nulla pariatur? +\begin{figure} +\centering +\includegraphics{papers/fresnel/pfad.pdf} +\caption{Pfad zur Berechnung der Grenzwerte $C_1(\infty)$ und +$S_1(\infty)$ mit Hilfe des Cauchy-Integralsatzes +\label{fresnel:figure:pfad}} +\end{figure} -\subsection{De finibus bonorum et malorum -\label{fresnel:subsection:finibus}} -At vero eos et accusamus et iusto odio dignissimos ducimus qui -blanditiis praesentium voluptatum deleniti atque corrupti quos -dolores et quas molestias excepturi sint occaecati cupiditate non -provident, similique sunt in culpa qui officia deserunt mollitia -animi, id est laborum et dolorum fuga \eqref{000tempmlate:equation1}. -Et harum quidem rerum facilis est et expedita distinctio -\ref{fresnel:section:loesung}. -Nam libero tempore, cum soluta nobis est eligendi optio cumque nihil -impedit quo minus id quod maxime placeat facere possimus, omnis -voluptas assumenda est, omnis dolor repellendus -\ref{fresnel:section:folgerung}. -Temporibus autem quibusdam et aut officiis debitis aut rerum -necessitatibus saepe eveniet ut et voluptates repudiandae sint et -molestiae non recusandae. -Itaque earum rerum hic tenetur a sapiente delectus, ut aut reiciendis -voluptatibus maiores alias consequatur aut perferendis doloribus -asperiores repellat. +\begin{satz} +Die Grenzwerte der Fresnel-Integrale für $x\to\pm\infty$ sind +\[ +\lim_{x\to\pm\infty} C(x) += +\lim_{x\to\pm\infty} S(x) += +\frac12. +\] +\end{satz} +\begin{proof}[Beweis] +Die komplexe Funktion +\[ +f(z) = e^{-z^2} +\] +ist eine ganze Funktion, das Integral über einen geschlossenen +Pfad in der komplexen Ebene verschwindet daher. +Wir verwenden den Pfad in Abbildung~\ref{fresnel:figure:pfad} +bestehend aus den drei Segmenten $\gamma_1$ entlang der reellen +Achse von $0$ bis $R$, dem Kreisbogen $\gamma_2$ um $0$ mit Radius $R$ +und $\gamma_3$ mit der Parametrisierung $t\mapsto te^{i\pi/4}$. + +Das Teilintegral über $\gamma_1$ ist +\[ +\lim_{R\to\infty} +\int_{\gamma_1} e^{-z^2}\,dz += +\int_0^\infty e^{-t^2}\,dt += +\frac{\sqrt{\pi}}2. +\] +Das Integral über $\gamma_3$ ist +\begin{align*} +\lim_{R\to\infty} +\int_{\gamma_3} +e^{-z^2}\,dz +&= +-\int_0^\infty \exp(-t^2 e^{i\pi/2}) e^{i\pi/4}\,dt += +- +\int_0^\infty e^{-it^2}\,dt\, +e^{i\pi/4} +\\ +&= +-e^{i\pi/4}\int_0^\infty \cos t^2 - i \sin t^2\,dt +\\ +&= +-\frac{1}{\sqrt{2}}(1+i) +\bigl( +C_1(\infty) +-i +S_1(\infty) +\bigr) +\\ +&= +-\frac{1}{\sqrt{2}} +\bigl( +C_1(\infty)+S_1(\infty) ++ +i(C_1(\infty)-S_1(\infty)) +\bigr), +\end{align*} +wobei wir +\[ +C_1(\infty) = \lim_{R\to\infty} C_1(R) +\qquad\text{und}\qquad +S_1(\infty) = \lim_{R\to\infty} S_1(R) +\] +abgekürzt haben. +Das Integral über das Segment $\gamma_2$ lässt sich +mit der Parametrisierung +\( +\gamma_2(t) += +Re^{it} += +R(\cos t + i\sin t) +\) +wie folgt +abschätzen: +\begin{align*} +\biggl|\int_{\gamma_2} e^{-z^2} \,dz\biggr| +&= +\biggl| +\int_0^{\frac{\pi}4} +\exp(-R^2(\cos 2t + i\sin 2t)) iR e^{it}\,dt +\biggr| +\\ +&\le +R +\int_0^{\frac{\pi}4} +e^{-R^2\cos 2t} +\,dt +\le +R +\int_0^{\frac{\pi}4} +e^{-R^2(1-\frac{4}{\pi}t)} +\,dt. +\intertext{Dabei haben wir $\cos 2t\ge 1-\frac{4}\pi t$ verwendet. +Mit dieser Vereinfachung kann das Integral ausgewertet werden und +ergibt} +&= +Re^{-R^2} +\int_0^{\frac{\pi}4} +e^{R^2\frac{\pi}4t} +\,dt += +Re^{-R^2} +\biggl[ +\frac{4}{\pi R^2} +e^{R^2\frac{\pi}4t} +\biggr]_0^{\frac{\pi}4} += +\frac{4}{\pi R} +e^{-R^2}(e^{R^2}-1) += +\frac{4}{\pi R} +(1-e^{-R^2}) +\to 0 +\end{align*} +für $R\to \infty$. +Im Grenzwert $R\to \infty$ kann der Teil $\gamma_2$ des Pfades +vernachlässigt werden. + +Das Integral über den geschlossenen Pfad $\gamma$ verschwindet. +Da der Teil $\gamma_2$ keine Rolle spielt, müssen sich die +Integrale über $\gamma_1$ und $\gamma_3$ wegheben, also +\begin{align*} +0 += +\int_\gamma e^{-z^2}\,dz +&= +\int_{\gamma_1} e^{-z^2}\,dz ++ +\int_{\gamma_2} e^{-z^2}\,dz ++ +\int_{\gamma_3} e^{-z^2}\,dz +\\ +&\to +\frac{\sqrt{\pi}}2 +-\frac{1}{\sqrt{2}}(C_1(\infty)+S_1(\infty)) +-\frac{i}{\sqrt{2}}(C_1(\infty)-S_1(\infty)). +\end{align*} +Der Imaginärteil ist $C_1(\infty)-S_1(\infty)$, da er verschwinden +muss, folgt $C_1(\infty)=S_1(\infty)$. +Nach Multlikation mit $\sqrt{2}$ folgt aus der Tatsache, dass auch +der Realteil verschwinden muss +\[ +\frac{\sqrt{\pi}}{\sqrt{2}} = C_1(\infty)+S_1(\infty) +\qquad +\Rightarrow +\qquad +C_1(\infty) += +S_1(\infty) += +\frac{\sqrt{\pi}}{2\sqrt{2}} +\] +Aus +\eqref{fresnel:equation:arg} +erhält man dann auch die Grenzwerte +\[ +C(\infty)=S(\infty)=\frac12. +\qedhere +\] +\end{proof} diff --git a/buch/papers/fresnel/teil2.tex b/buch/papers/fresnel/teil2.tex index 701c3ee..22d2a89 100644 --- a/buch/papers/fresnel/teil2.tex +++ b/buch/papers/fresnel/teil2.tex @@ -3,38 +3,22 @@ % % (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil % -\section{Teil 2 -\label{fresnel:section:teil2}} -\rhead{Teil 2} -Sed ut perspiciatis unde omnis iste natus error sit voluptatem -accusantium doloremque laudantium, totam rem aperiam, eaque ipsa -quae ab illo inventore veritatis et quasi architecto beatae vitae -dicta sunt explicabo. Nemo enim ipsam voluptatem quia voluptas sit -aspernatur aut odit aut fugit, sed quia consequuntur magni dolores -eos qui ratione voluptatem sequi nesciunt. Neque porro quisquam -est, qui dolorem ipsum quia dolor sit amet, consectetur, adipisci -velit, sed quia non numquam eius modi tempora incidunt ut labore -et dolore magnam aliquam quaerat voluptatem. Ut enim ad minima -veniam, quis nostrum exercitationem ullam corporis suscipit laboriosam, -nisi ut aliquid ex ea commodi consequatur? Quis autem vel eum iure -reprehenderit qui in ea voluptate velit esse quam nihil molestiae -consequatur, vel illum qui dolorem eum fugiat quo voluptas nulla -pariatur? +\section{Klothoide +\label{fresnel:section:klothoide}} +\rhead{Klothoide} +In diesem Abschnitt soll gezeigt werden, dass die Krümmung der +Euler-Spirale proportional zur vom Nullpunkt aus gemessenen Bogenlänge +ist. -\subsection{De finibus bonorum et malorum -\label{fresnel:subsection:bonorum}} -At vero eos et accusamus et iusto odio dignissimos ducimus qui -blanditiis praesentium voluptatum deleniti atque corrupti quos -dolores et quas molestias excepturi sint occaecati cupiditate non -provident, similique sunt in culpa qui officia deserunt mollitia -animi, id est laborum et dolorum fuga. Et harum quidem rerum facilis -est et expedita distinctio. Nam libero tempore, cum soluta nobis -est eligendi optio cumque nihil impedit quo minus id quod maxime -placeat facere possimus, omnis voluptas assumenda est, omnis dolor -repellendus. Temporibus autem quibusdam et aut officiis debitis aut -rerum necessitatibus saepe eveniet ut et voluptates repudiandae -sint et molestiae non recusandae. Itaque earum rerum hic tenetur a -sapiente delectus, ut aut reiciendis voluptatibus maiores alias -consequatur aut perferendis doloribus asperiores repellat. +\begin{definition} +Eine ebene Kurve, deren Krümmung proportionale zur Kurvenlänge ist, +heisst {\em Klothoide}. +\end{definition} +Die Klothoide wird zum Beispiel im Strassenbau bei Autobahnkurven +angewendet. +Fährt man mit konstanter Geschwindigkeit mit entlang einer Klothoide, +muss man die Krümmung mit konstaner Geschwindigkeit ändern, +also das Lenkrad mit konstanter Geschwindigkeit drehen. +Dies ermöglicht eine ruhige Fahrweise. diff --git a/buch/papers/fresnel/teil3.tex b/buch/papers/fresnel/teil3.tex index d4f15f6..a5b5878 100644 --- a/buch/papers/fresnel/teil3.tex +++ b/buch/papers/fresnel/teil3.tex @@ -3,38 +3,110 @@ % % (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil % -\section{Teil 3 -\label{fresnel:section:teil3}} -\rhead{Teil 3} -Sed ut perspiciatis unde omnis iste natus error sit voluptatem -accusantium doloremque laudantium, totam rem aperiam, eaque ipsa -quae ab illo inventore veritatis et quasi architecto beatae vitae -dicta sunt explicabo. Nemo enim ipsam voluptatem quia voluptas sit -aspernatur aut odit aut fugit, sed quia consequuntur magni dolores -eos qui ratione voluptatem sequi nesciunt. Neque porro quisquam -est, qui dolorem ipsum quia dolor sit amet, consectetur, adipisci -velit, sed quia non numquam eius modi tempora incidunt ut labore -et dolore magnam aliquam quaerat voluptatem. Ut enim ad minima -veniam, quis nostrum exercitationem ullam corporis suscipit laboriosam, -nisi ut aliquid ex ea commodi consequatur? Quis autem vel eum iure -reprehenderit qui in ea voluptate velit esse quam nihil molestiae -consequatur, vel illum qui dolorem eum fugiat quo voluptas nulla -pariatur? +\section{Numerische Berechnung der Fresnel-Integrale +\label{fresnel:section:numerik}} +\rhead{Numerische Berechnung} +Die Fresnel-Integrale können mit verschiedenen Methoden effizient berechnet +werden. -\subsection{De finibus bonorum et malorum -\label{fresnel:subsection:malorum}} -At vero eos et accusamus et iusto odio dignissimos ducimus qui -blanditiis praesentium voluptatum deleniti atque corrupti quos -dolores et quas molestias excepturi sint occaecati cupiditate non -provident, similique sunt in culpa qui officia deserunt mollitia -animi, id est laborum et dolorum fuga. Et harum quidem rerum facilis -est et expedita distinctio. Nam libero tempore, cum soluta nobis -est eligendi optio cumque nihil impedit quo minus id quod maxime -placeat facere possimus, omnis voluptas assumenda est, omnis dolor -repellendus. Temporibus autem quibusdam et aut officiis debitis aut -rerum necessitatibus saepe eveniet ut et voluptates repudiandae -sint et molestiae non recusandae. Itaque earum rerum hic tenetur a -sapiente delectus, ut aut reiciendis voluptatibus maiores alias -consequatur aut perferendis doloribus asperiores repellat. +\subsection{Komplexe Fehlerfunktionen} +Es wurde schon darauf hingewiesen, dass der Integrand der Fresnel-Integrale +mit $e^{t^2}$ verwandt ist. +Tatsächlich kann gezeigt werden dass sich die Fresnel-Integrale mit +Hilfe der komplexen Fehlerfunktion als +\[ +\left. +\begin{matrix} +S_1(z) +\\ +C_1(z) +\end{matrix} +\; +\right\} += +\frac{1\pm i}4\biggl( +\operatorname{erf}\biggl(\frac{1+i}2\sqrt{\pi}z\biggr) +\mp +\operatorname{erf}\biggl(\frac{1-i}2\sqrt{\pi}z\biggr) +\biggr) +\] +ausdrücken lassen. +Diese Darstellung ist jedoch für die numerische Berechnung nur +beschränkt nützlich, weil die meisten Bibliotheken für die Fehlerfunktion +diese nur für reelle Argument auszuwerten gestatten. + +\subsection{Als Lösung einer Differentialgleichung} +Da die Fresnel-Integrale die sehr einfachen Differentialgleichungen +\[ +C'(x) = \cos \biggl(\frac{\pi}2 x^2\biggr) +\qquad\text{und}\qquad +S'(x) = \sin \biggl(\frac{\pi}2 x^2\biggr) +\] +erfüllen, kann man eine Methode zur Lösung von Differentialgleichung +verwenden. +Die Abbildungen~\ref{fresnel:figure:plot} und \ref{fresnel:figure:eulerspirale} +wurden auf diese Weise erzeugt. + +\subsection{Taylor-Reihe integrieren} +Die Taylorreihen +\begin{align*} +\cos x +&= +\sum_{k=0}^\infty \frac{(-1)^k}{(2k)!} x^{2k} +&&\text{und}& +\sin x +&= +\sum_{k=0}^\infty \frac{(-1)^k}{(2k+1)!} x^{2k+1} +\intertext{% +der trigonometrischen Funktionen werden durch Einsetzen von $x=t^2$ +zu} +\cos t^2 +&= +\sum_{k=0}^\infty \frac{(-1)^k}{(2k)!} t^{4k} +&&\text{und}& +\sin t^2 +&= +\sum_{k=0}^\infty \frac{(-1)^k}{(2k+1)!} t^{4k+2}. +\intertext{% +Die Fresnel-Integrale $C_1(x)$ und $S_1(x)$ können daher durch +termweise Integration mit Hilfe der Reihen} +C_1(x) +&= +\sum_{k=0}^\infty \frac{(-1)^k}{(2k)!} \frac{x^{4k+1}}{4k+1} +&&\text{und}& +S_1(x) +&= +\sum_{k=0}^\infty \frac{(-1)^k}{(2k+1)!} \frac{x^{4k+3}}{4k+3} +\end{align*} +berechnet werden. +Diese Reihen sind insbesondere für kleine Werte von $x$ sehr +schnell konvergent. + +\subsection{Hypergeometrische Reihen} +Aus der Reihenentwicklung kann jetzt auch eine Darstellung der +Fresnel-Integrale durch hypergeometrische Reihen gefunden werden +\cite{fresnel:fresnelC}. +Es ergibt sich +\begin{align*} +S(z) +&= +\frac{\pi z^3}{6} +\cdot +\mathstrut_1F_2\biggl( +\begin{matrix}\frac34\\\frac32,\frac74\end{matrix} +; +-\frac{\pi^2z^4}{16} +\biggr) +\\ +C(z) +&= +z +\cdot +\mathstrut_1F_2\biggl( +\begin{matrix}\frac14\\\frac12,\frac54\end{matrix} +; +-\frac{\pi^2z^4}{16} +\biggr). +\end{align*} -- cgit v1.2.1