From 0a59be0b3c470a0f7d71ba2e39fb6ec323d89f84 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: "samuel.niederer" Date: Sat, 13 Aug 2022 18:48:50 +0200 Subject: add content --- buch/papers/kra/anwendung.tex | 45 +++++++++++-------------------------------- 1 file changed, 11 insertions(+), 34 deletions(-) (limited to 'buch/papers/kra/anwendung.tex') diff --git a/buch/papers/kra/anwendung.tex b/buch/papers/kra/anwendung.tex index 4d4d351..0deaf3c 100644 --- a/buch/papers/kra/anwendung.tex +++ b/buch/papers/kra/anwendung.tex @@ -1,45 +1,40 @@ -\section{Anwendungen \label{kra:section:anwendung}} -\rhead{Anwendungen} +\section{Anwendung \label{kra:section:anwendung}} +\rhead{Anwendung} \newcommand{\dt}[0]{\frac{d}{dt}} Die Matrix-Riccati Differentialgleichung findet unter anderem Anwendung in der Regelungstechnik beim RQ- und RQG-Regler oder aber auch beim Kalmanfilter. -Im folgenden Abschnitt möchten wir uns an einem Beispiel anschauen wie wir mit Hilfe der Matrix-Riccati Differentialgleichung (\ref{kra:matrixriccati}) ein Feder-Masse-System untersuchen können. +Im folgenden Abschnitt möchten wir uns an einem Beispiel anschauen wie wir mit Hilfe der Matrix-Riccati Differentialgleichung (\ref{kra:equation:matrixriccati}) ein Feder-Masse-System untersuchen können \cite{kra:riccati}. \subsection{Feder-Masse-System} -Die Einfachste Form eines Feder-Masse-Systems ist dargestellt in Abbildung \ref{kra:fig:simple_mass_spring}. -Es besteht aus einer Masse $m$ welche reibungsfrei gelagert ist und einer Feder mit der Federkonstante $k$. +Die einfachste Form eines Feder-Masse-Systems ist dargestellt in Abbildung \ref{kra:fig:simple_mass_spring}. +Es besteht aus einer reibungsfrei gelagerten Masse $m$ ,welche an eine Feder mit der Federkonstante $k$ gekoppelt ist. Die im System wirkenden Kräfte teilen sich auf in die auf dem hookeschen Gesetz basierenden Rückstellkraft $F_R = k \Delta_x$ und der auf dem Aktionsprinzip basierenden Kraft $F_a = am = \ddot{x} m$. Das Kräftegleichgewicht fordert $F_R = F_a$ woraus folgt, dass \begin{equation*} k \Delta_x = \ddot{x} m \Leftrightarrow \ddot{x} = \frac{k \Delta_x}{m} \end{equation*} -Die funktion die diese Differentialgleichung löst ist die harmonische Schwingung +Die Funktion die diese Differentialgleichung löst, ist die harmonische Schwingung \begin{equation} x(t) = A \cos(\omega_0 t + \Phi), \quad \omega_0 = \sqrt{\frac{k}{m}} \end{equation} - - \begin{figure} \input{papers/kra/images/simple_mass_spring.tex} \caption{Einfaches Feder-Masse-System.} \label{kra:fig:simple_mass_spring} \end{figure} - \begin{figure} \input{papers/kra/images/multi_mass_spring.tex} \caption{Feder-Masse-System mit zwei Massen und drei Federn.} \label{kra:fig:multi_mass_spring} \end{figure} - \subsection{Hamilton-Funktion} Die Bewegung der Masse $m$ kann mit Hilfe der hamiltonschen Mechanik im Phasenraum untersucht werden. -Die hamiltonschen Gleichungen verwenden dafür die veralgemeinerten Ortskoordinaten +Die hamiltonschen Gleichungen verwenden dafür die verallgemeinerten Ortskoordinaten $q = (q_{1}, q_{2}, ..., q_{n})$ und die verallgemeinerten Impulskoordinaten $p = (p_{1}, p_{2}, ..., p_{n})$, wobei der Impuls definiert ist als $p_k = m_k \cdot v_k$. Liegen keine zeitabhängigen Zwangsbedingungen vor, so entspricht die Hamitlon-Funktion der Gesamtenergie des Systems \cite{kra:hamilton}. Im Falle des einfachen Feder-Masse-Systems, Abbildung \ref{kra:fig:simple_mass_spring}, setzt sich die Hamilton-Funktion aus kinetischer und potentieller Energie zusammen. - \begin{equation} \label{kra:harmonischer_oszillator} \begin{split} @@ -47,7 +42,6 @@ Im Falle des einfachen Feder-Masse-Systems, Abbildung \ref{kra:fig:simple_mass_s &= \underbrace{\frac{p^2}{2m}}_{E_{kin}} + \underbrace{\frac{k q^2}{2}}_{E_{pot}} \end{split} \end{equation} - Die Hamiltonschen Bewegungsgleichungen liefern \cite{kra:kanonischegleichungen} \begin{equation} \label{kra:hamilton:bewegungsgleichung} @@ -55,17 +49,13 @@ Die Hamiltonschen Bewegungsgleichungen liefern \cite{kra:kanonischegleichungen} \qquad \dot{p_{k}} = -\frac{\partial \mathcal{H}}{\partial q_k} \end{equation} - daraus folgt - \[ \dot{q} = \frac{p}{m} \qquad \dot{p} = -kq \] - in Matrixschreibweise erhalten wir also - \[ \begin{pmatrix} \dot{q} \\ @@ -81,11 +71,9 @@ in Matrixschreibweise erhalten wir also p \end{pmatrix} \] - Für das erweiterte Federmassesystem, Abbildung \ref{kra:fig:multi_mass_spring}, können wir analog vorgehen. Die kinetische Energie setzt sich nun aus den kinetischen Energien der einzelnen Massen $m_1$ und $m_2$ zusammen. Die Potentielle Energie erhalten wir aus der Summe der kinetischen Energien der einzelnen Federn mit den Federkonstanten $k_1$, $k_c$ und $k_2$. - \begin{align*} \begin{split} T &= T_1 + T_2 \\ @@ -97,16 +85,13 @@ Die Potentielle Energie erhalten wir aus der Summe der kinetischen Energien der &= \frac{k_1 q_1^2}{2} + \frac{k_c (q_2 - q_1)^2}{2} + \frac{k_2 q_2^2}{2} \end{split} \end{align*} - Die Hamilton-Funktion ist also - \begin{align*} \begin{split} \mathcal{H} &= T + V \\ &= \frac{p_1^2}{2m_1} + \frac{p_2^2}{2m_2} + \frac{k_1 q_1^2}{2} + \frac{k_c (q_2 - q_1)^2}{2} + \frac{k_2 q_2^2}{2} \end{split} \end{align*} - Die Bewegungsgleichungen \ref{kra:hamilton:bewegungsgleichung} liefern \begin{align*} \frac{\partial \mathcal{H}}{\partial p_k} & = \dot{q_k} @@ -127,9 +112,7 @@ Die Bewegungsgleichungen \ref{kra:hamilton:bewegungsgleichung} liefern \end{alignedat} \right. \end{align*} - In Matrixschreibweise erhalten wir - \begin{equation} \label{kra:hamilton:multispringmass} \begin{pmatrix} @@ -171,7 +154,7 @@ In Matrixschreibweise erhalten wir \end{equation} \subsection{Phasenraum} -Der Phasenraum erlaubt die eindeutige Beschreibung aller möglichen Bewegungszustände eines mechanischen System durch einen Punkt. +Der Phasenraum erlaubt die eindeutige Beschreibung aller möglichen Bewegungszustände eines mechanischen Systems durch einen Punkt. Die Phasenraumdarstellung eignet sich somit sehr gut für die systematische Untersuchung der Feder-Masse-Systeme. \subsubsection{Harmonischer Oszillator} @@ -181,7 +164,6 @@ Die Hamiltonfunktion des harmonischen Oszillators \ref{kra:harmonischer_oszillat \end{equation*} die Phasenraumtrajektorien bilden also Ellipsen mit Zentrum $q=0, p=0$ und Halbachsen $A$ und $m \omega A$. Abbildung \ref{kra:fig:phasenraum} zeigt Phasenraumtrajektorien mit den Energien $E_{x \in \{A, B, C, D\}}$ und verschiedenen Werten von $\omega$. - \begin{figure} \input{papers/kra/images/phase_space.tex} \caption{Phasenraumdarstellung des einfachen Feder-Masse-Systems.} @@ -191,7 +173,6 @@ Abbildung \ref{kra:fig:phasenraum} zeigt Phasenraumtrajektorien mit den Energien \subsubsection{Erweitertes Feder-Masse-System} Wir intressieren uns nun dafür wie der Phasenwinkel $U = PQ^{-1}$ von der Zeit abhängt, wir suchen also die Grösse $\Theta = \dt U$. - Ersetzten wir in der Gleichung \ref{kra:hamilton:multispringmass} die Matrix $G$ mit $\tilde{G}$ so erhalten wir \begin{equation} \dt @@ -211,9 +192,7 @@ Ersetzten wir in der Gleichung \ref{kra:hamilton:multispringmass} die Matrix $G$ P \end{pmatrix} \end{equation} - Mit einsetzten folgt - \begin{align*} \dot{Q} = AQ + BP \\ \dot{P} = CQ + DP @@ -227,9 +206,7 @@ Mit einsetzten folgt &= C + DU - UA - UBU \end{split} \end{equation} +was uns auf die Matrix-Riccati Gleichung \ref{kra:equation:matrixriccati} führt. -was uns auf die Matrix-Riccati Gleichung \ref{kra:matrixriccati} führt. - - -\subsection{Fazit} -% @TODO +% @TODO Einfluss auf anfangsbedingungen, plots? +% @TODO Fazit ? -- cgit v1.2.1