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Date: Mon, 29 Aug 2022 23:11:42 +0200
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 buch/papers/kra/anwendung.tex | 51 ++++++++++++-------------------------------
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 \section{Anwendung \label{kra:section:anwendung}}
 \rhead{Anwendung}
-\newcommand{\dt}[0]{\frac{d}{dt}}
 
 Die Matrix-Riccati Differentialgleichung findet unter anderem Anwendung in der Regelungstechnik beim RQ- und RQG-Regler oder aber auch beim Kalman-Filter.
 Im folgenden Abschnitt möchten wir uns an einem Beispiel anschauen wie wir mit Hilfe der Matrix-Riccati-Differentialgleichung (\ref{kra:equation:matrixriccati}) ein Feder-Masse-System untersuchen können \cite{kra:riccati}.
@@ -187,45 +186,23 @@ Abbildung~\ref{kra:fig:phasenraum} zeigt Phasenraumtrajektorien mit den Energien
 \end{figure}
 
 \subsubsection{Erweitertes Feder-Masse-System}
-Wir interessieren uns nun dafür, wie der Phasenwinkel $U = PQ^{-1}$ von der Zeit abhängt,
-wir suchen also die Grösse $\Theta = \dt U$.
-Ersetzten wir in der Gleichung \eqref{kra:equation:hamilton-multispringmass} die Matrix $G$ mit $\tilde{G}$ so erhalten wir
+Die Lösung der Gleichung \eqref{kra:equation:hamilton-multispringmass} beschreibt sowohl die zeitliche Entwicklung der Position als auch der Impulse.
+Um das System im Phasenraum zu untersuchen, reicht uns aber auch die zeitliche Entwicklung des Phasenwinkels $U(t) = P(t)Q^{-1}(t)$.
+Nach Satz~\ref{kra:satz:riccati-matrix-dgl} erhalten wir für Ableitung von $U$
 \begin{equation}
-    \dt
-    \begin{pmatrix}
-        Q \\
-        P
-    \end{pmatrix}
-    =
-    \underbrace{
-        \begin{pmatrix}
-            A & B \\
-            C & D
-        \end{pmatrix}
-    }_{\displaystyle{\tilde{G}}}
-    \begin{pmatrix}
-        Q \\
-        P
-    \end{pmatrix}.
-\end{equation}
-Ausgeschrieben folgt
-\begin{align*}
-    \dot{Q} = AQ + BP \\
-    \dot{P} = CQ + DP
-\end{align*}
-\begin{equation}
-    \label{kra:equation:feder-masse-riccati-matrix}
     \begin{split}
-        \dt U   &= \dot{P} Q^{-1} + P \dt Q^{-1} \\
-        &= (CQ + DP) Q^{-1} - P (Q^{-1} \dot{Q} Q^{-1}) \\
-        &= C\underbrace{QQ^{-1}}_\text{$I$} + D\underbrace{PQ^{-1}}_\text{$U$} - P(Q^{-1} (AQ + BP) Q^{-1}) \\
-        &= C + DU - \underbrace{PQ^{-1}}_\text{$U$}(A\underbrace{QQ^{-1}}_\text{$I$} + B\underbrace{PQ^{-1}}_\text{$U$}) \\
-        &= C  + DU - UA - UBU
+        \dt U   &= K  + 0U(t) - U(t)0 - U(t)MU(t) \\
+        &= K + U(t)MU(t),
     \end{split}
 \end{equation}
-was uns direkt auf die Matrix-Riccati Gleichung \eqref{kra:equation:matrixriccati} führt.
-Wir sehen das sich die Dimension der Differentialgleichung reduziert, dabei aber gleichzeitig der Grad erhöht.
+eine Riccati-Matrix-Differentialgleichung.
+Die Matrix $U(t)$ beschreibt, wie man die Impulse $P$ zur Zeit $t$ aus den Positionen $Q$ berechnen kann.
+Die Berechnung der Position $Q$ zur Zeit $t$ aus den Anfangsbedingungen ermöglicht die Matrix $Q$.
+Die Inverse $Q^{-1}$ rechnet dann von den aktuellen Auslenkungen zurück auf Auslenkungen zur Zeit $t=0$.
+Die Matrix-Riccati-Differentialgleichung löst also das Problem die Impulse aus den Positionen zu berechnen, wenn man die Anfangsinpulsverteilung kennt.
+
+Durch die Beschränkung auf den Phasenwinkel wird die Dimension der Differentialgleichung \eqref{kra:equation:hamilton-multispringmass} reduziert, dabei aber gleichzeitig deren Grad erhöht.
 
 \subsection{Fazit}
-Wir haben gezeigt wie wir ein Federmassesystem mit Hilfe der Hamilton-Funktion Beschreiben und im Phasenraum untersuchen können.
-Ausserdem haben wir gesehen, dass sich bei der Entstehung der Riccati-Gleichung \eqref{kra:equation:feder-masse-riccati-matrix} die Dimension auf Kosten des Grades reduziert wird.
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+Wir haben gezeigt wie wir ein Federmassesystem mit Hilfe der Hamilton-Funktion Beschreiben und im Phasenraum untersuchen können und wie dabei die Matrix-Riccati-Differentialgleichung in Erscheinung tritt.
+Ausserdem haben wir gesehen, dass dabei die Dimension auf Kosten des Grades reduziert wird.
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