From 51b817632fbd9633efeba81e7f457a70f74248cd Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: "samuel.niederer" <samuel.niederer@hotmail.com>
Date: Fri, 19 Aug 2022 21:56:35 +0200
Subject: correct typographic errors

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 buch/papers/kra/anwendung.tex | 76 +++++++++++++++++++++++--------------------
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@@ -2,23 +2,24 @@
 \rhead{Anwendung}
 \newcommand{\dt}[0]{\frac{d}{dt}}
 
-Die Matrix-Riccati Differentialgleichung findet unter anderem Anwendung in der Regelungstechnik beim RQ- und RQG-Regler oder aber auch beim Kalmanfilter.
-Im folgenden Abschnitt möchten wir uns an einem Beispiel anschauen wie wir mit Hilfe der Matrix-Riccati Differentialgleichung (\ref{kra:equation:matrixriccati}) ein Feder-Masse-System untersuchen können \cite{kra:riccati}.
+Die Matrix-Riccati Differentialgleichung findet unter anderem Anwendung in der Regelungstechnik beim RQ- und RQG-Regler oder aber auch beim Kalman-Filter.
+Im folgenden Abschnitt möchten wir uns an einem Beispiel anschauen wie wir mit Hilfe der Matrix-Riccati-Differentialgleichung (\ref{kra:equation:matrixriccati}) ein Feder-Masse-System untersuchen können \cite{kra:riccati}.
 
 \subsection{Feder-Masse-System}
-Die einfachste Form eines Feder-Masse-Systems ist dargestellt in Abbildung \ref{kra:fig:simple_mass_spring}.
-Es besteht aus einer reibungsfrei gelagerten Masse $m$ ,welche an eine Feder mit der Federkonstante $k$ gekoppelt ist.
+Die einfachste Form eines Feder-Masse-Systems ist dargestellt in Abbildung~\ref{kra:fig:simple_mass_spring}.
+Es besteht aus einer reibungsfrei gelagerten Masse $m$, welche an eine Feder mit der Federkonstante $k$ gekoppelt ist.
 Die im System wirkenden Kräfte teilen sich auf in die auf dem hookeschen Gesetz basierenden Rückstellkraft $F_R = k \Delta_x$ und der auf dem Aktionsprinzip basierenden Kraft $F_a = am = \ddot{x} m$.
 Das Kräftegleichgewicht fordert $F_R = F_a$ woraus folgt, dass
 
 \begin{equation*}
-    k \Delta_x = \ddot{x} m \Leftrightarrow \ddot{x} = \frac{k \Delta_x}{m}
+    k \Delta_x = \ddot{x} m \Leftrightarrow \ddot{x} = \frac{k \Delta_x}{m}.
 \end{equation*}
 Die Funktion die diese Differentialgleichung löst, ist die harmonische Schwingung
 \begin{equation}
-    x(t) = A \cos(\omega_0 t + \Phi), \quad \omega_0 = \sqrt{\frac{k}{m}}
+    x(t) = A \cos(\omega_0 t + \varphi), \quad \omega_0 = \sqrt{\frac{k}{m}}.
 \end{equation}
 \begin{figure}
+    \centering
     % move image to standalone because the physics package is
     % incompatible with underbrace
     \includegraphics{papers/kra/images/simple.pdf}
@@ -27,6 +28,7 @@ Die Funktion die diese Differentialgleichung löst, ist die harmonische Schwingu
     \label{kra:fig:simple_mass_spring}
 \end{figure}
 \begin{figure}
+    \centering
     \input{papers/kra/images/multi_mass_spring.tex}
     \caption{Feder-Masse-System mit zwei Massen und drei Federn.}
     \label{kra:fig:multi_mass_spring}
@@ -36,29 +38,29 @@ Die Funktion die diese Differentialgleichung löst, ist die harmonische Schwingu
 Die Bewegung der Masse $m$ kann mit Hilfe der hamiltonschen Mechanik im Phasenraum untersucht werden.
 Die hamiltonschen Gleichungen verwenden dafür die verallgemeinerten Ortskoordinaten
 $q = (q_{1}, q_{2}, ..., q_{n})$ und die verallgemeinerten Impulskoordinaten $p = (p_{1}, p_{2}, ..., p_{n})$, wobei der Impuls definiert ist als $p_k = m_k \cdot v_k$.
-Liegen keine zeitabhängigen Zwangsbedingungen vor, so entspricht die Hamitlon-Funktion der Gesamtenergie des Systems \cite{kra:hamilton}.
+Liegen keine zeitabhängigen Zwangsbedingungen vor, so entspricht die Hamilton-Funktion der Gesamtenergie des Systems \cite{kra:hamilton}.
 Im Falle des einfachen Feder-Masse-Systems, Abbildung \ref{kra:fig:simple_mass_spring}, setzt sich die Hamilton-Funktion aus kinetischer und potentieller Energie zusammen.
 \begin{equation}
-    \label{kra:harmonischer_oszillator}
+    \label{kra:equation:harmonischer_oszillator}
     \begin{split}
-        \mathcal{H}(q, p) &= T(p) + V(q) = E \\
-        &= \underbrace{\frac{p^2}{2m}}_{E_{kin}} + \underbrace{\frac{k q^2}{2}}_{E_{pot}}
+        H(q, p) &= T(p) + V(q) = E \\
+        &= \underbrace{\frac{p^2}{2m}}_{\displaystyle{E_{kin}}} + \underbrace{\frac{k q^2}{2}}_{\displaystyle{E_{pot}}}
     \end{split}
 \end{equation}
 Die Hamiltonschen Bewegungsgleichungen liefern \cite{kra:kanonischegleichungen}
 \begin{equation}
-    \label{kra:hamilton:bewegungsgleichung}
-    \dot{q_{k}} = \frac{\partial \mathcal{H}}{\partial p_k}
+    \label{kra:equation:bewegungsgleichung}
+    \dot{q_{k}} = \frac{\partial H}{\partial p_k}
     \qquad
-    \dot{p_{k}} = -\frac{\partial \mathcal{H}}{\partial q_k}
+    \dot{p_{k}} = -\frac{\partial H}{\partial q_k},
 \end{equation}
 daraus folgt
 \[
     \dot{q} = \frac{p}{m}
     \qquad
-    \dot{p} = -kq
+    \dot{p} = -kq.
 \]
-in Matrixschreibweise erhalten wir also
+In Matrixschreibweise erhalten wir also
 \[
     \begin{pmatrix}
         \dot{q} \\
@@ -73,10 +75,11 @@ in Matrixschreibweise erhalten wir also
         q \\
         p
     \end{pmatrix}
+    .
 \]
 Für das erweiterte Federmassesystem, Abbildung \ref{kra:fig:multi_mass_spring}, können wir analog vorgehen.
 Die kinetische Energie setzt sich nun aus den kinetischen Energien der einzelnen Massen $m_1$ und $m_2$ zusammen.
-Die Potentielle Energie erhalten wir aus der Summe der kinetischen Energien der einzelnen Federn mit den Federkonstanten $k_1$, $k_c$ und $k_2$.
+Die potentielle Energie erhalten wir aus der Summe der kinetischen Energien der einzelnen Federn mit den Federkonstanten $k_1$, $k_c$ und $k_2$.
 \begin{align*}
     \begin{split}
         T   &= T_1 + T_2 \\
@@ -85,19 +88,19 @@ Die Potentielle Energie erhalten wir aus der Summe der kinetischen Energien der
     \\
     \begin{split}
         V   &= V_1 + V_c + V_2 \\
-        &= \frac{k_1 q_1^2}{2} + \frac{k_c (q_2 - q_1)^2}{2} + \frac{k_2 q_2^2}{2}
+        &= \frac{k_1 q_1^2}{2} + \frac{k_c (q_2 - q_1)^2}{2} + \frac{k_2 q_2^2}{2}.
     \end{split}
 \end{align*}
 Die Hamilton-Funktion ist also
 \begin{align*}
     \begin{split}
-        \mathcal{H}     &= T + V \\
-        &= \frac{p_1^2}{2m_1} + \frac{p_2^2}{2m_2} + \frac{k_1 q_1^2}{2} + \frac{k_c (q_2 - q_1)^2}{2} + \frac{k_2 q_2^2}{2}
+        H   &= T + V \\
+            &= \frac{p_1^2}{2m_1} + \frac{p_2^2}{2m_2} + \frac{k_1 q_1^2}{2} + \frac{k_c (q_2 - q_1)^2}{2} + \frac{k_2 q_2^2}{2}
     \end{split}
 \end{align*}
-Die Bewegungsgleichungen \ref{kra:hamilton:bewegungsgleichung} liefern
+Die Bewegungsgleichungen \eqref{kra:equation:bewegungsgleichung} liefern
 \begin{align*}
-    \frac{\partial \mathcal{H}}{\partial p_k}  & = \dot{q_k}
+    \frac{\partial H}{\partial p_k}  & = \dot{q_k}
     \Rightarrow
     \left\{
     \begin{alignedat}{2}
@@ -106,18 +109,18 @@ Die Bewegungsgleichungen \ref{kra:hamilton:bewegungsgleichung} liefern
     \end{alignedat}
     \right.
     \\
-    -\frac{\partial \mathcal{H}}{\partial q_k} & = \dot{p_k}
+    -\frac{\partial H}{\partial q_k} & = \dot{p_k}
     \Rightarrow
     \left\{
     \begin{alignedat}{2}
         \dot{p_1}   &= -(\frac{2k_1q_1}{2} - \frac{2k_c(q_2-q_1)}{2})  &&= -q_1(k_1+k_c) + q_2k_c \\
-        \dot{p_1}   &= -(\frac{2k_c(q_2-q_1)}{2} - \frac{2k_2q_2}{2})  &&= q_1k_c - (k_c + k_2)
+        \dot{p_1}   &= -(\frac{2k_c(q_2-q_1)}{2} - \frac{2k_2q_2}{2})  &&= q_1k_c - (k_c + k_2).
     \end{alignedat}
     \right.
 \end{align*}
 In Matrixschreibweise erhalten wir
 \begin{equation}
-    \label{kra:hamilton:multispringmass}
+    \label{kra:equation:hamilton-multispringmass}
     \begin{pmatrix}
         \dot{q_1} \\
         \dot{q_2} \\
@@ -153,7 +156,7 @@ In Matrixschreibweise erhalten wir
     \begin{pmatrix}
         Q \\
         P \\
-    \end{pmatrix}
+    \end{pmatrix}.
 \end{equation}
 
 \subsection{Phasenraum}
@@ -161,22 +164,23 @@ Der Phasenraum erlaubt die eindeutige Beschreibung aller möglichen Bewegungszus
 Die Phasenraumdarstellung eignet sich somit sehr gut für die systematische Untersuchung der Feder-Masse-Systeme.
 
 \subsubsection{Harmonischer Oszillator}
-Die Hamiltonfunktion des harmonischen Oszillators \ref{kra:harmonischer_oszillator} führt auf eine Lösung der Form
+Die Hamiltonfunktion des harmonischen Oszillators \eqref{kra:equation:harmonischer_oszillator} führt auf eine Lösung der Form
 \begin{equation*}
-    q(t) = A \cos(\omega_0 T + \Phi), \quad p(t) = -m \omega_0 A \sin(\omega_0 t + \Phi)
+    q(t) = A \cos(\omega_0 T + \Phi), \quad p(t) = -m \omega_0 A \sin(\omega_0 t + \Phi),
 \end{equation*}
 die Phasenraumtrajektorien bilden also Ellipsen mit Zentrum $q=0, p=0$ und Halbachsen $A$ und $m \omega A$.
-Abbildung \ref{kra:fig:phasenraum} zeigt Phasenraumtrajektorien mit den Energien $E_{x \in \{A, B, C, D\}}$ und verschiedenen Werten von $\omega$.
+Abbildung~\ref{kra:fig:phasenraum} zeigt Phasenraumtrajektorien mit den Energien $E_{x \in \{A, B, C, D\}}$ und verschiedenen Werten von $\omega$.
 \begin{figure}
+    \centering
     \input{papers/kra/images/phase_space.tex}
     \caption{Phasenraumdarstellung des einfachen Feder-Masse-Systems.}
     \label{kra:fig:phasenraum}
 \end{figure}
 
 \subsubsection{Erweitertes Feder-Masse-System}
-Wir intressieren uns nun dafür wie der Phasenwinkel $U = PQ^{-1}$ von der Zeit abhängt,
+Wir interessieren uns nun dafür, wie der Phasenwinkel $U = PQ^{-1}$ von der Zeit abhängt,
 wir suchen also die Grösse $\Theta = \dt U$.
-Ersetzten wir in der Gleichung \ref{kra:hamilton:multispringmass} die Matrix $G$ mit $\tilde{G}$ so erhalten wir
+Ersetzten wir in der Gleichung \eqref{kra:equation:hamilton-multispringmass} die Matrix $G$ mit $\tilde{G}$ so erhalten wir
 \begin{equation}
     \dt
     \begin{pmatrix}
@@ -189,13 +193,13 @@ Ersetzten wir in der Gleichung \ref{kra:hamilton:multispringmass} die Matrix $G$
             A & B \\
             C & D
         \end{pmatrix}
-    }_{\tilde{G}}
+    }_{\displaystyle{\tilde{G}}}
     \begin{pmatrix}
         Q \\
         P
-    \end{pmatrix}
+    \end{pmatrix}.
 \end{equation}
-Mit einsetzten folgt
+Ausgeschrieben folgt
 \begin{align*}
     \dot{Q} = AQ + BP \\
     \dot{P} = CQ + DP
@@ -204,12 +208,12 @@ Mit einsetzten folgt
     \begin{split}
         \dt U   &= \dot{P} Q^{-1} + P \dt Q^{-1} \\
         &= (CQ + DP) Q^{-1} - P (Q^{-1} \dot{Q} Q^{-1}) \\
-        &= C\underbrace{QQ^{-1}}_\text{I} + D\underbrace{PQ^{-1}}_\text{U} - P(Q^{-1} (AQ + BP) Q^{-1}) \\
-        &= C + DU - \underbrace{PQ^{-1}}_\text{U}(A\underbrace{QQ^{-1}}_\text{I} + B\underbrace{PQ^{-1}}_\text{U}) \\
+        &= C\underbrace{QQ^{-1}}_\text{$I$} + D\underbrace{PQ^{-1}}_\text{$U$} - P(Q^{-1} (AQ + BP) Q^{-1}) \\
+        &= C + DU - \underbrace{PQ^{-1}}_\text{$U$}(A\underbrace{QQ^{-1}}_\text{$I$} + B\underbrace{PQ^{-1}}_\text{$U$}) \\
         &= C  + DU - UA - UBU
     \end{split}
 \end{equation}
-was uns auf die Matrix-Riccati Gleichung \ref{kra:equation:matrixriccati} führt.
+was uns auf die Matrix-Riccati Gleichung \eqref{kra:equation:matrixriccati} führt.
 
 % @TODO Einfluss auf anfangsbedingungen, plots?
 % @TODO Fazit ?
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From: "samuel.niederer" <samuel.niederer@hotmail.com>
Date: Wed, 24 Aug 2022 21:52:46 +0200
Subject: einarbeitung der Korrekturen

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--- a/buch/papers/kra/anwendung.tex
+++ b/buch/papers/kra/anwendung.tex
@@ -6,6 +6,7 @@ Die Matrix-Riccati Differentialgleichung findet unter anderem Anwendung in der R
 Im folgenden Abschnitt möchten wir uns an einem Beispiel anschauen wie wir mit Hilfe der Matrix-Riccati-Differentialgleichung (\ref{kra:equation:matrixriccati}) ein Feder-Masse-System untersuchen können \cite{kra:riccati}.
 
 \subsection{Feder-Masse-System}
+\label{kra:subsection:feder-masse-system}
 Die einfachste Form eines Feder-Masse-Systems ist dargestellt in Abbildung~\ref{kra:fig:simple_mass_spring}.
 Es besteht aus einer reibungsfrei gelagerten Masse $m$, welche an eine Feder mit der Federkonstante $k$ gekoppelt ist.
 Die im System wirkenden Kräfte teilen sich auf in die auf dem hookeschen Gesetz basierenden Rückstellkraft $F_R = k \Delta_x$ und der auf dem Aktionsprinzip basierenden Kraft $F_a = am = \ddot{x} m$.
@@ -35,6 +36,7 @@ Die Funktion die diese Differentialgleichung löst, ist die harmonische Schwingu
 \end{figure}
 
 \subsection{Hamilton-Funktion}
+\label{kra:subsection:hamilton-funktion}
 Die Bewegung der Masse $m$ kann mit Hilfe der hamiltonschen Mechanik im Phasenraum untersucht werden.
 Die hamiltonschen Gleichungen verwenden dafür die verallgemeinerten Ortskoordinaten
 $q = (q_{1}, q_{2}, ..., q_{n})$ und die verallgemeinerten Impulskoordinaten $p = (p_{1}, p_{2}, ..., p_{n})$, wobei der Impuls definiert ist als $p_k = m_k \cdot v_k$.
@@ -95,7 +97,7 @@ Die Hamilton-Funktion ist also
 \begin{align*}
     \begin{split}
         H   &= T + V \\
-            &= \frac{p_1^2}{2m_1} + \frac{p_2^2}{2m_2} + \frac{k_1 q_1^2}{2} + \frac{k_c (q_2 - q_1)^2}{2} + \frac{k_2 q_2^2}{2}
+        &= \frac{p_1^2}{2m_1} + \frac{p_2^2}{2m_2} + \frac{k_1 q_1^2}{2} + \frac{k_c (q_2 - q_1)^2}{2} + \frac{k_2 q_2^2}{2}
     \end{split}
 \end{align*}
 Die Bewegungsgleichungen \eqref{kra:equation:bewegungsgleichung} liefern
@@ -160,7 +162,14 @@ In Matrixschreibweise erhalten wir
 \end{equation}
 
 \subsection{Phasenraum}
-Der Phasenraum erlaubt die eindeutige Beschreibung aller möglichen Bewegungszustände eines mechanischen Systems durch einen Punkt.
+\subsubsection{Motivation}
+Die Beschreibung eines klassischen physikalischen Systems führt in der Newtonschen-Mechanik, wie wir in \ref{kra:subsection:feder-masse-system} gesehen haben, auf eine DGL 2. Ordung der Dimension $n$.
+Zur Betrachung des Systems verwenden wir dabei den Konfigurationsraum, ein Raum $\mathbb{R}^n$, bei dem ein einziger Punkt die Position aller $n$ Teilchen festlegt.
+Der Nachteil des Konfigurationsraums ist dabei, dass dieser nur die Positionen der Teilchen widerspiegelt.
+Um den Zustand eines Systems vollständig zu beschreiben, muss man aber nicht nur wissen wo sich die Teilchen zu einem bestimmten Zeitpunkt befinden, sondern auch wie sie sich bewegen.
+
+Im Gegensatz dazu führt die Beschreibung des Systems mit Hilfe der Hamilton-Mechanik \ref{kra:subsection:hamilton-funktion}, auf eine DGL 1. Ordnung der Dimension $2n$.
+Die Betrachtung erfolgt im einem Raum $\mathbb{R}^{2n}$, bei dem ein einzelner Punkt den Bewegungszustand vollständig beschreibt, dem sogennanten Phasenraum.
 Die Phasenraumdarstellung eignet sich somit sehr gut für die systematische Untersuchung der Feder-Masse-Systeme.
 
 \subsubsection{Harmonischer Oszillator}
@@ -205,6 +214,7 @@ Ausgeschrieben folgt
     \dot{P} = CQ + DP
 \end{align*}
 \begin{equation}
+    \label{kra:equation:feder-masse-riccati-matrix}
     \begin{split}
         \dt U   &= \dot{P} Q^{-1} + P \dt Q^{-1} \\
         &= (CQ + DP) Q^{-1} - P (Q^{-1} \dot{Q} Q^{-1}) \\
@@ -213,7 +223,9 @@ Ausgeschrieben folgt
         &= C  + DU - UA - UBU
     \end{split}
 \end{equation}
-was uns auf die Matrix-Riccati Gleichung \eqref{kra:equation:matrixriccati} führt.
+was uns direkt auf die Matrix-Riccati Gleichung \eqref{kra:equation:matrixriccati} führt.
+Wir sehen das sich die Dimension der DGL reduziert, dabei aber gleichzeitig der Grad erhöht.
 
-% @TODO Einfluss auf anfangsbedingungen, plots?
-% @TODO Fazit ?
+\subsection{Fazit}
+Wir haben gezeigt wie wir ein Federmassesystem mit Hilfe der Hamilton-Funktion Beschreiben und im Phasenraum untersuchen können.
+Ausserdem haben wir gesehen, dass sich bei der Entstehung der Riccati-Gleichung \eqref{kra:equation:feder-masse-riccati-matrix} die Dimension auf Kosten des Grades reduziert wird.
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cgit v1.2.1

