From 1d78360ee72a8d0d6cd4b440a2244624c284887f Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: samuel niederer <samuel.niederer@ost.ch>
Date: Sun, 24 Jul 2022 17:12:49 +0200
Subject: update paper

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 buch/papers/kra/hamilton.tex | 185 -------------------------------------------
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-\newcommand{\dt}[0]{\frac{d}{dt}}
-
-\section{Teil abc\label{kra:section:teilabc}}
-\rhead{Teil abc}
-
-\subsection{Hamilton-Funktion}
-Die Bewegung der Masse $m$ kann mit Hilfe der hamiltonschen Mechanik im Phasenraum untersucht werden.
-Die hamiltonschen Gleichungen verwenden dafür die veralgemeinerten Ortskoordinaten
-$q = (q_{1}, q_{2}, ..., q_{n})$ und die verallgemeinerten Impulskoordinaten $p = (p_{1}, p_{2}, ..., p_{n})$,
-wobei der Impuls definiert ist als $p_k = m_k \cdot v_k$.
-Liegen keine zeitabhängigen Zwangsbedingungen vor, so entspricht die Hamitlon-Funktion der Gesamtenergie des Systems \cite{kra:hamilton}.
-Im Falle des einfachen Federmassesystems, Abbildung \ref{kra:fig:simple_spring_mass},
-setzt sich die Hamilton-Funktion aus kinetischer und potentieller Energie zusammen.
-
-\begin{equation}
-    \label{hamilton}
-    \begin{split}
-        \mathcal{H}(q, p) &= T(p) + V(q) = E \\
-        &= \underbrace{\frac{p^2}{2m}}_{E_{kin}} + \underbrace{\frac{k q^2}{2}}_{E_{pot}}
-    \end{split}
-\end{equation}
-
-Die Hamiltonschen Bewegungsgleichungen liefern \cite{kra:kanonischegleichungen}
-\begin{equation}
-    \label{kra:hamilton:bewegungsgleichung}
-    \dot{q_{k}} = \frac{\partial \mathcal{H}}{\partial p_k}
-    \qquad
-    \dot{p_{k}} = -\frac{\partial \mathcal{H}}{\partial q_k}
-\end{equation}
-
-daraus folgt
-
-\[
-    \dot{q} = \frac{p}{m}
-    \qquad
-    \dot{p} = -kq
-\]
-
-in Matrixschreibweise erhalten wir also
-
-\[
-    \begin{pmatrix}
-        \dot{q} \\
-        \dot{p}
-    \end{pmatrix}
-    =
-    \begin{pmatrix}
-        0  & \frac{1}{m} \\
-        -k & 0
-    \end{pmatrix}
-    \begin{pmatrix}
-        q \\
-        p
-    \end{pmatrix}
-\]
-
-Für das erweiterte Federmassesystem, Abbildung \ref{kra:fig:multi_spring_mass}, können wir analog vorgehen.
-Die kinetische Energie setzt sich nun aus den kinetischen Energien der einzelnen Massen $m_1$ und $m_2$ zusammen.
-Die Potentielle Energie erhalten wir aus der Summe der kinetischen Energien der einzelnen Federn mit den Federkonstanten $k_1$, $k_c$ und $k_2$.
-
-\begin{align*}
-    \begin{split}
-        T   &= T_1 + T_2 \\
-        &= \frac{p_1^2}{2m_1} + \frac{p_2^2}{2m_2}
-    \end{split}
-    \\
-    \begin{split}
-        V   &= V_1 + V_c + V_2 \\
-        &= \frac{k_1 q_1^2}{2} + \frac{k_c (q_2 - q_1)^2}{2} + \frac{k_2 q_2^2}{2}
-    \end{split}
-\end{align*}
-
-Die Hamilton-Funktion ist also
-
-\begin{align*}
-    \begin{split}
-        \mathcal{H}     &= T + V \\
-        &= \frac{p_1^2}{2m_1} + \frac{p_2^2}{2m_2} + \frac{k_1 q_1^2}{2} + \frac{k_c (q_2 - q_1)^2}{2} + \frac{k_2 q_2^2}{2}
-    \end{split}
-\end{align*}
-
-Die Bewegungsgleichungen \ref{kra:hamilton:bewegungsgleichung} liefern
-\begin{align*}
-    \frac{\partial \mathcal{H}}{\partial p_k}  & = \dot{q_k}
-    \Rightarrow
-    \left\{
-    \begin{alignedat}{2}
-        \dot{q_1}   &= \frac{2p_1}{2m_1}    &&= \frac{p_1}{m_1}\\
-        \dot{q_2}   &= \frac{2p_2}{2m_2}    &&= \frac{p_2}{m_2}
-    \end{alignedat}
-    \right.
-    \\
-    -\frac{\partial \mathcal{H}}{\partial q_k} & = \dot{p_k}
-    \Rightarrow
-    \left\{
-    \begin{alignedat}{2}
-        \dot{p_1}   &= -(\frac{2k_1q_1}{2} - \frac{2k_c(q_2-q_1)}{2})  &&= -q_1(k_1+k_c) + q_2k_c \\
-        \dot{p_1}   &= -(\frac{2k_c(q_2-q_1)}{2} - \frac{2k_2q_2}{2})  &&= q_1k_c - (k_c + k_2)
-    \end{alignedat}
-    \right.
-\end{align*}
-
-In Matrixschreibweise erhalten wir
-
-\begin{equation}
-    \label{kra:hamilton:multispringmass}
-    \begin{pmatrix}
-        \dot{q_1} \\
-        \dot{q_2} \\
-        \dot{p_1} \\
-        \dot{p_2} \\
-    \end{pmatrix}
-    =
-    \begin{pmatrix}
-        0            & 0            & \frac{1}{2m_1} & 0              \\
-        0            & 0            & 0              & \frac{1}{2m_2} \\
-        -(k_1 + k_c) & k_c          & 0              & 0              \\
-        k_c          & -(k_c + k_2) & 0              & 0              \\
-    \end{pmatrix}
-    \begin{pmatrix}
-        q_1 \\
-        q_2 \\
-        p_1 \\
-        p_2 \\
-    \end{pmatrix}
-    \Leftrightarrow
-    \dt
-    \begin{pmatrix}
-        Q \\
-        P \\
-    \end{pmatrix}
-    \underbrace{
-        \begin{pmatrix}
-            0 & M \\
-            K & 0
-        \end{pmatrix}
-    }_{G}
-    \begin{pmatrix}
-        Q \\
-        P \\
-    \end{pmatrix}
-\end{equation}
-
-
-Wir intressieren uns nun dafür wie der Phasenwinkel $U = PQ^{-1}$ von der Zeit abhängt,
-wir suchen also die Grösse $\Theta = \dt U$.
-
-Ersetzten wir in der Gleichung \ref{kra:hamilton:multispringmass} die Matrix $G$ mit $\tilde{G}$ so erhalten wir
-\begin{equation}
-    \dt
-    \begin{pmatrix}
-        Q \\
-        P
-    \end{pmatrix}
-    =
-    \underbrace{
-        \begin{pmatrix}
-            A & B \\
-            C & D
-        \end{pmatrix}
-    }_{\tilde{G}}
-    \begin{pmatrix}
-        Q \\
-        P
-    \end{pmatrix}
-\end{equation}
-
-Mit einsetzten folgt
-
-\begin{align*}
-    \dot{Q} = AQ + BP \\
-    \dot{P} = CQ + DP
-\end{align*}
-\begin{equation}
-    \begin{split}
-        \dt U   &= \dot{P} Q^{-1} + P \dt Q^{-1} \\
-        &= (CQ + DP) Q^{-1} - P (Q^{-1} \dot{Q} Q^{-1}) \\
-        &= C\underbrace{QQ^{-1}}_\text{I} + D\underbrace{PQ^{-1}}_\text{U} - P(Q^{-1} (AQ + BP) Q^{-1}) \\
-        &= C + DU - \underbrace{PQ^{-1}}_\text{U}(A\underbrace{QQ^{-1}}_\text{I} + B\underbrace{PQ^{-1}}_\text{U}) \\
-        &= C  + DU - UA - UBU
-    \end{split}
-\end{equation}
-
-was uns auf die zeitkontinuierliche Matrix-Riccati-Gleichung führt.
-
-- 
cgit v1.2.1

