From 1d78360ee72a8d0d6cd4b440a2244624c284887f Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: samuel niederer Date: Sun, 24 Jul 2022 17:12:49 +0200 Subject: update paper --- buch/papers/kra/hamilton.tex | 185 ------------------------------------------- 1 file changed, 185 deletions(-) delete mode 100644 buch/papers/kra/hamilton.tex (limited to 'buch/papers/kra/hamilton.tex') diff --git a/buch/papers/kra/hamilton.tex b/buch/papers/kra/hamilton.tex deleted file mode 100644 index 14a5e8c..0000000 --- a/buch/papers/kra/hamilton.tex +++ /dev/null @@ -1,185 +0,0 @@ -\newcommand{\dt}[0]{\frac{d}{dt}} - -\section{Teil abc\label{kra:section:teilabc}} -\rhead{Teil abc} - -\subsection{Hamilton-Funktion} -Die Bewegung der Masse $m$ kann mit Hilfe der hamiltonschen Mechanik im Phasenraum untersucht werden. -Die hamiltonschen Gleichungen verwenden dafür die veralgemeinerten Ortskoordinaten -$q = (q_{1}, q_{2}, ..., q_{n})$ und die verallgemeinerten Impulskoordinaten $p = (p_{1}, p_{2}, ..., p_{n})$, -wobei der Impuls definiert ist als $p_k = m_k \cdot v_k$. -Liegen keine zeitabhängigen Zwangsbedingungen vor, so entspricht die Hamitlon-Funktion der Gesamtenergie des Systems \cite{kra:hamilton}. -Im Falle des einfachen Federmassesystems, Abbildung \ref{kra:fig:simple_spring_mass}, -setzt sich die Hamilton-Funktion aus kinetischer und potentieller Energie zusammen. - -\begin{equation} - \label{hamilton} - \begin{split} - \mathcal{H}(q, p) &= T(p) + V(q) = E \\ - &= \underbrace{\frac{p^2}{2m}}_{E_{kin}} + \underbrace{\frac{k q^2}{2}}_{E_{pot}} - \end{split} -\end{equation} - -Die Hamiltonschen Bewegungsgleichungen liefern \cite{kra:kanonischegleichungen} -\begin{equation} - \label{kra:hamilton:bewegungsgleichung} - \dot{q_{k}} = \frac{\partial \mathcal{H}}{\partial p_k} - \qquad - \dot{p_{k}} = -\frac{\partial \mathcal{H}}{\partial q_k} -\end{equation} - -daraus folgt - -\[ - \dot{q} = \frac{p}{m} - \qquad - \dot{p} = -kq -\] - -in Matrixschreibweise erhalten wir also - -\[ - \begin{pmatrix} - \dot{q} \\ - \dot{p} - \end{pmatrix} - = - \begin{pmatrix} - 0 & \frac{1}{m} \\ - -k & 0 - \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} - q \\ - p - \end{pmatrix} -\] - -Für das erweiterte Federmassesystem, Abbildung \ref{kra:fig:multi_spring_mass}, können wir analog vorgehen. -Die kinetische Energie setzt sich nun aus den kinetischen Energien der einzelnen Massen $m_1$ und $m_2$ zusammen. -Die Potentielle Energie erhalten wir aus der Summe der kinetischen Energien der einzelnen Federn mit den Federkonstanten $k_1$, $k_c$ und $k_2$. - -\begin{align*} - \begin{split} - T &= T_1 + T_2 \\ - &= \frac{p_1^2}{2m_1} + \frac{p_2^2}{2m_2} - \end{split} - \\ - \begin{split} - V &= V_1 + V_c + V_2 \\ - &= \frac{k_1 q_1^2}{2} + \frac{k_c (q_2 - q_1)^2}{2} + \frac{k_2 q_2^2}{2} - \end{split} -\end{align*} - -Die Hamilton-Funktion ist also - -\begin{align*} - \begin{split} - \mathcal{H} &= T + V \\ - &= \frac{p_1^2}{2m_1} + \frac{p_2^2}{2m_2} + \frac{k_1 q_1^2}{2} + \frac{k_c (q_2 - q_1)^2}{2} + \frac{k_2 q_2^2}{2} - \end{split} -\end{align*} - -Die Bewegungsgleichungen \ref{kra:hamilton:bewegungsgleichung} liefern -\begin{align*} - \frac{\partial \mathcal{H}}{\partial p_k} & = \dot{q_k} - \Rightarrow - \left\{ - \begin{alignedat}{2} - \dot{q_1} &= \frac{2p_1}{2m_1} &&= \frac{p_1}{m_1}\\ - \dot{q_2} &= \frac{2p_2}{2m_2} &&= \frac{p_2}{m_2} - \end{alignedat} - \right. - \\ - -\frac{\partial \mathcal{H}}{\partial q_k} & = \dot{p_k} - \Rightarrow - \left\{ - \begin{alignedat}{2} - \dot{p_1} &= -(\frac{2k_1q_1}{2} - \frac{2k_c(q_2-q_1)}{2}) &&= -q_1(k_1+k_c) + q_2k_c \\ - \dot{p_1} &= -(\frac{2k_c(q_2-q_1)}{2} - \frac{2k_2q_2}{2}) &&= q_1k_c - (k_c + k_2) - \end{alignedat} - \right. -\end{align*} - -In Matrixschreibweise erhalten wir - -\begin{equation} - \label{kra:hamilton:multispringmass} - \begin{pmatrix} - \dot{q_1} \\ - \dot{q_2} \\ - \dot{p_1} \\ - \dot{p_2} \\ - \end{pmatrix} - = - \begin{pmatrix} - 0 & 0 & \frac{1}{2m_1} & 0 \\ - 0 & 0 & 0 & \frac{1}{2m_2} \\ - -(k_1 + k_c) & k_c & 0 & 0 \\ - k_c & -(k_c + k_2) & 0 & 0 \\ - \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} - q_1 \\ - q_2 \\ - p_1 \\ - p_2 \\ - \end{pmatrix} - \Leftrightarrow - \dt - \begin{pmatrix} - Q \\ - P \\ - \end{pmatrix} - \underbrace{ - \begin{pmatrix} - 0 & M \\ - K & 0 - \end{pmatrix} - }_{G} - \begin{pmatrix} - Q \\ - P \\ - \end{pmatrix} -\end{equation} - - -Wir intressieren uns nun dafür wie der Phasenwinkel $U = PQ^{-1}$ von der Zeit abhängt, -wir suchen also die Grösse $\Theta = \dt U$. - -Ersetzten wir in der Gleichung \ref{kra:hamilton:multispringmass} die Matrix $G$ mit $\tilde{G}$ so erhalten wir -\begin{equation} - \dt - \begin{pmatrix} - Q \\ - P - \end{pmatrix} - = - \underbrace{ - \begin{pmatrix} - A & B \\ - C & D - \end{pmatrix} - }_{\tilde{G}} - \begin{pmatrix} - Q \\ - P - \end{pmatrix} -\end{equation} - -Mit einsetzten folgt - -\begin{align*} - \dot{Q} = AQ + BP \\ - \dot{P} = CQ + DP -\end{align*} -\begin{equation} - \begin{split} - \dt U &= \dot{P} Q^{-1} + P \dt Q^{-1} \\ - &= (CQ + DP) Q^{-1} - P (Q^{-1} \dot{Q} Q^{-1}) \\ - &= C\underbrace{QQ^{-1}}_\text{I} + D\underbrace{PQ^{-1}}_\text{U} - P(Q^{-1} (AQ + BP) Q^{-1}) \\ - &= C + DU - \underbrace{PQ^{-1}}_\text{U}(A\underbrace{QQ^{-1}}_\text{I} + B\underbrace{PQ^{-1}}_\text{U}) \\ - &= C + DU - UA - UBU - \end{split} -\end{equation} - -was uns auf die zeitkontinuierliche Matrix-Riccati-Gleichung führt. - -- cgit v1.2.1