From 1d78360ee72a8d0d6cd4b440a2244624c284887f Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: samuel niederer <samuel.niederer@ost.ch>
Date: Sun, 24 Jul 2022 17:12:49 +0200
Subject: update paper

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 buch/papers/kra/loesung.tex | 47 +++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++
 1 file changed, 47 insertions(+)
 create mode 100644 buch/papers/kra/loesung.tex

(limited to 'buch/papers/kra/loesung.tex')

diff --git a/buch/papers/kra/loesung.tex b/buch/papers/kra/loesung.tex
new file mode 100644
index 0000000..ece0f15
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/kra/loesung.tex
@@ -0,0 +1,47 @@
+\section{Lösungsmethoden} \label{kra:section:loesung}
+\rhead{Lösungsmethoden}
+% @TODO Lösung normal riccati
+Lösung der Riccatischen Differentialgleichung \ref{kra:riccati}.
+
+
+% Lösung matrix riccati
+Die Lösung der Matrix-Riccati Gleichung \ref{kra:matrixriccati} erhalten wir nach \cite{kra:kalmanisae} folgendermassen
+\begin{equation}
+    \label{kra:matrixriccati-solution}
+    \begin{pmatrix}
+        X(t) \\
+        Y(t)
+    \end{pmatrix}
+    =
+    \Phi(t_0, t)
+    \begin{pmatrix}
+        I(t) \\
+        U_0(t)
+    \end{pmatrix}
+    =
+    \begin{pmatrix}
+        \Phi_{11}(t_0, t) & \Phi_{12}(t_0, t) \\
+        \Phi_{21}(t_0, t) & \Phi_{22}(t_0, t)
+    \end{pmatrix}
+    \begin{pmatrix}
+        I(t) \\
+        U_0(t)
+    \end{pmatrix}
+\end{equation}
+
+\begin{equation}
+    U(t) =
+    \begin{pmatrix}
+        \Phi_{21}(t_0, t) + \Phi_{22}(t_0, t)
+    \end{pmatrix}
+    \begin{pmatrix}
+        \Phi_{11}(t_0, t) + \Phi_{12}(t_0, t)
+    \end{pmatrix}
+    ^{-1}
+\end{equation}
+
+wobei $\Phi(t, t_0)$ die sogennante Zustandsübergangsmatrix ist.
+
+\begin{equation}
+    \Phi(t_0, t) = e^{H(t - t_0)}
+\end{equation}
-- 
cgit v1.2.1


From 0a59be0b3c470a0f7d71ba2e39fb6ec323d89f84 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: "samuel.niederer" <samuel.niederer@hotmail.com>
Date: Sat, 13 Aug 2022 18:48:50 +0200
Subject: add content

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 buch/papers/kra/loesung.tex | 53 +++++++++++++++++++++++++++++++++++++++------
 1 file changed, 46 insertions(+), 7 deletions(-)

(limited to 'buch/papers/kra/loesung.tex')

diff --git a/buch/papers/kra/loesung.tex b/buch/papers/kra/loesung.tex
index ece0f15..4e0da1c 100644
--- a/buch/papers/kra/loesung.tex
+++ b/buch/papers/kra/loesung.tex
@@ -1,11 +1,53 @@
 \section{Lösungsmethoden} \label{kra:section:loesung}
 \rhead{Lösungsmethoden}
-% @TODO Lösung normal riccati
-Lösung der Riccatischen Differentialgleichung \ref{kra:riccati}.
 
+\subsection{Riccatische Differentialgleichung} \label{kra:loesung:riccati}
+Eine allgemeine analytische Lösung der Riccati Differentialgleichung ist nicht möglich.
+Es gibt aber Spezialfälle, in denen sich die Gleichung vereinfachen lässt und so eine analytische Lösung gefunden werden kann.
+Diese wollen wir im folgenden Abschnitt genauer anschauen.
 
+\subsubsection{Fall 1: Konstante Koeffizienten}
+Sind die Koeffizienten $f(x), g(x), h(x)$ Konstanten, so lässt sich die DGL separieren und reduziert sich auf die Lösung des Integrals \ref{kra:equation:case1_int}.
+\begin{equation}
+    y' = fy^2 + gy + h 
+\end{equation}
+\begin{equation}
+    \frac{dy}{dx} = fy^2 + gy + h
+\end{equation}
+\begin{equation} \label{kra:equation:case1_int}
+    \int \frac{dy}{fy^2 + gy + h} = \int dx
+\end{equation}
+
+\subsubsection{Fall 2: Bekannte spezielle Lösung}
+Kennt man eine spezielle Lösung $y_p$ so kann die riccatische DGL mit Hilfe einer Substitution auf eine lineare Gleichung reduziert werden.
+Wir wählen als Substitution
+\begin{equation} \label{kra:equation:substitution}
+    z = \frac{1}{y - y_p} 
+\end{equation}
+durch Umstellen von \ref{kra:equation:substitution} folgt
+\begin{equation}
+    y = y_p + \frac{1}{z^2} \label{kra:equation:backsubstitution}
+\end{equation}
+\begin{equation}
+    y' = y_p' - \frac{1}{z^2}z'
+\end{equation}
+mit Einsetzten in die DGL \ref{kra:equation:riccati} folgt 
+\begin{equation}
+    y_p' - \frac{1}{z^2}z' = f(x)(y_p + \frac{1}{z}) + g(x)(y_p + \frac{1}{z})^2 + h(x)
+\end{equation}
+\begin{equation}
+    -z^{2}y_p' + z' = -z^2\underbrace{(y_{p}f(x) + g(x)y_p^2 + h(x))}_{y_p'} - z(f(x) + 2y_{p}g(x)) - g(x)
+\end{equation}
+was uns direkt auf eine lineare Differentialgleichung 1.Ordnung führt.
+\begin{equation}
+    z' = -z(f(x) + 2y_{p}g(x)) - g(x)
+\end{equation}
+Diese kann nun mit den Methoden zur Lösung von linearen Differentialgleichungen 1.Ordnung gelöst werden.
+Durch die Rücksubstitution \ref{kra:equation:backsubstitution} erhält man dann die Lösung von \ref{kra:equation:riccati}.
+
+\subsection{Matrix-Riccati Differentialgleichung} \label{kra:loesung:riccati}
 % Lösung matrix riccati
-Die Lösung der Matrix-Riccati Gleichung \ref{kra:matrixriccati} erhalten wir nach \cite{kra:kalmanisae} folgendermassen
+Die Lösung der Matrix-Riccati Gleichung \ref{kra:equation:matrixriccati} erhalten wir nach \cite{kra:kalmanisae} folgendermassen
 \begin{equation}
     \label{kra:matrixriccati-solution}
     \begin{pmatrix}
@@ -28,7 +70,6 @@ Die Lösung der Matrix-Riccati Gleichung \ref{kra:matrixriccati} erhalten wir na
         U_0(t)
     \end{pmatrix}
 \end{equation}
-
 \begin{equation}
     U(t) =
     \begin{pmatrix}
@@ -39,9 +80,7 @@ Die Lösung der Matrix-Riccati Gleichung \ref{kra:matrixriccati} erhalten wir na
     \end{pmatrix}
     ^{-1}
 \end{equation}
-
-wobei $\Phi(t, t_0)$ die sogennante Zustandsübergangsmatrix ist.
-
+wobei $\Phi(t, t_0)$ die sogenannte Zustandsübergangsmatrix ist.
 \begin{equation}
     \Phi(t_0, t) = e^{H(t - t_0)}
 \end{equation}
-- 
cgit v1.2.1

