From f4d8100eff505891e91729ce314d6cfd5dfcbadf Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: "samuel.niederer" Date: Fri, 19 Aug 2022 21:57:08 +0200 Subject: apply corrections --- buch/papers/kra/loesung.tex | 31 +++++++++++++++++-------------- 1 file changed, 17 insertions(+), 14 deletions(-) (limited to 'buch/papers/kra/loesung.tex') diff --git a/buch/papers/kra/loesung.tex b/buch/papers/kra/loesung.tex index 4e0da1c..dbbb7f6 100644 --- a/buch/papers/kra/loesung.tex +++ b/buch/papers/kra/loesung.tex @@ -7,47 +7,50 @@ Es gibt aber Spezialfälle, in denen sich die Gleichung vereinfachen lässt und Diese wollen wir im folgenden Abschnitt genauer anschauen. \subsubsection{Fall 1: Konstante Koeffizienten} -Sind die Koeffizienten $f(x), g(x), h(x)$ Konstanten, so lässt sich die DGL separieren und reduziert sich auf die Lösung des Integrals \ref{kra:equation:case1_int}. +Im Fall von konstanten Koeffizienten $f(x), g(x), h(x)$, wird die Gleichung \eqref{kra:equation:riccati} zu \begin{equation} - y' = fy^2 + gy + h + y' = fy^2 + gy + h. \end{equation} +Durch Ausschreiben des Differentialquotienten \begin{equation} \frac{dy}{dx} = fy^2 + gy + h \end{equation} +erkennt man, dass die DGL separierbar ist. Die Lösung findet man nun durch die Berechnung des Integrals \begin{equation} \label{kra:equation:case1_int} - \int \frac{dy}{fy^2 + gy + h} = \int dx + \int \frac{dy}{fy^2 + gy + h} = \int dx. \end{equation} \subsubsection{Fall 2: Bekannte spezielle Lösung} -Kennt man eine spezielle Lösung $y_p$ so kann die riccatische DGL mit Hilfe einer Substitution auf eine lineare Gleichung reduziert werden. +Kennt man eine spezielle Lösung $y_p$, so kann die riccatische DGL mit Hilfe einer Substitution auf eine lineare Gleichung reduziert werden. Wir wählen als Substitution \begin{equation} \label{kra:equation:substitution} - z = \frac{1}{y - y_p} + z = \frac{1}{y - y_p}, \end{equation} -durch Umstellen von \ref{kra:equation:substitution} folgt +durch Umstellen von \eqref{kra:equation:substitution} folgt \begin{equation} y = y_p + \frac{1}{z^2} \label{kra:equation:backsubstitution} \end{equation} \begin{equation} - y' = y_p' - \frac{1}{z^2}z' + y' = y_p' - \frac{1}{z^2}z', \end{equation} -mit Einsetzten in die DGL \ref{kra:equation:riccati} folgt +mit Einsetzten in die DGL \eqref{kra:equation:riccati} resultiert \begin{equation} y_p' - \frac{1}{z^2}z' = f(x)(y_p + \frac{1}{z}) + g(x)(y_p + \frac{1}{z})^2 + h(x) \end{equation} \begin{equation} - -z^{2}y_p' + z' = -z^2\underbrace{(y_{p}f(x) + g(x)y_p^2 + h(x))}_{y_p'} - z(f(x) + 2y_{p}g(x)) - g(x) + -z^{2}y_p' + z' = -z^2\underbrace{(y_{p}f(x) + g(x)y_p^2 + h(x))}_{\displaystyle{y_p'}} - z(f(x) + 2y_{p}g(x)) - g(x) \end{equation} -was uns direkt auf eine lineare Differentialgleichung 1.Ordnung führt. +was uns direkt auf die lineare Differentialgleichung 1. Ordnung \begin{equation} z' = -z(f(x) + 2y_{p}g(x)) - g(x) \end{equation} -Diese kann nun mit den Methoden zur Lösung von linearen Differentialgleichungen 1.Ordnung gelöst werden. -Durch die Rücksubstitution \ref{kra:equation:backsubstitution} erhält man dann die Lösung von \ref{kra:equation:riccati}. +führt. +Diese kann nun mit den Methoden zur Lösung von linearen Differentialgleichungen 1. Ordnung gelöst werden. +Durch die Rücksubstitution \eqref{kra:equation:backsubstitution} erhält man dann die Lösung von \eqref{kra:equation:riccati}. -\subsection{Matrix-Riccati Differentialgleichung} \label{kra:loesung:riccati} +\subsection{Matrix-Riccati-Differentialgleichung} \label{kra:loesung:riccati} % Lösung matrix riccati -Die Lösung der Matrix-Riccati Gleichung \ref{kra:equation:matrixriccati} erhalten wir nach \cite{kra:kalmanisae} folgendermassen +Die Lösung der Matrix-Riccati-Gleichung \ref{kra:equation:matrixriccati} erhalten wir nach \cite{kra:kalmanisae} folgendermassen \begin{equation} \label{kra:matrixriccati-solution} \begin{pmatrix} -- cgit v1.2.1 From 4d49e23d6382999ed696c403c46a6b8290ca2f72 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: "samuel.niederer" Date: Wed, 24 Aug 2022 21:52:46 +0200 Subject: einarbeitung der Korrekturen --- buch/papers/kra/loesung.tex | 40 +++++++++++++++++++++++++++++++--------- 1 file changed, 31 insertions(+), 9 deletions(-) (limited to 'buch/papers/kra/loesung.tex') diff --git a/buch/papers/kra/loesung.tex b/buch/papers/kra/loesung.tex index dbbb7f6..18ac853 100644 --- a/buch/papers/kra/loesung.tex +++ b/buch/papers/kra/loesung.tex @@ -49,8 +49,33 @@ Diese kann nun mit den Methoden zur Lösung von linearen Differentialgleichungen Durch die Rücksubstitution \eqref{kra:equation:backsubstitution} erhält man dann die Lösung von \eqref{kra:equation:riccati}. \subsection{Matrix-Riccati-Differentialgleichung} \label{kra:loesung:riccati} -% Lösung matrix riccati -Die Lösung der Matrix-Riccati-Gleichung \ref{kra:equation:matrixriccati} erhalten wir nach \cite{kra:kalmanisae} folgendermassen +Im Folgenden wollen wir uns anschauen wie die Matrix-Riccati-DGL entsteht und wie sie gelöst werden kann. +Der Ausgangspunkt bildet die Matrix-Differentialgleichung +\begin{equation} + \label{kra:equation:matrix-dgl} + \begin{pmatrix} + \dot{X}(t) \\ + \dot{Y}(t) + \end{pmatrix} + = + \underbrace{ + \begin{pmatrix} + A & B \\ + C & D + \end{pmatrix} + }_{\displaystyle{H}}, +\end{equation} +mit den allgemeinen quadratischen Matrizen $A, B, C$ und $D$ welche zusammen die sogennante Hamilonsche-Matrix bilden. +Betrachten wir das Verhältniss von $Y$ zu $X$ +\[ + P(t) = Y(t)X^{-1} +\] +und deren Ableitung $\dot{P}(t)$, so erhalten wir die Riccati-Matrix-DGL +\[ + \dot{P}(t) = C + DU - UA - UBU. +\] + +Die Lösung erhalten wir dann mit \begin{equation} \label{kra:matrixriccati-solution} \begin{pmatrix} @@ -61,7 +86,7 @@ Die Lösung der Matrix-Riccati-Gleichung \ref{kra:equation:matrixriccati} erhalt \Phi(t_0, t) \begin{pmatrix} I(t) \\ - U_0(t) + P_0(t) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} @@ -70,11 +95,11 @@ Die Lösung der Matrix-Riccati-Gleichung \ref{kra:equation:matrixriccati} erhalt \end{pmatrix} \begin{pmatrix} I(t) \\ - U_0(t) + P_0(t) \end{pmatrix} \end{equation} \begin{equation} - U(t) = + P(t) = \begin{pmatrix} \Phi_{21}(t_0, t) + \Phi_{22}(t_0, t) \end{pmatrix} @@ -83,7 +108,4 @@ Die Lösung der Matrix-Riccati-Gleichung \ref{kra:equation:matrixriccati} erhalt \end{pmatrix} ^{-1} \end{equation} -wobei $\Phi(t, t_0)$ die sogenannte Zustandsübergangsmatrix ist. -\begin{equation} - \Phi(t_0, t) = e^{H(t - t_0)} -\end{equation} +wobei $\Phi(t_0, t) = e^{H(t - t_0)}$ die sogenannte Zustandsübergangsmatrix von \eqref{kra:equation:matrix-dgl} ist \cite{kra:kalmanisae}. -- cgit v1.2.1