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From: "samuel.niederer" <samuel.niederer@hotmail.com>
Date: Fri, 19 Aug 2022 21:57:08 +0200
Subject: apply corrections

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 buch/papers/kra/loesung.tex | 31 +++++++++++++++++--------------
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@@ -7,47 +7,50 @@ Es gibt aber Spezialfälle, in denen sich die Gleichung vereinfachen lässt und
 Diese wollen wir im folgenden Abschnitt genauer anschauen.
 
 \subsubsection{Fall 1: Konstante Koeffizienten}
-Sind die Koeffizienten $f(x), g(x), h(x)$ Konstanten, so lässt sich die DGL separieren und reduziert sich auf die Lösung des Integrals \ref{kra:equation:case1_int}.
+Im Fall von konstanten Koeffizienten $f(x), g(x), h(x)$, wird die Gleichung \eqref{kra:equation:riccati} zu
 \begin{equation}
-    y' = fy^2 + gy + h 
+    y' = fy^2 + gy + h.
 \end{equation}
+Durch Ausschreiben des Differentialquotienten
 \begin{equation}
     \frac{dy}{dx} = fy^2 + gy + h
 \end{equation}
+erkennt man, dass die DGL separierbar ist. Die Lösung findet man nun durch die Berechnung des Integrals
 \begin{equation} \label{kra:equation:case1_int}
-    \int \frac{dy}{fy^2 + gy + h} = \int dx
+    \int \frac{dy}{fy^2 + gy + h} = \int dx.
 \end{equation}
 
 \subsubsection{Fall 2: Bekannte spezielle Lösung}
-Kennt man eine spezielle Lösung $y_p$ so kann die riccatische DGL mit Hilfe einer Substitution auf eine lineare Gleichung reduziert werden.
+Kennt man eine spezielle Lösung $y_p$, so kann die riccatische DGL mit Hilfe einer Substitution auf eine lineare Gleichung reduziert werden.
 Wir wählen als Substitution
 \begin{equation} \label{kra:equation:substitution}
-    z = \frac{1}{y - y_p} 
+    z = \frac{1}{y - y_p},
 \end{equation}
-durch Umstellen von \ref{kra:equation:substitution} folgt
+durch Umstellen von \eqref{kra:equation:substitution} folgt
 \begin{equation}
     y = y_p + \frac{1}{z^2} \label{kra:equation:backsubstitution}
 \end{equation}
 \begin{equation}
-    y' = y_p' - \frac{1}{z^2}z'
+    y' = y_p' - \frac{1}{z^2}z',
 \end{equation}
-mit Einsetzten in die DGL \ref{kra:equation:riccati} folgt 
+mit Einsetzten in die DGL \eqref{kra:equation:riccati} resultiert
 \begin{equation}
     y_p' - \frac{1}{z^2}z' = f(x)(y_p + \frac{1}{z}) + g(x)(y_p + \frac{1}{z})^2 + h(x)
 \end{equation}
 \begin{equation}
-    -z^{2}y_p' + z' = -z^2\underbrace{(y_{p}f(x) + g(x)y_p^2 + h(x))}_{y_p'} - z(f(x) + 2y_{p}g(x)) - g(x)
+    -z^{2}y_p' + z' = -z^2\underbrace{(y_{p}f(x) + g(x)y_p^2 + h(x))}_{\displaystyle{y_p'}} - z(f(x) + 2y_{p}g(x)) - g(x)
 \end{equation}
-was uns direkt auf eine lineare Differentialgleichung 1.Ordnung führt.
+was uns direkt auf die lineare Differentialgleichung 1. Ordnung
 \begin{equation}
     z' = -z(f(x) + 2y_{p}g(x)) - g(x)
 \end{equation}
-Diese kann nun mit den Methoden zur Lösung von linearen Differentialgleichungen 1.Ordnung gelöst werden.
-Durch die Rücksubstitution \ref{kra:equation:backsubstitution} erhält man dann die Lösung von \ref{kra:equation:riccati}.
+führt.
+Diese kann nun mit den Methoden zur Lösung von linearen Differentialgleichungen 1. Ordnung gelöst werden.
+Durch die Rücksubstitution \eqref{kra:equation:backsubstitution} erhält man dann die Lösung von \eqref{kra:equation:riccati}.
 
-\subsection{Matrix-Riccati Differentialgleichung} \label{kra:loesung:riccati}
+\subsection{Matrix-Riccati-Differentialgleichung} \label{kra:loesung:riccati}
 % Lösung matrix riccati
-Die Lösung der Matrix-Riccati Gleichung \ref{kra:equation:matrixriccati} erhalten wir nach \cite{kra:kalmanisae} folgendermassen
+Die Lösung der Matrix-Riccati-Gleichung \ref{kra:equation:matrixriccati} erhalten wir nach \cite{kra:kalmanisae} folgendermassen
 \begin{equation}
     \label{kra:matrixriccati-solution}
     \begin{pmatrix}
-- 
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