From 1d78360ee72a8d0d6cd4b440a2244624c284887f Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: samuel niederer <samuel.niederer@ost.ch>
Date: Sun, 24 Jul 2022 17:12:49 +0200
Subject: update paper

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 buch/papers/kra/riccati.tex | 93 ---------------------------------------------
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--- a/buch/papers/kra/riccati.tex
+++ /dev/null
@@ -1,93 +0,0 @@
-\section{Riccati
-  \label{kra:section:riccati}}
-\rhead{Riccati}
-
-\begin{equation}
-    y'(x) = f(x)y^2(x) + g(x)y(x) + h(x)
-\end{equation}
-% einfache (normale riccati gleichung und ihre loesung)
-% (kann man diese bei einfachem federmasse system benutzten?)
-% matrix riccati gleichung
-
-
-Die zeitkontinuierliche Riccati-Matrix-Gleichung hat die Form
-\begin{equation}
-    \label{kra:riccati:riccatiequation}
-    \dot{U(t)} = DU(t) - UA(t) - U(t)BU(t)
-\end{equation}
-
-Betrachten wir das Differentialgleichungssystem \ref{kra:riccati:derivation}
-
-\begin{equation}
-    \label{kra:riccati:derivation}
-    \dt
-    \begin{pmatrix}
-        X \\
-        Y
-    \end{pmatrix}
-    =
-    \underbrace{
-        \begin{pmatrix}
-            A & B \\
-            C & D
-        \end{pmatrix}
-    }_{H}
-    \begin{pmatrix}
-        X \\
-        Y
-    \end{pmatrix}
-\end{equation}
-
-interessieren wir uns für die zeitliche Änderung der Grösse $U = YX^{-1}$, so erhalten wir durch einsetzten
-
-\begin{align*}
-    \dt U & = \dot{Y} X^{-1} + Y \dt X^{-1}                                                                           \\
-          & = (CX + DY) X^{-1} - Y (X^{-1} \dot{X} X^{-1})                                                            \\
-          & = C\underbrace{XX^{-1}}_\text{I} + D\underbrace{YX^{-1}}_\text{U} - Y(X^{-1} (AX + BY) X^{-1})            \\
-          & = C + DU - \underbrace{YX^{-1}}_\text{U}(A\underbrace{XX^{-1}}_\text{I} + B\underbrace{YX^{-1}}_\text{U}) \\
-          & = C  + DU - UA - UBU
-\end{align*}
-
-was uns auf die Riccati-Matrix-Gleichung \ref{kra:riccati:riccatiequation} führt.
-Die Lösung dieser Gleichung erhalten wir nach \cite{kra:kalmanisae} folgendermassen
-\begin{equation}
-    \begin{pmatrix}
-        X(t) \\
-        Y(t)
-    \end{pmatrix}
-    =
-    \Phi(t_0, t)
-    \begin{pmatrix}
-        I(t) \\
-        U_0(t)
-    \end{pmatrix}
-    =
-    \begin{pmatrix}
-        \Phi_{11}(t_0, t) & \Phi_{12}(t_0, t) \\
-        \Phi_{21}(t_0, t) & \Phi_{22}(t_0, t)
-    \end{pmatrix}
-    \begin{pmatrix}
-        I(t) \\
-        U_0(t)
-    \end{pmatrix}
-\end{equation}
-
-\begin{equation}
-    U(t) =
-    \begin{pmatrix}
-        \Phi_{21}(t_0, t) + \Phi_{22}(t_0, t)
-    \end{pmatrix}
-    \begin{pmatrix}
-        \Phi_{11}(t_0, t) + \Phi_{12}(t_0, t)
-    \end{pmatrix}
-    ^{-1}
-\end{equation}
-
-wobei $\Phi(t, t_0)$ die sogennante Zustandsübergangsmatrix ist.
-
-\begin{equation}
-    \Phi(t_0, t) = e^{H(t - t_0)}
-\end{equation}
-
-
-
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