From c5a26d2d7bde694d08bff948c48b2615a7e2e973 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: samuel niederer <samuel.niederer@ost.ch>
Date: Sun, 24 Jul 2022 12:16:02 +0200
Subject: add current work

---
 buch/papers/kra/riccati.tex | 93 +++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++
 1 file changed, 93 insertions(+)
 create mode 100644 buch/papers/kra/riccati.tex

(limited to 'buch/papers/kra/riccati.tex')

diff --git a/buch/papers/kra/riccati.tex b/buch/papers/kra/riccati.tex
new file mode 100644
index 0000000..df2921d
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/kra/riccati.tex
@@ -0,0 +1,93 @@
+\section{Riccati
+  \label{kra:section:riccati}}
+\rhead{Riccati}
+
+\begin{equation}
+    y'(x) = f(x)y^2(x) + g(x)y(x) + h(x)
+\end{equation}
+% einfache (normale riccati gleichung und ihre loesung)
+% (kann man diese bei einfachem federmasse system benutzten?)
+% matrix riccati gleichung
+
+
+Die zeitkontinuierliche Riccati-Matrix-Gleichung hat die Form
+\begin{equation}
+    \label{kra:riccati:riccatiequation}
+    \dot{U(t)} = DU(t) - UA(t) - U(t)BU(t)
+\end{equation}
+
+Betrachten wir das Differentialgleichungssystem \ref{kra:riccati:derivation}
+
+\begin{equation}
+    \label{kra:riccati:derivation}
+    \dt
+    \begin{pmatrix}
+        X \\
+        Y
+    \end{pmatrix}
+    =
+    \underbrace{
+        \begin{pmatrix}
+            A & B \\
+            C & D
+        \end{pmatrix}
+    }_{H}
+    \begin{pmatrix}
+        X \\
+        Y
+    \end{pmatrix}
+\end{equation}
+
+interessieren wir uns für die zeitliche Änderung der Grösse $U = YX^{-1}$, so erhalten wir durch einsetzten
+
+\begin{align*}
+    \dt U & = \dot{Y} X^{-1} + Y \dt X^{-1}                                                                           \\
+          & = (CX + DY) X^{-1} - Y (X^{-1} \dot{X} X^{-1})                                                            \\
+          & = C\underbrace{XX^{-1}}_\text{I} + D\underbrace{YX^{-1}}_\text{U} - Y(X^{-1} (AX + BY) X^{-1})            \\
+          & = C + DU - \underbrace{YX^{-1}}_\text{U}(A\underbrace{XX^{-1}}_\text{I} + B\underbrace{YX^{-1}}_\text{U}) \\
+          & = C  + DU - UA - UBU
+\end{align*}
+
+was uns auf die Riccati-Matrix-Gleichung \ref{kra:riccati:riccatiequation} führt.
+Die Lösung dieser Gleichung erhalten wir nach \cite{kra:kalmanisae} folgendermassen
+\begin{equation}
+    \begin{pmatrix}
+        X(t) \\
+        Y(t)
+    \end{pmatrix}
+    =
+    \Phi(t_0, t)
+    \begin{pmatrix}
+        I(t) \\
+        U_0(t)
+    \end{pmatrix}
+    =
+    \begin{pmatrix}
+        \Phi_{11}(t_0, t) & \Phi_{12}(t_0, t) \\
+        \Phi_{21}(t_0, t) & \Phi_{22}(t_0, t)
+    \end{pmatrix}
+    \begin{pmatrix}
+        I(t) \\
+        U_0(t)
+    \end{pmatrix}
+\end{equation}
+
+\begin{equation}
+    U(t) =
+    \begin{pmatrix}
+        \Phi_{21}(t_0, t) + \Phi_{22}(t_0, t)
+    \end{pmatrix}
+    \begin{pmatrix}
+        \Phi_{11}(t_0, t) + \Phi_{12}(t_0, t)
+    \end{pmatrix}
+    ^{-1}
+\end{equation}
+
+wobei $\Phi(t, t_0)$ die sogennante Zustandsübergangsmatrix ist.
+
+\begin{equation}
+    \Phi(t_0, t) = e^{H(t - t_0)}
+\end{equation}
+
+
+
-- 
cgit v1.2.1

