From 1d78360ee72a8d0d6cd4b440a2244624c284887f Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: samuel niederer Date: Sun, 24 Jul 2022 17:12:49 +0200 Subject: update paper --- buch/papers/kra/Makefile.inc | 11 +- buch/papers/kra/anwendung.tex | 235 +++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++ buch/papers/kra/einleitung.tex | 14 +++ buch/papers/kra/hamilton.tex | 185 -------------------------------- buch/papers/kra/loesung.tex | 47 +++++++++ buch/papers/kra/main.tex | 10 +- buch/papers/kra/riccati.tex | 93 ---------------- 7 files changed, 306 insertions(+), 289 deletions(-) create mode 100644 buch/papers/kra/anwendung.tex create mode 100644 buch/papers/kra/einleitung.tex delete mode 100644 buch/papers/kra/hamilton.tex create mode 100644 buch/papers/kra/loesung.tex delete mode 100644 buch/papers/kra/riccati.tex (limited to 'buch/papers/kra') diff --git a/buch/papers/kra/Makefile.inc b/buch/papers/kra/Makefile.inc index f453e6e..a521e4b 100644 --- a/buch/papers/kra/Makefile.inc +++ b/buch/papers/kra/Makefile.inc @@ -4,11 +4,10 @@ # (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule # dependencies-kra = \ - papers/kra/packages.tex \ + papers/kra/packages.tex \ papers/kra/main.tex \ - papers/kra/references.bib \ - papers/kra/teil0.tex \ - papers/kra/teil1.tex \ - papers/kra/teil2.tex \ - papers/kra/teil3.tex + papers/kra/references.bib \ + papers/kra/einleitung.tex \ + papers/kra/loesung.tex \ + papers/kra/anwendung.tex \ diff --git a/buch/papers/kra/anwendung.tex b/buch/papers/kra/anwendung.tex new file mode 100644 index 0000000..4d4d351 --- /dev/null +++ b/buch/papers/kra/anwendung.tex @@ -0,0 +1,235 @@ +\section{Anwendungen \label{kra:section:anwendung}} +\rhead{Anwendungen} +\newcommand{\dt}[0]{\frac{d}{dt}} + +Die Matrix-Riccati Differentialgleichung findet unter anderem Anwendung in der Regelungstechnik beim RQ- und RQG-Regler oder aber auch beim Kalmanfilter. +Im folgenden Abschnitt möchten wir uns an einem Beispiel anschauen wie wir mit Hilfe der Matrix-Riccati Differentialgleichung (\ref{kra:matrixriccati}) ein Feder-Masse-System untersuchen können. + +\subsection{Feder-Masse-System} +Die Einfachste Form eines Feder-Masse-Systems ist dargestellt in Abbildung \ref{kra:fig:simple_mass_spring}. +Es besteht aus einer Masse $m$ welche reibungsfrei gelagert ist und einer Feder mit der Federkonstante $k$. +Die im System wirkenden Kräfte teilen sich auf in die auf dem hookeschen Gesetz basierenden Rückstellkraft $F_R = k \Delta_x$ und der auf dem Aktionsprinzip basierenden Kraft $F_a = am = \ddot{x} m$. +Das Kräftegleichgewicht fordert $F_R = F_a$ woraus folgt, dass + +\begin{equation*} + k \Delta_x = \ddot{x} m \Leftrightarrow \ddot{x} = \frac{k \Delta_x}{m} +\end{equation*} +Die funktion die diese Differentialgleichung löst ist die harmonische Schwingung +\begin{equation} + x(t) = A \cos(\omega_0 t + \Phi), \quad \omega_0 = \sqrt{\frac{k}{m}} +\end{equation} + + +\begin{figure} + \input{papers/kra/images/simple_mass_spring.tex} + \caption{Einfaches Feder-Masse-System.} + \label{kra:fig:simple_mass_spring} +\end{figure} + +\begin{figure} + \input{papers/kra/images/multi_mass_spring.tex} + \caption{Feder-Masse-System mit zwei Massen und drei Federn.} + \label{kra:fig:multi_mass_spring} +\end{figure} + + +\subsection{Hamilton-Funktion} +Die Bewegung der Masse $m$ kann mit Hilfe der hamiltonschen Mechanik im Phasenraum untersucht werden. +Die hamiltonschen Gleichungen verwenden dafür die veralgemeinerten Ortskoordinaten +$q = (q_{1}, q_{2}, ..., q_{n})$ und die verallgemeinerten Impulskoordinaten $p = (p_{1}, p_{2}, ..., p_{n})$, wobei der Impuls definiert ist als $p_k = m_k \cdot v_k$. +Liegen keine zeitabhängigen Zwangsbedingungen vor, so entspricht die Hamitlon-Funktion der Gesamtenergie des Systems \cite{kra:hamilton}. +Im Falle des einfachen Feder-Masse-Systems, Abbildung \ref{kra:fig:simple_mass_spring}, setzt sich die Hamilton-Funktion aus kinetischer und potentieller Energie zusammen. + +\begin{equation} + \label{kra:harmonischer_oszillator} + \begin{split} + \mathcal{H}(q, p) &= T(p) + V(q) = E \\ + &= \underbrace{\frac{p^2}{2m}}_{E_{kin}} + \underbrace{\frac{k q^2}{2}}_{E_{pot}} + \end{split} +\end{equation} + +Die Hamiltonschen Bewegungsgleichungen liefern \cite{kra:kanonischegleichungen} +\begin{equation} + \label{kra:hamilton:bewegungsgleichung} + \dot{q_{k}} = \frac{\partial \mathcal{H}}{\partial p_k} + \qquad + \dot{p_{k}} = -\frac{\partial \mathcal{H}}{\partial q_k} +\end{equation} + +daraus folgt + +\[ + \dot{q} = \frac{p}{m} + \qquad + \dot{p} = -kq +\] + +in Matrixschreibweise erhalten wir also + +\[ + \begin{pmatrix} + \dot{q} \\ + \dot{p} + \end{pmatrix} + = + \begin{pmatrix} + 0 & \frac{1}{m} \\ + -k & 0 + \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} + q \\ + p + \end{pmatrix} +\] + +Für das erweiterte Federmassesystem, Abbildung \ref{kra:fig:multi_mass_spring}, können wir analog vorgehen. +Die kinetische Energie setzt sich nun aus den kinetischen Energien der einzelnen Massen $m_1$ und $m_2$ zusammen. +Die Potentielle Energie erhalten wir aus der Summe der kinetischen Energien der einzelnen Federn mit den Federkonstanten $k_1$, $k_c$ und $k_2$. + +\begin{align*} + \begin{split} + T &= T_1 + T_2 \\ + &= \frac{p_1^2}{2m_1} + \frac{p_2^2}{2m_2} + \end{split} + \\ + \begin{split} + V &= V_1 + V_c + V_2 \\ + &= \frac{k_1 q_1^2}{2} + \frac{k_c (q_2 - q_1)^2}{2} + \frac{k_2 q_2^2}{2} + \end{split} +\end{align*} + +Die Hamilton-Funktion ist also + +\begin{align*} + \begin{split} + \mathcal{H} &= T + V \\ + &= \frac{p_1^2}{2m_1} + \frac{p_2^2}{2m_2} + \frac{k_1 q_1^2}{2} + \frac{k_c (q_2 - q_1)^2}{2} + \frac{k_2 q_2^2}{2} + \end{split} +\end{align*} + +Die Bewegungsgleichungen \ref{kra:hamilton:bewegungsgleichung} liefern +\begin{align*} + \frac{\partial \mathcal{H}}{\partial p_k} & = \dot{q_k} + \Rightarrow + \left\{ + \begin{alignedat}{2} + \dot{q_1} &= \frac{2p_1}{2m_1} &&= \frac{p_1}{m_1}\\ + \dot{q_2} &= \frac{2p_2}{2m_2} &&= \frac{p_2}{m_2} + \end{alignedat} + \right. + \\ + -\frac{\partial \mathcal{H}}{\partial q_k} & = \dot{p_k} + \Rightarrow + \left\{ + \begin{alignedat}{2} + \dot{p_1} &= -(\frac{2k_1q_1}{2} - \frac{2k_c(q_2-q_1)}{2}) &&= -q_1(k_1+k_c) + q_2k_c \\ + \dot{p_1} &= -(\frac{2k_c(q_2-q_1)}{2} - \frac{2k_2q_2}{2}) &&= q_1k_c - (k_c + k_2) + \end{alignedat} + \right. +\end{align*} + +In Matrixschreibweise erhalten wir + +\begin{equation} + \label{kra:hamilton:multispringmass} + \begin{pmatrix} + \dot{q_1} \\ + \dot{q_2} \\ + \dot{p_1} \\ + \dot{p_2} \\ + \end{pmatrix} + = + \begin{pmatrix} + 0 & 0 & \frac{1}{2m_1} & 0 \\ + 0 & 0 & 0 & \frac{1}{2m_2} \\ + -(k_1 + k_c) & k_c & 0 & 0 \\ + k_c & -(k_c + k_2) & 0 & 0 \\ + \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} + q_1 \\ + q_2 \\ + p_1 \\ + p_2 \\ + \end{pmatrix} + \Leftrightarrow + \dt + \begin{pmatrix} + Q \\ + P \\ + \end{pmatrix} + = + \underbrace{ + \begin{pmatrix} + 0 & M \\ + K & 0 + \end{pmatrix} + }_{G} + \begin{pmatrix} + Q \\ + P \\ + \end{pmatrix} +\end{equation} + +\subsection{Phasenraum} +Der Phasenraum erlaubt die eindeutige Beschreibung aller möglichen Bewegungszustände eines mechanischen System durch einen Punkt. +Die Phasenraumdarstellung eignet sich somit sehr gut für die systematische Untersuchung der Feder-Masse-Systeme. + +\subsubsection{Harmonischer Oszillator} +Die Hamiltonfunktion des harmonischen Oszillators \ref{kra:harmonischer_oszillator} führt auf eine Lösung der Form +\begin{equation*} + q(t) = A \cos(\omega_0 T + \Phi), \quad p(t) = -m \omega_0 A \sin(\omega_0 t + \Phi) +\end{equation*} +die Phasenraumtrajektorien bilden also Ellipsen mit Zentrum $q=0, p=0$ und Halbachsen $A$ und $m \omega A$. +Abbildung \ref{kra:fig:phasenraum} zeigt Phasenraumtrajektorien mit den Energien $E_{x \in \{A, B, C, D\}}$ und verschiedenen Werten von $\omega$. + +\begin{figure} + \input{papers/kra/images/phase_space.tex} + \caption{Phasenraumdarstellung des einfachen Feder-Masse-Systems.} + \label{kra:fig:phasenraum} +\end{figure} + +\subsubsection{Erweitertes Feder-Masse-System} +Wir intressieren uns nun dafür wie der Phasenwinkel $U = PQ^{-1}$ von der Zeit abhängt, +wir suchen also die Grösse $\Theta = \dt U$. + +Ersetzten wir in der Gleichung \ref{kra:hamilton:multispringmass} die Matrix $G$ mit $\tilde{G}$ so erhalten wir +\begin{equation} + \dt + \begin{pmatrix} + Q \\ + P + \end{pmatrix} + = + \underbrace{ + \begin{pmatrix} + A & B \\ + C & D + \end{pmatrix} + }_{\tilde{G}} + \begin{pmatrix} + Q \\ + P + \end{pmatrix} +\end{equation} + +Mit einsetzten folgt + +\begin{align*} + \dot{Q} = AQ + BP \\ + \dot{P} = CQ + DP +\end{align*} +\begin{equation} + \begin{split} + \dt U &= \dot{P} Q^{-1} + P \dt Q^{-1} \\ + &= (CQ + DP) Q^{-1} - P (Q^{-1} \dot{Q} Q^{-1}) \\ + &= C\underbrace{QQ^{-1}}_\text{I} + D\underbrace{PQ^{-1}}_\text{U} - P(Q^{-1} (AQ + BP) Q^{-1}) \\ + &= C + DU - \underbrace{PQ^{-1}}_\text{U}(A\underbrace{QQ^{-1}}_\text{I} + B\underbrace{PQ^{-1}}_\text{U}) \\ + &= C + DU - UA - UBU + \end{split} +\end{equation} + +was uns auf die Matrix-Riccati Gleichung \ref{kra:matrixriccati} führt. + + +\subsection{Fazit} +% @TODO diff --git a/buch/papers/kra/einleitung.tex b/buch/papers/kra/einleitung.tex new file mode 100644 index 0000000..1a347a8 --- /dev/null +++ b/buch/papers/kra/einleitung.tex @@ -0,0 +1,14 @@ +\section{Einleitung} \label{kra:section:einleitung} +\rhead{Einleitung} +Die riccatische Differentialgleichung ist eine nichtlineare gewöhnliche Differentialgleichunge erster Ordnung der form +\begin{equation} + \label{kra:riccati} + y'(x) = f(x)y^2(x) + g(x)y(x) + h(x) +\end{equation} +Sie ist bennant nach dem italienischen Grafen Jacopo Francesco Riccati (1676–1754) der sich mit der Klassifizierung von Differentialgleichungen befasste und Methoden zur Verringerung der Ordnung von Gleichungen entwickelte. +Als Riccati Gleichung werden auch Matrixgleichugen der Form +\begin{equation} + \label{kra:matrixriccati} + \dot{U}(t) = DU(t) - UA(t) - U(t)BU(t) % +Q ? +\end{equation} +bezeichnet, welche aufgrund ihres quadratischen Terms eine gewisse ähnlichkeit aufweisen. \ No newline at end of file diff --git a/buch/papers/kra/hamilton.tex b/buch/papers/kra/hamilton.tex deleted file mode 100644 index 14a5e8c..0000000 --- a/buch/papers/kra/hamilton.tex +++ /dev/null @@ -1,185 +0,0 @@ -\newcommand{\dt}[0]{\frac{d}{dt}} - -\section{Teil abc\label{kra:section:teilabc}} -\rhead{Teil abc} - -\subsection{Hamilton-Funktion} -Die Bewegung der Masse $m$ kann mit Hilfe der hamiltonschen Mechanik im Phasenraum untersucht werden. -Die hamiltonschen Gleichungen verwenden dafür die veralgemeinerten Ortskoordinaten -$q = (q_{1}, q_{2}, ..., q_{n})$ und die verallgemeinerten Impulskoordinaten $p = (p_{1}, p_{2}, ..., p_{n})$, -wobei der Impuls definiert ist als $p_k = m_k \cdot v_k$. -Liegen keine zeitabhängigen Zwangsbedingungen vor, so entspricht die Hamitlon-Funktion der Gesamtenergie des Systems \cite{kra:hamilton}. -Im Falle des einfachen Federmassesystems, Abbildung \ref{kra:fig:simple_spring_mass}, -setzt sich die Hamilton-Funktion aus kinetischer und potentieller Energie zusammen. - -\begin{equation} - \label{hamilton} - \begin{split} - \mathcal{H}(q, p) &= T(p) + V(q) = E \\ - &= \underbrace{\frac{p^2}{2m}}_{E_{kin}} + \underbrace{\frac{k q^2}{2}}_{E_{pot}} - \end{split} -\end{equation} - -Die Hamiltonschen Bewegungsgleichungen liefern \cite{kra:kanonischegleichungen} -\begin{equation} - \label{kra:hamilton:bewegungsgleichung} - \dot{q_{k}} = \frac{\partial \mathcal{H}}{\partial p_k} - \qquad - \dot{p_{k}} = -\frac{\partial \mathcal{H}}{\partial q_k} -\end{equation} - -daraus folgt - -\[ - \dot{q} = \frac{p}{m} - \qquad - \dot{p} = -kq -\] - -in Matrixschreibweise erhalten wir also - -\[ - \begin{pmatrix} - \dot{q} \\ - \dot{p} - \end{pmatrix} - = - \begin{pmatrix} - 0 & \frac{1}{m} \\ - -k & 0 - \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} - q \\ - p - \end{pmatrix} -\] - -Für das erweiterte Federmassesystem, Abbildung \ref{kra:fig:multi_spring_mass}, können wir analog vorgehen. -Die kinetische Energie setzt sich nun aus den kinetischen Energien der einzelnen Massen $m_1$ und $m_2$ zusammen. -Die Potentielle Energie erhalten wir aus der Summe der kinetischen Energien der einzelnen Federn mit den Federkonstanten $k_1$, $k_c$ und $k_2$. - -\begin{align*} - \begin{split} - T &= T_1 + T_2 \\ - &= \frac{p_1^2}{2m_1} + \frac{p_2^2}{2m_2} - \end{split} - \\ - \begin{split} - V &= V_1 + V_c + V_2 \\ - &= \frac{k_1 q_1^2}{2} + \frac{k_c (q_2 - q_1)^2}{2} + \frac{k_2 q_2^2}{2} - \end{split} -\end{align*} - -Die Hamilton-Funktion ist also - -\begin{align*} - \begin{split} - \mathcal{H} &= T + V \\ - &= \frac{p_1^2}{2m_1} + \frac{p_2^2}{2m_2} + \frac{k_1 q_1^2}{2} + \frac{k_c (q_2 - q_1)^2}{2} + \frac{k_2 q_2^2}{2} - \end{split} -\end{align*} - -Die Bewegungsgleichungen \ref{kra:hamilton:bewegungsgleichung} liefern -\begin{align*} - \frac{\partial \mathcal{H}}{\partial p_k} & = \dot{q_k} - \Rightarrow - \left\{ - \begin{alignedat}{2} - \dot{q_1} &= \frac{2p_1}{2m_1} &&= \frac{p_1}{m_1}\\ - \dot{q_2} &= \frac{2p_2}{2m_2} &&= \frac{p_2}{m_2} - \end{alignedat} - \right. - \\ - -\frac{\partial \mathcal{H}}{\partial q_k} & = \dot{p_k} - \Rightarrow - \left\{ - \begin{alignedat}{2} - \dot{p_1} &= -(\frac{2k_1q_1}{2} - \frac{2k_c(q_2-q_1)}{2}) &&= -q_1(k_1+k_c) + q_2k_c \\ - \dot{p_1} &= -(\frac{2k_c(q_2-q_1)}{2} - \frac{2k_2q_2}{2}) &&= q_1k_c - (k_c + k_2) - \end{alignedat} - \right. -\end{align*} - -In Matrixschreibweise erhalten wir - -\begin{equation} - \label{kra:hamilton:multispringmass} - \begin{pmatrix} - \dot{q_1} \\ - \dot{q_2} \\ - \dot{p_1} \\ - \dot{p_2} \\ - \end{pmatrix} - = - \begin{pmatrix} - 0 & 0 & \frac{1}{2m_1} & 0 \\ - 0 & 0 & 0 & \frac{1}{2m_2} \\ - -(k_1 + k_c) & k_c & 0 & 0 \\ - k_c & -(k_c + k_2) & 0 & 0 \\ - \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} - q_1 \\ - q_2 \\ - p_1 \\ - p_2 \\ - \end{pmatrix} - \Leftrightarrow - \dt - \begin{pmatrix} - Q \\ - P \\ - \end{pmatrix} - \underbrace{ - \begin{pmatrix} - 0 & M \\ - K & 0 - \end{pmatrix} - }_{G} - \begin{pmatrix} - Q \\ - P \\ - \end{pmatrix} -\end{equation} - - -Wir intressieren uns nun dafür wie der Phasenwinkel $U = PQ^{-1}$ von der Zeit abhängt, -wir suchen also die Grösse $\Theta = \dt U$. - -Ersetzten wir in der Gleichung \ref{kra:hamilton:multispringmass} die Matrix $G$ mit $\tilde{G}$ so erhalten wir -\begin{equation} - \dt - \begin{pmatrix} - Q \\ - P - \end{pmatrix} - = - \underbrace{ - \begin{pmatrix} - A & B \\ - C & D - \end{pmatrix} - }_{\tilde{G}} - \begin{pmatrix} - Q \\ - P - \end{pmatrix} -\end{equation} - -Mit einsetzten folgt - -\begin{align*} - \dot{Q} = AQ + BP \\ - \dot{P} = CQ + DP -\end{align*} -\begin{equation} - \begin{split} - \dt U &= \dot{P} Q^{-1} + P \dt Q^{-1} \\ - &= (CQ + DP) Q^{-1} - P (Q^{-1} \dot{Q} Q^{-1}) \\ - &= C\underbrace{QQ^{-1}}_\text{I} + D\underbrace{PQ^{-1}}_\text{U} - P(Q^{-1} (AQ + BP) Q^{-1}) \\ - &= C + DU - \underbrace{PQ^{-1}}_\text{U}(A\underbrace{QQ^{-1}}_\text{I} + B\underbrace{PQ^{-1}}_\text{U}) \\ - &= C + DU - UA - UBU - \end{split} -\end{equation} - -was uns auf die zeitkontinuierliche Matrix-Riccati-Gleichung führt. - diff --git a/buch/papers/kra/loesung.tex b/buch/papers/kra/loesung.tex new file mode 100644 index 0000000..ece0f15 --- /dev/null +++ b/buch/papers/kra/loesung.tex @@ -0,0 +1,47 @@ +\section{Lösungsmethoden} \label{kra:section:loesung} +\rhead{Lösungsmethoden} +% @TODO Lösung normal riccati +Lösung der Riccatischen Differentialgleichung \ref{kra:riccati}. + + +% Lösung matrix riccati +Die Lösung der Matrix-Riccati Gleichung \ref{kra:matrixriccati} erhalten wir nach \cite{kra:kalmanisae} folgendermassen +\begin{equation} + \label{kra:matrixriccati-solution} + \begin{pmatrix} + X(t) \\ + Y(t) + \end{pmatrix} + = + \Phi(t_0, t) + \begin{pmatrix} + I(t) \\ + U_0(t) + \end{pmatrix} + = + \begin{pmatrix} + \Phi_{11}(t_0, t) & \Phi_{12}(t_0, t) \\ + \Phi_{21}(t_0, t) & \Phi_{22}(t_0, t) + \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} + I(t) \\ + U_0(t) + \end{pmatrix} +\end{equation} + +\begin{equation} + U(t) = + \begin{pmatrix} + \Phi_{21}(t_0, t) + \Phi_{22}(t_0, t) + \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} + \Phi_{11}(t_0, t) + \Phi_{12}(t_0, t) + \end{pmatrix} + ^{-1} +\end{equation} + +wobei $\Phi(t, t_0)$ die sogennante Zustandsübergangsmatrix ist. + +\begin{equation} + \Phi(t_0, t) = e^{H(t - t_0)} +\end{equation} diff --git a/buch/papers/kra/main.tex b/buch/papers/kra/main.tex index 456b6ee..a84ebaf 100644 --- a/buch/papers/kra/main.tex +++ b/buch/papers/kra/main.tex @@ -3,12 +3,12 @@ % % (c) 2020 Hochschule Rapperswil % -\chapter{Kalman, Riccati und Abel\label{chapter:kra}} -\lhead{Kalman, Riccati und Abel} +\chapter{Riccati Differentialgleichung\label{chapter:kra}} +\lhead{Riccati Differentialgleichung} \begin{refsection} \chapterauthor{Samuel Niederer} - \input{papers/kra/hamilton.tex} - \newpage - \input{papers/kra/riccati.tex} + \input{papers/kra/einleitung.tex} + \input{papers/kra/loesung.tex} + \input{papers/kra/anwendung.tex} \printbibliography[heading=subbibliography] \end{refsection} diff --git a/buch/papers/kra/riccati.tex b/buch/papers/kra/riccati.tex deleted file mode 100644 index df2921d..0000000 --- a/buch/papers/kra/riccati.tex +++ /dev/null @@ -1,93 +0,0 @@ -\section{Riccati - \label{kra:section:riccati}} -\rhead{Riccati} - -\begin{equation} - y'(x) = f(x)y^2(x) + g(x)y(x) + h(x) -\end{equation} -% einfache (normale riccati gleichung und ihre loesung) -% (kann man diese bei einfachem federmasse system benutzten?) -% matrix riccati gleichung - - -Die zeitkontinuierliche Riccati-Matrix-Gleichung hat die Form -\begin{equation} - \label{kra:riccati:riccatiequation} - \dot{U(t)} = DU(t) - UA(t) - U(t)BU(t) -\end{equation} - -Betrachten wir das Differentialgleichungssystem \ref{kra:riccati:derivation} - -\begin{equation} - \label{kra:riccati:derivation} - \dt - \begin{pmatrix} - X \\ - Y - \end{pmatrix} - = - \underbrace{ - \begin{pmatrix} - A & B \\ - C & D - \end{pmatrix} - }_{H} - \begin{pmatrix} - X \\ - Y - \end{pmatrix} -\end{equation} - -interessieren wir uns für die zeitliche Änderung der Grösse $U = YX^{-1}$, so erhalten wir durch einsetzten - -\begin{align*} - \dt U & = \dot{Y} X^{-1} + Y \dt X^{-1} \\ - & = (CX + DY) X^{-1} - Y (X^{-1} \dot{X} X^{-1}) \\ - & = C\underbrace{XX^{-1}}_\text{I} + D\underbrace{YX^{-1}}_\text{U} - Y(X^{-1} (AX + BY) X^{-1}) \\ - & = C + DU - \underbrace{YX^{-1}}_\text{U}(A\underbrace{XX^{-1}}_\text{I} + B\underbrace{YX^{-1}}_\text{U}) \\ - & = C + DU - UA - UBU -\end{align*} - -was uns auf die Riccati-Matrix-Gleichung \ref{kra:riccati:riccatiequation} führt. -Die Lösung dieser Gleichung erhalten wir nach \cite{kra:kalmanisae} folgendermassen -\begin{equation} - \begin{pmatrix} - X(t) \\ - Y(t) - \end{pmatrix} - = - \Phi(t_0, t) - \begin{pmatrix} - I(t) \\ - U_0(t) - \end{pmatrix} - = - \begin{pmatrix} - \Phi_{11}(t_0, t) & \Phi_{12}(t_0, t) \\ - \Phi_{21}(t_0, t) & \Phi_{22}(t_0, t) - \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} - I(t) \\ - U_0(t) - \end{pmatrix} -\end{equation} - -\begin{equation} - U(t) = - \begin{pmatrix} - \Phi_{21}(t_0, t) + \Phi_{22}(t_0, t) - \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} - \Phi_{11}(t_0, t) + \Phi_{12}(t_0, t) - \end{pmatrix} - ^{-1} -\end{equation} - -wobei $\Phi(t, t_0)$ die sogennante Zustandsübergangsmatrix ist. - -\begin{equation} - \Phi(t_0, t) = e^{H(t - t_0)} -\end{equation} - - - -- cgit v1.2.1