From 429329b73e6f33c2e1f5cf23178095311e10bd5a Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: "samuel.niederer" <samuel.niederer@hotmail.com>
Date: Mon, 15 Aug 2022 21:48:22 +0200
Subject: use latex style arrows
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index f255cc8..f31db4c 100644
--- a/buch/papers/kra/images/multi_mass_spring.tex
+++ b/buch/papers/kra/images/multi_mass_spring.tex
@@ -5,7 +5,7 @@
\tikzstyle{mass}=[line width=0.6,red!30!black,fill=red!40!black!10,rounded corners=1,top color=red!40!black!20,bottom color=red!40!black!10,shading angle=20]
\tikzstyle{spring}=[line width=0.8,blue!7!black!80,snake=coil,segment amplitude=5,line cap=round]
-\begin{tikzpicture}[scale=2]
+\begin{tikzpicture}[scale=2, >=latex]
\newcommand{\ticks}[3]
{
% x, y coordinates
--
cgit v1.2.1
From 3c5d4fdb477d6a8e13c798ec2637cb08bbd21033 Mon Sep 17 00:00:00 2001
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Date: Mon, 15 Aug 2022 22:15:54 +0200
Subject: use latex style arrow
---
buch/papers/kra/images/phase_space.tex | 2 +-
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(limited to 'buch/papers/kra')
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index cd51ea4..be445ca 100644
--- a/buch/papers/kra/images/phase_space.tex
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@@ -8,7 +8,7 @@
}
}
-\begin{tikzpicture}[scale=0.6]
+\begin{tikzpicture}[scale=0.6, >=latex]
% p(t=0) = 0, q(t=0) = A, max(p) = mwA
\tikzmath{
\axh = 5.2;
--
cgit v1.2.1
From 8f4f84434acdf37f425df36902e1f0f9be137cc9 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: "samuel.niederer" <samuel.niederer@hotmail.com>
Date: Fri, 19 Aug 2022 21:55:57 +0200
Subject: correct cite order
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buch/papers/kra/einleitung.tex | 2 +-
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--- a/buch/papers/kra/einleitung.tex
+++ b/buch/papers/kra/einleitung.tex
@@ -11,4 +11,4 @@ Als Riccati Gleichung werden auch Matrixgleichungen der Form
\label{kra:equation:matrixriccati}
\dot{X}(t) = C + DX(t) - X(t)A -X(t)BX(t)
\end{equation}
-bezeichnet, welche aufgrund ihres quadratischen Terms eine gewisse Ähnlichkeit aufweisen \cite{kra:ethz} \cite{kra:riccati}.
+bezeichnet, welche aufgrund ihres quadratischen Terms eine gewisse Ähnlichkeit aufweisen \cite{kra:riccati} \cite{kra:ethz}.
--
cgit v1.2.1
From 51b817632fbd9633efeba81e7f457a70f74248cd Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: "samuel.niederer" <samuel.niederer@hotmail.com>
Date: Fri, 19 Aug 2022 21:56:35 +0200
Subject: correct typographic errors
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buch/papers/kra/anwendung.tex | 76 +++++++++++++++++++++++--------------------
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(limited to 'buch/papers/kra')
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index 6383984..6390d4f 100644
--- a/buch/papers/kra/anwendung.tex
+++ b/buch/papers/kra/anwendung.tex
@@ -2,23 +2,24 @@
\rhead{Anwendung}
\newcommand{\dt}[0]{\frac{d}{dt}}
-Die Matrix-Riccati Differentialgleichung findet unter anderem Anwendung in der Regelungstechnik beim RQ- und RQG-Regler oder aber auch beim Kalmanfilter.
-Im folgenden Abschnitt möchten wir uns an einem Beispiel anschauen wie wir mit Hilfe der Matrix-Riccati Differentialgleichung (\ref{kra:equation:matrixriccati}) ein Feder-Masse-System untersuchen können \cite{kra:riccati}.
+Die Matrix-Riccati Differentialgleichung findet unter anderem Anwendung in der Regelungstechnik beim RQ- und RQG-Regler oder aber auch beim Kalman-Filter.
+Im folgenden Abschnitt möchten wir uns an einem Beispiel anschauen wie wir mit Hilfe der Matrix-Riccati-Differentialgleichung (\ref{kra:equation:matrixriccati}) ein Feder-Masse-System untersuchen können \cite{kra:riccati}.
\subsection{Feder-Masse-System}
-Die einfachste Form eines Feder-Masse-Systems ist dargestellt in Abbildung \ref{kra:fig:simple_mass_spring}.
-Es besteht aus einer reibungsfrei gelagerten Masse $m$ ,welche an eine Feder mit der Federkonstante $k$ gekoppelt ist.
+Die einfachste Form eines Feder-Masse-Systems ist dargestellt in Abbildung~\ref{kra:fig:simple_mass_spring}.
+Es besteht aus einer reibungsfrei gelagerten Masse $m$, welche an eine Feder mit der Federkonstante $k$ gekoppelt ist.
Die im System wirkenden Kräfte teilen sich auf in die auf dem hookeschen Gesetz basierenden Rückstellkraft $F_R = k \Delta_x$ und der auf dem Aktionsprinzip basierenden Kraft $F_a = am = \ddot{x} m$.
Das Kräftegleichgewicht fordert $F_R = F_a$ woraus folgt, dass
\begin{equation*}
- k \Delta_x = \ddot{x} m \Leftrightarrow \ddot{x} = \frac{k \Delta_x}{m}
+ k \Delta_x = \ddot{x} m \Leftrightarrow \ddot{x} = \frac{k \Delta_x}{m}.
\end{equation*}
Die Funktion die diese Differentialgleichung löst, ist die harmonische Schwingung
\begin{equation}
- x(t) = A \cos(\omega_0 t + \Phi), \quad \omega_0 = \sqrt{\frac{k}{m}}
+ x(t) = A \cos(\omega_0 t + \varphi), \quad \omega_0 = \sqrt{\frac{k}{m}}.
\end{equation}
\begin{figure}
+ \centering
% move image to standalone because the physics package is
% incompatible with underbrace
\includegraphics{papers/kra/images/simple.pdf}
@@ -27,6 +28,7 @@ Die Funktion die diese Differentialgleichung löst, ist die harmonische Schwingu
\label{kra:fig:simple_mass_spring}
\end{figure}
\begin{figure}
+ \centering
\input{papers/kra/images/multi_mass_spring.tex}
\caption{Feder-Masse-System mit zwei Massen und drei Federn.}
\label{kra:fig:multi_mass_spring}
@@ -36,29 +38,29 @@ Die Funktion die diese Differentialgleichung löst, ist die harmonische Schwingu
Die Bewegung der Masse $m$ kann mit Hilfe der hamiltonschen Mechanik im Phasenraum untersucht werden.
Die hamiltonschen Gleichungen verwenden dafür die verallgemeinerten Ortskoordinaten
$q = (q_{1}, q_{2}, ..., q_{n})$ und die verallgemeinerten Impulskoordinaten $p = (p_{1}, p_{2}, ..., p_{n})$, wobei der Impuls definiert ist als $p_k = m_k \cdot v_k$.
-Liegen keine zeitabhängigen Zwangsbedingungen vor, so entspricht die Hamitlon-Funktion der Gesamtenergie des Systems \cite{kra:hamilton}.
+Liegen keine zeitabhängigen Zwangsbedingungen vor, so entspricht die Hamilton-Funktion der Gesamtenergie des Systems \cite{kra:hamilton}.
Im Falle des einfachen Feder-Masse-Systems, Abbildung \ref{kra:fig:simple_mass_spring}, setzt sich die Hamilton-Funktion aus kinetischer und potentieller Energie zusammen.
\begin{equation}
- \label{kra:harmonischer_oszillator}
+ \label{kra:equation:harmonischer_oszillator}
\begin{split}
- \mathcal{H}(q, p) &= T(p) + V(q) = E \\
- &= \underbrace{\frac{p^2}{2m}}_{E_{kin}} + \underbrace{\frac{k q^2}{2}}_{E_{pot}}
+ H(q, p) &= T(p) + V(q) = E \\
+ &= \underbrace{\frac{p^2}{2m}}_{\displaystyle{E_{kin}}} + \underbrace{\frac{k q^2}{2}}_{\displaystyle{E_{pot}}}
\end{split}
\end{equation}
Die Hamiltonschen Bewegungsgleichungen liefern \cite{kra:kanonischegleichungen}
\begin{equation}
- \label{kra:hamilton:bewegungsgleichung}
- \dot{q_{k}} = \frac{\partial \mathcal{H}}{\partial p_k}
+ \label{kra:equation:bewegungsgleichung}
+ \dot{q_{k}} = \frac{\partial H}{\partial p_k}
\qquad
- \dot{p_{k}} = -\frac{\partial \mathcal{H}}{\partial q_k}
+ \dot{p_{k}} = -\frac{\partial H}{\partial q_k},
\end{equation}
daraus folgt
\[
\dot{q} = \frac{p}{m}
\qquad
- \dot{p} = -kq
+ \dot{p} = -kq.
\]
-in Matrixschreibweise erhalten wir also
+In Matrixschreibweise erhalten wir also
\[
\begin{pmatrix}
\dot{q} \\
@@ -73,10 +75,11 @@ in Matrixschreibweise erhalten wir also
q \\
p
\end{pmatrix}
+ .
\]
Für das erweiterte Federmassesystem, Abbildung \ref{kra:fig:multi_mass_spring}, können wir analog vorgehen.
Die kinetische Energie setzt sich nun aus den kinetischen Energien der einzelnen Massen $m_1$ und $m_2$ zusammen.
-Die Potentielle Energie erhalten wir aus der Summe der kinetischen Energien der einzelnen Federn mit den Federkonstanten $k_1$, $k_c$ und $k_2$.
+Die potentielle Energie erhalten wir aus der Summe der kinetischen Energien der einzelnen Federn mit den Federkonstanten $k_1$, $k_c$ und $k_2$.
\begin{align*}
\begin{split}
T &= T_1 + T_2 \\
@@ -85,19 +88,19 @@ Die Potentielle Energie erhalten wir aus der Summe der kinetischen Energien der
\\
\begin{split}
V &= V_1 + V_c + V_2 \\
- &= \frac{k_1 q_1^2}{2} + \frac{k_c (q_2 - q_1)^2}{2} + \frac{k_2 q_2^2}{2}
+ &= \frac{k_1 q_1^2}{2} + \frac{k_c (q_2 - q_1)^2}{2} + \frac{k_2 q_2^2}{2}.
\end{split}
\end{align*}
Die Hamilton-Funktion ist also
\begin{align*}
\begin{split}
- \mathcal{H} &= T + V \\
- &= \frac{p_1^2}{2m_1} + \frac{p_2^2}{2m_2} + \frac{k_1 q_1^2}{2} + \frac{k_c (q_2 - q_1)^2}{2} + \frac{k_2 q_2^2}{2}
+ H &= T + V \\
+ &= \frac{p_1^2}{2m_1} + \frac{p_2^2}{2m_2} + \frac{k_1 q_1^2}{2} + \frac{k_c (q_2 - q_1)^2}{2} + \frac{k_2 q_2^2}{2}
\end{split}
\end{align*}
-Die Bewegungsgleichungen \ref{kra:hamilton:bewegungsgleichung} liefern
+Die Bewegungsgleichungen \eqref{kra:equation:bewegungsgleichung} liefern
\begin{align*}
- \frac{\partial \mathcal{H}}{\partial p_k} & = \dot{q_k}
+ \frac{\partial H}{\partial p_k} & = \dot{q_k}
\Rightarrow
\left\{
\begin{alignedat}{2}
@@ -106,18 +109,18 @@ Die Bewegungsgleichungen \ref{kra:hamilton:bewegungsgleichung} liefern
\end{alignedat}
\right.
\\
- -\frac{\partial \mathcal{H}}{\partial q_k} & = \dot{p_k}
+ -\frac{\partial H}{\partial q_k} & = \dot{p_k}
\Rightarrow
\left\{
\begin{alignedat}{2}
\dot{p_1} &= -(\frac{2k_1q_1}{2} - \frac{2k_c(q_2-q_1)}{2}) &&= -q_1(k_1+k_c) + q_2k_c \\
- \dot{p_1} &= -(\frac{2k_c(q_2-q_1)}{2} - \frac{2k_2q_2}{2}) &&= q_1k_c - (k_c + k_2)
+ \dot{p_1} &= -(\frac{2k_c(q_2-q_1)}{2} - \frac{2k_2q_2}{2}) &&= q_1k_c - (k_c + k_2).
\end{alignedat}
\right.
\end{align*}
In Matrixschreibweise erhalten wir
\begin{equation}
- \label{kra:hamilton:multispringmass}
+ \label{kra:equation:hamilton-multispringmass}
\begin{pmatrix}
\dot{q_1} \\
\dot{q_2} \\
@@ -153,7 +156,7 @@ In Matrixschreibweise erhalten wir
\begin{pmatrix}
Q \\
P \\
- \end{pmatrix}
+ \end{pmatrix}.
\end{equation}
\subsection{Phasenraum}
@@ -161,22 +164,23 @@ Der Phasenraum erlaubt die eindeutige Beschreibung aller möglichen Bewegungszus
Die Phasenraumdarstellung eignet sich somit sehr gut für die systematische Untersuchung der Feder-Masse-Systeme.
\subsubsection{Harmonischer Oszillator}
-Die Hamiltonfunktion des harmonischen Oszillators \ref{kra:harmonischer_oszillator} führt auf eine Lösung der Form
+Die Hamiltonfunktion des harmonischen Oszillators \eqref{kra:equation:harmonischer_oszillator} führt auf eine Lösung der Form
\begin{equation*}
- q(t) = A \cos(\omega_0 T + \Phi), \quad p(t) = -m \omega_0 A \sin(\omega_0 t + \Phi)
+ q(t) = A \cos(\omega_0 T + \Phi), \quad p(t) = -m \omega_0 A \sin(\omega_0 t + \Phi),
\end{equation*}
die Phasenraumtrajektorien bilden also Ellipsen mit Zentrum $q=0, p=0$ und Halbachsen $A$ und $m \omega A$.
-Abbildung \ref{kra:fig:phasenraum} zeigt Phasenraumtrajektorien mit den Energien $E_{x \in \{A, B, C, D\}}$ und verschiedenen Werten von $\omega$.
+Abbildung~\ref{kra:fig:phasenraum} zeigt Phasenraumtrajektorien mit den Energien $E_{x \in \{A, B, C, D\}}$ und verschiedenen Werten von $\omega$.
\begin{figure}
+ \centering
\input{papers/kra/images/phase_space.tex}
\caption{Phasenraumdarstellung des einfachen Feder-Masse-Systems.}
\label{kra:fig:phasenraum}
\end{figure}
\subsubsection{Erweitertes Feder-Masse-System}
-Wir intressieren uns nun dafür wie der Phasenwinkel $U = PQ^{-1}$ von der Zeit abhängt,
+Wir interessieren uns nun dafür, wie der Phasenwinkel $U = PQ^{-1}$ von der Zeit abhängt,
wir suchen also die Grösse $\Theta = \dt U$.
-Ersetzten wir in der Gleichung \ref{kra:hamilton:multispringmass} die Matrix $G$ mit $\tilde{G}$ so erhalten wir
+Ersetzten wir in der Gleichung \eqref{kra:equation:hamilton-multispringmass} die Matrix $G$ mit $\tilde{G}$ so erhalten wir
\begin{equation}
\dt
\begin{pmatrix}
@@ -189,13 +193,13 @@ Ersetzten wir in der Gleichung \ref{kra:hamilton:multispringmass} die Matrix $G$
A & B \\
C & D
\end{pmatrix}
- }_{\tilde{G}}
+ }_{\displaystyle{\tilde{G}}}
\begin{pmatrix}
Q \\
P
- \end{pmatrix}
+ \end{pmatrix}.
\end{equation}
-Mit einsetzten folgt
+Ausgeschrieben folgt
\begin{align*}
\dot{Q} = AQ + BP \\
\dot{P} = CQ + DP
@@ -204,12 +208,12 @@ Mit einsetzten folgt
\begin{split}
\dt U &= \dot{P} Q^{-1} + P \dt Q^{-1} \\
&= (CQ + DP) Q^{-1} - P (Q^{-1} \dot{Q} Q^{-1}) \\
- &= C\underbrace{QQ^{-1}}_\text{I} + D\underbrace{PQ^{-1}}_\text{U} - P(Q^{-1} (AQ + BP) Q^{-1}) \\
- &= C + DU - \underbrace{PQ^{-1}}_\text{U}(A\underbrace{QQ^{-1}}_\text{I} + B\underbrace{PQ^{-1}}_\text{U}) \\
+ &= C\underbrace{QQ^{-1}}_\text{$I$} + D\underbrace{PQ^{-1}}_\text{$U$} - P(Q^{-1} (AQ + BP) Q^{-1}) \\
+ &= C + DU - \underbrace{PQ^{-1}}_\text{$U$}(A\underbrace{QQ^{-1}}_\text{$I$} + B\underbrace{PQ^{-1}}_\text{$U$}) \\
&= C + DU - UA - UBU
\end{split}
\end{equation}
-was uns auf die Matrix-Riccati Gleichung \ref{kra:equation:matrixriccati} führt.
+was uns auf die Matrix-Riccati Gleichung \eqref{kra:equation:matrixriccati} führt.
% @TODO Einfluss auf anfangsbedingungen, plots?
% @TODO Fazit ?
--
cgit v1.2.1
From f4d8100eff505891e91729ce314d6cfd5dfcbadf Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: "samuel.niederer" <samuel.niederer@hotmail.com>
Date: Fri, 19 Aug 2022 21:57:08 +0200
Subject: apply corrections
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buch/papers/kra/loesung.tex | 31 +++++++++++++++++--------------
1 file changed, 17 insertions(+), 14 deletions(-)
(limited to 'buch/papers/kra')
diff --git a/buch/papers/kra/loesung.tex b/buch/papers/kra/loesung.tex
index 4e0da1c..dbbb7f6 100644
--- a/buch/papers/kra/loesung.tex
+++ b/buch/papers/kra/loesung.tex
@@ -7,47 +7,50 @@ Es gibt aber Spezialfälle, in denen sich die Gleichung vereinfachen lässt und
Diese wollen wir im folgenden Abschnitt genauer anschauen.
\subsubsection{Fall 1: Konstante Koeffizienten}
-Sind die Koeffizienten $f(x), g(x), h(x)$ Konstanten, so lässt sich die DGL separieren und reduziert sich auf die Lösung des Integrals \ref{kra:equation:case1_int}.
+Im Fall von konstanten Koeffizienten $f(x), g(x), h(x)$, wird die Gleichung \eqref{kra:equation:riccati} zu
\begin{equation}
- y' = fy^2 + gy + h
+ y' = fy^2 + gy + h.
\end{equation}
+Durch Ausschreiben des Differentialquotienten
\begin{equation}
\frac{dy}{dx} = fy^2 + gy + h
\end{equation}
+erkennt man, dass die DGL separierbar ist. Die Lösung findet man nun durch die Berechnung des Integrals
\begin{equation} \label{kra:equation:case1_int}
- \int \frac{dy}{fy^2 + gy + h} = \int dx
+ \int \frac{dy}{fy^2 + gy + h} = \int dx.
\end{equation}
\subsubsection{Fall 2: Bekannte spezielle Lösung}
-Kennt man eine spezielle Lösung $y_p$ so kann die riccatische DGL mit Hilfe einer Substitution auf eine lineare Gleichung reduziert werden.
+Kennt man eine spezielle Lösung $y_p$, so kann die riccatische DGL mit Hilfe einer Substitution auf eine lineare Gleichung reduziert werden.
Wir wählen als Substitution
\begin{equation} \label{kra:equation:substitution}
- z = \frac{1}{y - y_p}
+ z = \frac{1}{y - y_p},
\end{equation}
-durch Umstellen von \ref{kra:equation:substitution} folgt
+durch Umstellen von \eqref{kra:equation:substitution} folgt
\begin{equation}
y = y_p + \frac{1}{z^2} \label{kra:equation:backsubstitution}
\end{equation}
\begin{equation}
- y' = y_p' - \frac{1}{z^2}z'
+ y' = y_p' - \frac{1}{z^2}z',
\end{equation}
-mit Einsetzten in die DGL \ref{kra:equation:riccati} folgt
+mit Einsetzten in die DGL \eqref{kra:equation:riccati} resultiert
\begin{equation}
y_p' - \frac{1}{z^2}z' = f(x)(y_p + \frac{1}{z}) + g(x)(y_p + \frac{1}{z})^2 + h(x)
\end{equation}
\begin{equation}
- -z^{2}y_p' + z' = -z^2\underbrace{(y_{p}f(x) + g(x)y_p^2 + h(x))}_{y_p'} - z(f(x) + 2y_{p}g(x)) - g(x)
+ -z^{2}y_p' + z' = -z^2\underbrace{(y_{p}f(x) + g(x)y_p^2 + h(x))}_{\displaystyle{y_p'}} - z(f(x) + 2y_{p}g(x)) - g(x)
\end{equation}
-was uns direkt auf eine lineare Differentialgleichung 1.Ordnung führt.
+was uns direkt auf die lineare Differentialgleichung 1. Ordnung
\begin{equation}
z' = -z(f(x) + 2y_{p}g(x)) - g(x)
\end{equation}
-Diese kann nun mit den Methoden zur Lösung von linearen Differentialgleichungen 1.Ordnung gelöst werden.
-Durch die Rücksubstitution \ref{kra:equation:backsubstitution} erhält man dann die Lösung von \ref{kra:equation:riccati}.
+führt.
+Diese kann nun mit den Methoden zur Lösung von linearen Differentialgleichungen 1. Ordnung gelöst werden.
+Durch die Rücksubstitution \eqref{kra:equation:backsubstitution} erhält man dann die Lösung von \eqref{kra:equation:riccati}.
-\subsection{Matrix-Riccati Differentialgleichung} \label{kra:loesung:riccati}
+\subsection{Matrix-Riccati-Differentialgleichung} \label{kra:loesung:riccati}
% Lösung matrix riccati
-Die Lösung der Matrix-Riccati Gleichung \ref{kra:equation:matrixriccati} erhalten wir nach \cite{kra:kalmanisae} folgendermassen
+Die Lösung der Matrix-Riccati-Gleichung \ref{kra:equation:matrixriccati} erhalten wir nach \cite{kra:kalmanisae} folgendermassen
\begin{equation}
\label{kra:matrixriccati-solution}
\begin{pmatrix}
--
cgit v1.2.1
From 4d49e23d6382999ed696c403c46a6b8290ca2f72 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: "samuel.niederer" <samuel.niederer@hotmail.com>
Date: Wed, 24 Aug 2022 21:52:46 +0200
Subject: einarbeitung der Korrekturen
---
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2 files changed, 48 insertions(+), 14 deletions(-)
(limited to 'buch/papers/kra')
diff --git a/buch/papers/kra/anwendung.tex b/buch/papers/kra/anwendung.tex
index 6390d4f..704de43 100644
--- a/buch/papers/kra/anwendung.tex
+++ b/buch/papers/kra/anwendung.tex
@@ -6,6 +6,7 @@ Die Matrix-Riccati Differentialgleichung findet unter anderem Anwendung in der R
Im folgenden Abschnitt möchten wir uns an einem Beispiel anschauen wie wir mit Hilfe der Matrix-Riccati-Differentialgleichung (\ref{kra:equation:matrixriccati}) ein Feder-Masse-System untersuchen können \cite{kra:riccati}.
\subsection{Feder-Masse-System}
+\label{kra:subsection:feder-masse-system}
Die einfachste Form eines Feder-Masse-Systems ist dargestellt in Abbildung~\ref{kra:fig:simple_mass_spring}.
Es besteht aus einer reibungsfrei gelagerten Masse $m$, welche an eine Feder mit der Federkonstante $k$ gekoppelt ist.
Die im System wirkenden Kräfte teilen sich auf in die auf dem hookeschen Gesetz basierenden Rückstellkraft $F_R = k \Delta_x$ und der auf dem Aktionsprinzip basierenden Kraft $F_a = am = \ddot{x} m$.
@@ -35,6 +36,7 @@ Die Funktion die diese Differentialgleichung löst, ist die harmonische Schwingu
\end{figure}
\subsection{Hamilton-Funktion}
+\label{kra:subsection:hamilton-funktion}
Die Bewegung der Masse $m$ kann mit Hilfe der hamiltonschen Mechanik im Phasenraum untersucht werden.
Die hamiltonschen Gleichungen verwenden dafür die verallgemeinerten Ortskoordinaten
$q = (q_{1}, q_{2}, ..., q_{n})$ und die verallgemeinerten Impulskoordinaten $p = (p_{1}, p_{2}, ..., p_{n})$, wobei der Impuls definiert ist als $p_k = m_k \cdot v_k$.
@@ -95,7 +97,7 @@ Die Hamilton-Funktion ist also
\begin{align*}
\begin{split}
H &= T + V \\
- &= \frac{p_1^2}{2m_1} + \frac{p_2^2}{2m_2} + \frac{k_1 q_1^2}{2} + \frac{k_c (q_2 - q_1)^2}{2} + \frac{k_2 q_2^2}{2}
+ &= \frac{p_1^2}{2m_1} + \frac{p_2^2}{2m_2} + \frac{k_1 q_1^2}{2} + \frac{k_c (q_2 - q_1)^2}{2} + \frac{k_2 q_2^2}{2}
\end{split}
\end{align*}
Die Bewegungsgleichungen \eqref{kra:equation:bewegungsgleichung} liefern
@@ -160,7 +162,14 @@ In Matrixschreibweise erhalten wir
\end{equation}
\subsection{Phasenraum}
-Der Phasenraum erlaubt die eindeutige Beschreibung aller möglichen Bewegungszustände eines mechanischen Systems durch einen Punkt.
+\subsubsection{Motivation}
+Die Beschreibung eines klassischen physikalischen Systems führt in der Newtonschen-Mechanik, wie wir in \ref{kra:subsection:feder-masse-system} gesehen haben, auf eine DGL 2. Ordung der Dimension $n$.
+Zur Betrachung des Systems verwenden wir dabei den Konfigurationsraum, ein Raum $\mathbb{R}^n$, bei dem ein einziger Punkt die Position aller $n$ Teilchen festlegt.
+Der Nachteil des Konfigurationsraums ist dabei, dass dieser nur die Positionen der Teilchen widerspiegelt.
+Um den Zustand eines Systems vollständig zu beschreiben, muss man aber nicht nur wissen wo sich die Teilchen zu einem bestimmten Zeitpunkt befinden, sondern auch wie sie sich bewegen.
+
+Im Gegensatz dazu führt die Beschreibung des Systems mit Hilfe der Hamilton-Mechanik \ref{kra:subsection:hamilton-funktion}, auf eine DGL 1. Ordnung der Dimension $2n$.
+Die Betrachtung erfolgt im einem Raum $\mathbb{R}^{2n}$, bei dem ein einzelner Punkt den Bewegungszustand vollständig beschreibt, dem sogennanten Phasenraum.
Die Phasenraumdarstellung eignet sich somit sehr gut für die systematische Untersuchung der Feder-Masse-Systeme.
\subsubsection{Harmonischer Oszillator}
@@ -205,6 +214,7 @@ Ausgeschrieben folgt
\dot{P} = CQ + DP
\end{align*}
\begin{equation}
+ \label{kra:equation:feder-masse-riccati-matrix}
\begin{split}
\dt U &= \dot{P} Q^{-1} + P \dt Q^{-1} \\
&= (CQ + DP) Q^{-1} - P (Q^{-1} \dot{Q} Q^{-1}) \\
@@ -213,7 +223,9 @@ Ausgeschrieben folgt
&= C + DU - UA - UBU
\end{split}
\end{equation}
-was uns auf die Matrix-Riccati Gleichung \eqref{kra:equation:matrixriccati} führt.
+was uns direkt auf die Matrix-Riccati Gleichung \eqref{kra:equation:matrixriccati} führt.
+Wir sehen das sich die Dimension der DGL reduziert, dabei aber gleichzeitig der Grad erhöht.
-% @TODO Einfluss auf anfangsbedingungen, plots?
-% @TODO Fazit ?
+\subsection{Fazit}
+Wir haben gezeigt wie wir ein Federmassesystem mit Hilfe der Hamilton-Funktion Beschreiben und im Phasenraum untersuchen können.
+Ausserdem haben wir gesehen, dass sich bei der Entstehung der Riccati-Gleichung \eqref{kra:equation:feder-masse-riccati-matrix} die Dimension auf Kosten des Grades reduziert wird.
\ No newline at end of file
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index dbbb7f6..18ac853 100644
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@@ -49,8 +49,33 @@ Diese kann nun mit den Methoden zur Lösung von linearen Differentialgleichungen
Durch die Rücksubstitution \eqref{kra:equation:backsubstitution} erhält man dann die Lösung von \eqref{kra:equation:riccati}.
\subsection{Matrix-Riccati-Differentialgleichung} \label{kra:loesung:riccati}
-% Lösung matrix riccati
-Die Lösung der Matrix-Riccati-Gleichung \ref{kra:equation:matrixriccati} erhalten wir nach \cite{kra:kalmanisae} folgendermassen
+Im Folgenden wollen wir uns anschauen wie die Matrix-Riccati-DGL entsteht und wie sie gelöst werden kann.
+Der Ausgangspunkt bildet die Matrix-Differentialgleichung
+\begin{equation}
+ \label{kra:equation:matrix-dgl}
+ \begin{pmatrix}
+ \dot{X}(t) \\
+ \dot{Y}(t)
+ \end{pmatrix}
+ =
+ \underbrace{
+ \begin{pmatrix}
+ A & B \\
+ C & D
+ \end{pmatrix}
+ }_{\displaystyle{H}},
+\end{equation}
+mit den allgemeinen quadratischen Matrizen $A, B, C$ und $D$ welche zusammen die sogennante Hamilonsche-Matrix bilden.
+Betrachten wir das Verhältniss von $Y$ zu $X$
+\[
+ P(t) = Y(t)X^{-1}
+\]
+und deren Ableitung $\dot{P}(t)$, so erhalten wir die Riccati-Matrix-DGL
+\[
+ \dot{P}(t) = C + DU - UA - UBU.
+\]
+
+Die Lösung erhalten wir dann mit
\begin{equation}
\label{kra:matrixriccati-solution}
\begin{pmatrix}
@@ -61,7 +86,7 @@ Die Lösung der Matrix-Riccati-Gleichung \ref{kra:equation:matrixriccati} erhalt
\Phi(t_0, t)
\begin{pmatrix}
I(t) \\
- U_0(t)
+ P_0(t)
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
@@ -70,11 +95,11 @@ Die Lösung der Matrix-Riccati-Gleichung \ref{kra:equation:matrixriccati} erhalt
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
I(t) \\
- U_0(t)
+ P_0(t)
\end{pmatrix}
\end{equation}
\begin{equation}
- U(t) =
+ P(t) =
\begin{pmatrix}
\Phi_{21}(t_0, t) + \Phi_{22}(t_0, t)
\end{pmatrix}
@@ -83,7 +108,4 @@ Die Lösung der Matrix-Riccati-Gleichung \ref{kra:equation:matrixriccati} erhalt
\end{pmatrix}
^{-1}
\end{equation}
-wobei $\Phi(t, t_0)$ die sogenannte Zustandsübergangsmatrix ist.
-\begin{equation}
- \Phi(t_0, t) = e^{H(t - t_0)}
-\end{equation}
+wobei $\Phi(t_0, t) = e^{H(t - t_0)}$ die sogenannte Zustandsübergangsmatrix von \eqref{kra:equation:matrix-dgl} ist \cite{kra:kalmanisae}.
--
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