From b492fb3ba89205b984c390a39cc9f57d4b2059fa Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: samuel niederer <samuel.niederer@ost.ch>
Date: Thu, 19 May 2022 18:00:01 +0200
Subject: add tick figure of simple mass system
---
buch/papers/kra/images/simple_mass_spring.tex | 64 +++++++++++++++++++++++++++
1 file changed, 64 insertions(+)
create mode 100644 buch/papers/kra/images/simple_mass_spring.tex
(limited to 'buch/papers/kra')
diff --git a/buch/papers/kra/images/simple_mass_spring.tex b/buch/papers/kra/images/simple_mass_spring.tex
new file mode 100644
index 0000000..e98ee3e
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/kra/images/simple_mass_spring.tex
@@ -0,0 +1,64 @@
+% create tikz drawing of a simple mass spring system
+
+\tikzstyle{hmline}=[{Latex[length=3.3,width=2.2]}-{Latex[length=3.3,width=2.2]},line width=0.3]
+\tikzstyle{vmline}=[red, dashed,line width=0.4,dash pattern=on 1pt off 1pt]
+\tikzstyle{ground}=[pattern=north east lines]
+\tikzstyle{mass}=[line width=0.6,red!30!black,fill=red!40!black!10,rounded corners=1,top color=red!40!black!20,bottom color=red!40!black!10,shading angle=20]
+\tikzstyle{spring}=[line width=0.8,blue!7!black!80,snake=coil,segment amplitude=5,line cap=round]
+
+\begin{tikzpicture}[scale=2]
+ \newcommand{\ticks}[2]
+ {
+ % arguments: x, y coordinates
+ \draw[thick] (#1, #2 - 0.1 / 2) --++ (0, 0.1);
+ }
+
+ \tikzmath{
+ \hWall = 1.5;
+ \wWall = 0.3;
+ \lWall = 3.5;
+ \hMass = 0.6;
+ \wMass = 1.1;
+ \xMass1 = 1.2;
+ \xMass2 = 2.2;
+ \xAxisYpos = 0;
+ \originX1 = 0;
+ \originY1 = 0.5;
+ \originX2 = 0;
+ \originY2 = -2;
+ \springscale=7;
+ }
+
+ % create x axis
+ \draw[->,thick] (0,\xAxisYpos) --+ (\lWall, 0) node[right]{$x$};
+
+ % create ticks on x axis
+ \ticks{\wWall}{\xAxisYpos}
+ \ticks{\xMass1}{\xAxisYpos}
+ \ticks{\xMass2}{\xAxisYpos}
+
+ % create underground
+ \draw[ground] (\originX1, \originY1) ++ (0, 0) --+(\lWall,0) --+(\lWall, \wWall) --+(\wWall, \wWall) --+(\wWall, \hWall) --+(0, \hWall) -- cycle;
+ \draw[ground] (\originX2, \originY2) ++ (0, 0) --+(\lWall,0) --+(\lWall, \wWall) --+(\wWall, \wWall) --+(\wWall, \hWall) --+(0, \hWall) -- cycle;
+
+ % create masses
+ \draw[mass] (\originX1, \originY1) ++ (\xMass1, \wWall) rectangle ++ (\wMass,\hMass) node[midway] {$m$};
+ \draw[mass] (\originX2, \originY2) ++ (\xMass2, \wWall) rectangle ++ (\wMass,\hMass) node[midway] {$m$};
+
+ % create springs
+ \draw[spring, segment length=(\xMass1 - \wWall) * \springscale] (\originX1, \originY1) ++ (\wWall, \wWall + \hMass / 2) --+ (\xMass1 - \wWall, 0);
+ \draw[spring, segment length=(\xMass2 - \wWall) * \springscale] (\originX2, \originY2) ++ (\wWall, \wWall + \hMass / 2) --+ (\xMass2 - \wWall, 0);
+
+ % create vertical measurement line
+ \draw[vmline] (\xMass1, \xAxisYpos) --+(0, \originY1 + \wWall);
+ \draw[vmline] (\xMass2, \xAxisYpos) --+(0, \originY2 + \hMass+\wWall);
+ \draw[vmline] (\wWall, \originY1+\wWall) --(\wWall, \originY2 + \hWall);
+
+ % create horizontal measurement line
+ \draw[hmline] (\wWall, \xAxisYpos + 0.2) -- (\xMass1, \xAxisYpos + 0.2) node[midway,fill=white,inner sep=0] {$\ell_0$};
+ \draw[hmline] (\xMass1, \xAxisYpos + 0.2) -- (\xMass2, \xAxisYpos + 0.2) node[midway,fill=white,inner sep=0] {$\Delta_{x}$};
+ \draw[hmline] (\wWall, \xAxisYpos - 0.3) -- (\xMass2, \xAxisYpos - 0.3) node[midway,fill=white,inner sep=0] {$\ell_{1}$};
+
+ % create force arrow
+ \draw[->,blue, very thick,line cap=round] (\xMass2 + \wMass / 2, \originY2 + \wWall + \hMass + 0.15) node[above] {$\vb{F_{R}}$} --+ (-0.5, 0);
+\end{tikzpicture}
\ No newline at end of file
--
cgit v1.2.1
From ffb50c6574c53b805df068fd2ce2e89726597911 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: samuel niederer <samuel.niederer@ost.ch>
Date: Thu, 26 May 2022 11:36:20 +0200
Subject: add spring constant
---
buch/papers/kra/images/simple_mass_spring.tex | 6 ++++--
1 file changed, 4 insertions(+), 2 deletions(-)
(limited to 'buch/papers/kra')
diff --git a/buch/papers/kra/images/simple_mass_spring.tex b/buch/papers/kra/images/simple_mass_spring.tex
index e98ee3e..207f1e0 100644
--- a/buch/papers/kra/images/simple_mass_spring.tex
+++ b/buch/papers/kra/images/simple_mass_spring.tex
@@ -46,8 +46,10 @@
\draw[mass] (\originX2, \originY2) ++ (\xMass2, \wWall) rectangle ++ (\wMass,\hMass) node[midway] {$m$};
% create springs
- \draw[spring, segment length=(\xMass1 - \wWall) * \springscale] (\originX1, \originY1) ++ (\wWall, \wWall + \hMass / 2) --+ (\xMass1 - \wWall, 0);
- \draw[spring, segment length=(\xMass2 - \wWall) * \springscale] (\originX2, \originY2) ++ (\wWall, \wWall + \hMass / 2) --+ (\xMass2 - \wWall, 0);
+ \draw[spring, segment length=(\xMass1 - \wWall) * \springscale] (\originX1, \originY1) ++
+ (\wWall, \wWall + \hMass / 2) --++ (\xMass1 - \wWall, 0) node[midway,above=0.2] {$k$};
+ \draw[spring, segment length=(\xMass2 - \wWall) * \springscale] (\originX2, \originY2) ++
+ (\wWall, \wWall + \hMass / 2) --++ (\xMass2 - \wWall, 0) node[midway,above=0.2] {$k$};
% create vertical measurement line
\draw[vmline] (\xMass1, \xAxisYpos) --+(0, \originY1 + \wWall);
--
cgit v1.2.1
From a0b6394bd559e7d2e1a6d7c028cfc73586503d58 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: samuel niederer <samuel.niederer@ost.ch>
Date: Thu, 26 May 2022 11:46:24 +0200
Subject: add drawing
---
buch/papers/kra/images/multi_mass_spring.tex | 54 ++++++++++++++++++++++++++++
1 file changed, 54 insertions(+)
create mode 100644 buch/papers/kra/images/multi_mass_spring.tex
(limited to 'buch/papers/kra')
diff --git a/buch/papers/kra/images/multi_mass_spring.tex b/buch/papers/kra/images/multi_mass_spring.tex
new file mode 100644
index 0000000..f255cc8
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/kra/images/multi_mass_spring.tex
@@ -0,0 +1,54 @@
+% create tikz drawing of a multi mass multi spring system
+
+\tikzstyle{vmline}=[red, dashed,line width=0.4,dash pattern=on 1pt off 1pt]
+\tikzstyle{ground}=[pattern=north east lines]
+\tikzstyle{mass}=[line width=0.6,red!30!black,fill=red!40!black!10,rounded corners=1,top color=red!40!black!20,bottom color=red!40!black!10,shading angle=20]
+\tikzstyle{spring}=[line width=0.8,blue!7!black!80,snake=coil,segment amplitude=5,line cap=round]
+
+\begin{tikzpicture}[scale=2]
+ \newcommand{\ticks}[3]
+ {
+ % x, y coordinates
+ \draw[thick] (#1, #2 - 0.1 / 2) --++ (0, 0.1) node[scale=0.8,below=0.2] {#3};
+ }
+ \tikzmath{
+ \hWall = 1.2;
+ \wWall = 0.3;
+ \lWall = 5;
+ \hMass = 0.6;
+ \wMass = 1.1;
+ \xMass1 = 1.0;
+ \xMass2 = 3.0;
+ \xAxisYpos = 0;
+ \originX1 = 0;
+ \originY1 = 0.5;
+ \springscale=7;
+ }
+
+ % create axis
+ \draw[->,thick] (0,\xAxisYpos) --+ (\xMass2 + \wMass, 0) node[right]{$q$};
+ % create ticks on x / q axis
+ \ticks{\xMass1}{\xAxisYpos}{$q_{1}$}
+ \ticks{\xMass2}{\xAxisYpos}{$q_{2}$}
+
+ % create non-moving backgrounds
+ \draw[ground] (\originX1, \originY1) ++ (0, 0) --+(\lWall,0) --+(\lWall, \hWall)
+ --+ (\lWall - \wWall, \hWall) --+(\lWall - \wWall, \wWall) --+ (\wWall, \wWall) --+(\wWall, \hWall) --+(0, \hWall) -- cycle;
+
+ % create masses
+ \draw[mass] (\originX1, \originY1) ++ (\xMass1, \wWall) rectangle ++ (\wMass,\hMass) node[midway] {$m_{1}$};
+ \draw[mass] (\originX1, \originY1) ++ (\xMass2, \wWall) rectangle ++ (\wMass,\hMass) node[midway] {$m_{2}$};
+
+ % create springs
+ \draw[spring, segment length=(\xMass1 - \wWall) * \springscale] (\originX1, \originY1) ++
+ (\wWall, \wWall + \hMass / 2) --++ (\xMass1 - \wWall, 0) node[midway,above=0.2] {$k_1$};
+ \draw[spring, segment length=(\xMass1 - \wWall) * \springscale] (\originX1, \originY1) ++
+ (\xMass1 + \wMass, \wWall + \hMass / 2) --++ (\xMass2 - \xMass1 - \wMass, 0) node[midway,above=0.2] {$k_c$};
+ \draw[spring, segment length=(\xMass1 - \wWall) * \springscale] (\originX1, \originY1) ++
+ (\xMass2 + \wMass, \wWall + \hMass / 2) --++ (\lWall - \xMass2 - \wMass - \wWall, 0) node[midway,above=0.2] {$k_2$};
+
+ % create vertical measurement line
+ \draw[vmline] (\xMass1, \xAxisYpos) --+(0, \originY1 + \wWall);
+ \draw[vmline] (\xMass2, \xAxisYpos) --+(0, \originY1 + \wWall);
+
+\end{tikzpicture}
--
cgit v1.2.1
From 052ccbe27e19d53ac7272bf29c9c16e071d7059b Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: samuel niederer <samuel.niederer@ost.ch>
Date: Wed, 1 Jun 2022 13:34:26 +0200
Subject: add phase space plot
---
buch/papers/kra/images/phase_space.tex | 67 ++++++++++++++++++++++++++++++++++
1 file changed, 67 insertions(+)
create mode 100644 buch/papers/kra/images/phase_space.tex
(limited to 'buch/papers/kra')
diff --git a/buch/papers/kra/images/phase_space.tex b/buch/papers/kra/images/phase_space.tex
new file mode 100644
index 0000000..cd51ea4
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/kra/images/phase_space.tex
@@ -0,0 +1,67 @@
+\colorlet{mypurple}{red!50!blue!90!black!80}
+
+% style to create arrows
+\tikzset{
+ traj/.style 2 args={thick, postaction={decorate},decoration={markings,
+ mark=at position #1 with {\arrow{<}},
+ mark=at position #2 with {\arrow{<}}}
+ }
+}
+
+\begin{tikzpicture}[scale=0.6]
+ % p(t=0) = 0, q(t=0) = A, max(p) = mwA
+ \tikzmath{
+ \axh = 5.2;
+ \axw1 = 4.2;
+ \axw2 = 4.8;
+ \d1 = 0.9;
+ \a0 = 1;
+ \b0 = 2;
+ \a1 = \a0 + \d1;
+ \b1 = \b0 + \d1;
+ \a2 = \a1 + \d1;
+ \b2 = \b1 + \d1;
+ \a3 = \a2 + \d1;
+ \b3 = \b2 + \d1;
+ \d2 = 0.75;
+ \aa0 = 2;
+ \bb0 = 1;
+ \aa1 = \aa0 + \d2;
+ \bb1 = \bb0 + \d2;
+ \aa2 = \aa1 + \d2;
+ \bb2 = \bb1 + \d2;
+ \aa3 = \aa2 + \d2;
+ \bb3 = \bb2 + \d2;
+ }
+
+ \draw[->,thick] (-\axw1,0) -- (\axw1,0) node[right] {$q$};
+ \draw[->,thick] (0,-\axh) -- (0,\axh) node[above] {$p$};
+
+ \draw[traj={0.375}{0.875},darkgreen] ellipse (\a0 and \b0);
+ \draw[traj={0.375}{0.875},blue] ellipse (\a1 and \b1);
+ \draw[traj={0.375}{0.875},cyan] ellipse (\a2 and \b2);
+ \draw[traj={0.375}{0.875},mypurple] ellipse (\a3 and \b3);
+
+ \node[right,darkgreen] at (45:{\a0} and {\b0}) {$E_A$};
+ \node[right, blue] at (45:{\a1} and {\b1}) {$E_B$};
+ \node[right, cyan] at (45:{\a2} and {\b2}) {$E_C$};
+ \node[right, mypurple] at (45:{\a3} and {\b3}) {$E_D$};
+ \node[above left] at (110:\b3 + 0.1) {grosses $\omega$};
+
+ \begin{scope}[xshift=12cm]
+ \draw[->,thick] (-\axw2,0) -- (\axw2,0) node[right] {$q$};
+ \draw[->,thick] (0,-\axh) -- (0,\axh) node[above] {$p$};
+
+ \draw[traj={0.375}{0.875},darkgreen] ellipse (\aa0 and \bb0);
+ \draw[traj={0.375}{0.875},blue] ellipse (\aa1 and \bb1);
+ \draw[traj={0.375}{0.875},cyan] ellipse (\aa2 and \bb2);
+ \draw[traj={0.375}{0.875},mypurple] ellipse (\aa3 and \bb3);
+
+ \node[above, darkgreen] at (45:{\aa0} and {\bb0}) {$E_A$};
+ \node[above, blue] at (45:{\aa1} and {\bb1}) {$E_B$};
+ \node[above, cyan] at (45:{\aa2} and {\bb2}) {$E_C$};
+ \node[above, mypurple] at (45:{\aa3} and {\bb3}) {$E_D$};
+
+ \node[above left] at (110:\b3 + 0.1) {kleines $\omega$};
+ \end{scope}
+\end{tikzpicture}
\ No newline at end of file
--
cgit v1.2.1
From 5e25727877da020b0b23132fec8c0ea70288a18b Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: samuel niederer <samuel.niederer@ost.ch>
Date: Sun, 24 Jul 2022 12:03:25 +0200
Subject: add presentation files
---
buch/papers/kra/images/simple_mass_spring.tex | 2 +-
buch/papers/kra/presentation/presentation.tex | 491 ++++++++++++++++++++++++++
buch/papers/kra/scripts/animation.py | 243 +++++++++++++
buch/papers/kra/scripts/simulation.py | 40 +++
4 files changed, 775 insertions(+), 1 deletion(-)
create mode 100644 buch/papers/kra/presentation/presentation.tex
create mode 100644 buch/papers/kra/scripts/animation.py
create mode 100644 buch/papers/kra/scripts/simulation.py
(limited to 'buch/papers/kra')
diff --git a/buch/papers/kra/images/simple_mass_spring.tex b/buch/papers/kra/images/simple_mass_spring.tex
index 207f1e0..e0e869a 100644
--- a/buch/papers/kra/images/simple_mass_spring.tex
+++ b/buch/papers/kra/images/simple_mass_spring.tex
@@ -14,7 +14,7 @@
}
\tikzmath{
- \hWall = 1.5;
+ \hWall = 1.2;
\wWall = 0.3;
\lWall = 3.5;
\hMass = 0.6;
diff --git a/buch/papers/kra/presentation/presentation.tex b/buch/papers/kra/presentation/presentation.tex
new file mode 100644
index 0000000..eb6541b
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/kra/presentation/presentation.tex
@@ -0,0 +1,491 @@
+\documentclass[ngerman, aspectratio=169, xcolor={rgb}]{beamer}
+
+% style
+\mode<presentation>{
+ \usetheme{Frankfurt}
+}
+%packages
+\usepackage[utf8]{inputenc}\DeclareUnicodeCharacter{2212}{-}
+\usepackage[english]{babel}
+\usepackage{graphicx}
+\usepackage{array}
+
+\newcolumntype{L}[1]{>{\raggedright\let\newline\\\arraybackslash\hspace{0pt}}m{#1}}
+\usepackage{ragged2e}
+
+\usepackage{bm} % bold math
+\usepackage{amsfonts}
+\usepackage{amssymb}
+\usepackage{mathtools}
+\usepackage{amsmath}
+\usepackage{multirow} % multi row in tables
+\usepackage{booktabs} %toprule midrule bottomrue in tables
+\usepackage{scrextend}
+\usepackage{textgreek}
+\usepackage[rgb]{xcolor}
+
+\usepackage[normalem]{ulem} % \sout
+
+\usepackage{ marvosym } % \Lightning
+
+\usepackage{multimedia} % embedded videos
+
+\usepackage{tikz}
+\usepackage{pgf}
+\usepackage{pgfplots}
+
+\usepackage{algorithmic}
+
+%citations
+\usepackage[style=verbose,backend=biber]{biblatex}
+\addbibresource{references.bib}
+
+
+%math font
+\usefonttheme[onlymath]{serif}
+
+%Beamer Template modifications
+%\definecolor{mainColor}{HTML}{0065A3} % HSR blue
+\definecolor{mainColor}{HTML}{D72864} % OST pink
+\definecolor{invColor}{HTML}{28d79b} % OST pink
+\definecolor{dgreen}{HTML}{38ad36} % Dark green
+
+%\definecolor{mainColor}{HTML}{000000} % HSR blue
+\setbeamercolor{palette primary}{bg=white,fg=mainColor}
+\setbeamercolor{palette secondary}{bg=orange,fg=mainColor}
+\setbeamercolor{palette tertiary}{bg=yellow,fg=red}
+\setbeamercolor{palette quaternary}{bg=mainColor,fg=white} %bg = Top bar, fg = active top bar topic
+\setbeamercolor{structure}{fg=black} % itemize, enumerate, etc (bullet points)
+\setbeamercolor{section in toc}{fg=black} % TOC sections
+\setbeamertemplate{section in toc}[sections numbered]
+\setbeamertemplate{subsection in toc}{%
+ \hspace{1.2em}{$\bullet$}~\inserttocsubsection\par}
+
+\setbeamertemplate{itemize items}[circle]
+\setbeamertemplate{description item}[circle]
+\setbeamertemplate{title page}[default][colsep=-4bp,rounded=true]
+\beamertemplatenavigationsymbolsempty
+
+\setbeamercolor{footline}{fg=gray}
+\setbeamertemplate{footline}{%
+ \hfill\usebeamertemplate***{navigation symbols}
+ \hspace{0.5cm}
+ \insertframenumber{}\hspace{0.2cm}\vspace{0.2cm}
+}
+
+\usepackage{caption}
+\captionsetup{labelformat=empty}
+
+%Title Page
+\title{KRA}
+\subtitle{Kalman Riccati Abel}
+\author{Samuel Niederer}
+% \institute{OST Ostschweizer Fachhochschule}
+% \institute{\includegraphics[scale=0.3]{../img/ost_logo.png}}
+\date{\today}
+
+\input{../packages.tex}
+
+\newcommand*{\QED}{\hfill\ensuremath{\blacksquare}}%
+
+\newcommand*{\HL}{\textcolor{mainColor}}
+\newcommand*{\RD}{\textcolor{red}}
+\newcommand*{\BL}{\textcolor{blue}}
+\newcommand*{\GN}{\textcolor{dgreen}}
+\newcommand{\dt}[0]{\frac{d}{dt}}
+
+\definecolor{darkgreen}{rgb}{0,0.6,0}
+
+
+\makeatletter
+\newcount\my@repeat@count
+\newcommand{\myrepeat}[2]{%
+ \begingroup
+ \my@repeat@count=\z@
+ \@whilenum\my@repeat@count<#1\do{#2\advance\my@repeat@count\@ne}%
+ \endgroup
+}
+\makeatother
+
+\usetikzlibrary{automata,arrows,positioning,calc,shapes.geometric, fadings}
+
+\begin{document}
+
+\begin{frame}
+ \titlepage
+\end{frame}
+
+\begin{frame}
+ \frametitle{Content}
+ \tableofcontents
+\end{frame}
+
+\section{Einführung}
+
+\begin{frame}
+ \begin{itemize}
+ \item<1|only@1> \textbf{K}alman
+ \item<1|only@1> \textbf{R}iccati
+ \item<1|only@1> \textbf{A}bel
+
+ \item<2|only@2> \textcolor{red}{\sout{\textbf{K}alman}}
+ \item<2|only@2> \textbf{R}iccati
+ \item<2|only@2> \textbf{A}bel
+
+ \item<3|only@3> \textcolor{red}{\sout{\textbf{K}alman}} \textcolor{green}{Federmassesytem}
+ \item<3|only@3> \textbf{R}iccati
+ \item<3|only@3> \textbf{A}bel
+
+ \item<4|only@4> \textcolor{red}{\sout{\textbf{K}alman}} \textcolor{green}{Federmassesytem}
+ \item<4|only@4> \textbf{R}iccati
+ \item<4|only@4> \uwave{\textbf{A}bel}
+ \end{itemize}
+\end{frame}
+
+\section{Riccati}
+
+\begin{frame}
+ \frametitle{Riccatische Differentialgleichung}
+ \begin{equation*}
+ % y'(x) = f(x)y^2(x) + g(x)y(x) + h(x)
+ x'(t) = f(t)x^2(t) + g(t)x(t) + h(t)
+ \end{equation*}
+
+ \pause
+
+ \begin{equation*}
+ \dot{X}(t) = - X(t)BX(t) - X(t)A + DX(t) + C
+ \end{equation*}
+
+ % \pause
+ % Anwendungen
+ % \begin{itemize}
+ % \item Zeitkontinuierlicher Kalmanfilter
+ % \item Regelungstechnik LQ-Regler
+ % \item Federmassesyteme
+ % \end{itemize}
+\end{frame}
+
+\begin{frame}
+ \frametitle{Auftreten der Gleichung}
+ \begin{columns}
+ \column{0.4 \textwidth}
+ \begin{equation*}
+ \dt
+ \begin{pmatrix}
+ X \\
+ Y
+ \end{pmatrix}
+ =
+ \underbrace{
+ \begin{pmatrix}
+ A & B \\
+ C & D
+ \end{pmatrix}
+ }_{H}
+ \begin{pmatrix}
+ X \\
+ Y
+ \end{pmatrix}
+ \end{equation*}
+
+ \pause
+
+ \column{0.4 \textwidth}
+ \begin{equation*}
+ U = YX^{-1} \qquad \dt U = ?
+ \end{equation*}
+ \end{columns}
+
+ \pause
+
+ \begin{align*}
+ \dt U & = \dot{Y} X^{-1} + Y \dt X^{-1} \\
+ \uncover<4->{ & = (CX + DY) X^{-1} - Y (X^{-1} \dot{X} X^{-1})\\}
+ \uncover<5->{ & = C\underbrace{XX^{-1}}_\text{I} + D\underbrace{YX^{-1}}_\text{U} - Y(X^{-1} (AX + BY) X^{-1})\\}
+ \uncover<6->{ & = C + DU - \underbrace{YX^{-1}}_\text{U}(A\underbrace{XX^{-1}}_\text{I} + B\underbrace{YX^{-1}}_\text{U})\\}
+ \uncover<7->{ & = C + DU - UA - UBU}
+ \end{align*}
+\end{frame}
+
+\begin{frame}
+ \frametitle{Lösen der Gleichung}
+ \begin{equation*}
+ \begin{pmatrix}
+ X(t) \\
+ Y(t)
+ \end{pmatrix}
+ =
+ \Phi(t_0, t)
+ \begin{pmatrix}
+ I(t) \\
+ U_0(t)
+ \end{pmatrix}
+ =
+ \begin{pmatrix}
+ \Phi_{11}(t_0, t) & \Phi_{12}(t_0, t) \\
+ \Phi_{21}(t_0, t) & \Phi_{22}(t_0, t)
+ \end{pmatrix}
+ \begin{pmatrix}
+ I(t) \\
+ U_0(t)
+ \end{pmatrix}
+ \end{equation*}
+
+ \pause
+
+ \begin{equation*}
+ U(t) =
+ \begin{pmatrix}
+ \Phi_{21}(t_0, t) + \Phi_{22}(t_0, t) U_0(t)
+ \end{pmatrix}
+ \begin{pmatrix}
+ \Phi_{11}(t_0, t) + \Phi_{12}(t_0, t) U_0(t)
+ \end{pmatrix}
+ ^{-1}
+ \end{equation*}
+
+ \pause
+
+ % wobei $\Phi(t, t_0)$ die sogennante Zustandsübergangsmatrix ist.
+
+ \begin{equation*}
+ \Phi(t_0, t) = e^{H(t - t_0)}
+ \end{equation*}
+\end{frame}
+
+\section{Federmassystem}
+\begin{frame}
+ \frametitle{Federmassesystem}
+ \begin{columns}
+ \column{0.5 \textwidth}
+ \input{../images/simple_mass_spring.tex}
+
+ \column{0.5 \textwidth}
+ \begin{align*}
+ \uncover<2->{F_R & = k \Delta_x \\}
+ \uncover<3->{F_a & = am = \ddot{x} m \\}
+ \uncover<4->{F_R & = F_a \Leftrightarrow k \Delta_x = \ddot{x} m\\}
+ \uncover<5->{\ddot{x} & = \frac{k \Delta_x}{m} \\}
+ \uncover<6->{x(t) & = A \cos(\omega_0 + \Phi), \quad \omega_0 = \sqrt{\frac{k}{m}}}
+ \end{align*}
+ \end{columns}
+\end{frame}
+
+\begin{frame}
+ \frametitle{Phasenraum}
+ \begin{columns}
+ \column{0.3 \textwidth}
+ \begin{tikzpicture}[scale=3]
+ \draw[->, thick] (0, 0) -- (1,0) node[right] {$q$};
+ \draw[->, thick] (0.5, -0.5) -- (0.5,0.5) node[above]{$p$};
+ \end{tikzpicture}
+ \column{0.7 \textwidth}
+ Impulskoordinaten $p = (p_{1}, p_{2}, ..., p_{n}), \quad p=mv$ \\
+ Ortskoordinaten $q = (q_{1}, q_{2}, ..., q_{n})$ \\
+
+
+
+ \begin{align*}
+ \uncover<2->{\mathcal{H}(q, p) & = \underbrace{T(p)}_{E_{kin}} + \underbrace{V(q)}_{E_{pot}} = E_{tot} \\}
+ \uncover<3->{ & = \frac{p^2}{2m}+ \frac{k q^2}{2}}
+ \end{align*}
+
+
+
+ \begin{equation*}
+ \uncover<4->{
+ \dot{q_{k}} = \frac{\partial \mathcal{H}}{\partial p_k}
+ \qquad
+ \dot{p_{k}} = -\frac{\partial \mathcal{H}}{\partial q_k}
+ }
+ \end{equation*}
+
+ \pause
+
+ \begin{equation*}
+ \uncover<5->{
+ \begin{pmatrix}
+ \dot{q} \\
+ \dot{p}
+ \end{pmatrix}
+ =
+ \begin{pmatrix}
+ 0 & \frac{1}{m} \\
+ -k & 0
+ \end{pmatrix}
+ \begin{pmatrix}
+ q \\
+ p
+ \end{pmatrix}
+ }
+ \end{equation*}
+
+ \end{columns}
+\end{frame}
+
+\begin{frame}
+ \frametitle{Phasenraum}
+ \input{../images/phase_space.tex}
+\end{frame}
+
+\begin{frame}
+ \frametitle{Federmassesystem}
+ \begin{columns}
+ \column{0.6 \textwidth}
+ \scalebox{0.8}{\input{../images/multi_mass_spring.tex}}
+ \begin{align*}
+ \uncover<2->{\mathcal{H} & = T + V \\}
+ \uncover<7->{ & = \frac{p_1^2}{2m_1} + \frac{p_2^2}{2m_2} + \frac{k_1 q_1^2}{2} + \frac{k_c (q_2 - q_1)^2}{2} + \frac{k_2 q_2^2}{2}}
+ \end{align*}
+
+ \column{0.4 \textwidth}
+ \begin{align*}
+ \uncover<3->{T & = T_1 + T_2} \\
+ \uncover<5->{ & = \frac{p_1^2}{2m_1} + \frac{p_2^2}{2m_2} } \\
+ \uncover<4->{V & = V_1 + V_c + V_2 } \\
+ \uncover<6->{ & = \frac{k_1 q_1^2}{2} + \frac{k_c (q_2 - q_1)^2}{2} + \frac{k_2 q_2^2}{2}}
+ \end{align*}
+ \end{columns}
+\end{frame}
+
+\begin{frame}
+ \frametitle{Federmassesystem}
+ \begin{equation*}
+ \begin{pmatrix}
+ \dot{q_1} \\
+ \dot{q_2} \\
+ \dot{p_1} \\
+ \dot{p_2} \\
+ \end{pmatrix}
+ =
+ \begin{pmatrix}
+ 0 & 0 & \frac{1}{2m_1} & 0 \\
+ 0 & 0 & 0 & \frac{1}{2m_2} \\
+ -(k_1 + k_c) & k_c & 0 & 0 \\
+ k_c & -(k_c + k_2) & 0 & 0 \\
+ \end{pmatrix}
+ \begin{pmatrix}
+ q_1 \\
+ q_2 \\
+ p_1 \\
+ p_2 \\
+ \end{pmatrix}
+ \Leftrightarrow
+ \dt
+ \begin{pmatrix}
+ Q \\
+ P \\
+ \end{pmatrix}
+ \underbrace{
+ \begin{pmatrix}
+ 0 & M \\
+ K & 0
+ \end{pmatrix}
+ }_{H}
+ \begin{pmatrix}
+ Q \\
+ P \\
+ \end{pmatrix}
+ \end{equation*}
+
+ \pause
+
+ $U = PQ^{-1} \qquad \dt U = ?$
+
+ \pause
+
+ \begin{align*}
+ \dt U & = C + DU - UA - UBU \\
+ & = K - UMU
+ \end{align*}
+
+\end{frame}
+
+\begin{frame}
+ \frametitle{Einfluss der Anfangsbedingung:}
+ \begin{columns}
+ \column{0.4 \textwidth}
+ \begin{equation*}
+ \uncover<2->{q_0 =
+ \begin{pmatrix}
+ q_{10} \\
+ q_{20}
+ \end{pmatrix}
+ =
+ \begin{pmatrix}
+ 3 \\
+ 1
+ \end{pmatrix}
+ }
+ \end{equation*}
+ \begin{equation*}
+ \uncover<3->{q_0 =
+ \begin{pmatrix}
+ q_{10} \\
+ q_{20}
+ \end{pmatrix}
+ =
+ \begin{pmatrix}
+ 3 \\
+ 3
+ \end{pmatrix}
+ }
+ \end{equation*}
+ \begin{equation*}
+ \uncover<4->{q_0 =
+ \begin{pmatrix}
+ q_{10} \\
+ q_{20}
+ \end{pmatrix}
+ =
+ \begin{pmatrix}
+ 2 \\
+ -2
+ \end{pmatrix}
+ }
+ \end{equation*}
+ \column{0.6 \textwidth}
+ \scalebox{0.8}{\input{../images/multi_mass_spring.tex}}
+ \end{columns}
+\end{frame}
+
+\section{Schlussteil}
+\begin{frame}
+ \frametitle{Zusammenfassung}
+ \begin{itemize}
+ \pause
+ \item{Riccatische Differentialgleichung}
+ \pause
+ \begin{itemize}
+ \item{Ausgansgleichung}
+ \pause
+ \item{Lösung}
+ \end{itemize}
+ \pause
+ \item{Harmonischer Ozillator}
+ \pause
+ \begin{itemize}
+ \item{Hamiltonfunktion}
+ \pause
+ \item{Phasenraum}
+ \end{itemize}
+ \pause
+ \item{Gekoppelter harmonischer Ozillator}
+ \pause
+ \begin{itemize}
+ \item{Riccatische Differentialgleichung}
+ \pause
+ \item{Einfluss der Anfangsbedingungen}
+ \end{itemize}
+ \pause
+ \item{\uwave{Abel}}
+ \begin{itemize}
+ \pause
+ \item{Nichtlineare Federkonstante}
+ \end{itemize}
+
+ \end{itemize}
+\end{frame}
+
+\end{document}
diff --git a/buch/papers/kra/scripts/animation.py b/buch/papers/kra/scripts/animation.py
new file mode 100644
index 0000000..5e805ae
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/kra/scripts/animation.py
@@ -0,0 +1,243 @@
+import numpy as np
+import matplotlib.pyplot as plt
+import matplotlib.patches
+import matplotlib.transforms
+import matplotlib.text
+from matplotlib.animation import FuncAnimation
+import imageio
+
+from simulation import Simulation
+
+
+class Mass:
+ def __init__(self, x_0, width, height, **kwargs):
+ self._x_0 = x_0
+ xy = (x_0, 0)
+ self._rect = matplotlib.patches.Rectangle(xy, width, height, **kwargs)
+
+ @property
+ def patch(self):
+ return self._rect
+
+ @property
+ def x(self):
+ return self._rect.get_x()
+
+ @property
+ def width(self):
+ return self._rect.get_width()
+
+ def move(self, x):
+ self._rect.set_x(self._x_0 + x)
+
+
+class Spring:
+ def __init__(self, n, height, ax, resolution=1000, **kwargs):
+ self._n = n
+ self._height = height
+ self._N = resolution
+ (self._line,) = ax.plot([], [], "-", **kwargs)
+
+ def set(self, x_0, x_1):
+ T = (x_1 - x_0) / self._n
+ x = np.linspace(x_0, x_1, self._N, endpoint=True)
+ t = np.linspace(0, x_1 - x_0, self._N)
+ y = (np.sin(2 * np.pi * t / T) + 1.5) * self._height / 2
+ self.line.set_data(x, y)
+
+ @property
+ def line(self):
+ return self._line
+
+
+class LinePlot:
+ def __init__(self, ax, **kwargs):
+ (self._line,) = ax.plot([], [], "-", **kwargs)
+ self._x = []
+ self._y = []
+
+ @property
+ def line(self):
+ return self._line
+
+ def update(self, x, y):
+ self._x.append(x)
+ self._y.append(y)
+ self._line.set_data(self._x, self._y)
+
+
+class ScatterPlot:
+ def __init__(self, ax, **kwargs):
+ self._color = kwargs.get("color", "tab:green")
+ self._line = ax.scatter([], [], **kwargs)
+ self._ax = ax
+ self._x = []
+ self._y = []
+
+ @property
+ def line(self):
+ return self._line
+
+ def update(self, x, y, **kwargs):
+ self._x.append(x)
+ self._y.append(y)
+ self._line.remove()
+ self._line = self._ax.scatter(self._x, self._y, color=self._color, **kwargs)
+
+
+class QuiverPlot:
+ def __init__(self, ax, **kwargs):
+ self.x = []
+ self.y = []
+ self.u = []
+ self.v = []
+ self.ax = ax
+ self.ln = self.ax.quiver([], [], [], [])
+
+ def update(self, x, y, u, v):
+ self.x.append(x)
+ self.y.append(y)
+ self.u.append(u)
+ self.v.append(v)
+ self.ln.remove()
+ self.ln = self.ax.quiver(self.x, self.y, self.u, self.v)
+
+ @property
+ def line(self):
+ return self.ln
+
+
+anim_folder = "anim_0"
+img_counter = 0
+
+sim = Simulation()
+params = {
+ "x_0": [2, -2],
+ "k_1": 1,
+ "k_c": 2,
+ "k_2": 1,
+ "m_1": 0.5,
+ "m_2": 0.5,
+}
+
+time = 2.1
+
+
+# create axis
+fig = plt.figure(figsize=(20, 15), constrained_layout=True)
+fig.suptitle(
+ " ,".join([f"${key} = {val}$" for (key, val) in params.items()]), fontsize=20
+)
+spec = fig.add_gridspec(3, 4)
+ax0 = fig.add_subplot(spec[-1, :])
+ax1 = fig.add_subplot(spec[:-1, :2])
+ax2 = fig.add_subplot(spec[:-1, 2:])
+
+ax0.set_yticks([])
+
+mass_height = 0.5
+spring_height = 0.6 * mass_height
+x_max = 21
+y_max = 2 * mass_height
+
+mass_1 = Mass(
+ 7,
+ 2,
+ mass_height,
+ color="tab:red",
+)
+mass_2 = Mass(14, 2, mass_height, color="tab:blue")
+masses = [mass_1, mass_2]
+patches = [mass.patch for mass in masses]
+
+spring_1 = Spring(4, spring_height, ax0, color="tab:red", linewidth=10)
+spring_2 = Spring(4, spring_height, ax0, color="tab:gray", linewidth=10)
+spring_3 = Spring(4, spring_height, ax0, color="tab:blue", linewidth=10)
+springs = [spring_1, spring_2, spring_3]
+
+linePlot_1 = LinePlot(ax1, color="tab:red", label="$m_1$", alpha=1)
+linePlot_2 = LinePlot(ax1, color="tab:blue", label="$m_2$", alpha=1)
+linePlots = [linePlot_1, linePlot_2]
+
+# quiverPlot = QuiverPlot(ax2)
+scatterPlot = ScatterPlot(ax2)
+
+lines = [spring.line for spring in springs]
+lines.extend([plot.line for plot in linePlots])
+# lines.append(quiverPlot.line)
+lines.append(scatterPlot.line)
+
+objects = lines + patches
+
+ax0.plot(
+ np.repeat(mass_1.x, 2),
+ [0, y_max],
+ "--",
+ color="tab:red",
+ label="Ruhezustand $m_1$",
+)
+ax0.plot(
+ np.repeat(mass_2.x, 2),
+ [0, y_max],
+ "--",
+ color="tab:blue",
+ label="Ruhezustand $m_2$",
+)
+
+
+def init():
+ ax0.set_xlim(0, x_max)
+ ax0.set_ylim(0, y_max)
+
+ ax1.set_xlim(0, time)
+ ax1.set_ylim(-4, 4)
+ ax1.set_xlabel("time", fontsize=20)
+ ax1.set_ylabel("$q$", fontsize=20)
+
+ ax2.set_xlim(-4, 4)
+ ax2.set_ylim(-4, 4)
+ ax2.set_xlabel("$q_1$", fontsize=20)
+ ax2.set_ylabel("$q_2$", fontsize=20)
+
+ for patch in patches:
+ ax0.add_patch(patch)
+
+ spring_1.set(0, mass_1.x)
+ spring_2.set(mass_1.x + mass_1.width, mass_2.x)
+ spring_2.set(mass_2.x + mass_2.width, x_max)
+
+ return objects
+
+
+def update(frame):
+ global img_counter
+ x_1, x_2 = sim(frame, **params)
+
+ mass_1.move(x_1)
+ mass_2.move(x_2)
+
+ spring_1.set(0, mass_1.x)
+ spring_2.set(mass_1.x + mass_1.width, mass_2.x)
+ spring_3.set(mass_2.x + mass_2.width, x_max)
+
+ linePlot_1.update(frame, x_1)
+ linePlot_2.update(frame, x_2)
+
+ scatterPlot.update(x_1, x_2, alpha=0.25)
+
+ img_counter += 1
+ return objects
+
+
+anim = FuncAnimation(
+ fig,
+ update,
+ frames=np.linspace(0, time, int(time * 30)),
+ init_func=init,
+ blit=False,
+)
+
+ax0.legend(fontsize=20)
+ax1.legend(fontsize=20)
+FFwriter = matplotlib.animation.FFMpegWriter(fps=30)
+anim.save("animation.mp4", writer=FFwriter)
diff --git a/buch/papers/kra/scripts/simulation.py b/buch/papers/kra/scripts/simulation.py
new file mode 100644
index 0000000..8bccb6a
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/kra/scripts/simulation.py
@@ -0,0 +1,40 @@
+import sympy as sp
+
+
+class Simulation:
+ def __init__(self):
+ self.k_1, self.k_2, self.k_c = sp.symbols("k_1 k_2 k_c")
+ self.m_1, self.m_2 = sp.symbols("m_1 m_2")
+ self.t = sp.symbols("t")
+ K = sp.Matrix(
+ [[-(self.k_1 + self.k_c), self.k_c], [self.k_c, -(self.k_2 + self.k_c)]]
+ )
+ M = sp.Matrix([[1 / self.m_1, 0], [0, 1 / self.m_2]])
+ A = M * K
+
+ self.eigenvecs = []
+ self.eigenvals = []
+ for ev, mult, vecs in A.eigenvects():
+ self.eigenvecs.append(sp.Matrix(vecs))
+ self.eigenvals.extend([ev] * mult)
+
+ def __call__(self, t, x_0, k_1, k_c, k_2, m_1, m_2):
+ params = {
+ self.k_1: k_1,
+ self.k_c: k_c,
+ self.k_2: k_2,
+ self.m_1: m_1,
+ self.m_2: m_2,
+ }
+ x_0 = sp.Matrix(x_0)
+ eig_mat = sp.Matrix.hstack(*self.eigenvecs).subs(params)
+ g = eig_mat.inv() * x_0
+ L = sp.Matrix(
+ [
+ g[0] * sp.cos(self.eigenvals[0].subs(params) * self.t),
+ g[1] * sp.cos(self.eigenvals[1].subs(params) * self.t),
+ ]
+ )
+ x = eig_mat * L
+ f = sp.lambdify(self.t, x, "numpy")
+ return f(t).squeeze()
--
cgit v1.2.1
From 433b838cd7a68bb45abf0023edfb5439097693f2 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: samuel niederer <samuel.niederer@ost.ch>
Date: Sun, 24 Jul 2022 12:03:46 +0200
Subject: update packages
---
buch/papers/kra/packages.tex | 12 ++++++++++++
1 file changed, 12 insertions(+)
(limited to 'buch/papers/kra')
diff --git a/buch/papers/kra/packages.tex b/buch/papers/kra/packages.tex
index df34dcf..b16f074 100644
--- a/buch/papers/kra/packages.tex
+++ b/buch/papers/kra/packages.tex
@@ -8,3 +8,15 @@
% following example
%\usepackage{packagename}
+\usepackage{physics}
+\usepackage{pgfplots}
+\usepackage{tikz}
+\usepackage[outline]{contour}
+\pgfplotsset{compat=1.16}
+\usetikzlibrary{patterns}
+\usetikzlibrary{snakes}
+\usetikzlibrary{math}
+\usetikzlibrary{arrows.meta}
+\usetikzlibrary{decorations}
+\usetikzlibrary{decorations.markings}
+\usetikzlibrary{calc}
\ No newline at end of file
--
cgit v1.2.1
From c5a26d2d7bde694d08bff948c48b2615a7e2e973 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: samuel niederer <samuel.niederer@ost.ch>
Date: Sun, 24 Jul 2022 12:16:02 +0200
Subject: add current work
---
buch/papers/kra/hamilton.tex | 185 +++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++
buch/papers/kra/main.tex | 32 ++-----
buch/papers/kra/references.bib | 41 ++++-----
buch/papers/kra/riccati.tex | 93 +++++++++++++++++++++
buch/papers/kra/teil0.tex | 22 -----
buch/papers/kra/teil1.tex | 55 ------------
buch/papers/kra/teil2.tex | 40 ---------
buch/papers/kra/teil3.tex | 40 ---------
buch/papers/kra/test.tex | 12 +++
9 files changed, 313 insertions(+), 207 deletions(-)
create mode 100644 buch/papers/kra/hamilton.tex
create mode 100644 buch/papers/kra/riccati.tex
delete mode 100644 buch/papers/kra/teil0.tex
delete mode 100644 buch/papers/kra/teil1.tex
delete mode 100644 buch/papers/kra/teil2.tex
delete mode 100644 buch/papers/kra/teil3.tex
create mode 100644 buch/papers/kra/test.tex
(limited to 'buch/papers/kra')
diff --git a/buch/papers/kra/hamilton.tex b/buch/papers/kra/hamilton.tex
new file mode 100644
index 0000000..14a5e8c
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/kra/hamilton.tex
@@ -0,0 +1,185 @@
+\newcommand{\dt}[0]{\frac{d}{dt}}
+
+\section{Teil abc\label{kra:section:teilabc}}
+\rhead{Teil abc}
+
+\subsection{Hamilton-Funktion}
+Die Bewegung der Masse $m$ kann mit Hilfe der hamiltonschen Mechanik im Phasenraum untersucht werden.
+Die hamiltonschen Gleichungen verwenden dafür die veralgemeinerten Ortskoordinaten
+$q = (q_{1}, q_{2}, ..., q_{n})$ und die verallgemeinerten Impulskoordinaten $p = (p_{1}, p_{2}, ..., p_{n})$,
+wobei der Impuls definiert ist als $p_k = m_k \cdot v_k$.
+Liegen keine zeitabhängigen Zwangsbedingungen vor, so entspricht die Hamitlon-Funktion der Gesamtenergie des Systems \cite{kra:hamilton}.
+Im Falle des einfachen Federmassesystems, Abbildung \ref{kra:fig:simple_spring_mass},
+setzt sich die Hamilton-Funktion aus kinetischer und potentieller Energie zusammen.
+
+\begin{equation}
+ \label{hamilton}
+ \begin{split}
+ \mathcal{H}(q, p) &= T(p) + V(q) = E \\
+ &= \underbrace{\frac{p^2}{2m}}_{E_{kin}} + \underbrace{\frac{k q^2}{2}}_{E_{pot}}
+ \end{split}
+\end{equation}
+
+Die Hamiltonschen Bewegungsgleichungen liefern \cite{kra:kanonischegleichungen}
+\begin{equation}
+ \label{kra:hamilton:bewegungsgleichung}
+ \dot{q_{k}} = \frac{\partial \mathcal{H}}{\partial p_k}
+ \qquad
+ \dot{p_{k}} = -\frac{\partial \mathcal{H}}{\partial q_k}
+\end{equation}
+
+daraus folgt
+
+\[
+ \dot{q} = \frac{p}{m}
+ \qquad
+ \dot{p} = -kq
+\]
+
+in Matrixschreibweise erhalten wir also
+
+\[
+ \begin{pmatrix}
+ \dot{q} \\
+ \dot{p}
+ \end{pmatrix}
+ =
+ \begin{pmatrix}
+ 0 & \frac{1}{m} \\
+ -k & 0
+ \end{pmatrix}
+ \begin{pmatrix}
+ q \\
+ p
+ \end{pmatrix}
+\]
+
+Für das erweiterte Federmassesystem, Abbildung \ref{kra:fig:multi_spring_mass}, können wir analog vorgehen.
+Die kinetische Energie setzt sich nun aus den kinetischen Energien der einzelnen Massen $m_1$ und $m_2$ zusammen.
+Die Potentielle Energie erhalten wir aus der Summe der kinetischen Energien der einzelnen Federn mit den Federkonstanten $k_1$, $k_c$ und $k_2$.
+
+\begin{align*}
+ \begin{split}
+ T &= T_1 + T_2 \\
+ &= \frac{p_1^2}{2m_1} + \frac{p_2^2}{2m_2}
+ \end{split}
+ \\
+ \begin{split}
+ V &= V_1 + V_c + V_2 \\
+ &= \frac{k_1 q_1^2}{2} + \frac{k_c (q_2 - q_1)^2}{2} + \frac{k_2 q_2^2}{2}
+ \end{split}
+\end{align*}
+
+Die Hamilton-Funktion ist also
+
+\begin{align*}
+ \begin{split}
+ \mathcal{H} &= T + V \\
+ &= \frac{p_1^2}{2m_1} + \frac{p_2^2}{2m_2} + \frac{k_1 q_1^2}{2} + \frac{k_c (q_2 - q_1)^2}{2} + \frac{k_2 q_2^2}{2}
+ \end{split}
+\end{align*}
+
+Die Bewegungsgleichungen \ref{kra:hamilton:bewegungsgleichung} liefern
+\begin{align*}
+ \frac{\partial \mathcal{H}}{\partial p_k} & = \dot{q_k}
+ \Rightarrow
+ \left\{
+ \begin{alignedat}{2}
+ \dot{q_1} &= \frac{2p_1}{2m_1} &&= \frac{p_1}{m_1}\\
+ \dot{q_2} &= \frac{2p_2}{2m_2} &&= \frac{p_2}{m_2}
+ \end{alignedat}
+ \right.
+ \\
+ -\frac{\partial \mathcal{H}}{\partial q_k} & = \dot{p_k}
+ \Rightarrow
+ \left\{
+ \begin{alignedat}{2}
+ \dot{p_1} &= -(\frac{2k_1q_1}{2} - \frac{2k_c(q_2-q_1)}{2}) &&= -q_1(k_1+k_c) + q_2k_c \\
+ \dot{p_1} &= -(\frac{2k_c(q_2-q_1)}{2} - \frac{2k_2q_2}{2}) &&= q_1k_c - (k_c + k_2)
+ \end{alignedat}
+ \right.
+\end{align*}
+
+In Matrixschreibweise erhalten wir
+
+\begin{equation}
+ \label{kra:hamilton:multispringmass}
+ \begin{pmatrix}
+ \dot{q_1} \\
+ \dot{q_2} \\
+ \dot{p_1} \\
+ \dot{p_2} \\
+ \end{pmatrix}
+ =
+ \begin{pmatrix}
+ 0 & 0 & \frac{1}{2m_1} & 0 \\
+ 0 & 0 & 0 & \frac{1}{2m_2} \\
+ -(k_1 + k_c) & k_c & 0 & 0 \\
+ k_c & -(k_c + k_2) & 0 & 0 \\
+ \end{pmatrix}
+ \begin{pmatrix}
+ q_1 \\
+ q_2 \\
+ p_1 \\
+ p_2 \\
+ \end{pmatrix}
+ \Leftrightarrow
+ \dt
+ \begin{pmatrix}
+ Q \\
+ P \\
+ \end{pmatrix}
+ \underbrace{
+ \begin{pmatrix}
+ 0 & M \\
+ K & 0
+ \end{pmatrix}
+ }_{G}
+ \begin{pmatrix}
+ Q \\
+ P \\
+ \end{pmatrix}
+\end{equation}
+
+
+Wir intressieren uns nun dafür wie der Phasenwinkel $U = PQ^{-1}$ von der Zeit abhängt,
+wir suchen also die Grösse $\Theta = \dt U$.
+
+Ersetzten wir in der Gleichung \ref{kra:hamilton:multispringmass} die Matrix $G$ mit $\tilde{G}$ so erhalten wir
+\begin{equation}
+ \dt
+ \begin{pmatrix}
+ Q \\
+ P
+ \end{pmatrix}
+ =
+ \underbrace{
+ \begin{pmatrix}
+ A & B \\
+ C & D
+ \end{pmatrix}
+ }_{\tilde{G}}
+ \begin{pmatrix}
+ Q \\
+ P
+ \end{pmatrix}
+\end{equation}
+
+Mit einsetzten folgt
+
+\begin{align*}
+ \dot{Q} = AQ + BP \\
+ \dot{P} = CQ + DP
+\end{align*}
+\begin{equation}
+ \begin{split}
+ \dt U &= \dot{P} Q^{-1} + P \dt Q^{-1} \\
+ &= (CQ + DP) Q^{-1} - P (Q^{-1} \dot{Q} Q^{-1}) \\
+ &= C\underbrace{QQ^{-1}}_\text{I} + D\underbrace{PQ^{-1}}_\text{U} - P(Q^{-1} (AQ + BP) Q^{-1}) \\
+ &= C + DU - \underbrace{PQ^{-1}}_\text{U}(A\underbrace{QQ^{-1}}_\text{I} + B\underbrace{PQ^{-1}}_\text{U}) \\
+ &= C + DU - UA - UBU
+ \end{split}
+\end{equation}
+
+was uns auf die zeitkontinuierliche Matrix-Riccati-Gleichung führt.
+
diff --git a/buch/papers/kra/main.tex b/buch/papers/kra/main.tex
index fcee25b..456b6ee 100644
--- a/buch/papers/kra/main.tex
+++ b/buch/papers/kra/main.tex
@@ -6,31 +6,9 @@
\chapter{Kalman, Riccati und Abel\label{chapter:kra}}
\lhead{Kalman, Riccati und Abel}
\begin{refsection}
- \chapterauthor{Samuel Niederer}
-
- Ein paar Hinweise für die korrekte Formatierung des Textes
- \begin{itemize}
- \item
- Absätze werden gebildet, indem man eine Leerzeile einfügt.
- Die Verwendung von \verb+\\+ ist nur in Tabellen und Arrays gestattet.
- \item
- Die explizite Platzierung von Bildern ist nicht erlaubt, entsprechende
- Optionen werden gelöscht.
- Verwenden Sie Labels und Verweise, um auf Bilder hinzuweisen.
- \item
- Beginnen Sie jeden Satz auf einer neuen Zeile.
- Damit ermöglichen Sie dem Versionsverwaltungssysteme, Änderungen
- in verschiedenen Sätzen von verschiedenen Autoren ohne Konflikt
- anzuwenden.
- \item
- Bilden Sie auch für Formeln kurze Zeilen, einerseits der besseren
- Übersicht wegen, aber auch um GIT die Arbeit zu erleichtern.
- \end{itemize}
-
- \input{papers/kra/teil0.tex}
- \input{papers/kra/teil1.tex}
- \input{papers/kra/teil2.tex}
- \input{papers/kra/teil3.tex}
-
- \printbibliography[heading=subbibliography]
+ \chapterauthor{Samuel Niederer}
+ \input{papers/kra/hamilton.tex}
+ \newpage
+ \input{papers/kra/riccati.tex}
+ \printbibliography[heading=subbibliography]
\end{refsection}
diff --git a/buch/papers/kra/references.bib b/buch/papers/kra/references.bib
index f13c3d8..7f972ec 100644
--- a/buch/papers/kra/references.bib
+++ b/buch/papers/kra/references.bib
@@ -4,32 +4,27 @@
% (c) 2020 Autor, Hochschule Rapperswil
%
-@online{kra:bibtex,
- title = {BibTeX},
- url = {https://de.wikipedia.org/wiki/BibTeX},
- date = {2020-02-06},
- year = {2020},
- month = {2},
- day = {6}
+@online{kra:hamilton,
+ title = {Hamilton-Funktion},
+ url = {https://de.wikipedia.org/wiki/Hamilton-Funktion},
+ date = {2022-05-26}
}
-@book{kra:numerical-analysis,
- title = {Numerical Analysis},
- author = {David Kincaid and Ward Cheney},
- publisher = {American Mathematical Society},
- year = {2002},
- isbn = {978-8-8218-4788-6},
- inseries = {Pure and applied undegraduate texts},
- volume = {2}
+@misc{kra:kanonischegleichungen,
+ title = {Kanonische Gleichungen},
+ url = {https://de.wikipedia.org/wiki/Kanonische_Gleichungen},
+ date = {2022-05-26}
}
-@article{kra:mendezmueller,
- author = { Tabea Méndez and Andreas Müller },
- title = { Noncommutative harmonic analysis and image registration },
- journal = { Appl. Comput. Harmon. Anal.},
- year = 2019,
- volume = 47,
- pages = {607--627},
- url = {https://doi.org/10.1016/j.acha.2017.11.004}
+@misc{kra:newton,
+ title = {Newtonsche Gesetze},
+ url = {https://de.wikipedia.org/wiki/Newtonsche_Gesetze},
+ date = {2022-05-26}
}
+@misc{kra:kalmanisae,
+ author = {D.Alazard},
+ title = {Introduction to Kalman filtering},
+ url = {https://pagespro.isae-supaero.fr/IMG/pdf/introKalman_e_151211.pdf},
+ date = {2022-05-26}
+}
diff --git a/buch/papers/kra/riccati.tex b/buch/papers/kra/riccati.tex
new file mode 100644
index 0000000..df2921d
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/kra/riccati.tex
@@ -0,0 +1,93 @@
+\section{Riccati
+ \label{kra:section:riccati}}
+\rhead{Riccati}
+
+\begin{equation}
+ y'(x) = f(x)y^2(x) + g(x)y(x) + h(x)
+\end{equation}
+% einfache (normale riccati gleichung und ihre loesung)
+% (kann man diese bei einfachem federmasse system benutzten?)
+% matrix riccati gleichung
+
+
+Die zeitkontinuierliche Riccati-Matrix-Gleichung hat die Form
+\begin{equation}
+ \label{kra:riccati:riccatiequation}
+ \dot{U(t)} = DU(t) - UA(t) - U(t)BU(t)
+\end{equation}
+
+Betrachten wir das Differentialgleichungssystem \ref{kra:riccati:derivation}
+
+\begin{equation}
+ \label{kra:riccati:derivation}
+ \dt
+ \begin{pmatrix}
+ X \\
+ Y
+ \end{pmatrix}
+ =
+ \underbrace{
+ \begin{pmatrix}
+ A & B \\
+ C & D
+ \end{pmatrix}
+ }_{H}
+ \begin{pmatrix}
+ X \\
+ Y
+ \end{pmatrix}
+\end{equation}
+
+interessieren wir uns für die zeitliche Änderung der Grösse $U = YX^{-1}$, so erhalten wir durch einsetzten
+
+\begin{align*}
+ \dt U & = \dot{Y} X^{-1} + Y \dt X^{-1} \\
+ & = (CX + DY) X^{-1} - Y (X^{-1} \dot{X} X^{-1}) \\
+ & = C\underbrace{XX^{-1}}_\text{I} + D\underbrace{YX^{-1}}_\text{U} - Y(X^{-1} (AX + BY) X^{-1}) \\
+ & = C + DU - \underbrace{YX^{-1}}_\text{U}(A\underbrace{XX^{-1}}_\text{I} + B\underbrace{YX^{-1}}_\text{U}) \\
+ & = C + DU - UA - UBU
+\end{align*}
+
+was uns auf die Riccati-Matrix-Gleichung \ref{kra:riccati:riccatiequation} führt.
+Die Lösung dieser Gleichung erhalten wir nach \cite{kra:kalmanisae} folgendermassen
+\begin{equation}
+ \begin{pmatrix}
+ X(t) \\
+ Y(t)
+ \end{pmatrix}
+ =
+ \Phi(t_0, t)
+ \begin{pmatrix}
+ I(t) \\
+ U_0(t)
+ \end{pmatrix}
+ =
+ \begin{pmatrix}
+ \Phi_{11}(t_0, t) & \Phi_{12}(t_0, t) \\
+ \Phi_{21}(t_0, t) & \Phi_{22}(t_0, t)
+ \end{pmatrix}
+ \begin{pmatrix}
+ I(t) \\
+ U_0(t)
+ \end{pmatrix}
+\end{equation}
+
+\begin{equation}
+ U(t) =
+ \begin{pmatrix}
+ \Phi_{21}(t_0, t) + \Phi_{22}(t_0, t)
+ \end{pmatrix}
+ \begin{pmatrix}
+ \Phi_{11}(t_0, t) + \Phi_{12}(t_0, t)
+ \end{pmatrix}
+ ^{-1}
+\end{equation}
+
+wobei $\Phi(t, t_0)$ die sogennante Zustandsübergangsmatrix ist.
+
+\begin{equation}
+ \Phi(t_0, t) = e^{H(t - t_0)}
+\end{equation}
+
+
+
diff --git a/buch/papers/kra/teil0.tex b/buch/papers/kra/teil0.tex
deleted file mode 100644
index d06a055..0000000
--- a/buch/papers/kra/teil0.tex
+++ /dev/null
@@ -1,22 +0,0 @@
-%
-% einleitung.tex -- Beispiel-File für die Einleitung
-%
-% (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil
-%
-\section{Teil 0\label{kra:section:teil0}}
-\rhead{Teil 0}
-Lorem ipsum dolor sit amet, consetetur sadipscing elitr, sed diam
-nonumy eirmod tempor invidunt ut labore et dolore magna aliquyam
-erat, sed diam voluptua \cite{kra:bibtex}.
-At vero eos et accusam et justo duo dolores et ea rebum.
-Stet clita kasd gubergren, no sea takimata sanctus est Lorem ipsum
-dolor sit amet.
-
-Lorem ipsum dolor sit amet, consetetur sadipscing elitr, sed diam
-nonumy eirmod tempor invidunt ut labore et dolore magna aliquyam
-erat, sed diam voluptua.
-At vero eos et accusam et justo duo dolores et ea rebum. Stet clita
-kasd gubergren, no sea takimata sanctus est Lorem ipsum dolor sit
-amet.
-
-
diff --git a/buch/papers/kra/teil1.tex b/buch/papers/kra/teil1.tex
deleted file mode 100644
index 0c0977d..0000000
--- a/buch/papers/kra/teil1.tex
+++ /dev/null
@@ -1,55 +0,0 @@
-%
-% teil1.tex -- Beispiel-File für das Paper
-%
-% (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil
-%
-\section{Teil 1
-\label{kra:section:teil1}}
-\rhead{Problemstellung}
-Sed ut perspiciatis unde omnis iste natus error sit voluptatem
-accusantium doloremque laudantium, totam rem aperiam, eaque ipsa
-quae ab illo inventore veritatis et quasi architecto beatae vitae
-dicta sunt explicabo.
-Nemo enim ipsam voluptatem quia voluptas sit aspernatur aut odit
-aut fugit, sed quia consequuntur magni dolores eos qui ratione
-voluptatem sequi nesciunt
-\begin{equation}
-\int_a^b x^2\, dx
-=
-\left[ \frac13 x^3 \right]_a^b
-=
-\frac{b^3-a^3}3.
-\label{kra:equation1}
-\end{equation}
-Neque porro quisquam est, qui dolorem ipsum quia dolor sit amet,
-consectetur, adipisci velit, sed quia non numquam eius modi tempora
-incidunt ut labore et dolore magnam aliquam quaerat voluptatem.
-
-Ut enim ad minima veniam, quis nostrum exercitationem ullam corporis
-suscipit laboriosam, nisi ut aliquid ex ea commodi consequatur?
-Quis autem vel eum iure reprehenderit qui in ea voluptate velit
-esse quam nihil molestiae consequatur, vel illum qui dolorem eum
-fugiat quo voluptas nulla pariatur?
-
-\subsection{De finibus bonorum et malorum
-\label{kra:subsection:finibus}}
-At vero eos et accusamus et iusto odio dignissimos ducimus qui
-blanditiis praesentium voluptatum deleniti atque corrupti quos
-dolores et quas molestias excepturi sint occaecati cupiditate non
-provident, similique sunt in culpa qui officia deserunt mollitia
-animi, id est laborum et dolorum fuga \eqref{000tempmlate:equation1}.
-
-Et harum quidem rerum facilis est et expedita distinctio
-\ref{kra:section:loesung}.
-Nam libero tempore, cum soluta nobis est eligendi optio cumque nihil
-impedit quo minus id quod maxime placeat facere possimus, omnis
-voluptas assumenda est, omnis dolor repellendus
-\ref{kra:section:folgerung}.
-Temporibus autem quibusdam et aut officiis debitis aut rerum
-necessitatibus saepe eveniet ut et voluptates repudiandae sint et
-molestiae non recusandae.
-Itaque earum rerum hic tenetur a sapiente delectus, ut aut reiciendis
-voluptatibus maiores alias consequatur aut perferendis doloribus
-asperiores repellat.
-
-
diff --git a/buch/papers/kra/teil2.tex b/buch/papers/kra/teil2.tex
deleted file mode 100644
index 249f078..0000000
--- a/buch/papers/kra/teil2.tex
+++ /dev/null
@@ -1,40 +0,0 @@
-%
-% teil2.tex -- Beispiel-File für teil2
-%
-% (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil
-%
-\section{Teil 2
-\label{kra:section:teil2}}
-\rhead{Teil 2}
-Sed ut perspiciatis unde omnis iste natus error sit voluptatem
-accusantium doloremque laudantium, totam rem aperiam, eaque ipsa
-quae ab illo inventore veritatis et quasi architecto beatae vitae
-dicta sunt explicabo. Nemo enim ipsam voluptatem quia voluptas sit
-aspernatur aut odit aut fugit, sed quia consequuntur magni dolores
-eos qui ratione voluptatem sequi nesciunt. Neque porro quisquam
-est, qui dolorem ipsum quia dolor sit amet, consectetur, adipisci
-velit, sed quia non numquam eius modi tempora incidunt ut labore
-et dolore magnam aliquam quaerat voluptatem. Ut enim ad minima
-veniam, quis nostrum exercitationem ullam corporis suscipit laboriosam,
-nisi ut aliquid ex ea commodi consequatur? Quis autem vel eum iure
-reprehenderit qui in ea voluptate velit esse quam nihil molestiae
-consequatur, vel illum qui dolorem eum fugiat quo voluptas nulla
-pariatur?
-
-\subsection{De finibus bonorum et malorum
-\label{kra:subsection:bonorum}}
-At vero eos et accusamus et iusto odio dignissimos ducimus qui
-blanditiis praesentium voluptatum deleniti atque corrupti quos
-dolores et quas molestias excepturi sint occaecati cupiditate non
-provident, similique sunt in culpa qui officia deserunt mollitia
-animi, id est laborum et dolorum fuga. Et harum quidem rerum facilis
-est et expedita distinctio. Nam libero tempore, cum soluta nobis
-est eligendi optio cumque nihil impedit quo minus id quod maxime
-placeat facere possimus, omnis voluptas assumenda est, omnis dolor
-repellendus. Temporibus autem quibusdam et aut officiis debitis aut
-rerum necessitatibus saepe eveniet ut et voluptates repudiandae
-sint et molestiae non recusandae. Itaque earum rerum hic tenetur a
-sapiente delectus, ut aut reiciendis voluptatibus maiores alias
-consequatur aut perferendis doloribus asperiores repellat.
-
-
diff --git a/buch/papers/kra/teil3.tex b/buch/papers/kra/teil3.tex
deleted file mode 100644
index 2515c7d..0000000
--- a/buch/papers/kra/teil3.tex
+++ /dev/null
@@ -1,40 +0,0 @@
-%
-% teil3.tex -- Beispiel-File für Teil 3
-%
-% (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil
-%
-\section{Teil 3
-\label{kra:section:teil3}}
-\rhead{Teil 3}
-Sed ut perspiciatis unde omnis iste natus error sit voluptatem
-accusantium doloremque laudantium, totam rem aperiam, eaque ipsa
-quae ab illo inventore veritatis et quasi architecto beatae vitae
-dicta sunt explicabo. Nemo enim ipsam voluptatem quia voluptas sit
-aspernatur aut odit aut fugit, sed quia consequuntur magni dolores
-eos qui ratione voluptatem sequi nesciunt. Neque porro quisquam
-est, qui dolorem ipsum quia dolor sit amet, consectetur, adipisci
-velit, sed quia non numquam eius modi tempora incidunt ut labore
-et dolore magnam aliquam quaerat voluptatem. Ut enim ad minima
-veniam, quis nostrum exercitationem ullam corporis suscipit laboriosam,
-nisi ut aliquid ex ea commodi consequatur? Quis autem vel eum iure
-reprehenderit qui in ea voluptate velit esse quam nihil molestiae
-consequatur, vel illum qui dolorem eum fugiat quo voluptas nulla
-pariatur?
-
-\subsection{De finibus bonorum et malorum
-\label{kra:subsection:malorum}}
-At vero eos et accusamus et iusto odio dignissimos ducimus qui
-blanditiis praesentium voluptatum deleniti atque corrupti quos
-dolores et quas molestias excepturi sint occaecati cupiditate non
-provident, similique sunt in culpa qui officia deserunt mollitia
-animi, id est laborum et dolorum fuga. Et harum quidem rerum facilis
-est et expedita distinctio. Nam libero tempore, cum soluta nobis
-est eligendi optio cumque nihil impedit quo minus id quod maxime
-placeat facere possimus, omnis voluptas assumenda est, omnis dolor
-repellendus. Temporibus autem quibusdam et aut officiis debitis aut
-rerum necessitatibus saepe eveniet ut et voluptates repudiandae
-sint et molestiae non recusandae. Itaque earum rerum hic tenetur a
-sapiente delectus, ut aut reiciendis voluptatibus maiores alias
-consequatur aut perferendis doloribus asperiores repellat.
-
-
diff --git a/buch/papers/kra/test.tex b/buch/papers/kra/test.tex
new file mode 100644
index 0000000..ebe0aa0
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/kra/test.tex
@@ -0,0 +1,12 @@
+\begin{figure}
+ \input{papers/kra/images/phase_space.tex}
+ % \begin{minipage}{.45\textwidth}
+ % \input{papers/kra/images/phase_space_small_omega.tex}
+ % \end{minipage}
+ % \begin{minipage}{.45\textwidth}
+ % \input{papers/kra/images/phase_space_large_omega.tex}
+ % \end{minipage}
+ % \begin{minipage}[.5\textwidth]
+ % \input{papers/kra/images/phase_space_large_omega.tex}
+ % \end{minipage}
+\end{figure}
\ No newline at end of file
--
cgit v1.2.1
From 1d78360ee72a8d0d6cd4b440a2244624c284887f Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: samuel niederer <samuel.niederer@ost.ch>
Date: Sun, 24 Jul 2022 17:12:49 +0200
Subject: update paper
---
buch/papers/kra/Makefile.inc | 11 +-
buch/papers/kra/anwendung.tex | 235 +++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++
buch/papers/kra/einleitung.tex | 14 +++
buch/papers/kra/hamilton.tex | 185 --------------------------------
buch/papers/kra/loesung.tex | 47 +++++++++
buch/papers/kra/main.tex | 10 +-
buch/papers/kra/riccati.tex | 93 ----------------
7 files changed, 306 insertions(+), 289 deletions(-)
create mode 100644 buch/papers/kra/anwendung.tex
create mode 100644 buch/papers/kra/einleitung.tex
delete mode 100644 buch/papers/kra/hamilton.tex
create mode 100644 buch/papers/kra/loesung.tex
delete mode 100644 buch/papers/kra/riccati.tex
(limited to 'buch/papers/kra')
diff --git a/buch/papers/kra/Makefile.inc b/buch/papers/kra/Makefile.inc
index f453e6e..a521e4b 100644
--- a/buch/papers/kra/Makefile.inc
+++ b/buch/papers/kra/Makefile.inc
@@ -4,11 +4,10 @@
# (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
#
dependencies-kra = \
- papers/kra/packages.tex \
+ papers/kra/packages.tex \
papers/kra/main.tex \
- papers/kra/references.bib \
- papers/kra/teil0.tex \
- papers/kra/teil1.tex \
- papers/kra/teil2.tex \
- papers/kra/teil3.tex
+ papers/kra/references.bib \
+ papers/kra/einleitung.tex \
+ papers/kra/loesung.tex \
+ papers/kra/anwendung.tex \
diff --git a/buch/papers/kra/anwendung.tex b/buch/papers/kra/anwendung.tex
new file mode 100644
index 0000000..4d4d351
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/kra/anwendung.tex
@@ -0,0 +1,235 @@
+\section{Anwendungen \label{kra:section:anwendung}}
+\rhead{Anwendungen}
+\newcommand{\dt}[0]{\frac{d}{dt}}
+
+Die Matrix-Riccati Differentialgleichung findet unter anderem Anwendung in der Regelungstechnik beim RQ- und RQG-Regler oder aber auch beim Kalmanfilter.
+Im folgenden Abschnitt möchten wir uns an einem Beispiel anschauen wie wir mit Hilfe der Matrix-Riccati Differentialgleichung (\ref{kra:matrixriccati}) ein Feder-Masse-System untersuchen können.
+
+\subsection{Feder-Masse-System}
+Die Einfachste Form eines Feder-Masse-Systems ist dargestellt in Abbildung \ref{kra:fig:simple_mass_spring}.
+Es besteht aus einer Masse $m$ welche reibungsfrei gelagert ist und einer Feder mit der Federkonstante $k$.
+Die im System wirkenden Kräfte teilen sich auf in die auf dem hookeschen Gesetz basierenden Rückstellkraft $F_R = k \Delta_x$ und der auf dem Aktionsprinzip basierenden Kraft $F_a = am = \ddot{x} m$.
+Das Kräftegleichgewicht fordert $F_R = F_a$ woraus folgt, dass
+
+\begin{equation*}
+ k \Delta_x = \ddot{x} m \Leftrightarrow \ddot{x} = \frac{k \Delta_x}{m}
+\end{equation*}
+Die funktion die diese Differentialgleichung löst ist die harmonische Schwingung
+\begin{equation}
+ x(t) = A \cos(\omega_0 t + \Phi), \quad \omega_0 = \sqrt{\frac{k}{m}}
+\end{equation}
+
+
+\begin{figure}
+ \input{papers/kra/images/simple_mass_spring.tex}
+ \caption{Einfaches Feder-Masse-System.}
+ \label{kra:fig:simple_mass_spring}
+\end{figure}
+
+\begin{figure}
+ \input{papers/kra/images/multi_mass_spring.tex}
+ \caption{Feder-Masse-System mit zwei Massen und drei Federn.}
+ \label{kra:fig:multi_mass_spring}
+\end{figure}
+
+
+\subsection{Hamilton-Funktion}
+Die Bewegung der Masse $m$ kann mit Hilfe der hamiltonschen Mechanik im Phasenraum untersucht werden.
+Die hamiltonschen Gleichungen verwenden dafür die veralgemeinerten Ortskoordinaten
+$q = (q_{1}, q_{2}, ..., q_{n})$ und die verallgemeinerten Impulskoordinaten $p = (p_{1}, p_{2}, ..., p_{n})$, wobei der Impuls definiert ist als $p_k = m_k \cdot v_k$.
+Liegen keine zeitabhängigen Zwangsbedingungen vor, so entspricht die Hamitlon-Funktion der Gesamtenergie des Systems \cite{kra:hamilton}.
+Im Falle des einfachen Feder-Masse-Systems, Abbildung \ref{kra:fig:simple_mass_spring}, setzt sich die Hamilton-Funktion aus kinetischer und potentieller Energie zusammen.
+
+\begin{equation}
+ \label{kra:harmonischer_oszillator}
+ \begin{split}
+ \mathcal{H}(q, p) &= T(p) + V(q) = E \\
+ &= \underbrace{\frac{p^2}{2m}}_{E_{kin}} + \underbrace{\frac{k q^2}{2}}_{E_{pot}}
+ \end{split}
+\end{equation}
+
+Die Hamiltonschen Bewegungsgleichungen liefern \cite{kra:kanonischegleichungen}
+\begin{equation}
+ \label{kra:hamilton:bewegungsgleichung}
+ \dot{q_{k}} = \frac{\partial \mathcal{H}}{\partial p_k}
+ \qquad
+ \dot{p_{k}} = -\frac{\partial \mathcal{H}}{\partial q_k}
+\end{equation}
+
+daraus folgt
+
+\[
+ \dot{q} = \frac{p}{m}
+ \qquad
+ \dot{p} = -kq
+\]
+
+in Matrixschreibweise erhalten wir also
+
+\[
+ \begin{pmatrix}
+ \dot{q} \\
+ \dot{p}
+ \end{pmatrix}
+ =
+ \begin{pmatrix}
+ 0 & \frac{1}{m} \\
+ -k & 0
+ \end{pmatrix}
+ \begin{pmatrix}
+ q \\
+ p
+ \end{pmatrix}
+\]
+
+Für das erweiterte Federmassesystem, Abbildung \ref{kra:fig:multi_mass_spring}, können wir analog vorgehen.
+Die kinetische Energie setzt sich nun aus den kinetischen Energien der einzelnen Massen $m_1$ und $m_2$ zusammen.
+Die Potentielle Energie erhalten wir aus der Summe der kinetischen Energien der einzelnen Federn mit den Federkonstanten $k_1$, $k_c$ und $k_2$.
+
+\begin{align*}
+ \begin{split}
+ T &= T_1 + T_2 \\
+ &= \frac{p_1^2}{2m_1} + \frac{p_2^2}{2m_2}
+ \end{split}
+ \\
+ \begin{split}
+ V &= V_1 + V_c + V_2 \\
+ &= \frac{k_1 q_1^2}{2} + \frac{k_c (q_2 - q_1)^2}{2} + \frac{k_2 q_2^2}{2}
+ \end{split}
+\end{align*}
+
+Die Hamilton-Funktion ist also
+
+\begin{align*}
+ \begin{split}
+ \mathcal{H} &= T + V \\
+ &= \frac{p_1^2}{2m_1} + \frac{p_2^2}{2m_2} + \frac{k_1 q_1^2}{2} + \frac{k_c (q_2 - q_1)^2}{2} + \frac{k_2 q_2^2}{2}
+ \end{split}
+\end{align*}
+
+Die Bewegungsgleichungen \ref{kra:hamilton:bewegungsgleichung} liefern
+\begin{align*}
+ \frac{\partial \mathcal{H}}{\partial p_k} & = \dot{q_k}
+ \Rightarrow
+ \left\{
+ \begin{alignedat}{2}
+ \dot{q_1} &= \frac{2p_1}{2m_1} &&= \frac{p_1}{m_1}\\
+ \dot{q_2} &= \frac{2p_2}{2m_2} &&= \frac{p_2}{m_2}
+ \end{alignedat}
+ \right.
+ \\
+ -\frac{\partial \mathcal{H}}{\partial q_k} & = \dot{p_k}
+ \Rightarrow
+ \left\{
+ \begin{alignedat}{2}
+ \dot{p_1} &= -(\frac{2k_1q_1}{2} - \frac{2k_c(q_2-q_1)}{2}) &&= -q_1(k_1+k_c) + q_2k_c \\
+ \dot{p_1} &= -(\frac{2k_c(q_2-q_1)}{2} - \frac{2k_2q_2}{2}) &&= q_1k_c - (k_c + k_2)
+ \end{alignedat}
+ \right.
+\end{align*}
+
+In Matrixschreibweise erhalten wir
+
+\begin{equation}
+ \label{kra:hamilton:multispringmass}
+ \begin{pmatrix}
+ \dot{q_1} \\
+ \dot{q_2} \\
+ \dot{p_1} \\
+ \dot{p_2} \\
+ \end{pmatrix}
+ =
+ \begin{pmatrix}
+ 0 & 0 & \frac{1}{2m_1} & 0 \\
+ 0 & 0 & 0 & \frac{1}{2m_2} \\
+ -(k_1 + k_c) & k_c & 0 & 0 \\
+ k_c & -(k_c + k_2) & 0 & 0 \\
+ \end{pmatrix}
+ \begin{pmatrix}
+ q_1 \\
+ q_2 \\
+ p_1 \\
+ p_2 \\
+ \end{pmatrix}
+ \Leftrightarrow
+ \dt
+ \begin{pmatrix}
+ Q \\
+ P \\
+ \end{pmatrix}
+ =
+ \underbrace{
+ \begin{pmatrix}
+ 0 & M \\
+ K & 0
+ \end{pmatrix}
+ }_{G}
+ \begin{pmatrix}
+ Q \\
+ P \\
+ \end{pmatrix}
+\end{equation}
+
+\subsection{Phasenraum}
+Der Phasenraum erlaubt die eindeutige Beschreibung aller möglichen Bewegungszustände eines mechanischen System durch einen Punkt.
+Die Phasenraumdarstellung eignet sich somit sehr gut für die systematische Untersuchung der Feder-Masse-Systeme.
+
+\subsubsection{Harmonischer Oszillator}
+Die Hamiltonfunktion des harmonischen Oszillators \ref{kra:harmonischer_oszillator} führt auf eine Lösung der Form
+\begin{equation*}
+ q(t) = A \cos(\omega_0 T + \Phi), \quad p(t) = -m \omega_0 A \sin(\omega_0 t + \Phi)
+\end{equation*}
+die Phasenraumtrajektorien bilden also Ellipsen mit Zentrum $q=0, p=0$ und Halbachsen $A$ und $m \omega A$.
+Abbildung \ref{kra:fig:phasenraum} zeigt Phasenraumtrajektorien mit den Energien $E_{x \in \{A, B, C, D\}}$ und verschiedenen Werten von $\omega$.
+
+\begin{figure}
+ \input{papers/kra/images/phase_space.tex}
+ \caption{Phasenraumdarstellung des einfachen Feder-Masse-Systems.}
+ \label{kra:fig:phasenraum}
+\end{figure}
+
+\subsubsection{Erweitertes Feder-Masse-System}
+Wir intressieren uns nun dafür wie der Phasenwinkel $U = PQ^{-1}$ von der Zeit abhängt,
+wir suchen also die Grösse $\Theta = \dt U$.
+
+Ersetzten wir in der Gleichung \ref{kra:hamilton:multispringmass} die Matrix $G$ mit $\tilde{G}$ so erhalten wir
+\begin{equation}
+ \dt
+ \begin{pmatrix}
+ Q \\
+ P
+ \end{pmatrix}
+ =
+ \underbrace{
+ \begin{pmatrix}
+ A & B \\
+ C & D
+ \end{pmatrix}
+ }_{\tilde{G}}
+ \begin{pmatrix}
+ Q \\
+ P
+ \end{pmatrix}
+\end{equation}
+
+Mit einsetzten folgt
+
+\begin{align*}
+ \dot{Q} = AQ + BP \\
+ \dot{P} = CQ + DP
+\end{align*}
+\begin{equation}
+ \begin{split}
+ \dt U &= \dot{P} Q^{-1} + P \dt Q^{-1} \\
+ &= (CQ + DP) Q^{-1} - P (Q^{-1} \dot{Q} Q^{-1}) \\
+ &= C\underbrace{QQ^{-1}}_\text{I} + D\underbrace{PQ^{-1}}_\text{U} - P(Q^{-1} (AQ + BP) Q^{-1}) \\
+ &= C + DU - \underbrace{PQ^{-1}}_\text{U}(A\underbrace{QQ^{-1}}_\text{I} + B\underbrace{PQ^{-1}}_\text{U}) \\
+ &= C + DU - UA - UBU
+ \end{split}
+\end{equation}
+
+was uns auf die Matrix-Riccati Gleichung \ref{kra:matrixriccati} führt.
+
+
+\subsection{Fazit}
+% @TODO
diff --git a/buch/papers/kra/einleitung.tex b/buch/papers/kra/einleitung.tex
new file mode 100644
index 0000000..1a347a8
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/kra/einleitung.tex
@@ -0,0 +1,14 @@
+\section{Einleitung} \label{kra:section:einleitung}
+\rhead{Einleitung}
+Die riccatische Differentialgleichung ist eine nichtlineare gewöhnliche Differentialgleichunge erster Ordnung der form
+\begin{equation}
+ \label{kra:riccati}
+ y'(x) = f(x)y^2(x) + g(x)y(x) + h(x)
+\end{equation}
+Sie ist bennant nach dem italienischen Grafen Jacopo Francesco Riccati (1676–1754) der sich mit der Klassifizierung von Differentialgleichungen befasste und Methoden zur Verringerung der Ordnung von Gleichungen entwickelte.
+Als Riccati Gleichung werden auch Matrixgleichugen der Form
+\begin{equation}
+ \label{kra:matrixriccati}
+ \dot{U}(t) = DU(t) - UA(t) - U(t)BU(t) % +Q ?
+\end{equation}
+bezeichnet, welche aufgrund ihres quadratischen Terms eine gewisse ähnlichkeit aufweisen.
\ No newline at end of file
diff --git a/buch/papers/kra/hamilton.tex b/buch/papers/kra/hamilton.tex
deleted file mode 100644
index 14a5e8c..0000000
--- a/buch/papers/kra/hamilton.tex
+++ /dev/null
@@ -1,185 +0,0 @@
-\newcommand{\dt}[0]{\frac{d}{dt}}
-
-\section{Teil abc\label{kra:section:teilabc}}
-\rhead{Teil abc}
-
-\subsection{Hamilton-Funktion}
-Die Bewegung der Masse $m$ kann mit Hilfe der hamiltonschen Mechanik im Phasenraum untersucht werden.
-Die hamiltonschen Gleichungen verwenden dafür die veralgemeinerten Ortskoordinaten
-$q = (q_{1}, q_{2}, ..., q_{n})$ und die verallgemeinerten Impulskoordinaten $p = (p_{1}, p_{2}, ..., p_{n})$,
-wobei der Impuls definiert ist als $p_k = m_k \cdot v_k$.
-Liegen keine zeitabhängigen Zwangsbedingungen vor, so entspricht die Hamitlon-Funktion der Gesamtenergie des Systems \cite{kra:hamilton}.
-Im Falle des einfachen Federmassesystems, Abbildung \ref{kra:fig:simple_spring_mass},
-setzt sich die Hamilton-Funktion aus kinetischer und potentieller Energie zusammen.
-
-\begin{equation}
- \label{hamilton}
- \begin{split}
- \mathcal{H}(q, p) &= T(p) + V(q) = E \\
- &= \underbrace{\frac{p^2}{2m}}_{E_{kin}} + \underbrace{\frac{k q^2}{2}}_{E_{pot}}
- \end{split}
-\end{equation}
-
-Die Hamiltonschen Bewegungsgleichungen liefern \cite{kra:kanonischegleichungen}
-\begin{equation}
- \label{kra:hamilton:bewegungsgleichung}
- \dot{q_{k}} = \frac{\partial \mathcal{H}}{\partial p_k}
- \qquad
- \dot{p_{k}} = -\frac{\partial \mathcal{H}}{\partial q_k}
-\end{equation}
-
-daraus folgt
-
-\[
- \dot{q} = \frac{p}{m}
- \qquad
- \dot{p} = -kq
-\]
-
-in Matrixschreibweise erhalten wir also
-
-\[
- \begin{pmatrix}
- \dot{q} \\
- \dot{p}
- \end{pmatrix}
- =
- \begin{pmatrix}
- 0 & \frac{1}{m} \\
- -k & 0
- \end{pmatrix}
- \begin{pmatrix}
- q \\
- p
- \end{pmatrix}
-\]
-
-Für das erweiterte Federmassesystem, Abbildung \ref{kra:fig:multi_spring_mass}, können wir analog vorgehen.
-Die kinetische Energie setzt sich nun aus den kinetischen Energien der einzelnen Massen $m_1$ und $m_2$ zusammen.
-Die Potentielle Energie erhalten wir aus der Summe der kinetischen Energien der einzelnen Federn mit den Federkonstanten $k_1$, $k_c$ und $k_2$.
-
-\begin{align*}
- \begin{split}
- T &= T_1 + T_2 \\
- &= \frac{p_1^2}{2m_1} + \frac{p_2^2}{2m_2}
- \end{split}
- \\
- \begin{split}
- V &= V_1 + V_c + V_2 \\
- &= \frac{k_1 q_1^2}{2} + \frac{k_c (q_2 - q_1)^2}{2} + \frac{k_2 q_2^2}{2}
- \end{split}
-\end{align*}
-
-Die Hamilton-Funktion ist also
-
-\begin{align*}
- \begin{split}
- \mathcal{H} &= T + V \\
- &= \frac{p_1^2}{2m_1} + \frac{p_2^2}{2m_2} + \frac{k_1 q_1^2}{2} + \frac{k_c (q_2 - q_1)^2}{2} + \frac{k_2 q_2^2}{2}
- \end{split}
-\end{align*}
-
-Die Bewegungsgleichungen \ref{kra:hamilton:bewegungsgleichung} liefern
-\begin{align*}
- \frac{\partial \mathcal{H}}{\partial p_k} & = \dot{q_k}
- \Rightarrow
- \left\{
- \begin{alignedat}{2}
- \dot{q_1} &= \frac{2p_1}{2m_1} &&= \frac{p_1}{m_1}\\
- \dot{q_2} &= \frac{2p_2}{2m_2} &&= \frac{p_2}{m_2}
- \end{alignedat}
- \right.
- \\
- -\frac{\partial \mathcal{H}}{\partial q_k} & = \dot{p_k}
- \Rightarrow
- \left\{
- \begin{alignedat}{2}
- \dot{p_1} &= -(\frac{2k_1q_1}{2} - \frac{2k_c(q_2-q_1)}{2}) &&= -q_1(k_1+k_c) + q_2k_c \\
- \dot{p_1} &= -(\frac{2k_c(q_2-q_1)}{2} - \frac{2k_2q_2}{2}) &&= q_1k_c - (k_c + k_2)
- \end{alignedat}
- \right.
-\end{align*}
-
-In Matrixschreibweise erhalten wir
-
-\begin{equation}
- \label{kra:hamilton:multispringmass}
- \begin{pmatrix}
- \dot{q_1} \\
- \dot{q_2} \\
- \dot{p_1} \\
- \dot{p_2} \\
- \end{pmatrix}
- =
- \begin{pmatrix}
- 0 & 0 & \frac{1}{2m_1} & 0 \\
- 0 & 0 & 0 & \frac{1}{2m_2} \\
- -(k_1 + k_c) & k_c & 0 & 0 \\
- k_c & -(k_c + k_2) & 0 & 0 \\
- \end{pmatrix}
- \begin{pmatrix}
- q_1 \\
- q_2 \\
- p_1 \\
- p_2 \\
- \end{pmatrix}
- \Leftrightarrow
- \dt
- \begin{pmatrix}
- Q \\
- P \\
- \end{pmatrix}
- \underbrace{
- \begin{pmatrix}
- 0 & M \\
- K & 0
- \end{pmatrix}
- }_{G}
- \begin{pmatrix}
- Q \\
- P \\
- \end{pmatrix}
-\end{equation}
-
-
-Wir intressieren uns nun dafür wie der Phasenwinkel $U = PQ^{-1}$ von der Zeit abhängt,
-wir suchen also die Grösse $\Theta = \dt U$.
-
-Ersetzten wir in der Gleichung \ref{kra:hamilton:multispringmass} die Matrix $G$ mit $\tilde{G}$ so erhalten wir
-\begin{equation}
- \dt
- \begin{pmatrix}
- Q \\
- P
- \end{pmatrix}
- =
- \underbrace{
- \begin{pmatrix}
- A & B \\
- C & D
- \end{pmatrix}
- }_{\tilde{G}}
- \begin{pmatrix}
- Q \\
- P
- \end{pmatrix}
-\end{equation}
-
-Mit einsetzten folgt
-
-\begin{align*}
- \dot{Q} = AQ + BP \\
- \dot{P} = CQ + DP
-\end{align*}
-\begin{equation}
- \begin{split}
- \dt U &= \dot{P} Q^{-1} + P \dt Q^{-1} \\
- &= (CQ + DP) Q^{-1} - P (Q^{-1} \dot{Q} Q^{-1}) \\
- &= C\underbrace{QQ^{-1}}_\text{I} + D\underbrace{PQ^{-1}}_\text{U} - P(Q^{-1} (AQ + BP) Q^{-1}) \\
- &= C + DU - \underbrace{PQ^{-1}}_\text{U}(A\underbrace{QQ^{-1}}_\text{I} + B\underbrace{PQ^{-1}}_\text{U}) \\
- &= C + DU - UA - UBU
- \end{split}
-\end{equation}
-
-was uns auf die zeitkontinuierliche Matrix-Riccati-Gleichung führt.
-
diff --git a/buch/papers/kra/loesung.tex b/buch/papers/kra/loesung.tex
new file mode 100644
index 0000000..ece0f15
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/kra/loesung.tex
@@ -0,0 +1,47 @@
+\section{Lösungsmethoden} \label{kra:section:loesung}
+\rhead{Lösungsmethoden}
+% @TODO Lösung normal riccati
+Lösung der Riccatischen Differentialgleichung \ref{kra:riccati}.
+
+
+% Lösung matrix riccati
+Die Lösung der Matrix-Riccati Gleichung \ref{kra:matrixriccati} erhalten wir nach \cite{kra:kalmanisae} folgendermassen
+\begin{equation}
+ \label{kra:matrixriccati-solution}
+ \begin{pmatrix}
+ X(t) \\
+ Y(t)
+ \end{pmatrix}
+ =
+ \Phi(t_0, t)
+ \begin{pmatrix}
+ I(t) \\
+ U_0(t)
+ \end{pmatrix}
+ =
+ \begin{pmatrix}
+ \Phi_{11}(t_0, t) & \Phi_{12}(t_0, t) \\
+ \Phi_{21}(t_0, t) & \Phi_{22}(t_0, t)
+ \end{pmatrix}
+ \begin{pmatrix}
+ I(t) \\
+ U_0(t)
+ \end{pmatrix}
+\end{equation}
+
+\begin{equation}
+ U(t) =
+ \begin{pmatrix}
+ \Phi_{21}(t_0, t) + \Phi_{22}(t_0, t)
+ \end{pmatrix}
+ \begin{pmatrix}
+ \Phi_{11}(t_0, t) + \Phi_{12}(t_0, t)
+ \end{pmatrix}
+ ^{-1}
+\end{equation}
+
+wobei $\Phi(t, t_0)$ die sogennante Zustandsübergangsmatrix ist.
+
+\begin{equation}
+ \Phi(t_0, t) = e^{H(t - t_0)}
+\end{equation}
diff --git a/buch/papers/kra/main.tex b/buch/papers/kra/main.tex
index 456b6ee..a84ebaf 100644
--- a/buch/papers/kra/main.tex
+++ b/buch/papers/kra/main.tex
@@ -3,12 +3,12 @@
%
% (c) 2020 Hochschule Rapperswil
%
-\chapter{Kalman, Riccati und Abel\label{chapter:kra}}
-\lhead{Kalman, Riccati und Abel}
+\chapter{Riccati Differentialgleichung\label{chapter:kra}}
+\lhead{Riccati Differentialgleichung}
\begin{refsection}
\chapterauthor{Samuel Niederer}
- \input{papers/kra/hamilton.tex}
- \newpage
- \input{papers/kra/riccati.tex}
+ \input{papers/kra/einleitung.tex}
+ \input{papers/kra/loesung.tex}
+ \input{papers/kra/anwendung.tex}
\printbibliography[heading=subbibliography]
\end{refsection}
diff --git a/buch/papers/kra/riccati.tex b/buch/papers/kra/riccati.tex
deleted file mode 100644
index df2921d..0000000
--- a/buch/papers/kra/riccati.tex
+++ /dev/null
@@ -1,93 +0,0 @@
-\section{Riccati
- \label{kra:section:riccati}}
-\rhead{Riccati}
-
-\begin{equation}
- y'(x) = f(x)y^2(x) + g(x)y(x) + h(x)
-\end{equation}
-% einfache (normale riccati gleichung und ihre loesung)
-% (kann man diese bei einfachem federmasse system benutzten?)
-% matrix riccati gleichung
-
-
-Die zeitkontinuierliche Riccati-Matrix-Gleichung hat die Form
-\begin{equation}
- \label{kra:riccati:riccatiequation}
- \dot{U(t)} = DU(t) - UA(t) - U(t)BU(t)
-\end{equation}
-
-Betrachten wir das Differentialgleichungssystem \ref{kra:riccati:derivation}
-
-\begin{equation}
- \label{kra:riccati:derivation}
- \dt
- \begin{pmatrix}
- X \\
- Y
- \end{pmatrix}
- =
- \underbrace{
- \begin{pmatrix}
- A & B \\
- C & D
- \end{pmatrix}
- }_{H}
- \begin{pmatrix}
- X \\
- Y
- \end{pmatrix}
-\end{equation}
-
-interessieren wir uns für die zeitliche Änderung der Grösse $U = YX^{-1}$, so erhalten wir durch einsetzten
-
-\begin{align*}
- \dt U & = \dot{Y} X^{-1} + Y \dt X^{-1} \\
- & = (CX + DY) X^{-1} - Y (X^{-1} \dot{X} X^{-1}) \\
- & = C\underbrace{XX^{-1}}_\text{I} + D\underbrace{YX^{-1}}_\text{U} - Y(X^{-1} (AX + BY) X^{-1}) \\
- & = C + DU - \underbrace{YX^{-1}}_\text{U}(A\underbrace{XX^{-1}}_\text{I} + B\underbrace{YX^{-1}}_\text{U}) \\
- & = C + DU - UA - UBU
-\end{align*}
-
-was uns auf die Riccati-Matrix-Gleichung \ref{kra:riccati:riccatiequation} führt.
-Die Lösung dieser Gleichung erhalten wir nach \cite{kra:kalmanisae} folgendermassen
-\begin{equation}
- \begin{pmatrix}
- X(t) \\
- Y(t)
- \end{pmatrix}
- =
- \Phi(t_0, t)
- \begin{pmatrix}
- I(t) \\
- U_0(t)
- \end{pmatrix}
- =
- \begin{pmatrix}
- \Phi_{11}(t_0, t) & \Phi_{12}(t_0, t) \\
- \Phi_{21}(t_0, t) & \Phi_{22}(t_0, t)
- \end{pmatrix}
- \begin{pmatrix}
- I(t) \\
- U_0(t)
- \end{pmatrix}
-\end{equation}
-
-\begin{equation}
- U(t) =
- \begin{pmatrix}
- \Phi_{21}(t_0, t) + \Phi_{22}(t_0, t)
- \end{pmatrix}
- \begin{pmatrix}
- \Phi_{11}(t_0, t) + \Phi_{12}(t_0, t)
- \end{pmatrix}
- ^{-1}
-\end{equation}
-
-wobei $\Phi(t, t_0)$ die sogennante Zustandsübergangsmatrix ist.
-
-\begin{equation}
- \Phi(t_0, t) = e^{H(t - t_0)}
-\end{equation}
-
-
-
--
cgit v1.2.1
From 0a59be0b3c470a0f7d71ba2e39fb6ec323d89f84 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: "samuel.niederer" <samuel.niederer@hotmail.com>
Date: Sat, 13 Aug 2022 18:48:50 +0200
Subject: add content
---
buch/papers/kra/anwendung.tex | 45 +++++++++--------------------------
buch/papers/kra/einleitung.tex | 16 ++++++-------
buch/papers/kra/loesung.tex | 53 ++++++++++++++++++++++++++++++++++++------
buch/papers/kra/references.bib | 15 ++++++++++++
4 files changed, 80 insertions(+), 49 deletions(-)
(limited to 'buch/papers/kra')
diff --git a/buch/papers/kra/anwendung.tex b/buch/papers/kra/anwendung.tex
index 4d4d351..0deaf3c 100644
--- a/buch/papers/kra/anwendung.tex
+++ b/buch/papers/kra/anwendung.tex
@@ -1,45 +1,40 @@
-\section{Anwendungen \label{kra:section:anwendung}}
-\rhead{Anwendungen}
+\section{Anwendung \label{kra:section:anwendung}}
+\rhead{Anwendung}
\newcommand{\dt}[0]{\frac{d}{dt}}
Die Matrix-Riccati Differentialgleichung findet unter anderem Anwendung in der Regelungstechnik beim RQ- und RQG-Regler oder aber auch beim Kalmanfilter.
-Im folgenden Abschnitt möchten wir uns an einem Beispiel anschauen wie wir mit Hilfe der Matrix-Riccati Differentialgleichung (\ref{kra:matrixriccati}) ein Feder-Masse-System untersuchen können.
+Im folgenden Abschnitt möchten wir uns an einem Beispiel anschauen wie wir mit Hilfe der Matrix-Riccati Differentialgleichung (\ref{kra:equation:matrixriccati}) ein Feder-Masse-System untersuchen können \cite{kra:riccati}.
\subsection{Feder-Masse-System}
-Die Einfachste Form eines Feder-Masse-Systems ist dargestellt in Abbildung \ref{kra:fig:simple_mass_spring}.
-Es besteht aus einer Masse $m$ welche reibungsfrei gelagert ist und einer Feder mit der Federkonstante $k$.
+Die einfachste Form eines Feder-Masse-Systems ist dargestellt in Abbildung \ref{kra:fig:simple_mass_spring}.
+Es besteht aus einer reibungsfrei gelagerten Masse $m$ ,welche an eine Feder mit der Federkonstante $k$ gekoppelt ist.
Die im System wirkenden Kräfte teilen sich auf in die auf dem hookeschen Gesetz basierenden Rückstellkraft $F_R = k \Delta_x$ und der auf dem Aktionsprinzip basierenden Kraft $F_a = am = \ddot{x} m$.
Das Kräftegleichgewicht fordert $F_R = F_a$ woraus folgt, dass
\begin{equation*}
k \Delta_x = \ddot{x} m \Leftrightarrow \ddot{x} = \frac{k \Delta_x}{m}
\end{equation*}
-Die funktion die diese Differentialgleichung löst ist die harmonische Schwingung
+Die Funktion die diese Differentialgleichung löst, ist die harmonische Schwingung
\begin{equation}
x(t) = A \cos(\omega_0 t + \Phi), \quad \omega_0 = \sqrt{\frac{k}{m}}
\end{equation}
-
-
\begin{figure}
\input{papers/kra/images/simple_mass_spring.tex}
\caption{Einfaches Feder-Masse-System.}
\label{kra:fig:simple_mass_spring}
\end{figure}
-
\begin{figure}
\input{papers/kra/images/multi_mass_spring.tex}
\caption{Feder-Masse-System mit zwei Massen und drei Federn.}
\label{kra:fig:multi_mass_spring}
\end{figure}
-
\subsection{Hamilton-Funktion}
Die Bewegung der Masse $m$ kann mit Hilfe der hamiltonschen Mechanik im Phasenraum untersucht werden.
-Die hamiltonschen Gleichungen verwenden dafür die veralgemeinerten Ortskoordinaten
+Die hamiltonschen Gleichungen verwenden dafür die verallgemeinerten Ortskoordinaten
$q = (q_{1}, q_{2}, ..., q_{n})$ und die verallgemeinerten Impulskoordinaten $p = (p_{1}, p_{2}, ..., p_{n})$, wobei der Impuls definiert ist als $p_k = m_k \cdot v_k$.
Liegen keine zeitabhängigen Zwangsbedingungen vor, so entspricht die Hamitlon-Funktion der Gesamtenergie des Systems \cite{kra:hamilton}.
Im Falle des einfachen Feder-Masse-Systems, Abbildung \ref{kra:fig:simple_mass_spring}, setzt sich die Hamilton-Funktion aus kinetischer und potentieller Energie zusammen.
-
\begin{equation}
\label{kra:harmonischer_oszillator}
\begin{split}
@@ -47,7 +42,6 @@ Im Falle des einfachen Feder-Masse-Systems, Abbildung \ref{kra:fig:simple_mass_s
&= \underbrace{\frac{p^2}{2m}}_{E_{kin}} + \underbrace{\frac{k q^2}{2}}_{E_{pot}}
\end{split}
\end{equation}
-
Die Hamiltonschen Bewegungsgleichungen liefern \cite{kra:kanonischegleichungen}
\begin{equation}
\label{kra:hamilton:bewegungsgleichung}
@@ -55,17 +49,13 @@ Die Hamiltonschen Bewegungsgleichungen liefern \cite{kra:kanonischegleichungen}
\qquad
\dot{p_{k}} = -\frac{\partial \mathcal{H}}{\partial q_k}
\end{equation}
-
daraus folgt
-
\[
\dot{q} = \frac{p}{m}
\qquad
\dot{p} = -kq
\]
-
in Matrixschreibweise erhalten wir also
-
\[
\begin{pmatrix}
\dot{q} \\
@@ -81,11 +71,9 @@ in Matrixschreibweise erhalten wir also
p
\end{pmatrix}
\]
-
Für das erweiterte Federmassesystem, Abbildung \ref{kra:fig:multi_mass_spring}, können wir analog vorgehen.
Die kinetische Energie setzt sich nun aus den kinetischen Energien der einzelnen Massen $m_1$ und $m_2$ zusammen.
Die Potentielle Energie erhalten wir aus der Summe der kinetischen Energien der einzelnen Federn mit den Federkonstanten $k_1$, $k_c$ und $k_2$.
-
\begin{align*}
\begin{split}
T &= T_1 + T_2 \\
@@ -97,16 +85,13 @@ Die Potentielle Energie erhalten wir aus der Summe der kinetischen Energien der
&= \frac{k_1 q_1^2}{2} + \frac{k_c (q_2 - q_1)^2}{2} + \frac{k_2 q_2^2}{2}
\end{split}
\end{align*}
-
Die Hamilton-Funktion ist also
-
\begin{align*}
\begin{split}
\mathcal{H} &= T + V \\
&= \frac{p_1^2}{2m_1} + \frac{p_2^2}{2m_2} + \frac{k_1 q_1^2}{2} + \frac{k_c (q_2 - q_1)^2}{2} + \frac{k_2 q_2^2}{2}
\end{split}
\end{align*}
-
Die Bewegungsgleichungen \ref{kra:hamilton:bewegungsgleichung} liefern
\begin{align*}
\frac{\partial \mathcal{H}}{\partial p_k} & = \dot{q_k}
@@ -127,9 +112,7 @@ Die Bewegungsgleichungen \ref{kra:hamilton:bewegungsgleichung} liefern
\end{alignedat}
\right.
\end{align*}
-
In Matrixschreibweise erhalten wir
-
\begin{equation}
\label{kra:hamilton:multispringmass}
\begin{pmatrix}
@@ -171,7 +154,7 @@ In Matrixschreibweise erhalten wir
\end{equation}
\subsection{Phasenraum}
-Der Phasenraum erlaubt die eindeutige Beschreibung aller möglichen Bewegungszustände eines mechanischen System durch einen Punkt.
+Der Phasenraum erlaubt die eindeutige Beschreibung aller möglichen Bewegungszustände eines mechanischen Systems durch einen Punkt.
Die Phasenraumdarstellung eignet sich somit sehr gut für die systematische Untersuchung der Feder-Masse-Systeme.
\subsubsection{Harmonischer Oszillator}
@@ -181,7 +164,6 @@ Die Hamiltonfunktion des harmonischen Oszillators \ref{kra:harmonischer_oszillat
\end{equation*}
die Phasenraumtrajektorien bilden also Ellipsen mit Zentrum $q=0, p=0$ und Halbachsen $A$ und $m \omega A$.
Abbildung \ref{kra:fig:phasenraum} zeigt Phasenraumtrajektorien mit den Energien $E_{x \in \{A, B, C, D\}}$ und verschiedenen Werten von $\omega$.
-
\begin{figure}
\input{papers/kra/images/phase_space.tex}
\caption{Phasenraumdarstellung des einfachen Feder-Masse-Systems.}
@@ -191,7 +173,6 @@ Abbildung \ref{kra:fig:phasenraum} zeigt Phasenraumtrajektorien mit den Energien
\subsubsection{Erweitertes Feder-Masse-System}
Wir intressieren uns nun dafür wie der Phasenwinkel $U = PQ^{-1}$ von der Zeit abhängt,
wir suchen also die Grösse $\Theta = \dt U$.
-
Ersetzten wir in der Gleichung \ref{kra:hamilton:multispringmass} die Matrix $G$ mit $\tilde{G}$ so erhalten wir
\begin{equation}
\dt
@@ -211,9 +192,7 @@ Ersetzten wir in der Gleichung \ref{kra:hamilton:multispringmass} die Matrix $G$
P
\end{pmatrix}
\end{equation}
-
Mit einsetzten folgt
-
\begin{align*}
\dot{Q} = AQ + BP \\
\dot{P} = CQ + DP
@@ -227,9 +206,7 @@ Mit einsetzten folgt
&= C + DU - UA - UBU
\end{split}
\end{equation}
+was uns auf die Matrix-Riccati Gleichung \ref{kra:equation:matrixriccati} führt.
-was uns auf die Matrix-Riccati Gleichung \ref{kra:matrixriccati} führt.
-
-
-\subsection{Fazit}
-% @TODO
+% @TODO Einfluss auf anfangsbedingungen, plots?
+% @TODO Fazit ?
diff --git a/buch/papers/kra/einleitung.tex b/buch/papers/kra/einleitung.tex
index 1a347a8..cde2e66 100644
--- a/buch/papers/kra/einleitung.tex
+++ b/buch/papers/kra/einleitung.tex
@@ -1,14 +1,14 @@
\section{Einleitung} \label{kra:section:einleitung}
\rhead{Einleitung}
-Die riccatische Differentialgleichung ist eine nichtlineare gewöhnliche Differentialgleichunge erster Ordnung der form
+Die riccatische Differentialgleichung ist eine nicht lineare gewöhnliche Differentialgleichung erster Ordnung der Form
\begin{equation}
- \label{kra:riccati}
- y'(x) = f(x)y^2(x) + g(x)y(x) + h(x)
+ \label{kra:equation:riccati}
+ y' = f(x)y + g(x)y^2 + h(x)
\end{equation}
-Sie ist bennant nach dem italienischen Grafen Jacopo Francesco Riccati (1676–1754) der sich mit der Klassifizierung von Differentialgleichungen befasste und Methoden zur Verringerung der Ordnung von Gleichungen entwickelte.
-Als Riccati Gleichung werden auch Matrixgleichugen der Form
+Sie ist benannt nach dem italienischen Grafen Jacopo Francesco Riccati (1676–1754) der sich mit der Klassifizierung von Differentialgleichungen befasste.
+Als Riccati Gleichung werden auch Matrixgleichungen der Form
\begin{equation}
- \label{kra:matrixriccati}
- \dot{U}(t) = DU(t) - UA(t) - U(t)BU(t) % +Q ?
+ \label{kra:equation:matrixriccati}
+ \dot{X}(t) = C + DX(t) - X(t)A -X(t)BX(t)
\end{equation}
-bezeichnet, welche aufgrund ihres quadratischen Terms eine gewisse ähnlichkeit aufweisen.
\ No newline at end of file
+bezeichnet, welche aufgrund ihres quadratischen Terms eine gewisse Ähnlichkeit aufweisen \cite{kra:ethz} \cite{kra:riccati}.
diff --git a/buch/papers/kra/loesung.tex b/buch/papers/kra/loesung.tex
index ece0f15..4e0da1c 100644
--- a/buch/papers/kra/loesung.tex
+++ b/buch/papers/kra/loesung.tex
@@ -1,11 +1,53 @@
\section{Lösungsmethoden} \label{kra:section:loesung}
\rhead{Lösungsmethoden}
-% @TODO Lösung normal riccati
-Lösung der Riccatischen Differentialgleichung \ref{kra:riccati}.
+\subsection{Riccatische Differentialgleichung} \label{kra:loesung:riccati}
+Eine allgemeine analytische Lösung der Riccati Differentialgleichung ist nicht möglich.
+Es gibt aber Spezialfälle, in denen sich die Gleichung vereinfachen lässt und so eine analytische Lösung gefunden werden kann.
+Diese wollen wir im folgenden Abschnitt genauer anschauen.
+\subsubsection{Fall 1: Konstante Koeffizienten}
+Sind die Koeffizienten $f(x), g(x), h(x)$ Konstanten, so lässt sich die DGL separieren und reduziert sich auf die Lösung des Integrals \ref{kra:equation:case1_int}.
+\begin{equation}
+ y' = fy^2 + gy + h
+\end{equation}
+\begin{equation}
+ \frac{dy}{dx} = fy^2 + gy + h
+\end{equation}
+\begin{equation} \label{kra:equation:case1_int}
+ \int \frac{dy}{fy^2 + gy + h} = \int dx
+\end{equation}
+
+\subsubsection{Fall 2: Bekannte spezielle Lösung}
+Kennt man eine spezielle Lösung $y_p$ so kann die riccatische DGL mit Hilfe einer Substitution auf eine lineare Gleichung reduziert werden.
+Wir wählen als Substitution
+\begin{equation} \label{kra:equation:substitution}
+ z = \frac{1}{y - y_p}
+\end{equation}
+durch Umstellen von \ref{kra:equation:substitution} folgt
+\begin{equation}
+ y = y_p + \frac{1}{z^2} \label{kra:equation:backsubstitution}
+\end{equation}
+\begin{equation}
+ y' = y_p' - \frac{1}{z^2}z'
+\end{equation}
+mit Einsetzten in die DGL \ref{kra:equation:riccati} folgt
+\begin{equation}
+ y_p' - \frac{1}{z^2}z' = f(x)(y_p + \frac{1}{z}) + g(x)(y_p + \frac{1}{z})^2 + h(x)
+\end{equation}
+\begin{equation}
+ -z^{2}y_p' + z' = -z^2\underbrace{(y_{p}f(x) + g(x)y_p^2 + h(x))}_{y_p'} - z(f(x) + 2y_{p}g(x)) - g(x)
+\end{equation}
+was uns direkt auf eine lineare Differentialgleichung 1.Ordnung führt.
+\begin{equation}
+ z' = -z(f(x) + 2y_{p}g(x)) - g(x)
+\end{equation}
+Diese kann nun mit den Methoden zur Lösung von linearen Differentialgleichungen 1.Ordnung gelöst werden.
+Durch die Rücksubstitution \ref{kra:equation:backsubstitution} erhält man dann die Lösung von \ref{kra:equation:riccati}.
+
+\subsection{Matrix-Riccati Differentialgleichung} \label{kra:loesung:riccati}
% Lösung matrix riccati
-Die Lösung der Matrix-Riccati Gleichung \ref{kra:matrixriccati} erhalten wir nach \cite{kra:kalmanisae} folgendermassen
+Die Lösung der Matrix-Riccati Gleichung \ref{kra:equation:matrixriccati} erhalten wir nach \cite{kra:kalmanisae} folgendermassen
\begin{equation}
\label{kra:matrixriccati-solution}
\begin{pmatrix}
@@ -28,7 +70,6 @@ Die Lösung der Matrix-Riccati Gleichung \ref{kra:matrixriccati} erhalten wir na
U_0(t)
\end{pmatrix}
\end{equation}
-
\begin{equation}
U(t) =
\begin{pmatrix}
@@ -39,9 +80,7 @@ Die Lösung der Matrix-Riccati Gleichung \ref{kra:matrixriccati} erhalten wir na
\end{pmatrix}
^{-1}
\end{equation}
-
-wobei $\Phi(t, t_0)$ die sogennante Zustandsübergangsmatrix ist.
-
+wobei $\Phi(t, t_0)$ die sogenannte Zustandsübergangsmatrix ist.
\begin{equation}
\Phi(t_0, t) = e^{H(t - t_0)}
\end{equation}
diff --git a/buch/papers/kra/references.bib b/buch/papers/kra/references.bib
index 7f972ec..a9a8ede 100644
--- a/buch/papers/kra/references.bib
+++ b/buch/papers/kra/references.bib
@@ -4,6 +4,19 @@
% (c) 2020 Autor, Hochschule Rapperswil
%
+@misc{kra:riccati,
+title = {Riccatische Differentialgleichung},
+url = {https://de.wikipedia.org/wiki/Riccatische_Differentialgleichung},
+date = {2022-05-26}
+}
+
+@misc{kra:ethz,
+author = {Ch. Roduner},
+title = {Die-Riccati-Gleichung},
+url = {https://www.imrtweb.ethz.ch/users/geering/Riccati.pdf},
+date = {2022-05-26}
+}
+
@online{kra:hamilton,
title = {Hamilton-Funktion},
url = {https://de.wikipedia.org/wiki/Hamilton-Funktion},
@@ -28,3 +41,5 @@
url = {https://pagespro.isae-supaero.fr/IMG/pdf/introKalman_e_151211.pdf},
date = {2022-05-26}
}
+
+
--
cgit v1.2.1
From ac66147d7ac9b65ead1946ea4e72d681fc4abcf4 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: "samuel.niederer" <samuel.niederer@hotmail.com>
Date: Sat, 13 Aug 2022 18:55:22 +0200
Subject: remove dev file
---
buch/papers/kra/test.tex | 12 ------------
1 file changed, 12 deletions(-)
delete mode 100644 buch/papers/kra/test.tex
(limited to 'buch/papers/kra')
diff --git a/buch/papers/kra/test.tex b/buch/papers/kra/test.tex
deleted file mode 100644
index ebe0aa0..0000000
--- a/buch/papers/kra/test.tex
+++ /dev/null
@@ -1,12 +0,0 @@
-\begin{figure}
- \input{papers/kra/images/phase_space.tex}
- % \begin{minipage}{.45\textwidth}
- % \input{papers/kra/images/phase_space_small_omega.tex}
- % \end{minipage}
- % \begin{minipage}{.45\textwidth}
- % \input{papers/kra/images/phase_space_large_omega.tex}
- % \end{minipage}
- % \begin{minipage}[.5\textwidth]
- % \input{papers/kra/images/phase_space_large_omega.tex}
- % \end{minipage}
-\end{figure}
\ No newline at end of file
--
cgit v1.2.1
From 96ca6105b6adad8a6b3c5a1af426df9f8c4024c0 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: =?UTF-8?q?Andreas=20M=C3=BCller?= <andreas.mueller@othello.ch>
Date: Mon, 15 Aug 2022 06:54:23 +0200
Subject: fix physics dependency
---
buch/papers/kra/anwendung.tex | 5 ++++-
buch/papers/kra/images/Makefile | 9 +++++++++
buch/papers/kra/images/simple.pdf | Bin 0 -> 23130 bytes
buch/papers/kra/images/simple.tex | 24 ++++++++++++++++++++++++
buch/papers/kra/images/simple_mass_spring.tex | 12 ++++++------
buch/papers/kra/packages.tex | 6 +-----
6 files changed, 44 insertions(+), 12 deletions(-)
create mode 100644 buch/papers/kra/images/Makefile
create mode 100644 buch/papers/kra/images/simple.pdf
create mode 100644 buch/papers/kra/images/simple.tex
(limited to 'buch/papers/kra')
diff --git a/buch/papers/kra/anwendung.tex b/buch/papers/kra/anwendung.tex
index 0deaf3c..6383984 100644
--- a/buch/papers/kra/anwendung.tex
+++ b/buch/papers/kra/anwendung.tex
@@ -19,7 +19,10 @@ Die Funktion die diese Differentialgleichung löst, ist die harmonische Schwingu
x(t) = A \cos(\omega_0 t + \Phi), \quad \omega_0 = \sqrt{\frac{k}{m}}
\end{equation}
\begin{figure}
- \input{papers/kra/images/simple_mass_spring.tex}
+ % move image to standalone because the physics package is
+ % incompatible with underbrace
+ \includegraphics{papers/kra/images/simple.pdf}
+ %\input{papers/kra/images/simple_mass_spring.tex}
\caption{Einfaches Feder-Masse-System.}
\label{kra:fig:simple_mass_spring}
\end{figure}
diff --git a/buch/papers/kra/images/Makefile b/buch/papers/kra/images/Makefile
new file mode 100644
index 0000000..ef226a9
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/kra/images/Makefile
@@ -0,0 +1,9 @@
+#
+# Makefile -- build standalone images
+#
+# (c) 2022 Prof Dr Andreas Müller
+#
+all: simple.pdf
+
+simple.pdf: simple.tex simple_mass_spring.tex
+ pdflatex simple.tex
diff --git a/buch/papers/kra/images/simple.pdf b/buch/papers/kra/images/simple.pdf
new file mode 100644
index 0000000..4351518
Binary files /dev/null and b/buch/papers/kra/images/simple.pdf differ
diff --git a/buch/papers/kra/images/simple.tex b/buch/papers/kra/images/simple.tex
new file mode 100644
index 0000000..3bdde27
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/kra/images/simple.tex
@@ -0,0 +1,24 @@
+%
+% tikztemplate.tex -- template for standalon tikz images
+%
+% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
+%
+\documentclass[tikz]{standalone}
+\usepackage{amsmath}
+\usepackage{times}
+\usepackage{txfonts}
+\usepackage{pgfplots}
+\pgfplotsset{compat=1.16}
+\usepackage[outline]{contour}
+\usepackage{csvsimple}
+\usepackage{physics}
+\usetikzlibrary{arrows,intersections,math}
+\usetikzlibrary{patterns}
+\usetikzlibrary{snakes}
+\usetikzlibrary{arrows.meta}
+\usetikzlibrary{decorations}
+\usetikzlibrary{decorations.markings}
+\begin{document}
+\input{simple_mass_spring.tex}
+\end{document}
+
diff --git a/buch/papers/kra/images/simple_mass_spring.tex b/buch/papers/kra/images/simple_mass_spring.tex
index e0e869a..868362d 100644
--- a/buch/papers/kra/images/simple_mass_spring.tex
+++ b/buch/papers/kra/images/simple_mass_spring.tex
@@ -6,7 +6,7 @@
\tikzstyle{mass}=[line width=0.6,red!30!black,fill=red!40!black!10,rounded corners=1,top color=red!40!black!20,bottom color=red!40!black!10,shading angle=20]
\tikzstyle{spring}=[line width=0.8,blue!7!black!80,snake=coil,segment amplitude=5,line cap=round]
-\begin{tikzpicture}[scale=2]
+\begin{tikzpicture}[scale=2,>=latex]
\newcommand{\ticks}[2]
{
% arguments: x, y coordinates
@@ -47,9 +47,9 @@
% create springs
\draw[spring, segment length=(\xMass1 - \wWall) * \springscale] (\originX1, \originY1) ++
- (\wWall, \wWall + \hMass / 2) --++ (\xMass1 - \wWall, 0) node[midway,above=0.2] {$k$};
+ (\wWall, \wWall + \hMass / 2) --++ (\xMass1 - \wWall, 0) node[midway,above=3.5] {$k$};
\draw[spring, segment length=(\xMass2 - \wWall) * \springscale] (\originX2, \originY2) ++
- (\wWall, \wWall + \hMass / 2) --++ (\xMass2 - \wWall, 0) node[midway,above=0.2] {$k$};
+ (\wWall, \wWall + \hMass / 2) --++ (\xMass2 - \wWall, 0) node[midway,above=3.5] {$k$};
% create vertical measurement line
\draw[vmline] (\xMass1, \xAxisYpos) --+(0, \originY1 + \wWall);
@@ -57,10 +57,10 @@
\draw[vmline] (\wWall, \originY1+\wWall) --(\wWall, \originY2 + \hWall);
% create horizontal measurement line
- \draw[hmline] (\wWall, \xAxisYpos + 0.2) -- (\xMass1, \xAxisYpos + 0.2) node[midway,fill=white,inner sep=0] {$\ell_0$};
+ \draw[hmline] (\wWall, \xAxisYpos + 0.2) -- (\xMass1, \xAxisYpos + 0.2) node[midway,fill=white,inner sep=0] {$l_0$};
\draw[hmline] (\xMass1, \xAxisYpos + 0.2) -- (\xMass2, \xAxisYpos + 0.2) node[midway,fill=white,inner sep=0] {$\Delta_{x}$};
- \draw[hmline] (\wWall, \xAxisYpos - 0.3) -- (\xMass2, \xAxisYpos - 0.3) node[midway,fill=white,inner sep=0] {$\ell_{1}$};
+ \draw[hmline] (\wWall, \xAxisYpos - 0.3) -- (\xMass2, \xAxisYpos - 0.3) node[midway,fill=white,inner sep=0] {$l_{1}$};
% create force arrow
\draw[->,blue, very thick,line cap=round] (\xMass2 + \wMass / 2, \originY2 + \wWall + \hMass + 0.15) node[above] {$\vb{F_{R}}$} --+ (-0.5, 0);
-\end{tikzpicture}
\ No newline at end of file
+\end{tikzpicture}
diff --git a/buch/papers/kra/packages.tex b/buch/papers/kra/packages.tex
index b16f074..56c48d9 100644
--- a/buch/papers/kra/packages.tex
+++ b/buch/papers/kra/packages.tex
@@ -8,15 +8,11 @@
% following example
%\usepackage{packagename}
-\usepackage{physics}
-\usepackage{pgfplots}
-\usepackage{tikz}
+%\usepackage{physics}
\usepackage[outline]{contour}
\pgfplotsset{compat=1.16}
\usetikzlibrary{patterns}
\usetikzlibrary{snakes}
-\usetikzlibrary{math}
\usetikzlibrary{arrows.meta}
\usetikzlibrary{decorations}
\usetikzlibrary{decorations.markings}
-\usetikzlibrary{calc}
\ No newline at end of file
--
cgit v1.2.1